Действия с корнями четной степени с примерами решения

Содержание:

Теорема:

Пусть

1) При любых неотрицательных значениях

2) При любых неотрицательных значениях и положительных значениях верно равенство

3) При любых значениях и неотрицательных значениях верно равенство

Доказательство:

Легко убедиться, что выражения, входящие в равенства (1)—(3), имеют смысл. Эти равенства, очевидно, верны при а равенства (1) и (3) — и при Поэтому доказательства проводятся при

Докажем утверждение 3). При любых значениях и значениях

числа неотрицательные (объясните почему).

Возведя левую и правую части равенства (3) в степень, получим

Это верное числовое равенство, поскольку — четное число, и поэтому Согласно следствию из п. 1.1 верно и равенство

Утверждения 1), 2) доказываются аналогично. Докажите равенства (1) и (2) самостоятельно. ▲

Утверждение 1) теоремы можно сформулировать и так:

Пусть — четное число. Корень степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней степени из этих чисел.

Такая же теорема верна при любом числе перемножаемых корней.

Пусть — четное число. Корень степени из произведения нескольких неотрицательных чисел равен произведению корней степени из этих чисел.

Таким образом, для любых неотрицательных чисел верно равенство

В частности, полагая в этом тождестве получим

Утверждение 2) теоремы можно сформулировать и так:

Пусть — четное число. Корень степени из дроби с неотрицательным числителем, и положительным знаменателем равен частному от деления корня степени из числителя на корень степени из знаменателя.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству равенства (3).

Преобразование выражения к виду (в утверждении 3) теоремы) называется вынесением множителя из-под знака корня четной степени.

Преобразование выражения к виду называется внесением множителя под знак корня четной степени.

Заметим, что каждое из равенств (1)—(5), рассматриваемых в этом пункте, является тождеством.

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры с решением

Пример №1

Вынести множитель из-под знака корня:

Решение:

Пример №2

Преобразовать в произведение корней выражение

Решение:

Можно было бы, например, записать и так:

Или так:

Пример №3

Внести множитель под знак корня:

Решение:

а) Так как значит,

б) Так как значит,

Пример №4

Упростить выражение:

Решение:

Пример №5

Упростить выражение

Решение:

Пример №6

Освободиться от иррациональности в знаменателе:

Решение:

Пример №7

Решить уравнение:

Решение:

а) Уравнение не имеет решений, так как арифметический корень четной степени не может быть отрицательным числом.

б) По определению арифметического корня четвертой степени получим, что уравнение равносильно уравнению откуда

Ответ: