Числовые множества - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Будем рассматривать множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Числовые множества задаются на оси действительных чисел R. На этой оси выбирают масштаб и указывают начало отсчета и направление.

Наиболее распространенные числовые множества:

• N - множество натуральных чисел;
• Z - множество целых чисел;
• Q - множество рациональных или дробных чисел;
• R - множество действительных чисел.

Основные понятия о числовых множествах

Множество всех рациональных чисел является счетным множеством. Счетным является множество всех точек плоскости (пространства) имеющих рациональные координаты.

Множество всех действительных чисел является несчетным: оно имеет мощность, называемую континуумом.

Некоторое непустое подмножество А множества действительных чисел называют ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число К такое, что

Всякое число К с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества А.

Непустое подмножество А множества действительных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

В противоположность этому определению, множество А называется неограниченным сверху (снизу), если какое бы число К мы бы не предложили в качестве верхней (нижней) границы множества А, всегда найдется элемент этого множества, который будет больше (меньше) К.

Множество, неограниченное как сверху, так и снизу, называется неограниченным множеством.

Наименьшую из верхних граней непустого подмножества множества действительных чисел А называют точной верхней гранью этого множества и обозначают sup А. Наибольшую из нижних граней непустого подмножества множества действительных чисел А называют точной нижней гранью этого множества и обозначают inf А. Символы sup и inf являются сокращениями от supremum (самый верхний) и infimum (самый нижний).

Примем без доказательства утверждение о том, что всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Граничной точкой множества называется точка, у которой в любом содержащем ее открытом промежутке найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству. Сама граничная точка может, как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Граница множества - совокупность граничных точек множества:

• N (множество натуральных чисел) ограниченно снизу (например, числом -2) и не ограничено сверху;
• R (множество действительных чисел) неограничено;
• множество отрицательных чисел неограничено снизу и ограничено сверху.

Соединения. Бином Ньютона

Рассмотрим совокупность n различных элементов. Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов:

называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.

Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.

Размещениями из п элементов поназывают их соединения, каждое из которых содержит ровно m различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком элементов.

Определим число размещений из n элементов по m.

Будем строить произвольное соединениепоследовательно. Сначала определим его первый элемент . Очевидно, что из данной совокупности n элементов его можно выбрать n различными способами. После выбора первого элемента , для второго элемента остается n -1 способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Для m элементов формула приобретает вид:

Соединения из n элементов, каждое из которых содержит все n элементов, и которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками .

Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.

Сочетаниями из n элементов по называют такие их соединения, каждое из которых содержит ровно m данных элементов, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов .

Делая в каждом из них m! возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из n элементов по m:

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Свойства сочетаний:

Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения , свойства 3 и 4 доказываются с помощью бинома Ньютона, полагая для свойства 3 что а = 1 и b = 1, а для свойства 4 что a = 1 и b = -1. Свойство 5 можно проверить следующим образом:

Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты С"' с помощью так называемого треугольника Паскаля:

Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.

Комплексные числа

В арифметике и алгебре рассматривают различные действия над числами: арифметические (сложение, вычитание, умножение, деление), возведение в степень, извлечение корня и т.д. Только два действия - сложение и умножение - безусловно, выполнимы в области натуральных чисел: сумма и произведение натуральных чисел - также натуральные числа. Однако в области арифметики натуральных чисел уже вычитание не всегда выполнимо - для возможности образования разности двух натуральных чисел множество N нужно дополнить до множества целых чисел Z, введя в него ноль и целые отрицательные числа. Такие операции как деление и извлечение корня становятся выполнимыми только после расширения рассматриваемой числовой области: множество целых чисел должно быть, соответственно, дополнено вначале до множества Q за счет введения рациональных чисел, а потом и до множества действительных чисел R за счет введения иррациональных чисел.

Этот процесс можно схематически изобразить цепочкой , где N, Z, Q, R обозначают соответственно множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Причем каждая последующая числовая система сохраняет все основные свойства предыдущей и обладает рядом новых полезных свойств. Так, в N можно только складывать и умножать, в Z можно уже вычитать, в Q - делить. Во множестве R действительных чисел можно извлекать корни любой степени из положительных чисел, хотя в Q даже число не имеет смысла. Но и в множестве действительных чисел R такое простое уравнение не имеет решений. Так как многие задачи практики приводят к алгебраическим уравнениям, требуется построить новое множество, содержащее множество действительных чисел и решение любого алгебраического уравнения. Символом i, который называется мнимой единицей, обозначим корень уравнения, или . Множество, которое представляет собой множество всех двучленов вида , называется множеством комплексных чисел.

Действительное число а называется действительной частью комплексного числа - мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице. Два комплексных числа будут равны тогда и только тогда, когда При этом действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных чисел, мнимая часть которых равна нулю . Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его действительная и мнимая части.

Операции сложения, вычитания и умножения над числами вида производятся по обычным правилам алгебры с единственным дополнительным условием: .

Операции над комплексными числами

Алгебраическую операцию сложения на множестве С можно задать следующим образом:

Сложение комплексных чисел ассоциативно, т.е. и коммутативно, т.е. . Сумма чисел (a + bi)+(—a—bi) = 0, поэтому число -a-bi является противоположным числу a + bi, тем самым определена операция вычитания .

Учитывая, что через i обозначен корень уравнения т.е. или , можно определить умножение комплексных чисел:

Умножение также ассоциативно и коммутативно. Произведение нескольких сомножителей вычисляется как последовательное умножение. Натуральная степень комплексного числа может быть найдена при помощи формулы бинома Ньютона. Поскольку , , при возведении i в любую натуральную степень n, надо найти остаток от деления n на 4 и возвести i в степень, равную этому остатку.

Чтобы определить деление комплексных чисел, нужно определить число обратное числу . Для действительного числа обратным будет число

Выражение запишем в стандартной форме. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексное число :

Значит, для любого ненулевого комплексного числа существует обратное. Таким образом, операция деления определена как произведение делимого на число, обратное делителю.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, любое действительное число а можно записать в виде .

Число а-b называется сопряженным числу z = a + bi и обозначается .

Сумма и произведение сопряженных чисел являются числами действительными:

Число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа a + bi. Очевидно, что

Свойства сопряжения:

Каждому комплексному числу z = a + bi поставим в соответствие точку Z плоскости, координатами которой в прямоугольной системе координат являются числа а и b.

Тогда каждой точке Z(a,b) плоскости будет соответствовать единственное комплексное число a + bi. В результате получается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел С и множеством точек плоскости, которое позволяет отождествить произвольное комплексное число a + bi с точкой плоскости, имеющей в выбранной системе координат координаты (a,b). При этом точки горизонтальной координатной оси Re изображают действительные числа и поэтому эту ось называют действительной осью, а по вертикальной оси Im откладываются мнимые части комплексных чисел, поэтому вертикальная ось Im называется мнимой осью.

Расстояние от точки Z до начала координат есть действительное неотрицательное число р, которое называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается \z\ = p. Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки z называется аргументом z и обозначается arg z. Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Пусть z = a + bi. Из рис. 3.1 ясно, что модуль числа z находится

по формуле Аргумент числа z определяется из равенств

Отсюда:

(3.1)

Запись числа z в виде (3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если воспользоваться формулой Эйлера,

то от тригонометрической формы записи комплексного числа (3.2) несложно перейти к его показательной форме записи:

Пусть z и - сопряженные числа. Если z = а + bi, то = a- bi. Геометрически z и являются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 3.2). Отсюда вытекают равенства

Перемножать и делить комплексные числа удобнее, если они представлены в тригонометрической форме:

В показательной форме:

При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются. Это правило верно для любого числа сомножителей. Аналогично,

(3 4)

При вsполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их аргументы вычитаются, а модули нужно разделить.

Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа

Используя формулу умножения комплексных чисел (3.3), получим формулу возведения комплексного числа в степень, называемую формулой Муавра:

Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.

Перейдем к процедуре извлечения корней. Известно, что во множестве действительных чисел не из всякого действительного числа можно извлечь корень. Например, не существует. В множестве комплексных чисел дело обстоит иначе.

Пусть . Комплексное число

называется корнем n-й степени из z, если

, т.е.:

или

Модуль комплексного числа определяется однозначно, поэтому или (здесь имеется в виду арифметический корень).

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до

. Следовательно,

Таким образом, комплексное число , которое является корнем n -й степени из , имеет вид:

Придавая А- различные значения, мы не всегда будем получать различные корни. Действительно, k можно записать в виде k = nq + t, где . Тогда:

Т.е. значение аргумента при данном к отличается от значения аргумента при k = t на число, кратное . Следовательно, в формуле (2) можно ограничится лишь значениями . При таких значениях к получаются различные корни, так как разность между их аргументами по абсолютной величине меньше .

Итак, для каждого ненулевого числа z существует ровно n корней n -й степени из z.

Пример:

Вычислить

Решение:

Представим число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме:

Извлечем далее корень третьей степени из этого комплексного числа:

Отсюда полагая, что k = 0,1,2, получим:

Числовые множества и форма их представления

Множество, элементы которого являются действительными числами называется числовым множеством. В основном, числовые множества задаются в виде неравенств или в виде промежутков. Множество всех действительных чисел обозначается как

Пример:

Изобразите на координатой прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству. Запишите в виде промежутков.

Свойства объединения и пересечения числовых множеств

Некоторые свойства пересечения и объединения множеств подобны переместительным, сочетательным и распределительным свойствам сложения и умножения чисел.

Верные для множеств равенства, соответствующие свойствам для чисел не всегда верны.

Пример:

Графиком функции называется кубическая парабола.

Если , то (куб положительного числа - положительное число), если , то (куб отрицательного числа - отрицательное число), если , то .

Поэтому график функции проходит через начало координат и расположен в I и III четвертях. Если значение заменить его противоположным значением , тогда функция будет принимать противоположное значение: т.к. , то . Значит, каждой точке графика функции соответствует точка , симметричная относительно начала координат на данном графике. Таким образом, график функции симметричен относительно начало координат. По графику видно, что число , куб которого равен данному числу - единственное.

Свойства числовых множеств

Ограниченные числовые множества

Определение 1.26. Пусть X — непустое числовое множество. Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число a, что x a (x a) для любого элемента x ∈ X . При этом число a называется верхней (нижней) границей множества X . Множество, ограниченное снизу и сверху называют ограниченным.

С помощью логических символов ограниченность сверху множества X записывают следующим образом:

∃ a ∈ : x a, ∀x ∈ X.

Учитывая свойства модуля числа, можно дать следующее равносильное определение  граниченного множества.

Определение 1.27. Непустое числовое множество X называют ограниченным, если существует такое положительное число M, что

|x| M, ∀x ∈ X.

Определение 1.28. Элемент a из числового множества X называют максимальным (минимальным) элементом в X, если x a (соответственно, x > a) для любого x из X, и пишут: a = max X (соответственно, a = min X).

В силу аксиомы порядка (3.b) легко показать, что если множество X в имеет максимальный (минимальный) элемент, то он единственен.

Отметим, что если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то оно ограничено сверху (снизу) и число a является верхней (нижней) границей множества X. Однако не всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет максимальный (минимальный) элемент.

Пример 1.5. Покажем, что множество X = [0, 1) не имеет максимального элемента.
Заметим, что множество X ограничено сверху и 1 — одна из его верхних границ. Пусть x₀ — любой элемент из X . Тогда 0 x0 1 и

Следовательно,  и . Последнее означает, что x₀  не является максимальным элементом множества X. Но x₀ — произвольный элемент X , поэтому множество X не имеет максимального элемента.

Замечание. Любое числовое множество, содержащее конечное число элементов, имеет максимальный и минимальный элементы.

Теорема 1.2 (принцип полноты Вейерштрасса). Если непустое числовое множество ограничено сверху (снизу), то существует число, которое является наименьшей верхней (соответственно, наибольшей нижней) границей этого множества, и это число единственно.

Пусть X ⊂, X и ограничено сверху. Обозначим через Y множество верхних границ множества X, то есть Y = {y ∈ | x y, ∀x ∈ X}. По условию Y   и 6 y, ∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y . По аксиоме полноты

∃ c ∈ : x c y, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

Поскольку x c, ∀x ∈ X , то c ∈ Y . Но c y, ∀y ∈ Y , значит c — наименьшая верхняя граница множества X , то есть минимальный элемент множества Y. Поэтому он единственен.

Определение 1.29. Пусть X — непустое ограниченное сверху числовое множество. Наименьшую из верхних границ множества X называют точной верхней границей или верхней гранью множества X и обозначают sup X (читают "супремум X") или sup x.

x∈X

Итак, sup X = min{c ∈ | x  c, ∀x ∈ X} и потому определение 1.29 равносильно следующему.

Определение 1.30. Пусть X — непустое ограниченное сверху числовое множество. Число a называют точной верхней границей множества X , если выполнены два условия:

1.    x a, ∀x ∈ X ;

2.    ∀ε > 0 ∃ xε ∈ X : xε > a - ε.

Условия 1-2 являются характеристическими свойствами sup X. Первое означает, что a — верхняя граница множества X , а второе — что любое число b, меньшее чем a, уже не является верхней границей множества X .

С учетом определения 1.29 принцип полноты множества R в смысле Вейер-штрасса формулируется следующим образом:

Теорема 1.3. Непустое ограниченное сверху числовое множество имеет, притом единственную, точную верхнюю границу.

Аналогично вводится понятие точной нижней границы множества.

Определение 1.31. Пусть X ⊂ , X , ограничено снизу. Наибольшую из его нижних границ называют точной нижней границей или нижней гранью множества X и обозначают inf X (читают "инфимум X") или . 

Характеристическими свойствами a = inf X, a ∈ , являются:

1) a x, ∀x ∈ X ; 2) ∀ε > 0 ∃ xε ∈ X : xε a + ε.

Лемма 1.2. Если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то a = sup X (соответственно a = inf X).

Пусть a = max X . Тогда a ∈ X и x a, ∀x ∈ X . Поэтому a — верхняя граница множества X и ∀ε > 0, если положить xε = a ∈ X , имеем:

∃ xε = a ∈ X : xε > a - ε.

Следовательно, по определению 1.30 a = sup X.

Пример 1.6. Найти sup X, если X = [0, 1).

Так как x 1, ∀x ∈ X , то 1 — верхняя граница множества X . Пусть ε — произвольное положительное число, меньшее 1. Число 1 - принадлежит множеству X. Поскольку 1- > 1 — ε, то можно положить xε = 1- . Поэтому 1=supX. 

• Заказать решение задач по высшей математике

Неограниченные числовые множества

Определение 1.32. Если непустое числовое множество не является ограниченным сверху (снизу), то его называют неограниченным сверху (снизу).В символьной форме это определение принимает вид:

X ⊂ , X не ограничено сверху ⇒ ∀a ∈ ∃ x ∈ X : x>a.

В случае, если числовое множество X не ограничено сверху считают, что его точная верхняя граница равна +∞.

Если же X не ограничено снизу, то считают, что inf X = -∞.

Из сказанного и теоремы 1.2 вытекает следующий результат.

Теорема 1.4 (существования точных границ). Каждое непустое множество X из имеет в точные верхнюю и нижнюю границы; sup X — число, если X ограничено сверху, sup X = +∞, если X не ограничено сверху; inf X — число, если X ограничено снизу и inf X = -∞, если X не ограничено снизу.

Теорема 1.5. Непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество множества Z имеет максимальный (минимальный) элемент.

Пусть X ⊂ Z, X 6, X — ограниченное сверху множество. По теореме 1.2 о существовании точных границ числового множество имеется число C такое, что C = sup X. Поэтому для любого ε > 0 и, в частности, ε = 1 найдется такой элемент xε = n₀ ∈ X, что n₀ > C- 1, то есть n₀ C n₀+1. Поскольку между n₀ и n₀ + 1 нет целых чисел, то ∀m ∈ X m n₀ и, следовательно, n₀ = max X .

Теорема 1.6. Бесконечное подмножество натуральных чисел не ограничено сверху.

Пусть X — бесконечное подмножество множества . Предположим, что оно ограничено сверху. Так как X ⊂ Z, то по теореме 1.5 множество X имеет максимальный элемент n₀ . Тогда X имеет не более n₀ элементов, что противоречит условию.

Теорема 1.7 (принцип Архимеда). Для любого числа a и любого положительного числа b найдется единственное целое число n₀ такое, что (n₀-1)b a n₀b.

Так как ⊂ , то множество не ограничено сверху, поэтому существует число n ∈ такое, что n > a/b. Пусть Y = {n ∈ Z : n > a/b}. Множество Y является непустым ограниченным снизу. По теореме 1.5 оно имеет минимальный элемент. Пусть n₀ = min Y . Тогда n₀ - 1 ∈/ Y и n₀ -.

Следовательно, Поскольку число n₀ — минимальный элемент Y , то оно единственно.

Следствие 1. Для любого числа x ∈ существует единственное число k ∈ такое, что (достаточно в теореме положить b = 1). Такое число k называют целой частью числа x и обозначают через [x] или E (x).

Следствие 2. Для любого положительного числа ε существует натуральное число n такое, что 0 1/n ε.

Пусть ε — положительное число. По принципу Архимеда найдется такое n ∈ , что n > 1∕ε. Поскольку ε > 0, то n ∈ и 0 1/n ε.

Теорема 1.8 (о плотности в ). Для любых чисел a, b ∈ , a b, найдется рациональное число r такое, что a r b.

Число b — a положительно. По следствию 2 принципа Архимеда подберем натуральное число n₀ такое, что 0 1∕n₀ b—a. Далее, по принципу Архимеда по числу a и 1∕n₀ > 0 найдется m0 ∈ :

Докажем, что рациональное число m₀∕n₀ — искомое. Действительно,

Отсюда, a m_o∕n_o b. 

Счетные и несчетные множества

При изучении множеств приходится по некоторым правилам сравнивать их между собой по запасу элементов. Изложим одно такое правило.

Пусть n — натуральное число, а N_n = {k ∈ : k n}. Множество X называют конечным, если существует такое n ∈ , что между множествами X и N_n можно установить биективное отображение, в противном случае множество X называют бесконечным.

Определение 1.33. Бесконечное множество X называют счетным, если существует биективное отображение f : → X . Если бесконечное множество X не является счетным, его называют несчетным.

Иными словами, счетное множество — это такое бесконечное множество, элементы которого можно занумеровать: a₁, a₂, . . . , a_n, . . . , n ∈ .

Пример 1.7. Множество X натуральных четных чисел счетно, поскольку функция f : → X, f(n) = 2n, является биекцией.

Пример 1.8. Множество целых чисел счетно. В этом случае биективное отображение f : N → , f(n) = (-1)n-1 [n/2], позволяет пронумеровать элементы множества следующим образом:

0, -1, 1, -2, 2, -3, . . . , -n, n, . . . , n ∈ .

Теорема 1.9. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Пусть X — бесконечное множество, а x₁ — произвольный элемент из X . Заметим, что множество бесконечно. Зафиксируем любой элемент этого множества и обозначим его x₂. Продолжая этот процесс, на n-ом шаге выделим элемент x_n ∈ X такой, что 

В результате получим множество Y = {xn ∈ X : n ∈ }, которое является счетным, так как при  

Теорема 1.10. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть счетное множество.

Пусть множество A является объединением счетной совокупности счетных множеств A₁ , A₂,   Поскольку множества A_k, k ∈ , являются счетными, то их можно представить в виде:

A₁ = {a₁₁, a₁₂, a₁₃, . . . },

A₂ = {a₂₁, a₂₂, a₂₃, . . . },

A₃ = {a₃₁, a₃₂, a₃₃, . . . },

Пронумеруем элементы множества A следующим образом:

a₁ := a₁₁, a₂ := a₁₂, a₃ := a₂₁, a₄ := a₃₁, a₅ := a₂₂, a₆ := a₁₃, . . .

Если у множеств A_i и A_j , , окажутся одинаковые элементы, то их посчитаем один раз. Поскольку A = {a_k : k ∈ } и a_i a_j , если i j, то множество A — счетно.

Следствие. Множество рациональных чисел счетно. 

Множество рациональных чисел определяется следующим образом:

Расположим рациональные числа в таблицу. Сначала в первую строку поместим все целые числа в порядке не убывания их абсолютных величин и так, что за каждым натуральным числом следует ему противоположное:

0, 1, -1, 2, -2, . . . , n, -n,     

Во вторую строку поместим все несократимые рациональные числа со знаменателем 2 в порядке не убывания их абсолютных величин, причем вслед за каждым положительным числом следует ему противоположное:

1/2,-1/2,3/2,-3/2,5/2,-5/2,    

Аналогично, в n-ую строку выпишем все несократимые рациональные числа со знаменателем n, упорядоченные по абсолютной величине и вслед за каждым положительным числом вписано ему противоположное. В результате получим таблицу всех рациональных чисел, состоящую из счетного множества строк, каждая из которых содержит счетное множество элементов. При этом среди выписанных элементов нет одинаковых. По теореме 8 множество счетно.

Определение 1.34. Конечные и счетные множества называют не более чем счетными.