Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Алгебра событий:

С каждым испытанием связан ряд интересующих нас событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, пусть при бросании игральной кости (т. е. кубика, на гранях которого имеются очки 1, 2, 3, 4, 5, 6) событие А есть выпадение одного очка, а событие В есть выпадение нечетного числа очков. Очевидно, эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга (так называемые элементарные события или элементарные исходы). Тогда:

1. каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;
2. всякое событие А, связанное с этим испытанием, есть множество (совокупность) конечного или бесконечного числа элементарных событий;
3. событие А происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

Пример:

Пусть событие А состоит в выпадении нечетного числа очков при однократном бросании игральной кости.

За элементарные события здесь могут быть приняты следующие результаты испытания: (1), (2), (3), (4), (5), (6). Событие А представляет собой множество событий {(1) (3), (5)}.

По аналогии с теорией множеств строится алгебра событий.

Определение: Под суммой двух событий А и В понимается событие

которое имеет место тогда и только тогда, когда произошло хотя бы одно из событий А и В.

В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример:

Пусть событие А есть выигрыш по займу I, а событие В — выигрыш по займу И. Тогда событие А + В есть выигрыш хотя бы по одному займу (возможно, по двум сразу!).

Определение: Произведением двух событий А и В называется событие

состоящее в одновременном появлении как события А, так и события В.

В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий.

Пример:

Пусть события А и В есть успешные прохождения соответственно туров I и II при поступлении в институт. Тогда событие АВ представляет собой успешное прохождение обоих туров.

События А и Б называются несовместными в данном испытании, если произведение их есть событие невозможное, т. е.

АВ = О,

где О — невозможное событие.

Иными словами, два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого и наоборот.

Предмет теории вероятностей

Цель изучения основ теории вероятностей -
математической науки, изучающей закономерности случайных явлений. Случайные явления, как вам известно, - это явления, которые при многократном повторении (например, некоторого опыта) протекают каждый раз по-другому.

Заметим, что этот материал качественно отличается от ранее изученных разделов. Как вы знаете, в курсе политехнического университета, кроме теории вероятностей, рассматривается математический аппарат, позволяющий исследовать так называемые детерминированные явления, т.е. известные явления не содержащие каких - либо неопределенностей. Так вот, эти детерминированные явления, как правило, исследуются с помощью дифференциальных уравнений, описывающих математические модели реальных процессов. При этом предполагается, что параметры, входящие в эти уравнения являются заданными постоянными величинами или меняются по заданным функциональным зависимостям. Внешние возмущения, если таковы имеются, также заданы детерминировано.

Однако при изучении многих явлений такая точка зрения неприемлема, так как может оказаться, что, например, внешние воздействия на систему не детерминированные, а случайные (различные шумы, помехи и т.п.), проявляющие свою закономерность не в единичном явлении, а в их совокупности. В этом случае говорят о массовых случайных явлениях. Это означает, что закономерности, свойственные случайным явлениям, могут проявляться только при большом числе однородных опытов. В этой связи большое значение уделяется методам изучения случайных явлений (эти методы, кстати сказать, называются вероятностными или
статистическими). Другими словами, предметом теории вероятностей, как математической науки, как раз и является изучение закономерностей в массовых случайных явлениях независимо от их природы. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII в. и связано с именами Гюйгенса, Паскаля, Ферма и Якова Бернулли. В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, связанными с азартными играми, определились постепенно такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание.

При этом, конечно, нужно отдавать себе ясный отчет, что выдающиеся ученые, занимаясь задачами азартных игр, предвидели и фундаментальную роль науки, изучающей случайные явления. Следующий этап в развитии теории вероятностей связан с именем Якова Бернулли. Его теорема - закон больших чисел - первое теоретическое обоснование накопленных фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону, им принадлежит развитие первых аналитических методов теории вероятностей. Новый, наиболее плодотворный период связан с именами Чебышева и его учеников - Маркова и Ляпунова. Этот период становления теории вероятностей стал началом раздела математики.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именами советских математиков: Колмогорова, Хинчина, Гнеденко и др. В настоящее время роль теории вероятностей неоспорима.
 

Элементы теории множеств

Под множеством понимается любая (конечная или бесконечная) совокупность объектов с некоторой общей характеристикой (или, что то же самое - объектов одинаковой природы). Эти объекты, как вам известно еще со школы, называются элементами множества. Множества с конечным числом различных элементов могут быть описаны путем явного перечисления всех этих элементов: обычно, эти элементы заключаются в фигурные скобки. Например,  множество степеней двойки, заключенных между 1 и 10. Как правило, множество обозначается прописной буквой какого - либо алфавита, а его элементы - строчными буквами того же или другого алфавита.

Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения, которых стоит придерживаться.

Так, буквами

• N - множество натуральных чисел
• Z - множество целых чисел
• Q - множество рациональных чисел
• R - множество вещественных (или действительных) чисел

При заданном множестве S включение указывает на то, что a - элемент множества S; в противном случае, как вы знаете, пишут Множество можно описать, указав свойство, присущее только элементам именно этого множества. Множество всех объектов, обладающих свойством  обозначают через Например: - множество всех четных чисел; - множество натуральных чисел. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и его принято обозначать символом 

Говорят, что S – подмножество множества T или  если все элементы множества S являются также элементами множества T , то есть 

Два множества S и T совпадают (или равны), если у них одни и те же элементы.

Символически это выглядит так:

Заметим, что пустое множество (т.е. множество совсем не содержащее элементов) по определению входит в число подмножеств любого множества.
Если - называется собственным подмножеством в T . Для выделения подмножества часто используют какое - либо свойство, присущее только элементам из S .

Для множеств A,B,C справедливы следующие соотношения:

( значок  - это значок конъюнкции, т. е. логическое «и»). Конечное множество называется упорядоченным, если каждому элементу
этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n.
 

Операции над множествами

Для пояснения некоторых определений и свойств операций над множествами и различных соотношений между ними воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна, на которых множества, подлежащие рассмотрению, изображаются в виде совокупности точек на плоскости.
 

1. Под пересечением (произведение) двух множеств S и T понимается множество:

 

2. Под объединением (сумма) двух множеств S и T понимается множество :

3. Разностью S \T множеств S и T называется совокупность тех элементов, из S , которые не содержатся в T , то есть

4. Если (здесь U – основное , универсальное множество) то  будем называть дополнением множества S относительно

Можно еще много говорить о множествах, их свойствах, операциях над ними и т.п. Остановлюсь лишь на некоторых свойствах, указанных операций, после чего перейдем к новому разделу. Итак, для множеств A,B,C справедливы следующие соотношения:

1. Свойство коммутативности: 

2. Свойство дистрибутивности:

3. Свойство ассоциативности:

Элементы комбинаторики

Комбинаторика - это раздел математики, изучающий задачи о расположении или выборе элементов из множеств.

Группы, составленные из каких - либо предметов (любой, но одинаковой природы: буквы, числа, геометрические фигуры, детали и т. д.) называются соединениями (множествами). Сами предметы, их которых составляются соединения, называются элементами

Различают три основных типа соединений: размещения, перестановки и сочетания.
 

Размещениями из n различных элементов по в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые (соединения) отличаются друг от друга либо хотя бы одним элементом, либо порядком их расположения. Число размещений обозначается и вычисляется по формуле:

 

Такие размещения называются размещениями без повторений.
 

Пример №1

В группе 25 студентов. Выбирают старосту, физорга и профорга. Каково число всех возможных вариантов выбора «треугольника» группы?
 

Решение. Получаемые комбинации (т.е. соединения) из 25 - и элементов по 3 в каждом являются размещениями, так как в них важен не только состав элементов «треугольника», но и расположение внутри него. Следовательно

 

Размещение с повторениями из n элементов по k элементов в каждом может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, либо не содержать его вовсе. Другими словами, каждое размещение с повторениями из n элементов по k может состоять не только из k каких угодно, но и как угодно повторяющихся элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле

 

Пример №2

Известно, что 4 студента сдали экзамен. Сколько возможно различных исходов экзамена (распределений оценок)?
 

Решение. Число элементов n=3 ( «3», «4», «5» ); k = 4. Последовательность, т. е. порядок элементов, существенна, повторения неизбежны.
Следовательно
 

Пример №3

Сколькими способами 10 пассажиров могут распределиться по 13 вагонам, если для каждого существенным является только № вагона, а не занимаемое место в нем?
 

Решение. Пусть - номер вагона, выбранного первым пассажиром, - номер вагона, выбранного вторым пассажиром, . . . , - номер вагона,
выбранного десятым пассажиром. Соединение (комбинация)  полностью характеризует распределение пассажиров по вагонам. Здесь каждое из чиселможет принимать любое целое значение от 1 до 13. Значит, различных распределений по вагонам будет столько, сколько подобных соединений (длиной 10) можно составить из элементов множества  Следовательно
 

Перестановками из n различных элементов называются такие соединения,
из которых каждое содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов. Число таких перестановок из n различных элементов обозначается и вычисляется по формуле:

Так как число перестановок из n элементов - это то же самое, что и число размещений из n элементов по n в каждом, то можем записать:

 

Пример №4

Для проведения испытаний выбрано 5 различных моделей автомобилей. Сколькими способами они могут быть распределены между пятью испытателями?
 

Решение. Число способов, которыми можно распределить 5 автомобилей, равно числу комбинаций из 5 элементов по пять. Причем, сами комбинации отличаются друг от друга только порядком элементов, т.е. применимы перестановки. Следовательно

Если же среди n элементов имеются одинаковые, то такие перестановки называются перестановками с повторениями. Пусть имеется n элементов, среди которых , тогда число перестановок с повторениями
определяется по формуле

Если из n элементов имеется две различные группы, состоящие соответственно из одинаковых элементов:

 тогда


 

Пример №5

Каким числом способов можно распределить 9 цитрусовых между 9 студентами, если имеются 4 мандарина, 3 апельсина и 2 лимона?

Решение. Пусть m - мандарины, a - апельсины и l - лимоны. Тогда

Следовательно 

Сочетаниями из n различных элементов по в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом. Число сочетаний из n различных элементов по k в каждом обозначают символом и вычисляют по формуле:

Уверены, вы отлично понимаете, что это определение является определением числа сочетаний без повторений.

Число сочетаний обладает следующими свойствами:

Этим свойством удобно пользоваться в случаях, когда Например,

Пример №6

На строительство общежития из 25 студентов требуется выбрать 3 человек. Каково число всех возможных вариантов выбора этой тройки?
 

Решение. Число возможных вариантов равно числу комбинаций (соединений) из 25 элементов по 3 в каждом. Причем комбинации отличаются друг от друга только составляющими их элементами, а порядок их расположения не имеет
значения. Следовательно 

Сочетание с повторениями из n элементов по k в каждом может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, либо не содержать его вовсе. Другими словами, каждое сочетание с повторениями из данных n элементов по k элементов в каждом может состоять не только из k различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
Два сочетания по k элементов не считаются различными сочетаниями, если они отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:

Пример №7

Каким числом способов можно составить расписание занятий из 3-х пар на один день, если изучается 10 предметов, которые могут повторяться в расписании. Расписания считаются различными, если отличаются друг от друга, хотя бы одним предметом (т.е. порядок предметов в расписании роли не играет)?

Решение.

Замечания.
 

1. Сформулируем правило произведения для соединений множеств: пусть элемент  может быть выбран способами. При каждом выбранном , элемент  может быть выбран способами. Далее, при каждом выборе уже пары , элемент может быть выбран  способами и т. д. Наконец, при каждом выборе  , элемент может быть выбран способами. Тогда число различных строк равно произведению

 

Например. Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, все цифры которого различны?

2. При большом n пользуются приближенной формулой Стирлинга

Алгебра событий. Различные определения вероятности событий

Понятие события является первичным, как, например, в геометрии, понятие точки или прямой, а в математическом анализе - понятие множества.

Случайные события

Под случайным событием понимается все то, о чем имеет смысл говорить, что оно либо происходит, либо не происходит при выполнении определенной системы условий, то есть, всякий факт (явление), который в результате опыта может произойти или не произойти. Опытом (или - испытанием) называется выполнение некоторого комплекса условий. Случайное событие, состоящее только из одного исходы, называется элементарным событием. Элементарное событие, в свою очередь, являющееся результатом опыта, называется также исходом опыта.

Рассмотрим несколько примеров.

1. При измерении некоторой величины, результат измерения окажется равным некоторому заданному числу. Это событие.
2. В ящике находятся шары, различающиеся лишь цветом: белые, красные, синие. Из ящика наудачу извлекают один шар. Появление при этом шара, например, белого цвета - событие.
3. Попадание и промах при выстреле является событием.

Событие называется достоверным (обозначается U ), если оно обязательно происходит в результате данного испытания, т. е. при выполнении определенной совокупности условий S . Например, при бросании игральной кости (всем известного кубика с указанием числа очков на его шести гранях) событие «выпадение на верхней грани по крайней мере одного из шести очков» есть достоверное событие.

Событие называется невозможным (обозначается V ), если оно не может произойти в результате данного опыта. В предыдущем примере событие «выпадение на верхней грани игральной кости дробного числа очков» -
невозможное событие.

События мы будем обозначать заглавными печатными буквами латинского алфавита: A,B,C,...

Пространством элементарных событий будем называть всё множество исходов , взаимно исключающих друг друга в данном испытании (естественно, при выполнении определенной системы условий S ), дополненное V и U, как подмножеством самого себя. Заметим, что может быть как конечным, так и бесконечным множеством.

После этого определения, нетрудно сделать вывод, что случайным событием
называется любое подмножество пространства элементарных исходом . Ясно почему. Потому что, случайное событие, по определению, - это то событие, которое в результате данного опыта может произойти или не произойти. Ему благоприятствуют только некоторые исходы данного опыта. Значит, случайное событие и определяется как подмножество множества всех исходов опыта.

В рассмотренных примерах события являются случайными, их, как уже отмечалось, обозначают заглавными печатными буквами латинского алфавита: A,B,C,... Далее, если рассматривать случай бросания игральной кости, то при одном бросании элементарных исходов всего шесть. Обозначим их через
. Пространством элементарных исходов в этом случае является множество

Тогда, например, событие A - выпадение грани с четным числом очков можно записать в виде:  событие B выпадение грани с нечетным числом очков:

Геометрически событие будем обозначать (согласно Венну) множеством точек плоскости (см. рис.). Любое случайное событие есть подмножество множества

 

Отношения между событиями

1. Если при появлении события A событие B обязательно происходит, то говорят, что событие A влечет событие B . Обозначение
(Здесь и в дальнейшем будем пользоваться известными символами теории множеств). Например, A- выпадение на верхней грани игральной кости числа очков, кратного 3, а B - выпадение числа очков, кратного 2. Тогда, случай - выпадение на верхней грани числа очков равного 6, влечет событие A и событие B .

2. Говорят, что события A и B эквивалентны (равноправны) и пишут
 

3. События A и B называются несовместными в данном испытании,если появление одного из них автоматически исключает появление другого.
 

В противном случае события A и B называются совместными. Другими словами, в результате испытания возможно их совместное осуществление, т. е. соответствующие множества A и B имеют общие элементы.

Например, при единичном бросании игральной кости событие A - выпадение грани с четным числом очков и событие B - выпадение грани с нечетным числом очков - н е с о в м е с т н ы, а событие C - выпадение числа очков, кратного 3 и D - выпадение числа очков, кратного 2 - с о в м е с т н ы, так как в пространстве элементарных исходов есть случай и 
 

4. Противоположным событием для события A называется дополнение множества , т.е.наступает при условии, что A не происходит ( A состоит из элементов , не вошедших в A). Другими словами, состоит в непоявлении A. Так

очевидно, что событие B – выпадение грани с нечетным числом очков, является противоположным событием для события A – выпадение грани с четным числом очков, то есть
 

Операции над событиями

1. Суммой (или объединением) двух событий A и B называется событие  и состоящее в том, что появляется (происходит) хотя бы одно из указанных событий A или B . Другими словами - появляется или A, или B , или A и B одновременно. Сумма совместных событий A и B показана на рис.1, а сумма несовместных событий - на рис.2.

Сумма (объединение) событий обозначается  Замечу, что- т. е. достоверное событие.
 

2. Произведением (или пересечением) нескольких событий  называется событие, представляющее собой совместное появление этих событий. Обозначается ( или )

Например, если рассматривать два события A и B , то их произведение обозначает появление и события A, и события B одновременно (см. Рис.3) Очевидно, если A и B несовместны, то  невозможное событие (или . Кроме того, если вы вспомните свойства операций над множествами, то очевидно, что выполняется принцип двойственности:
 

3. Разность событий A и B называется событие, обозначаемое A\B и состоящее в том, что A происходит, а B при этом не происходит. Очевидно, что противоположное для A событие  Введем теперь одно из важных понятий - понятие полной системы (или
полной группы) событий.
 

Определение: Система (или - группа) событий называется полной, если она является несовместной (а именно - попарно несовместной), то есть

и сумма (объединение) этих событий составляет достоверное событие:

т.е. в результате некоторого опыта хотя бы одно из них обязательно происходит.

Например, при бросании игральной кости события A - выпадение на верхней грани четного числа очков -выпадение на верхней грани нечетного числа очков составляет полную группу событий, так как – невозможное событие достоверное событие При одном бросании монеты, события A – появление герба и B – появление цифры, также составляют полную систему событий. В опыте с единичным бросанием игральной кости события A - выпадение на верхней грани числа очков кратного «3»  - выпадение на верхней грани числа очков кратного «2» не составляют полную группу событий так как например Если теперь к событиям A и B добавить событие то система событий A,
B и C будет такой, что их объединение (сумма) является достоверным событием:  Однако эта система событий по-прежнему не будет полной, так как то есть события не являются попарно несовместными.
 

Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматическая теория вероятностей в её современном виде была создана А. Н. Колмогоровым ещё в 1933г. Определение: Вероятностью события A называется числовая функция  удовлетворяющая следующим трем условиям (аксиомам вероятностей):

3). Для любой конечной или бесконечной последовательности событий , таких, что имеет место равенство 

(заметим, что последняя аксиома называется аксиомой сложения). Другими словами, вероятностью события A называется числовая мера степени объективной возможности наступления этого события.

Введенные аксиомы определяют понятие «вероятность события» и
устанавливают основные свойства вероятности. Однако это определение слишком общее и не позволяет производить вычисления. Очевидно, что

Относительная частота. Статистическое определение вероятности. Пусть опыт S повторяется n раз, при этом m раз произошло событие A, т.е. проведена серия из n испытаний.

Определение: Относительной частотой (частостью) события A называется  то есть, отношение числа m появления данного события к общему числу n проведенных испытаний при одном и том же комплексе условий S .
 

Пример №8

Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали
из 100 случайно отобранных. Тогда
Заметим, что до проведения серии опытов частота является числом случайным, которое нельзя точно определить ни для какого конечного числа испытаний n. Однако, закономерности, присущие случайным явлениям, таковы, что на практике по мере увеличения числа повторных серий испытаний различной длины n наблюдается тенденция относительной частоты становиться все менее случайной и стабилизироваться около некоторого постоянного (и неслучайного) значения события A в данном эксперименте S . Это свойство относительной частоты называется свойством устойчивости.

Определение: Статистической вероятностью события называется число, около которого устойчиво колеблется частота при повторении серий испытаний.
 

Пример №9

Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления герба. Результаты нескольких опытов приведены в таблице

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причём тем меньше, чем больше число испытаний. Например, при 4040 испытаниях отклонение равно 0,0069, а при 24 000 испытаний – лишь 0,0005. Приняв во внимание, что вероятность появления герба при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеждаемся, что относительная частота колеблется около вероятности. Статистический способ определения вероятности обладает тем преимуществом, что он опирается на эксперимент. Недостатком же этого определения является необходимость в большом числе опытов для получения достоверных данных.
 

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности случайного события вводится, когда пространство элементарных событий конечно и представляет собой полную систему (группу) событий.

Говорят, что случай благоприятен событию A (или благоприятствует появлению события A), если его появление влечет обязательное появление события  и не благоприятен событию A (или - не благоприятствует появлению события A), если его появление исключает появление события A.
 

Определение: Вероятностью (классической) события A называется число p , равное отношению числа m исходов, благоприятствующих появлению события A, к общему числу n (единственно возможных и равновозможных) элементарных исходов, образующих полную систему событий:

Из этого определения следует, что элементарные случаи , являются равновероятными событиями, т.е.  Таким образом, классическая схема может служить моделью тех случайных явлений, для которых представляется естественным предположение «равновозможности» различных исходов, что часто следует из определенной симметрии и выполняется в области азартных игр, лотерей, при выборочном контроле, выборочных статистических исследованиях и т.п. Ограниченностью или недостатками классического определения
вероятности является то, что:

1. - конечно. Всегда возникает стремление и желание обобщить это понятие;
2. невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий;
3. трудно указать основания, считать элементарные события равновозможными (равновероятными).

Наряду с недостатками есть и положительные стороны этого определения.
В частности то, что с помощью классического определения вероятность события можно вычислить, что очень важно, до начала проведения опыта.

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай непрерывных множеств с бесконечным числом элементарных исходов. Пусть - некоторая область, имеющая меру, подобласти области
. Условия опыта таковы, что вероятность попадания в ту или иную область  не зависит от расположения подобласти в и пропорциональна мере подобласти, то есть Так какЗначит  - это и есть геометрическое определение вероятности.
 

Пример №10

Два партнера договорились о встрече между 12 и 13 часами дня с условием ожидать друг друга не более 20 минут. Найти вероятность их встречи.

Решение. Пусть x - время прихода первого партнера; y - время прихода второго партнера. Тогда, очевидно,, следовательно,
множество всех элементарных исходов - квадрат (см. рис.) Имеем: а так как каждый партнер ждет не более 20 минут, то область A встречи такая, что Последнее условие является необходимым и достаточным условием того, что встреча состоится. Найдем и квадр.  Таким образом, искомая вероятность  - это означает, что если многократно договариваться о встрече на указанных условиях, то несколько чаще, чем в половине случаев, встреча будет происходить.

Пример №11

Монета подбрасывается два раза.

а) Опишите полную группу возможных элементарных событий.

б) Если событие А – выпало не менее одного  "орла", В – выпало не менее одной  "решки", укажите, что собой представляют события:

 

Решение.

В данной задаче испытанием является подбрасывание монеты дважды.

а) Обозначим события:  

 − при первом подбрасывании выпал "орёл", при втором − "решка",  

 − при первом подбрасывании выпала "решка", при втором − "орёл",  

 – оба раза выпал "орёл",  

 – оба раза выпала "решка".
Тогда перечисленные события   образуют полную группу, так как при двух подбрасываниях монеты обязательно произойдёт одно из них. Значит, справедливо равенство:
 
Кроме того, никакие два из указанных событий не могут наступить одновременно. Следовательно, имеет место равенство:

Таким образом, указанные события попарно несовместны. Причём наступление любого из событий   не имеет преимущества перед остальными, а значит, эти события являются равновозможными.
Таким образом, события   образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий. Следовательно, они являются в данном испытании полной группой элементарных событий.

б) Так как  − не выпало ни одного "орла", то  – оба раза выпала "решка". Аналогично,  − не выпало ни одной "решки", следовательно,  − оба раза выпал "орёл". А так как А означает, что выпадает не менее одного раза "орёл", то  Аналогично заключаем:

 Следовательно, по определению суммы и произведения событий получаем:

Ответ: а)   б)
.
 

Пример №12

В ящике находится 10 шаров: 3 белых и 7 чёрных. Из ящика наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что этот шар:

а) белый,

б) чёрный?
 

Решение.

В данной задаче полную группу элементарных событий составляют 10 событий, так как выбор любого одного шара можно осуществить 10 способами. Из этих событий только 3 благоприятствуют выбору белого шара и 7 – выбору чёрного. Поэтому, если А – выбор белого шара, то   если В – выбор чёрного шара, то
Ответ: а) 0,3 ; б) 0,7.

Пример №13

Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад выбираются одна за другой три карточка и располагаются в ряд (в порядке появления) слева направо. Какова вероятность, что получится слово "ДВА"?
 

Решение.

Выбор трёх карточек из имеющихся пяти можно осуществить  способами, так как порядок карточек имеет значение в данной задаче. Вычисляем:  
Значит, число всех возможных элементарных событий  n = 60. Из этих событий только одно благоприятствует событию – получению слова "ДВА", следовательно, m = 1. Итак,
Ответ:

Пример №14

В ящике 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Из ящика наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что

а) оба шара белые?

б) оба шара чёрные?

в) один шар белый, другой чёрный?
 

Решение.

Число выбора двух шаров из десяти имеющихся определяется  числом всевозможных сочетаний из 10 по
Значит, полную группу элементарных событий рассматриваемого испытания (выбор двух шаров из десяти, находящихся в ящике) составляют 45 событий. Следовательно, n = 45.

а) Если из элементарных событий рассматривать только те, которые состоят в выборе двух белых шаров, то находим  
Следовательно, вероятность того, что оба шара будут белыми, вычисляется по формуле:

б) Если рассматривать событие – выбор двух чёрных шаров, то число благоприятствующих ему элементарных событий равно:

Значит, вероятность выбора двух чёрных шаров вычисляется по формуле:
 
в) Если рассматривать событие – выбор одного белого и одного чёрного шаров, то для него число благоприятствующих элементарных событий равно:

Значит, вероятность выбора одного белого и одного чёрного шаров вычисляется по формуле:
.
Ответ:

Пример №15

Стрелок стреляет по мишени, разделённой на четыре области. Вероятность попадания в первую область 0,4, во вторую – 0,3.
Найдите вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадёт либо в первую область, либо во вторую.
 

Решение.

Обозначим события:

А – стрелок попадает в первую область, В – стрелок попадает во вторую область. Эти события несовместны, так как они не могут наступить одновременно (попадание пули в одну область мишени исключает её попадание в другую область). Поэтому воспользуемся теоремой 1 (вероятность суммы несовместных событий), откуда находим:

Ответ: 0,7.

Пример №16

Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру (валет, дама, король, туз) любой масти или карту трефовой масти?
 

Решение.

Обозначим события: А – извлечение из колоды карты – фигуры, В – извлечение из колоды карты трефовой масти.
Необходимо найти вероятность суммы этих событий. События А и В совместны, так как они могут наступить одновременно, если будет извлечена карта – фигура трефовой масти. Поэтому для подсчёта вероятности суммы этих событий используем теорему 2 (вероятность суммы совместных событий):

В рассматриваемой задаче , так как всего элементарных исходов 52, что равно числу карт в колоде, из них 16 благоприятствуют событию А, что равно числу карт – фигур в колоде. Аналогично вычисляем: (в колоде 13 карт трефовой масти).
(в колоде 4 карты – фигуры трефовой масти).
Итак, находим: 
Ответ: .

Пример №17

Два орудия стреляют по одной цели. Вероятность попадания для первого орудия равна 0,6, для второго вероятность попадания равна 0,5. Какова вероятность того, что в цель попадут оба орудия?
 

Решение.

Обозначим события:

А – попадание в цель первого орудия, В – попадание в цель второго орудия.
Отметим, что А и В – события независимые, то есть наступление одного из них не влияет на наступление или ненаступление другого.
Поэтому воспользуемся теоремой 3 (вероятность произведения независимых событий):

Ответ: 0,3.

Пример №18

Для Московской области среднее число дождливых дней в августе равно 15. Какова вероятность, что первые два дня августа не будут дождливыми?
 

Решение.

Обозначим события: А – 1 августа не будет дождя, В – 2 августа не будет дождя.
Необходимо рассмотреть событие А · В – 1 и 2 августа не будет дождя.
В данной задаче , так как в августе 31 день, а не дождливых дней из них 31 − 15 = 16.
При вычислении Р(В) результат зависит от того, будет ли дождь 1-го августа. Следовательно, необходимо найти условную вероятность  – вероятность того, что 2-го августа не будет дождя в предположении, что 1 августа –день без дождя. Тогда получаем:

Так как в августе осталось 30 дней, начиная со 2 августа, из них не дождливых дней осталось 15 (ведь один не дождливый день пришёлся по предположению на 1 августа). Итак, по теореме 4 (вероятность произведения зависимых событий) получаем:

Ответ: 
 

Пример №19

В ящике 10 деталей, среди которых 6 стандартных.
Какова вероятность того, что среди трёх наугад взятых деталей окажется хотя бы одна стандартная?
 

Решение.

События "среди  взятых деталей окажется хотя бы одна стандартная" и "среди  взятых деталей нет ни одной стандартной" – противоположные события, так как наступление одного из этих событий исключает наступление другого.
Обозначим:

А – среди трёх взятых деталей есть хотя бы одна стандартная, – среди трёх взятых деталей нет ни одной стандартной.
По следствию 2 из теоремы 1 известно, что Р(А) = 1 –  Найдём  Общее число элементарных событий в этой задаче – это число способов выбора трёх деталей из десяти, находящихся в ящике:

Число нестандартных деталей равно 10 – 6 = 4. Число элементарных исходов, благоприятствующих событию
Тогда
.
Следовательно,
Ответ: 

Что такое алгебра событий

Ранее мы познакомились со способами непосредственного вычисления вероятностей простых событий. Однако на практике чаще приходится иметь дело со сложными событиями, которые являются комбинацией простых событий. Для нахождения вероятностей таких событий применяются теоремы сложения и умножения вероятностей. Перед тем, как сформулировать эти теоремы введем понятия суммы событий и произведения событий.

Действия над событиями

Определение: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если А и В – совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В – несовместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А, или события В.

Определение: Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Если А, В, С – совместные события, то их произведение АВС означает одновременное наступление и события А, и события В, и события С.

Пример №20

Экзаменационный билет содержит три вопроса. Рассматриваются следующие события: А – студент, пришедший сдавать экзамен, ответил на первый вопрос, В – на второй вопрос, С – на третий вопрос. Что представляют события: а) А + В; б) АВС, в) А + ВС?

Решение:

а) Событие А + В состоит в том, что студент ответит либо на первый вопрос, либо на второй вопрос, либо на оба вопроса; б) Событие АВС состоит в том, что студент ответит на все три вопроса билета; в) Событие А + ВС состоит в том, что студент ответит либо на первый вопрос, либо на второй и третий вопросы, либо на все вопросы билета. ◄

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Пример №21

В урне 10 шаров: 2 красных, 3 зеленых и 5 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение:

Появление цветного шара означает появление либо красного (событие А), либо зеленого шара (событие В). Вероятность появления красного шара , вероятность появления зеленого шара

События А и В несовместны, т.к. появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета. Следовательно, теорема сложения применима. Искомая вероятность Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей несовместных событий.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено ввиду его большой важности для практического применения. При решении задач часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А , чем прямого события В этом случае следствие 2 используется в виде

Пример №22

Бросаются три игральных кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 18?

Решение:

В результате бросания трех игральных костей могут появиться 16 различных сумм очков от 3 до 18, которые образуют полную группу событий. Для решения задачи следует вычислить вероятность появления 15-ти сумм очков от 3 до 17, а затем сложить их. Это довольно трудоемкая операция.

Поступим по-другому. Событие «сумма выпавших очков меньше 18» и событие «сумма выпавших очков равна 18» являются противоположными. Обозначим их .Очевидно, что проще найти вероятность противоположного события. При бросании трех игральных костей общее число исходов n = 6·6·6 = 216. 18 очков могут выпасть только в одном случае, когда на всех костях выпадет по 6 очков, т.е. число благоприятных исходов m = 1. Таким образом, вероятность противоположного события

Зная вероятность противоположного события, находим вероятность интересующего нас события: Прежде чем сформулировать теорему умножения вероятностей, введем понятие зависимых и независимых событий.

Зависимые и независимые события

Определение: Два события называют независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произойдет другое событие или нет.

Например, опыт состоит в бросании двух монет. Пусть А и В – события, состоящие в том, что герб появится соответственно на первой и второй монете. В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Следовательно, событие А независимо от события В.

Определение: Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Например, опыт состоит в бросании трех монет. Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что герб появится соответственно на первой, второй и третьей монете. В данном случае каждые два из рассматриваемых событий (т.е. А и В, А и С, В и С) – независимы. Следовательно, события А, В и С – попарно независимые. ◄

Определение: Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них меняется в зависимости от того, произойдет другое событие или нет.

Например, в урне 3 белых и 2 черных шара. Наудачу берут один шар, не возвращая его в урну. Если появился белый шар (событие А), то вероятность появления белого шара во втором испытании (событие В) Если же в первом испытании появился черный шар (т.е. событие А не произошло), то вероятность Т.е. вероятность события В зависит от того, произошло событие А или нет. Следовательно, события А и В – зависимые. Отметим, что зависимость и независимость событий всегда взаимны, т.е. если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Сформулируем теорему умножения вероятностей независимых событий.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Определение: Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий (содержащих либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

Например, если события независимые в совокупности, то независимыми являются события:

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то из этого еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Теперь мы можем сформулировать следствие из теоремы умножения вероятностей, обобщающее теорему умножения на несколько событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Пример №23

Имеется три урны, содержащих по 10 шаров. В первой урне 5 шаров красного цвета, во второй – 4, в третьей – 6. Из каждой урны наудачу вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что все три шара окажутся красного цвета.

Решение:

Вероятность того, что из первой урны вынут шар красного цвета (событие А) Вероятность того, что из второй урны вынут шар красного цвета (событие В) Вероятность того, что из третьей урны вынут шар красного цвета (событие С) Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Пример №24

Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8 и третьего – 0,9. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень.

Решение:

Рассмотрим следующие события: А – хотя бы один стрелок попадет в мишень – первый стрелок попадет в мишень, – второй стрелок, – третий стрелок. Вероятность попадания в мишень каждым из стрелков не зависит от результатов стрельбы других стрелков, поэтому события независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям (т.е. вероятности промахов), соответственно равны: Искомая вероятность

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий где q = 1 – p.

Условная вероятность

Пусть события А и В зависимые. Из определения зависимых событий следует, что вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого события. Поэтому, если нас интересует вероятность события В, то важно знать, наступило событие А или нет.

Определение: Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Например, в урне находится пять шаров. Два из них белого цвета, остальные три – черного. Наудачу один за другим берут два шара, не возвращая их обратно в урну. Рассмотрим событие А – «первый вынутый шар оказался белого цвета» и событие В – «второй вынутый шар оказался белого цвета». Найдем условную вероятность события В, при условии, что событие А уже наступило. Если в первый раз был вынут шар белого цвета, то в урне осталось четыре шара, из которых один белого цвета. Следовательно,

Если же вынутый шар возвращается назад в урну, то условия второго испытания остаются неизменными после проведения первого испытания. Тогда т.е. в этом случае вероятность события В и его условная вероятность совпадают.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Пусть события А и В зависимые, причем вероятности Р(А) и Р(В|А) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Пример №25

В урне находится пять шаров. Один из них красного цвета, два – зеленого и два – синего. Наудачу один за другим извлекают три шара, не возвращая их обратно в урну. Найти вероятность того, что последовательно будут извлечены красный, зеленый и синий шар.

Решение:

Рассмотрим события: A – первым извлечен шар красного цвета, B – вторым извлечен шар зеленого цвета, C – третьим извлечен шар синего цвета. Вероятность события А: Р(А) = 1/5. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило: Р(В|А) = 2/4. Условная вероятность события С при условии, что события А и В уже наступили: Р(С|АВ) = 2/3. Вероятность совместного появления трех зависимых событий А, В и С:

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Ранее мы сформулировали теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Пусть события А и В совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Пример №26

Два спортсмена-стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение:

Мишень будет поражена в том случае, если в нее попадет либо первый стрелок, либо второй, либо оба вместе, т.е. произойдет событие А + В (событие А – первый стрелок попадет в мишень, событие В – второй стрелок попадет в мишень). Тогда

Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событийкоторые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности …, события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Эту формулу называют «формулой полной вероятности», а события … , – гипотезами.

Пример №27

На трех станках различной марки изготавливается определенная деталь. Производительность 1-го станка составляет 40 деталей в смену, 2-го – 35 деталей, 3-го – 25 деталей. Установлено, что 2, 3 и 5% продукции этих станков, соответственно, имеют отклонение от стандарта. В конце смены на контроль взята одна деталь. Какова вероятность того, что она окажется нестандартной?

Решение:

Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь окажется нестандартной. Здесь возможны следующие три гипотезы:

• деталь изготовлена на 1-м станке (гипотеза Н1);
• деталь изготовлена на 2-м станке (гипотеза Н2);
• деталь изготовлена на 3-м станке (гипотеза Н3).

Вероятности этих гипотез: Условные вероятности события А при этих гипотезах: Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность события А определяется по формуле полной вероятности. Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие А уже наступило? Ответ на этот вопрос дает формула Байеса: Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример №28

Взятая на контроль деталь оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом станке?

Решение:

По условию необходимо переоценить вероятность гипотезы т.е. найти ее условную вероятность Ранее было получено: . По формуле Байеса получаем: