Алгебра — одна из древнейших, интереснейших и важнейших наук. Она изучается в каждом классе общеобразовательной школы, в средних специальных и высших учебных заведениях, поскольку математические знания необходимы каждому. Эта страница по алгебре поможет вам овладеть алгеброй, поможет научиться решать задания и выполнять задачи по алгебре. Я постаралась кратко и доступно изложить все темы по предмету алгебра, данный курс лекций по алгебре поможет вам самостоятельно изучить все темы. Желаю Вам успехов!

Содержание:

Целые выражения

Решение многих задач по математике, физике, химии связано с необходимостью проводить определенные преобразования выражений.

В данной главе мы узнаем, что такое выражение, целое выражение, тождественное преобразование выражения; изучим основные формулы, на основании которых можно осуществлять преобразование выражений.

Выражения с переменными

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Длина прямоугольного участка равна 42 м, а ширина — на

Ширина участка равна 

Ответ. м².

Выражение  содержит букву , и такое выражение мы называли буквенным выражением.

Букве  можно придавать разные значения,  может равняться 0,8; 5; 7,2; 10 и т. д., то есть значение  можно менять. Поэтому  называют переменной, а выражение  — выражением с переменной. 

Задача 2. Длина прямоугольного участка равна  м, а ширина — на  м меньше длины. Записать в виде выражения площадь участка.

Ширина участка равна  м, а площадь —  м².

Ответ. м².

Буквы  и  также могут приобретать разные значения, поэтому  и  — переменные, а выражение  — выражение с двумя переменными.

Выражение с переменными образуют из переменных, чисел, знаков действий и скобок. Выражением с переменной считают и отдельно взятую переменную.

Если в выражение  вместо переменной подставить определенное число, например, число 12, то получим числовое выражение  значение которого равно: . Полученное число 1260 называют значением выражения для значения переменной . 

Значение выражения  для ,  равно: 

. 

Рассмотрим выражение с переменной:  . Значение этого выражения можно найти для любого значения , кроме . Если , то делитель (знаменатель)  равен нулю, а на ноль делить нельзя. Говорят, что для  выражение  имеет смысл, а для  не имеет смысла.

Целые выражения

Сравним выражения

с выражениями

.

Выражения первой группы не содержат действия деления на выражение с переменными. Такие выражения называют целыми.

Выражения второй группы содержат действие деления на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными.

Формулы: выражения с переменными используют для записи формул.

Например:

•  — формула для вычисления площади прямоугольника;
•  — формула для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда.

Формулой  (где  — целое число) задают четные числа, а формулой  — нечетные.

Формулами можно задать целые числа, которые при делении на заданное натуральное число дают тот же остаток.

Рассмотрим сначала пример деления двух натуральных чисел. Поделим 48 на 5 с остатком:

Получили: 9 — неполное частное, 3 — остаток.

Поделив 48 на 5, мы нашли два числа — 9 и 3 (неполное частное и остаток), используя которые, число 48 можно записать в виде

.

Деление любого целого числа на натуральное с остатком сводится к нахождению подобного равенства.

Разделить целое число  на натуральное число  с остатком значит найти такие целые числа  и , чтобы выполнялось равенство

.

В этих условиях число  называют неполным частным, а  — остатком от деления  на .

Остатков от деления целых чисел на натуральное число  может быть :

.

Найдем для примера остаток от деления числа –17 на число 3. Для этого запишем число –17 в виде , где  и  — целые числа, к тому же . Чтобы число  лежало в пределах от 0 до 2, нужно взять . Тогда легко найти, что . Имеем верное равенство . Следовательно, число –17 при делении на 3 дает в остатке 1.

Целые числа при делении на 3 могут давать остатка 0, 1 или 2. В соответствии с этим их можно разделить на 3 группы.

Целые числа	Остаток при делении на 3	Вид чисел
...—9; –6; –3; 0; 3; 6; 9;...	0
...—–8; –5; —2; 1; 4; 7; 10;...	1
... –7; –4; –1; 2; 5; 8; 11;...	2

Итак, формулами ,  и , где  — произвольное целое число, задают все целые числа, которые при делении на 3 дают в остатке соответственно 0, 1, 2. Про числа еще говорят, что они делятся (нацело) на 3. Так, –9 делится на 3.

Пример №1

Записать в виде выражения:

а) произведение числа  и суммы чисел  и ;

б) частное разности чисел  и  и числа 7;

в) разность числа  и произведения чисел  и .

а) ; б) ; в) .

Замечание. Читая словами числовые выражения или выражения с переменными, первым называют последнее по порядку выполнения действие, потом предпоследнее и т. д.

Пример №2

Найти значение выражения , если . 

Если , то

.

Ответ. –80.

Пример №3

Найти значение выражения , если .

Если , то

.

Ответ. .

Пример №4

Записать в виде выражения число, которое имеет 9 сотен,  десятков,  единиц.

.

Тождественно равные выражения

Найдем значения выражений и , если , :

.

Значения выражений для данных значений переменных равны друг другу
(говорят: если , , то соответствующие значения выражений равны друг другу). Из распределительного свойства умножения относительно вычитания следует, что и для любых других значений переменных соответствующие значения выражений и  тоже равны друг другу. Такие выражения называют тождественно равными.

Определение. Два выражения называют тождественно равными, если для любых значений переменных соответствующие значения этих выражений равны друг другу.

Рассмотрим теперь выражения  и . Если  и , то соответствующие значения этих выражений равны друг другу:

.

Если же , , то соответствующие значения этих выражений разные:

.

Итак, значения выражений  и  для одних значений переменных равны друг другу, а для других — нет. Такие выражения не тождественно равны.

Тождества

Если два тождественно равные выражения и  соединить знаком «=», то получим равенство , которое является верным для любых значений переменных. Такое равенство называют тождеством.

Определение. Равенство, которое является верным для всех значений переменных, называют тождеством.

Примерами тождеств являются равенства, выражающие основные свойства
сложения и умножения чисел:

переместительное свойство: ; ;

сочетательное свойство: ; ;

распределительное свойство: .

Тождествами являются также равенства, выражающие правила раскрытия скобок:

.

Тождественными являются и такие равенства:

Тождественные преобразования выражений

В выражении приведем подобные слагаемые и :

.

Выражение  заменили тождественно равным ему выражением .

Замену одного выражения тождественно равным ему выражением называют
тождественным преобразованием выражения.

В математике часто приходится упрощать выражение, то есть заменять
его тождественно равным выражением, которое имеет более короткую запись или, как говорят, является «более компактным». Рассмотрим примеры.

Пример №5

Упростить выражение .

.

Пример №6

Упростить выражение .

.

Упрощение выражений используют при решении уравнений. Рассмотрим пример.

Пример №7

Решить уравнение .

Упростим выражение в левой части уравнения: .

Перенесем слагаемое —6 в правую часть уравнения. Тогда: 

.

Ответ. 2.

Доказательство тождеств

Тождественные преобразования используют и для доказательства тождеств.

Чтобы доказать тождество, можно использовать один из следующих способов:

1. левую часть тождества путем тождественных преобразований привести к правой части;
2. правую часть привести к левой части;
3. обе части привести к одному и тому же выражению;
4. образовать разность левой и правой частей и доказать, что она равна нулю.

Рассмотрим примеры.

Пример №8

Доказать тождество .

Преобразуем левую часть равенства: 

.

Путем тождественных преобразований левую часть равенства привели к правой части. Поэтому это равенство является тождеством.

Пример №9

Доказать тождество .

Преобразуем правую часть равенства: 

.

Путем тождественных преобразований правую часть равенства привели к левой части. Поэтому это равенство является тождеством.

Пример №10

Доказать тождество .

Преобразуем отдельно левую и правую части равенства:

Путем тождественных преобразований левую и правую части равенства свели к одному и тому же выражению . Поэтому это равенство является тождеством.

Пример №11

Доказать тождество .

Образуем разность левой и правой частей и упростим ее:

Разность левой и правой частей равенства равна нулю, поэтому данное равенство является тождеством.

Одночлены

Одночлен (или моном) — простое математическое выражение, прежде всего рассматриваемое и используемое в элементарной алгебре, а именно, произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, взятых каждая в неотрицательной целой степени.

Степень с натуральным показателем

Напомним, что произведение двух или трех одинаковых множителей, каждый из которых равен , — это соответственно квадрат или куб числа . Например:

; 5² — квадрат числа 5;

; 5³ — куб числа 5.

Квадрат числа 5 называют еще второй степенью этого числа, а куб —
третьей степенью.

Соответственно произведение  обозначают  и называют четвертой
степенью числа 5. Читают: «пять в четвертой степени». В выражении число 5
называют основанием степени, число 4 — показателем степени, а все выражение  называют степенью.

Определение. Степенью числа  с натуральным показателем , большим 1, называется произведение множителей, каждый из которых равен . Степенью числа с показателем 1 называют само число .

Степень с основанием  и показателем  записывают так: , читают: " в степени », или "-я степень числа ".

Итак, по определению

Выясним знак степени с натуральным показателем.

1. , тогда  — любая натуральная степень числа 0 равна 0.
2. , тогда — любая натуральная степень положительного числа есть число положительное.
3. , тогда  . Степень отрицательного числа с четным показателем является числом положительным, поскольку произведение четного числа отрицательных чисел положительное. Степень отрицательного числа с нечетным показателем является числом отрицательным, поскольку произведение нечетного числа отрицательных чисел отрицательное.

Возводить числа в степень с натуральным показателем можно с помощью калькулятора. Вычислить, например, значение можно по схеме:

или по более удобной схеме:

Получим значение степени: 1838,265625.

Возведение в степень — действие третьей ступени. Напомним: если выражение
без скобок содержит действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высшей ступени, затем — более низших. Так, чтобы найти значение выражения , действия нужно выполнять в такой последовательности: 1) возведение в степень; 2) умножение; 3) вычитание.

Примеры решения упражнений

Упражнение 1. Вычислить: .

Выполняя вычисления, можно:
а) записывать каждое действие отдельно: 
б) записывать вычисления в строку:

.

Ответ. –496.

Свойства степени с натуральным показателем

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим произведения двух степеней с основанием . Учитывая, что ,
получим:

.

Итак, . В этих примерах произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен сумме показателей степеней. Такое свойство имеет произведение любых степеней с одинаковыми основаниями.

Свойство 1. Для любого числа  и любых натуральных чисел  и  выполняется равенство

.

Доказательство. Учитывая определение степени, получим:

.

Из свойства 1, которое еще называют основным свойством степени, вытекает правило умножения степеней:
Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание
оставить тем же, а показатели степеней сложить.

Например:

.

Правило умножения степеней распространяется на произведение трех и более степеней. Например:

.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим равенство , где . Из этого равенства по определению частного имеем: . Равенство  можно переписать так:

.

В этом примере частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен разности показателя степени делимого и показателя степени делителя. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 2. Для любого числа  и любых натуральных чисел  и , где , выполняется равенство

.

Доказательство. Поскольку , то есть , то по определению частного имеем: .

Из доказанного свойства вытекает правило деления степеней.
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а от показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Например: .

Возведение степени в степень

Возведем степень  в куб:

.

Следовательно, . Из примера видно: чтобы возвести квадрат числа в
куб, нужно оставить то же самое основание и взять показатель, равный произведению показателей. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 3. Для любого числа  и любых натуральных чисел  и  выполняется равенство

.

Доказательство.

.

Из свойства 3 вытекает правило возведения степени в степень.
Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить.

Например: . 

Возведение произведения в степень

Возведем произведение  в куб:

.

Следовательно, . Из примера видно: чтобы возвести в куб произведение, нужно возвести в куб каждый множитель и результаты перемножить. Сформулируем и докажем соответствующее свойство в общем случае.

Свойство 4. Для любых чисел и и любого натурального числа  выполняется равенство

.

Доказательство. 

.

Получаем следующее правило.
Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Это правило распространяется на произведение трех и более множителей. Например: 

.

Замечание. Доказанные тождества  , выражающие свойства степени, позволяют не только заменять выражения, стоящие в их левых частях, выражениями, стоящими в правых частях, но и наоборот:

.

Пример №12

Упростить выражение ..

Пример №13

Вычислить:

Пример №14

Представить  в виде степени с основанием ..

Пример №15

Представить в виде степени произведение .

.

Одночлен и его стандартный вид

Рассмотрим две группы выражений:

Какова особенность выражений первой группы? Чем они отличаются от выражений второй группы?

Выражения первой группы — это переменные, числа, их степени и произведения. Такие выражения называют одночленами.

Определение. Одночленом называют произведение чисел, переменных и их степеней.

Выражения второй группы не являются одночленами, так как содержат действия сложения или вычитания.

Рассмотрим одночлен . Он содержит только один числовой множитель, который стоит на первом месте, и степени различных переменных. Такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Определение. Одночленом стандартного вида называют такой одночлен, который содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени различных переменных.

Числовой множитель одночлена стандартного вида называют коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена  равен . Считают, что коэффициенты одночленов  и  соответственно равны 1 и —1, ибо  и .

Одночлен  не является одночленом стандартного вида, так как содержит две степени с основанием . Умножив  на , этот одночлен можно записать в виде одночлена стандартного вида: .

Умножение одночленов

Перемножим одночлены  и . Используя свойства действия умножения и свойства степеней, получим: 

.

Следовательно, произведением одночленов  и  является одночлен . Вообще, произведением любых одночленов является одночлен.

Возведение одночлена в степень

Возведем одночлен  в куб.  Используя свойства степеней, получим:

.

Следовательно, кубом одночлена  есть одночлен .  Вообще, натуральной степенью любого одночлена является одночлен.

Степень одночлена

У одночлена  сумма показателей степеней всех переменных равна 2 + 1 + 3 = 6. Эту сумму называют степенью одночлена, говорят, что  — одночлен шестой степени.

Определение. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него.

Если одночленом является число, отличное от нуля, то считают, что степень такого одночлена равна нулю. Если одночленом является число 0, то степень такого одночлена не определена. 

Например: — одночлен девятой степени;  — одночлен второй степени;  — одночлен первой степени;  — одночлен нулевой степени.

Пример №16

Записать выражение в виде одночлена стандартного вида:

а) 

Сокращенная запись: 

Сокращенная запись: 

Пример №17

Представить одночлен  в виде:

а) произведения двух одночленов стандартного вида;
б) произведения двух одночленов, одним из которых является ;
в) квадрата одночлена стандартного вида.

 и т.д.);

;

.

Многочлены

Выражение  является суммой одночленов , ,  и 5. Такое выражение называют многочленом.

Определение. Многочленом называют сумму нескольких одночленов.

Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами этого многочлена.

Например, членами многочлена  являются , ,  и 5. 

Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, многочлен, состоящий из трех членов, — трехчленом и т. д. Соответственно,

 — двучлены;

 — трехчлены.

Считают, что каждый одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.

Подобные члены многочлена

Рассмотрим многочлен . Два его члена  и  являются подобными слагаемыми, ибо отличаются лишь числовыми множителями. Члены —6 и 3 не содержат переменных. Они также являются подобными слагаемыми. Подобные слагаемые многочлена называют подобными членами многочлена. 

Приведем в многочлене   его подобные члены:

.

Приведение подобных членов многочлена можно записать так:

.

Степень многочлена

Многочлен  не имеет подобных членов, и его образуют одночлены соответственно четвертой, третьей и первой степеней. Наибольшую из этих степеней называют степенью данного многочлена. Итак,  — многочлен четвертой степени.

Определение. Степенью многочлена, который не имеет подобных членов, называют наибольшую из степеней одночленов, которые образуют данный многочлен.

По этому определению  и  — многочлены первой степени;  — многочлен второй степени;  — многочлен шестой степени.

Если некоторый многочлен состоит лишь из одного одночлена, то степень многочлена равна степени этого одночлена. Например:  — многочлен четвертой степени, 2 — многочлен нулевой степени, 0 — многочлен, степень которого не определена. Последний многочлен называют еще нуль-многочленом.

Члены многочлена можно записывать в произвольной последовательности. Для многочленов, содержащих одну переменную, члены, как правило, упорядочивают по убыванию или возрастанию показателей степеней. Например:

.

Каждый многочлен является целым выражением. Однако не каждое целое выражение является многочленом. Например, целые выражения  — не многочлены, ибо они не являются суммами одночленов.

Пример №18

Привести подобные члены многочлена:

.

Сложение многочленов

Сложим многочлены  и : 

.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали сумму данных многочленов в виде многочлена. Итак, суммой многочленов   и  является многочлен .

Таким же образом складывают три и более многочленов. Сумму любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Вычитание многочленов

Вычитаем из многочлена  многочлен :

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы записали разность данных многочленов в виде многочлена. Итак, разностью многочленов  и  является многочлен .

Разность любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Пример №19

Найти сумму многочленов:

Пример №20

Найти разность многочленов  и .

Пример №21

Решить уравнение .

.

Ответ. —1,5.

Пример №22

Доказать, что сумма трех последовательных нечетных чисел делится на 3.
Пусть из трех последовательных нечетных чисел наименьшим является , где  — некоторое целое число. Тогда следующие нечетные числа —  и .
Сумма этих трех чисел

делится на 3, ибо имеет делителем число 3.

Умножение одночлена на многочлен

Умножим одночлен  на многочлен . Используя распределительное свойство умножения, получим: 

Итак, произведением одночлена   и многочлена  является многочлен . Чтобы найти произведение, мы умножили одночлен на каждый член многочлена и полученные результаты сложили.

Имеем такое правило.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

По этому правилу можно умножать и многочлен на одночлен. Например: 

Произведение любого одночлена и многочлена всегда можно записать в виде многочлена. 

Пример №23

Выполнить умножение:

Сокращенная запись: 

Сокращенная запись:  

Пример №24

Упростить выражение 

Пример №25

Решить уравнение 

Ответ. 0,5.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен  на многочлен . Приведем умножение этих многочленов к умножению многочлена на одночлен. Для этого обозначим многочлен  через . Тогда:

Вернувшись к замене , получим:

Итак, произведением многочлена  и многочлена  является многочлен :

Выражение  мы получили бы сразу, если бы умножили на и , потом на и  и полученные произведения сложили. Можно сказать и так: произведение  можно получить, если умножить каждый член многочлена  на каждый член многочлена  и полученные произведения сложить.

Имеем такое правило.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Умножим по этому правилу многочлен  на многочлен .

Выполняя умножение многочленов, промежуточные результаты можно не записывать: 

В каждом из приведенных примеров произведение двух многочленов мы записывали в виде многочлена. Вообще, произведение любых многочленов всегда можно записать в виде многочлена.

Пример №26

Выполнить умножение:

б) Найдем произведение первых двух многочленов, а затем полученное произведение умножим на третий многочлен:

 

Пример №27

Решить уравнение .

Ответ. —1,8.

Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

В шестом классе мы раскладывали на множители числа. Например, число 60 можно записать в виде произведения двух чисел 12 и 5:

Говорят, что число 60 разложено на два множителя 12 и 5.

Раскладывать на множители можно и многочлены. Например,

Записав многочлен  в виде произведения , говорят, что многочлен разложен на два множителя  и . Каждый из этих множителей является многочленом (первый многочлен состоит лишь из одного члена).

Разложить многочлен на множители означает представить его как произведение нескольких многочленов.

Сравните

	умножили одночлен на многочлен; результат — многочлен
	разложили многочлен на множители; результат — произведение одночлена и многочлена

Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители.

Выполним умножение одночлена на многочлен: 

Перепишем эти равенства в обратном порядке:

Многочлен  разложили на два множителя  и . Чтобы разложить многочлен  на множители, достаточно в его членах  и  выделить общий множитель : , а потом на основании распределительного свойства умножения записать полученное выражение в виде произведения многочленов  и .

Описанный способ разложения многочленов на множители называют способом вынесения общего множителя за скобки.

Разложим на множители многочлен .

Сначала найдем общий числовой множитель для коэффициентов 12 и —18. Если коэффициентами являются целые числа, то за общий числовой множитель принимают, как правило, наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов. В нашем случае это число 6. Степени с основанием  входят в оба члена многочлена. Поскольку первый член содержит , а второй — , то общим множителем для степеней с основанием  является  (за скобки выносят переменную с меньшим показателем). В члены многочлена входят соответственно множители  и , за скобки можно вынести . Следовательно, за скобки можно вынести одночлен :

Чтобы вынести в многочлене общий множитель за скобки, нужно каждый член многочлена представить в виде произведения, которое содержит общий множитель, и вынести его за скобки.

Пример №28

Разложить на множители многочлен .

Пример №29

Разложить на множители 
Данное выражение является суммой двух слагаемых, для которых общим множителем является выражение . Вынесем этот множитель за скобки:

Пример №30

Разложить на множители .
Слагаемые имеют множители  и , которые отличаются только знаками. В выражении  вынесем за скобки —1, тогда второе слагаемое будет иметь вид , и оба слагаемых будут иметь общий множитель .

Следовательно, 

Пример №31

Найти значение выражения , если .
Разложим сначала многочлен  на множители: 

Если , то: 

Пример №32

Решить уравнение 
Разложим левую часть уравнения на множители:

Произведение  равно нулю лишь тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

 или , отсюда  или 

Ответ. 0; —1,25.

Разложение многочленов на множители способом группировки

Изучение этого способа разложения многочленов на множители начнем с примера на умножение многочленов. Выполним умножение двучлена  на двучлен :

Проводя преобразования в обратном порядке, многочлен  можно разложить на два множителя  и :

Проанализируем последние преобразования. Имеем многочлен, члены которого можно группировать так, чтобы каждая группа имела общий множитель: для группы — общий множитель , для группы — общий множитель.
В каждой группе выносим общий множитель за скобки. В образованной разности  имеем общий множитель . Выносим его за скобки и получаем 

Описанный способ разложения многочленов на множители называют способом группировки. Применяя этот способ, нужно образовывать такие группы членов, чтобы они имели общий множитель. После вынесения в каждой группе общего множителя за скобки должен образоваться общий множитель для всех групп, который опять же нужно вынести за скобки.

Многочлен  можно разложить на множители, группируя его члены по-другому:

Сравните

	умножили многочлен на многочлен; результат —многочлен
	разложили многочлен на множители; результат — произведение многочленов

Пример №33

Разложить на множители многочлен .

Пример №34

Разложить на множители трехчлен .

Представим второй член  в виде . Тогда:

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разность  на сумму :

Итак, 

Полученное тождество позволяет умножать разность двух выражений на их сумму не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать произведение в виде . Поэтому доказанное тождество называют формулой сокращенного умножения. Формулируют ее так:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Умножим по этому правилу разность  на сумму .

Из переместительного свойства умножения следует, что произведение суммы двух выражений и их разности тоже равно разности квадратов этих выражений:

Пример №35

Выполнить умножение:

Пример №36

Вычислить: .

Квадрат суммы двух выражений

Возведем в квадрат сумму :

Итак,

Полученное тождество называют формулой квадрата суммы. Она является формулой сокращенного умножения, ибо позволяет возводить к квадрату сумму произвольных двух выражений не по правилу умножения двух многочленов, а сокращенно: сразу записывать квадрат в виде трехчлена . Формулируют формулу квадрата суммы так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Возведем в квадрат сумму :

При возведении суммы  в квадрат, промежуточные преобразования можно выполнять устно: 

Квадрат разности двух выражений

Возведем в квадрат разность :

Итак, имеем такую формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений еще называют квадратом двучлена.

Квадраты противоположных чисел равны друг другу: . Поэтому при возведении в квадрат выражения  и , можно пользоваться формулами:

Чтобы возвести сумму или разность двух выражений в куб, можно использовать формулы куба суммы или куба разности:

Выведем эти формулы.

Формулируют формулу куба суммы так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Формулу куба разности формулируют аналогично.

Пример №37

Возвести в квадрат выражение:

Разложение на множители разности квадратов двух выражений

В тождестве  поменяем местами левую и правую части: 

Полученное тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Формулируют ее так:

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов дает возможность разложить на множители двучлен . Ее используют для разложения на множители разности квадратов двух произвольных выражений. Например:

Сравните

	умножили разность двух выражений на их сумму; результат — многочлен (разность квадратов двух выражений)
	разложили на множители разность квадратов двух выражений; результат — произведение разности выражений и их суммы

Пример №38

Разложить на множители:

Пример №39

Вычислить: .

Пример №40

Решить уравнение 

Ответ. 9; —3.

Разложение многочленов на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Запишем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (квадрата двучлена), поменяв в них левые и правые части:

Первая из этих формул дает разложение на множители трехчлена , а вторая — трехчлена . Например:

Пример №41

Разложить на множители трехчлен .

Пример №42

Найти значение выражения , если 

Запишем сначала трехчлен  в виде квадрата двучлена:

Если , то: 

Если , то: 

Разность и сумма кубов двух выражений

Разность квадратов двух выражений можно разложить на множители по формуле разности квадратов: . Раскладывая на множители разность кубов двух выражений, используют формулу разности кубов:

Докажем это тождество, перемножив выражения  и :

В формуле разности кубов трехчлен  называют неполным квадратом суммы выражений  и (он напоминает трехчлен , который является "полным" квадратом суммы выражений  и). Итак, формулу разности кубов можно сформулировать так:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Раскладывая на множители сумму кубов двух выражений, используют формулу суммы кубов:

Докажем это тождество:

Трехчлен  называют неполным квадратом разности выражений  и. Итак, 

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Пример №43

Разложить на множители:

Применение нескольких способов для разложения многочленов на множители

Часто, раскладывая многочлен на множители, нужно использовать несколько способов. Если это возможно, то разложение уместно начинать с вынесения общего множителя за скобки.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Разложим на множители многочлен 

Сначала вынесли общий множитель  за скобки, а потом применили формулу разности квадратов.

2. Разложим на множители многочлен 

Все члены многочлена имеют общий множитель  Вынесем его за скобки:

Многочлен  разложим на множители способом группировки:

Итак, 

Пример №44

Разложить на множители трехчлен: 

а) Если к выражению  прибавить З², то есть 9, то получим выражение , которое является квадратом двучлена  Поэтому, выделив квадрат этого двучлена, получим:

Пример №45

Разложить на множители многочлен 

Пример №46

Решить уравнение 

Разложим левую часть уравнения на множители:

Имеем уравнение

отсюда:, или , или ,  , или , или .

Ответ. 

Применение преобразований выражений

Нам уже попадалось немало задач, для решения которых нужно было преобразовывать то или иное выражение. По большей части мы использовали преобразования выражений, когда решали уравнения, доказывали тождества, находили значения выражений. Рассмотрим еще некоторые задачи, связанные с преобразованиями выражений.

Сравнение значений многочлена с нулем

Пример №47

Доказать, что многочлен  приобретает только положительные значения. 

Выделив из трехчлена  квадрат двучлена, получим:

Мы представили многочлен в виде суммы двух слагаемых  и 2. Слагаемое  для любых  приобретает лишь неотрицательные значения, слагаемое 2 — положительное. Поэтому выражение  приобретает только положительные значения. Поскольку , то и выражение  приобретает только положительные значения.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений выражений

Исходя из равенства , полученного в предыдущем примере, можно указать наименьшее значение многочлена . Оно равно 2, к тому же, это наименьшее значение многочлен приобретает, если 

Пример №48

Найти наибольшее значение многочлена 

Преобразуем данный многочлен так: 

Наибольшее значение многочлена равно 5.

Решение задач на делимость

Пример №49

Доказать, что значение выражения  делится на 8 для любого целого значения .

Упростим данное выражение:

Для любого целого значения  произведение  делится на 8, а потому и значение выражения  делится на 8.

Нахождение значений многочлена с помощью калькулятора

Пример №50

С помощью калькулятора найти значение многочлена

 если 

Значение данного многочлена искать удобнее, если его предварительно преобразовать так:

Если , то схема вычислений такова:

Выполнив вычисления, найдем значение многочлена. Оно равно 109,264.

Функции

Все в природе меняется и развивается. Изучая явления, связанные с этой неотъемлемой чертой природы, ученые пришли к понятию переменной величины и функции.

В данном разделе мы узнаем, что такое функция, график функции, что такое линейная функция и ее свойства.

Функции и способы их задания

Пусть сторона квадрата равна  см, а его периметр —  см. Зная сторону , по формуле  можно найти соответствующее ей значение периметра . Например,

если , то

если , то 

если , то 

Видим, что значения периметра зависят от того, какие значения мы придавали длине стороны квадрата. Заметим также, что каждому значению длины стороны соответствует одно определенное значение периметра. Значению  соответствует значения , значению  — значения 

В данном примере имеем две зависимые переменные и  — длину стороны
квадрата и его периметр. Значение переменной можно выбрать произвольно, а значения переменной зависят от выбранных значений . Поэтому  называют независимой переменной, а  — зависимой переменной. 

Рассмотрим еще один пример зависимости между величинами.

Водитель решил проследить за счетчиком, какой путь он проедет за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 4,5 ч, 5 ч. Результаты наблюдений он записал в виде таблицы:

ч	1	2	3	4	4,5	5
	82	170	225	300	335	380

В данном примере имеем две переменные: время  и путь , пройденный за это время. Значения пути зависят от значений времени. К тому же, каждому значению времени соответствует одно определенное значение пути. Времени  соответствует значение пути , времени  — значение пути .
В данном случае является независимой переменной, а  — зависимой переменной.

В математике, как правило, независимую переменную обозначают буквой , а
зависимую переменную — буквой . В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. При таких условиях для зависимости между переменными используют термин «функция».

Определение. Зависимость переменной от переменной  называют функцией, если каждому значению переменной  соответствует единственное определенное значение переменной .

Для переменных  и есть специальные термины: независимую переменную   называют аргументом, а зависимую переменную  — функцией. Говорят: есть функция от аргумента .

Итак, в рассмотренных примерах:

периметр квадрата является функцией от длины его стороны ; здесь — функция, — аргумент;

путь является функцией от времени ; здесь  — функция;  — аргумент.

Чтобы задать функцию, нужно указать как для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

Первая из рассмотренных нами функций задана формулой , по которой для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции . Вторая функция задана таблицей, в которой для каждого значения аргумента указано соответствующее значение функции .

Область определения и область значений функции

Все значения, которых приобретает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые приобретает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Итак, область определения функции, задаваемой формулой , образуют все значения, которых может принимать переменная . Поскольку эта переменная определяет длину стороны квадрата, то может принимать лишь положительные значения. Итак, область определения этой функции образуют все положительные числа.

Область значений функции, задаваемой формулой , образуют все значения, которых может принимать зависимая переменная . Периметр не может равняться отрицательному числу или нулю, однако может равняться любому положительному числу. Например, может равняться 2, ибо 2 — это периметр квадрата со стороной 0,5. Следовательно, область значений этой функции образуют все положительные числа.

Область определения функции, заданной таблицей, образуют числа 1; 2; 3; 4; 4,5; 5 (числа первой строки таблицы); область значений этой функции образуют числа 82; 170; 225; 300; 335; 380 (числа второй строки таблицы).

Рассмотрим функцию, заданную формулой , где  Такая запись означает, что область определения функции образуют все значения , удовлетворяющие неравенству 

Если функция задана формулой  и не указано, каких значений можно придавать аргументу, то считают, что область определения функции образуют все числа.

Существуют функции, которые на отдельных частях области определения заданы различными формулами. Например, если функция задана в виде

то это значит, что для  значение функции нужно находить по формуле , а для  — по формуле . Если , то имеем: ; если , то 

Пример №51

Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км/ч, преодолевает за  ч путь  км . Задать формулой функцию — зависимость  от . Найти значения функции, которые соответствуют значениям аргумента: 2; 2,5.

За  ч автомобиль проедет  км, поэтому  — искомая формула. Если ,  то ; если , то 

Пример №52

Начиная с третьего часа, через каждый час измеряли атмосферное давление и записывали данные в таблицу:

, ч	3	4	5	6	7	8	9
, мм рт. ст.	746	748	751	752	752	755	756

Зависимость между какими переменными задает эта таблица? Задает ли таблица функцию? Какое давление в миллиметрах ртутного столба было в 4 ч? в 8 ч? Какова область определения функции; область значений?

Таблица задает зависимость между часами суток и атмосферным давлением . Эта зависимость является функцией, потому что каждому значению  соответствует единственное значение . Если , то по таблице находим: . Итак, в 4 часа атмосферное давление было 748 мм рт. ст. Аналогично в 8 часов — 755 мм рт. ст. Область определения функции образуют числа 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а область значений — числа 746, 748, 751, 752, 755 и 756.

Пример №53

Функция задана формулой . Составить таблицу значений аргумента и соответствующих значений функции, предоставив аргументу следующие значения: –6; –3; –2; 0; 2; 3; 6. 

	–6	–3	–2	0	2	3	6
	33	6	1	—3	1	6	33

Пример №54

Для каких значений аргумента значение функции равно –3, если функция задана формулой:

а) Чтобы найти значения , для которых , решим уравнение . Итак, функция приобретает значение , если .

б)     

Функция приобретает значение –3, если  или .

в)  — уравнение корней не имеет. Значение –3 данная функция не приобретает.

График функции

Рассмотрим функцию, заданную формулой , где . Найдем значение этой функции для целых значений аргумента и занесем результаты в таблицу:

	—3	—2	—1	0	1	2
	4,5	2	0,5	0	0,5	2

Значение мы выбрали так, что каждое следующее на 1 больше предыдущего. Поэтому говорят, что таблица значений функции составлена с шагом 1.

Обозначим на координатной плоскости точки, абсциссы которых равны выбранным значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции (рис. 3).

Подбирая другие значения , удовлетворяющие неравенству , и вычисляя соответствующие значения , получим другие пары значений и . Каждой из этих пар также соответствует определенная точка на координатной плоскости. Все такие точки образуют фигуру, которую называют графиком функции, заданной формулой , где  (рис. 4). 

График функции образуют точки координатной плоскости, абсциссы которых равны всем значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Графический способ задания функции

Имея график функции, можно находить ее значение по известному значению аргумента и наоборот: находить значение аргумента по известному значению функции.

Рассмотрим, например, функцию, график которой изображен на рисунке 5. О такой функции говорят, что она задана графически.

Найдем с помощью графика значение функции, если . Для этого через точку оси с абсциссой 4 проведем прямую, параллельную оси . Точка ее пересечения с графиком функции имеет координаты (4; 8). Итак, если , то значение функции равно 8.

Найдем с помощью этого же графика значения аргумента, для которых значение функции равно 6. Для этого через точку оси с ординатой 6 проведем прямую, параллельную оси . Получим две точки пересечения с графиком функции: (2; 6) и (8; 6). Следовательно, функция приобретает значение 6, если  или .

Некоторая линия на координатной плоскости задает функцию, если любая прямая, которая параллельна оси , пересекает эту линию не более чем в одной точке. Используя такую линию для каждого значения переменной , можно найти только одно значение переменной .

Глядя на график, изображенный на рисунке 5, можно отметить некоторые свойства функции, заданной этим графиком.

1. Область определения функции образуют все значения , удовлетворяющие неравенству .
2. Наибольшее значение функции равно 9 (это значение функция приобретает, если ).
3. Наименьшее значение функции равно –2 (это значение функция приобретает, если ).
4. Область значений функции образуют все значения , удовлетворяющие неравенству .
5. Значение функции равно нулю, если . Те значения аргумента, для которых значения функции равны нулю, называют нулями функции. Следовательно, значение  является нулем данной функции.
6. Функция приобретает положительные значения, если ; отрицательные значения — если .

Функция как математическая модель реальных процессов

Вам, пожалуй, уже приходилось видеть модели лодки, самолета, автомобиля, изготавливать модели куба, прямоугольного параллелепипеда. Каждая модель, в зависимости от ее назначения, отражает определенные свойства оригинала.

Математическая модель — это описание какого-то реального объекта или процесса языком математики.

Рассмотрим рисунок 6, на котором изображен график изменения температуры воды в течение 20 мин.

Из графика следует, что начальная температура воды была равна ; в течение первых 8 мин. температура воды повысилась до , затем в течение 6 мин. (от 8 мин. до 14 мин.) температура воды не менялась, а в течение следующих 6 мин. — снизилась до .

Функция, график которой изображен на рисунке 6, описывает реальный процесс изменения температуры воды. Говорят, что эта функция моделирует данный процесс, или что она является математической моделью данного процесса.

Если тело движется равномерно со скоростью 15 м/с, то путь м, пройденный им за время с, можно вычислить по формуле . В этом случае функция, заданная формулой , является математической моделью равномерного движения.

В седьмом и последующих классах мы ознакомимся со многими функциями, которые можно использовать для моделирования реальных процессов и зависимостей между различными величинами.

Кроме функций, есть и другие виды математических моделей, с которыми мы ознакомимся при дальнейшем изучении алгебры.

Пример №55

Построить график функции, заданной формулой:

а) , где  составив таблицу значений функции с шагом 1;
б) , где .

а) Составим таблицу значений функции:

	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3	4
	–1	–0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3

Обозначим точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости. Если к этим точкам приложить линейку, то можно увидеть, что все они лежат на одной прямой. Соединим отрезком крайние обозначенные точки. Этот отрезок и является графиком функции , где  (рис.7).

б) Составим таблицу значений функции:

	—2	—1		0		1	2
	—3	0		1		0	—3

Обозначим точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. Имеем график функции, заданной формулой , где  (рис. 8).

Пример №56

Принадлежит ли графику функции  точка ?

Точка  будет принадлежать графику данной функции, если значение функции для  равно 9. 

Находим: если , то . Значение функции равно 9. Итак, точка  графику функции не принадлежит.

Для точки  будем иметь: если , то . Точка   принадлежит графику функции.

Пример №57

На рисунке 9 изображен график функции. Пользуясь графиком, заполнить таблицу:

	—6	—2	8
				—4	—1,5	1

Заполним таблицу:

	—6	—2	8	—6	—5; 8	6
	—4	1	—1,5	—4	—1,5	1

Линейная функция

Что такое линейная функция:

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью 20 м/с и направление его движения совпадает с направлением оси (рис. 21). Если в начальный момент движения тело находилось на расстоянии 35 м от начала отсчета, то через с тело будет находиться на расстоянии метров от него.

Пусть в бассейн через трубу ежеминутно вливается 2,5 м³ воды. Если в начальный момент времени в бассейне было 70 м³ воды, то объем  воды (в м³), которая будет в бассейне через мин, можно вычислить по формуле .

Формулами , , где — независимая переменная, задаются функции, которые называют линейными.

Определение. Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида , где — независимая переменная, и — некоторые числа. 

В формуле  переменной  можно придавать любые значения, поэтому область определения линейной функции образуют все числа.

График линейной функции

Построим график линейной функции .

Для этого составим таблицу нескольких значений и соответствующих значений :

	—5	—4	—3	—2	—1	0	1	2	3	4	5
	—3,5	—3	—2,5	—2	—1,5	—1	—0,5	0	0,5	1	1,5

На координатной плоскости обозначим точки, координаты которых представлены в таблице (см. рис. 22). Приложив линейку, убеждаемся, что все обозначенные точки лежат на одной прямой. Если бы для любого другого значения вычислили соответствующее значение и обозначили бы точку с такими координатами на координатной плоскости, то и она лежала бы на этой прямой.

Через обозначенные точки проведем прямую. Она является графиком линейной функции .

Вообще, графиком линейной функции является прямая.

Чтобы построить график линейной функции, достаточно найти координаты только двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Так, чтобы построить график функции , достаточно было взять две точки, например (0; — 1) и (2 ; 0) и провести через них прямую.

Угловой коэффициент

В формуле линейной функции  коэффициент возле переменной  положительный:  График этой функции образует острый угол с положительным направлением оси (см. рис. 22). На рисунке 23 изображен график линейной функции . Для этой функции  и ее график образует тупой угол с положительным направлением оси .

Итак, от коэффициента зависит угол, который образует график функции с положительным направлением оси . Поэтому число называют угловым коэффициентом прямой .

Если , то прямая  образует с положительным направлением оси   острый угол, если , — тупой угол.

Если , то формула, которой задается линейная функция имеет вид , то есть . Такая функция для всех значений приобретает то же значение . Например, линейная функция  для всех значений приобретает значение 2. Поэтому графиком функции является прямая, образованная точками (; 2), где  — любое число. Эта прямая параллельна оси (рис. 24).

Чтобы построить график функции , достаточно было обозначить на оси   точку с ординатой 2 и провести через нее прямую, параллельную оси .

Свойства линейной функции

Свойства линейной функции .

1) Область определения функции образуют все числа.

2) Если , то область значений функции образуют все числа; если , то функция приобретает лишь одно значение .

3) Графиком функции является прямая.

4) График функции образует с положительным направлением оси острый угол, если , тупой угол — если . Если , то график параллельный оси , в частности, если  и , то он совпадает с осью .

Функция  

В формуле , которой задается линейная функция, положим . Получим формулу , какой задается функция, которая является отдельным, но довольно важным случаем линейной функции и служит моделью многих реальных процессов. Рассмотрим примеры.

1. Пусть тело движется со скоростью 20 м/с. Тогда путь м, пройденный им за время с, можно вычислить по формуле . Эта формула задает зависимость пути от времени .

2. Плотность железа равна . Массу  г железа, объем которого равен , можно вычислить по формуле  Эта формула задает зависимость массы от объема .

Перейдя в примерах к принятым обозначениям аргумента и функции, будем иметь функции, задаваемые формулами  и , то есть формулами вида , где .

Определение. Функцию, которую можно задать формулой вида , где  — независимая переменная, — некоторое число, , называют прямой пропорциональностью.

Поскольку прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, то графиком прямой пропорциональности является прямая. Эта прямая проходит через начало координат (ибо если , то ).

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти какую-либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Построим график функции . Найдем координаты какой-либо точки графика, отличной от начала координат: если , то . Обозначим на координатной плоскости точку (3; 1) и проведем через нее и начало координат прямую (рис. 25). Эта прямая является графиком функции .

На рисунке 26 изображены графики функций вида для разных значений .

Если , то график функции размещен в первой и третьей координатных четвертях, а если , — во второй и четвертой четвертях.

Для тех, кто хочет знать больше

Точки пересечения графиков функций

На рисунке 27 изображены графики двух линейных функций и . Если , то функции приобретают одно и то же значение . Следовательно, графики функций имеют общую точку (4; 3). Еще говорят, что графики пересекаются в точке (4; 3).

Вообще, графики двух функций имеют общую точку, если существует значение , для которого обе функции приобретают одно и то же значение.

Взаимное расположение графиков линейных функций

Рассмотрим две линейные функции  и , формулы которых имеют разные коэффициенты при . Выясним, пересекаются ли графики этих функций (рис. 28). Для этого проверим, существует ли значение , для которого обе функции приобретают одно и то же значение; другими словами: существует ли значение , для которого выполняется равенство . Решим данное уравнение:

Если , то обе функции приобретают одно и то же значение:

Итак, графики функций пересекаются в точке (–30; –17).

Рассмотрим две линейные функции  и , формулы которых имеют одинаковые коэффициенты при . Уравнения  не имеет корней. Поэтому прямые, являющиеся графиками функций  и  (рис. 29), не имеют общих точек (эти прямые параллельны).

Вообще, графики функций вида  и  пересекаются, если  (коэффициенты при х разные), и параллельные, если  (коэффициенты при х одинаковы) и 

Пример №58

Построить график функции, заданной формулой . Пользуясь графиком, найти:

а) значение , которое соответствует ;
б) значение , которому соответствует .

Строим график функции.

	0	2
	2	—1

а) Пусть . Через точку (—1; 0) проводим прямую, параллельную оси , и находим точку ее пересечения с графиком. Это точка (—1; 3,5). Следовательно, значению  соответствует значение .

б) Пусть . Через точку (0; —2,5) проводим прямую, параллельную оси , и находим точку пересечения этой прямой с графиком. Это точка (3; —2,5). Итак, значение  соответствует значению .

Пример №59

Дана функции . Не строя график функции, найти координаты точек его пересечения с осями координат и нули функции.

Точки пересечения графика с осями координат — это точки графика, абсцисса или ордината которых равна нулю.

Если , то .
(0; — 6) — точка пересечения графика с осью .

Если , то: 
(2,5; 0) — точка пересечения графика с осью .

Значение функции равно нулю (), если , откуда . Итак, нулем функции является . 

Пример №60

Найти значение функции , если  и . Сравнить данные значения аргумента и соответствующие значения функции.

Если , то  если , то . Сравним значение аргумента: ; сравним соответствующие значения функции: . Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Линейные уравнения и их системы

Алгебра долгое время была частью арифметики — одной из древнейших математических дисциплин. Слово «арифметика» в переводе с греческого языка означает «искусство чисел». Алгебру же, после выделения ее в отдельную науку, рассматривали как искусство решать уравнения.

В данном разделе мы выясним, что такое линейное уравнение с одной переменной и с двумя переменными, что значит решить уравнение, что такое система двух линейных уравнений с двумя переменными, какие основные способы решения систем уравнений, как решать задачи с помощью уравнений и систем уравнений.

Уравнения с одной переменной

Рассмотрим задачу.

Масса 4 больших и 15 малых деталей равна 270 г. Масса большой детали втрое больше массы малой. Какая масса малой детали?

Пусть масса малой детали равна  г, тогда масса большой —  г. Масса 15 малых деталей равна  г, а 4 больших —  (г). По условию задачи, сумма этих масс равна 270 г:

Мы получили равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой (еще говорят: равенство содержит переменную ). Чтобы решить задачу, нужно найти значение , для которого равенство  является верным числовым равенством.

Равенство с неизвестным значением переменной называют уравнением с одной переменной (или уравнением с одним неизвестным).

Корень уравнения

Рассмотрим уравнение . Подставляя вместо переменной некоторые числа, будем получать числовые равенства, которые могут быть верными или неверными. Например:

если , то получим равенство , которое является верным;
если , то получим равенство , которое является неверным.

Значение переменной, для которого уравнение превращается в верное числовое равенство, называют корнем, или решением уравнения.

Следовательно, число 3 является корнем уравнения , а число 4 — нет.

Количество корней уравнения

Уравнения могут иметь разное количество корней. Например:

уравнение  имеет лишь один корень — число 3;
уравнение  имеет два корня — числа 2 и 6;
уравнение  удовлетворяет любое число ; говорят, что это уравнение имеет множество корней.

Уравнение может и не иметь корней. Рассмотрим, например, уравнение . Для любого числа значение левой части уравнения на 1 больше значения правой части. Итак, какое число мы не взяли бы, равенство  будет неверным. Поэтому это уравнение не имеет корней.

Решение уравнений

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет. 

Решим уравнение, составленное выше, по условию задачи о больших и малых деталях:

Следовательно, масса малой детали равна 10 г.

Решение уравнения в основном сводится к выполнению определенных преобразований, в результате которых данное уравнение заменяют более простым.

Решим, например, уравнение:

1. Раскроем скобки:

2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

3. Перенесем слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной — в правую, поменяв их знаки на противоположные:

4. Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

5. Поделим обе части уравнения на 2:

Итак, уравнение (1) имеет единственный корень — число 4.

Решая уравнение (1), мы выполняли определенные преобразования: раскрывали скобки, приводили подобные слагаемые, переносили слагаемые из одной части уравнения в другую, делили обе части уравнения на число. С этими преобразованиями связаны следующие основные свойства уравнений:

Свойство 1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки или привести подобные слагаемые.
Свойство 2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Свойство 3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число.

Если в некотором уравнении выполнить одно из преобразований, указанных в свойствах 1, 2 или 3, то получим уравнение, которое имеет те же корни, что и начальное уравнение.

Решая уравнение (1), мы последовательно получали уравнения (2), (3), (4), (5). Все они вместе с уравнением (1) имеют один и тот же корень — число 4.

Пример №61

Является ли число 2,5 корнем уравнения ?

Если , то:
значение левой части уравнения равно: 
значение правой части равно: 

Значение левой части уравнения равно значению правой части, поэтому — корень данного уравнения.

Пример №62

Сколько корней имеет уравнение:

а) Произведение равно нулю лишь тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Итак,  или , отсюда  или 

Ответ. Два корня.

б)  Квадрат числа не может равняться отрицательному числу. Поэтому данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Пример №63

Решить уравнение 

Умножив обе части уравнения на 14, получим: 

Ответ. 15

Пример №64

Решить уравнение 

Разделив обе части уравнения на 25, получим:

Ответ. 1,6.

Линейные уравнения с одной переменной

Рассмотрим уравнение:

Левая часть каждого из этих уравнений является произведением некоторого числа и переменной, а правая часть — некоторым числом. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Определение. Уравнение вида , в котором и  — некоторые известные числа, а — переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Числа  и  называют коэффициентами линейного уравнения.

Когда, решая уравнения, выполняют определенные преобразования, приводя данное уравнение к более простому, то во многих случаях этим «простым» уравнением является именно линейное уравнение.

Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение. Для этого рассмотрим сначала следующие три уравнения:

1) Чтобы решить уравнение , достаточно обе его части разделить на 3. Получим один корень: 

2) В уравнении  значение левой части равно 0 для любого числа . Правая же часть уравнения отлична от нуля. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

3) Равенство  является верным для любого числа . Поэтому корнем уравнения  является любое число (уравнение имеет множество корней).

В общем случае для линейного уравнения  будем иметь:

• если , то уравнение имеет единый  корень 
• если , то уравнение корней не имеет;
• если  и , то корнем уравнения является любое число (уравнение имеет множество корней).

Итог: количество корней линейного уравнения

— линейное уравнение	Коэффициенты	Корни
		—  единственный корень
	и	корней нет
	и	корнем является любое число (уравнение имеет множество корней)

Уравнения с модулями

Напомним, что модулем положительного числа и числа 0 является то же самое число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число:

 если  если 

Так,  Модуль любого числа является неотрицательным числом, то есть 

Уравнения  содержат переменную под знаком модуля. Такие уравнения называют уравнениями с модулем.

Уравнение вида  Решая уравнение вида  где — некоторое известное число, можно использовать геометрический смысл модуля числа: модуль числа — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число  на координатной прямой.

Рассмотрим уравнение На координатной прямой существуют две точки, расположенные на расстоянии 2 единицы от начала отсчета. Это точки, соответствующие числам 2 и –2 (рис. 37). Поэтому уравнение  имеет два корня: 2 и –2.

Уравнение имеет один корень — число 0, а уравнение не имеет корней (модуль любого числа является неотрицательным числом и не может быть равен –2).

В общем случае уравнение

• имеет два корня и — , если
• имеет один корень 0, если ;
• не имеет корней, если 

Решение уравнений с модулями, исходя из определения модуля числа

Решим уравнение

Это уравнение нельзя свести к виду где  — некоторое число. Для его решение рассмотрим два случая.

1. Если — неотрицательное число то и уравнение (1) приобретает вид откуда . Число 1 — неотрицательное (удовлетворяет неравенство ), поэтому оно является корнем уравнения (1).

2. Если — отрицательное число то  и уравнение (1) приобретает вид , откуда Число 2 не является отрицательным (не удовлетворяет неравенство ), поэтому оно не является корнем уравнения (1).

Итак, уравнение имеет один корень .

Пример №65

Решить уравнение 

Ответ. –3.

Пример №66

Решить уравнение   

Ответ. Уравнение корней не имеет.

Пример №67

Решить уравнение 

Ответ. Корнем уравнения является любое число.

Пример №68

Решить уравнение 

Умножив обе части уравнения на 36 (36 — наименьшее общее кратное знаменателей дробей), получим:

Ответ. 6.

Итог. Решая уравнения, которые сводятся к линейным, следует соблюдать следующие шаги:

1. Если в уравнении есть выражения с дробными коэффициентами, то умножить обе его части на наименьший общий знаменатель дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Перенести все слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения (как правило, в левую), а слагаемые, не содержащие переменной — в другую часть (в правую).
4. Привести подобные слагаемые.
5. Разделить обе части уравнения на коэффициент возле переменной, если он отличен от нуля. Если же он равен 0, то уравнение либо не имеет корней, или его корнем является любое число.

Пример №69

Решить уравнение 

Если модуль числа равен 3, то этим числом является 3 или –3. Поэтому возможны два случая:

Ответ. 3; 0.

Пример №70

Решить уравнение 

Ответ. –4; 4.

Решение задач с помощью уравнений

Решая задачи с помощью уравнений, в основном придерживаются такой схемы:

1. выбирают неизвестное и обозначают его буквой (или какой-либо другой буквой);
2. используя условие задачи, составляют уравнение;
3. решают уравнение и отвечают на поставленные в задаче вопросы.

Рассмотрим примеры.

Пример №71

В двух цистернах хранится 66 т бензина, к тому же, в первой бензина в 1,2 раза больше, чем во второй. Сколько бензина в каждой цистерне?

Пусть во второй цистерне есть т бензина, тогда в первой — 1,2 т. В двух цистернах вместе находится  т бензина, что, по условию, равно 66 т.

Имеем уравнение: 

Решим это уравнение:

Итак, во второй цистерне имеется 30 т бензина, а в первой —  (т).

Ответ. 36 т, 30 т.

Замечание. Чтобы решить эту задачу, можно рассуждать и так. Пусть во второй цистерне есть  т бензина, тогда в первой —  т. В первой цистерне бензина в 1,2 раза больше, чем во второй, потому  Далее остается решить это уравнение и записать ответ к задаче.

Пример №72

Из города А в город В выехал грузовой автомобиль. Через 30 мин. навстречу ему из города В выехал легковой автомобиль, скорость которого на 25 км/ч больше, чем скорость грузового. Автомобили встретились через 1,3 ч после выезда грузового автомобиля из города А. Найти расстояние между городами, если за все время движения грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой.

Пусть скорость грузового автомобиля равна км/ч, тогда скорость легкового —  км/ч.

К моменту встречи грузовой автомобиль был в пути 1,3 ч, а легковой на 30 мин. = 0,5 ч меньше: 1,3 ч — 0,5 ч = 0,8 ч. За 1,3 ч грузовой автомобиль проехал 1,3 км, а легковой за 0,8 ч —  км. Поскольку грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, то разность пути 1,3 км и  км равна 10 км. 

	Скорость, км/ч	Время, ч	Путь, км
Грузовой автомобиль		1,3	1,3
Легковой автомобиль		0,8

Имеем уравнение: 

Решим это уравнение:

Следовательно, скорость грузового автомобиля равна 60 км/ч.

Расстояние между городами равно сумме расстояний, которые проехали оба автомобиля, то есть (1,3 + ) км. Поскольку , то получим:

Ответ. 146 км.

Примечание. Опираясь на решение рассмотренных задач, проанализируем первые два шага приведенной выше схемы решения задач с помощью уравнений.

1) Выбор неизвестного, которое мы обозначали буквой, в решениях этих задач был разный. В первой задаче мы обозначили через т одну из искомых величин (массу бензина во второй цистерне). Во второй задаче искомой величиной является расстояние между городами. Если эту величину обозначить через км, то, составляя уравнение, придется провести довольно сложные рассуждения. Мы же через км/ч обозначили неизвестную скорость грузового автомобиля, выразили через пути, которые проехали автомобили, и составили уравнение, зная, что разность путей равна 10 км.

Итак, обозначать через (или какой-нибудь другой буквой) желательно ту неизвестную величину, через которую легче выражаются величины, значения которых можно приравнять.

2) Чтобы составить уравнение, сначала выражаем через те величины, значения которых будем приравнивать. После этого записываем уравнение.

Уравнение как математическая модель реальных процессов

Опишем на языке математики задачу из примера. Ища скорость грузового автомобиля в этой задаче, мы обозначили ее через км/ч. Скорость легкового автомобиля на 25 км/ч больше, чем скорость грузового, что на языке математики записывают так: скорость легкового автомобиля равна км/ч.

На языке математики расстояние, которое проехал грузовой автомобиль, записывают: 1,3 км, а расстояние, которое проехал легковой автомобиль, —  км.

По условию задачи грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, что языком математики можно выразить так: разность расстояний, которые проехали грузовой и легковой автомобили, равняется 10 км и записать:

Полученное уравнение и является математической моделью задачи на движение автомобилей. Построив математическую модель, мы свели задачу на движение к математической задаче — решить уравнение.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

Уравнение с двумя переменными

Вы уже умеете решать линейные уравнения с одной переменной и уравнения, сводящиеся к линейным. Напомним, что линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида , где и — некоторые числа, а  — переменная.

Рассмотрим пример, который приводит к уравнению с двумя переменными.

Пусть известно, что сумма некоторых двух чисел равна 8. Если одно из чисел обозначить через , а второе — через , то получим уравнение

содержащее две переменные: и . Такое уравнение называют уравнением с двумя переменными.

Уравнения

тоже являются уравнениями с двумя переменными. Первые два из этих уравнений являются уравнениями вида  где ,  и  — числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнения вида где и — переменные, ,  и  — некоторые числа (коэффициенты уравнения).

Коэффициенты  и  называют еще коэффициентами при переменных, а коэффициент — свободным членом.

Решение уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение . Если то это уравнение превращается в верное числовое равенство 2 + 6 = 8. Говорят, что пара значений переменных является решением  уравнения .

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, для которых уравнение превращается в верное числовое равенство.

Решениями уравнения  являются и такие пары чисел:

Сокращенно эти решения записывают так: (4; 4); (4,5; 3,5); (10; –2). В этих парах чисел на первом месте пишут значения переменной , а на втором — значения переменной . Это связано с тем, что переменную условно считают первой переменной, а переменную — второй.

Чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, можно подставить в уравнение произвольное значение одной переменной и, решив полученное уравнение с одной переменной, найти соответствующее значение другой переменной. Для примера найдем еще несколько решений уравнения .

Пусть , тогда  откуда 

Пусть , тогда  откуда 

Мы нашли два решения (7; 1) и (–3; 11). Давая переменной другие значения, получим другие решения уравнения. Уравнение имеет множество решений.

Уравнение также имеет множество решений — его решениями являются любые пары чисел (; ). Уравнение  решений, явно, не имеет.

Вообще, линейное уравнение с двумя переменными или имеет множество решений, или не имеет никакого решения.

Свойства уравнений с двумя переменными

Свойства уравнений с двумя переменными такие же, как и уравнений с одной переменной, а именно:

1. В любой части уравнения можно выполнить тождественные преобразования выражений (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые).
2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число.

Рассмотрим уравнение

Используя свойства уравнений, выразим из этого уравнения одну переменную через другую, например, через . Для этого перенесем слагаемое в правую часть, изменив его знак на противоположный: 

Поделим обе части полученного уравнения на 2:

Пользуясь формулой , можно найти сколько угодно решений данного уравнения. Для этого достаточно взять произвольное значение  и вычислить соответствующее значение . Пары некоторых соответствующих значений и представим в виде таблицы. 

	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3	4
	10,5	9	7,5	6	4,5	3	1,5	0	–1,5

Пары чисел каждого столбца — решения уравнения

Пример №73

Найти значения коэффициента , для которых одним из решений уравнения является пара чисел (–1; 2).

Если пара чисел (–1; 2) является решением уравнения , то должно  выполняться равенство  Решим полученное уравнение с переменной :

Ответ. .

График линейного уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение

Решениями этого уравнения являются, например, пары чисел (0; —1) и (2; 2). Этим решениям на координатной плоскости соответствуют точки с координатами (0; –1) и (2; 2). Если на координатной плоскости изобразим все точки, координаты которых являются решениями уравнения то получим график этого уравнение.

График уравнения с двумя переменными образуют все точки координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.

Чтобы выяснить, что является графиком уравнения выразим из него переменную через переменную :

Формулой задают линейную функцию, графиком которой является прямая. Если , то если , то  Проведя через точки (0; —1) и (2; 2) прямую (рис. 38), получим график функции . Эта прямая является и графиком уравнения

Вообще, графиком уравнения  в котором хотя бы один из коэффициентов или  отличен от нуля, является прямая.

Чтобы построить график такого уравнения, можно: 1) выразить переменную через переменную  (если это возможно) и построить график соответствующей линейной функции или 2) найти два решения уравнения, обозначить на координатной плоскости точки, соответствующие этим решениям, и провести через них прямую.

На рисунках 39 и 40 изображены графики линейных уравнений, у которых один из коэффициентов при переменных равняется 0:

Графиком уравнения  является график функции , то есть прямая, параллельная оси , проходящая через точку (0; 2).

Решениями уравнения (или ) являются все пары чисел (; ), у которых , а — произвольное число. Точки координатной плоскости, соответствующие таким решениям, образуют прямую, параллельную оси  и  проходящую через точку (3; 0).

Выясним размещение графика уравнения  в зависимости от его коэффициентов.

1) Тогда: . Прямая имеет угловой коэффициент . Поэтому если и  — числа разных знаков, то и график уравнения образует острый угол с положительным направлением оси , если и  — числа одного знака, то , и угол, образующий график с положительным направлением оси , — тупой.

2) Графиком уравнения является прямая , параллельная оси .

3) Графиком уравнения является прямая, параллельная оси .

4) Решением уравнения является любая пара чисел, а его графиком — вся координатная плоскость.

5) Уравнение , где , решений не имеет и его график не содержит ни одной точки.

Пример №74

Построить график уравнения

Сначала найдем два решения уравнения.

Пусть , тогда: — решение.

Пусть , тогда: — решение.

Решения уравнения можно представить в виде таблицы.

	0	2
	2	–3

На координатной плоскости отмечаем точки (0; 2) и (2; –3) и проводим через них прямую. Эта прямая является искомым графиком.

Пример №75

Построить график уравнения

В данном уравнении имеем одну переменную . Если нужно построить график такого уравнения, то считают, что это линейное уравнение с двумя переменными и , в котором коэффициент возле переменной  равен 0, то есть  Графиком уравнения является прямая которая параллельна оси и проходит, например, через точку (0; –1,5).

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Рассмотрим задачу:

В 7-А и 7-Б классах учатся вместе 56 учеников, к тому же, в 7-А классе на 4 ученика больше, чем в 7-Б. Сколько учеников в каждом классе?

Для решения задачи обозначим количество учеников 7-А класса через , а количество учеников 7-Б класса — через . По условию задачи, в 7-А и 7-Б классах вместе учатся 56 учеников, то есть . В 7-А классе на 4 ученика больше, чем в 7-Б, поэтому разность  равна 4: .

Имеем два линейных уравнения с двумя переменными:

И в первом, и во втором уравнениях переменные обозначают те же величины — количества учеников 7-А и 7-Б классов. Поэтому нужно найти следующие значения переменных, которые обращают в верное числовое равенство и первое, и второе уравнения, то есть нужно найти общие решения этих уравнений.

Если нужно найти общие решения двух уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Систему уравнений записывают с помощью фигурной скобки. Так, систему двух линейных уравнений с двумя переменными, составленную по условию нашей задачи, записывают:

Общим решением обоих уравнений этой системы является пара значений переменных , ибо равенства 30+ 26 = 56 и 30 — 26 = 4 являются верными. Эту пару чисел называют решением системы уравнений.

Определение. Решением системы двух уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, для которых каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решение систем линейных уравнений графическим способом

Решим систему уравнений

Построим в одной системе координат графики обоих уравнений системы. На рисунке 44 прямая — график уравнения , а прямая — график уравнения . Координаты любой точки прямой являются решением первого уравнения системы, а координаты любой точки прямой являются решением второго уравнения. Любая общая точка этих прямых имеет координаты, которые являются решением как первого, так и второго уравнений, то есть являются решением системы. Так как прямые и пересекаются в единственной точке , то система уравнений имеет единственное решение . Это решение можно записывать и в виде пары (—2; 1).

Способ решения систем линейных уравнений, который мы только что использовали, называют графическим.

Чтобы решить систему линейных уравнений графическим способом, надо построить графики уравнений системы в одной системе координат и найти координаты общих точек этих графиков.

Если в каждом из двух линейных уравнений системы хотя бы один из коэффициентов возле переменных отличен от нуля, то графиками таких уравнений являются прямые. Поскольку две прямые могут пересекаться, совпадать или быть параллельными, то такие системы линейных уравнений могут иметь одно решение, множество решений или не иметь решений.

Количество решений системы двух линейных уравнений зависит от коэффициентов уравнений. Для произвольной системы уравнений  в которой все коэффициенты второго уравнения отличны от нуля, верными являются утверждения:

если (коэффициенты при переменных не пропорциональны), то система уравнений имеет единое решение;

если (коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны), то система уравнений имеет множество решений;

если (коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам), то система уравнений решений не имеет.

Пример №76

Решить графически систему уравнений 

Построим графики уравнений системы.

	1	3
	—3	2

	0	—3
	1	0

Графики пересекаются в единственной точке — точке . Итак, система уравнений имеет единственное решение (3; 2). 

Примечание. Чтобы не ошибиться, определяя по графикам координаты точки , стоит проверить, действительно ли найденные координаты являются решением системы. Проверим: если и  — верные равенства. Пара (3; 2) является решением системы.

Пример №77

Сколько решений имеет система уравнений 

Построим графики уравнений системы.

	0	—1
	2	0

	0	—1
	2	0

Графики совпадают. Система уравнений имеет множество решений.

Пример №78

Сколько решений имеет система уравнений 

Построим графики уравнений системы.

	0	3
	3	0

	0	1,5
	1,5	0

Графиками уравнений являются параллельные прямые (ибо ). Система уравнений решений не имеет.

Решение систем линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим верное равенство 7 + 2 = 9. Если в этом равенстве число 2 заменить числовым выражением 2(3 — 2), значение которого равно 2, то получим верное равенство 7 + 2(3 — 2) = 9. Наоборот, если в верном равенстве 7 + 2(3 — 2) = 9 выражение 2(3 — 2) заменить его значением 2, то получим верное равенство 7 + 2 = 9.

На этих свойствах числовых равенств базируется решение систем линейных уравнений способом подстановки. Рассмотрим пример.

Пусть нужно решить систему уравнений

Из первого уравнения системы выразим переменную через переменную :

Подставим во второе уравнение системы вместо выражение  Получим систему

Системы (1) и (2) имеют одинаковые решения (доказательство — в рубрике "Для тех, кто хочет знать больше"). Второе уравнение системы (2) имеет только одну переменную . Решим его:

В первое уравнение системы (2) подставим вместо число 2 и найдем соответствующее значение :

Пара чисел (2; –1) — решение системы (2), а также и системы (1).

Способ, использованный для решения системы (1), называют способом подстановки.

Чтобы решить систему линейных уравнений способом подстановки, надо:

1. выразить из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую;
2. подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующее значение другой переменной.

Докажем, что системы (1) и (2) имеют одинаковые решения.

Пусть пара чисел (; ) — произвольное решение системы (1), тогда верными являются числовые равенства  и , а следовательно, и равенство . Заменим в равенстве число выражением , получим верное равенство . Поскольку равенства  и являются верными, то пара чисел (; ) есть решением системы (2). Мы показали, что произвольное решение системы (1) является решением системы (2).

Наоборот, пусть пара чисел (; ) — произвольное решение системы (2). Тогда верными являются числовые равенства и . Заменим в равенстве  выражение числом , получим верное равенство . Из равенства следует, что . Поскольку равенства и  являются верными, то пара чисел (; ) является решением системы (1). Мы показали, что произвольное решение системы (2) является решением системы (1).

Следовательно, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Системы уравнений с двумя переменными, которые имеют одно и те же решения, называют равносильными. Итак, решая систему уравнений (1), мы заменили ее равносильной системой (2).  

Пример №79

Решить систему уравнений 

Выразим из первого уравнения переменную через переменную :

Подставим во второе уравнение системы вместо выражение  и решим полученное уравнение:

Найдем соответствующее значение переменной :

Ответ. (–2; –3).

Пример №80

Для каких значений коэффициента система уравнений  не имеет решения?

Выразим из второго уравнения переменную через переменную : 

Подставив в первое уравнение системы вместо выражение , получим уравнение 

Дальше получим: 

Последнее уравнение не имеет корней лишь в случае, когда коэффициент при  равен нулю:  Для этого значения система уравнений не имеет решения.

Ответ. 

Пример №81

Графиком функции является прямая, проходящая через точки А (—1; 2) и В (2; 5). Задать эту функцию формулой.

Прямая является графиком линейной функции. Пусть искомая линейная функция задается формулой , где и  — пока что неизвестные числа. Поскольку график функции проходит через точки А(— 1; 2) и В(2; 5), то должны выполняться два равенства

Решив систему найдем: Итак, функция задается формулой 

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим два правильных равенства:

Сложим почленно эти равенства: левую часть с левой и правую с правой:

Снова получили правильное равенство. Это свойство верных числовых равенств лежит в основе способа решения систем уравнений, который называют способом сложения. Рассмотрим пример.

Пусть нужно решить систему уравнений

Сложим почленно левые и правые части уравнений:

Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением  Получим систему

Системы (1) и (2) имеют одни и те же решения (доказательство представлено в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше»). Решим систему (2). Из первого уравнения находим: Подставив это значение во второе уравнение, получим:

Пара чисел (5; 3) — решение системы (2), а также и системы (1).

Решая систему (1), мы воспользовались тем, что в уравнениях коэффициенты при переменной являются противоположными числами, и после почленного сложения уравнений, получили уравнения с одной переменной .

Решим еще одну систему уравнений

В этой системе уравнений коэффициенты при переменной и коэффициенты при переменной не являются противоположными числами. Однако, умножив обе части первого уравнения на 2, а второго — на –3, получим систему

в которой коэффициенты при  — противоположные числа. Сложим почленно уравнения последней системы, получим:

Подставив значение в первое уравнение системы (3), находим:

Итак, решением системы (3) является пара чисел (—4; 6).

Чтобы решить систему линейных уравнений способом сложения, надо:

1. умножить обе части уравнений системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами;
2. сложить почленно левые и правые части уравнений;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующее значение другой переменной.

Докажем, что системы уравнений (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Пусть пара чисел (; ) — произвольное решение системы (1), тогда верными являются числовые равенства  и . Сложив эти равенства, получим верное равенство  Поскольку равенства  и  являются верными, то пара чисел (; ) является решением системы (2). Мы показали, что произвольное решение системы (1) является решением системы (2).

Наоборот, пусть пара чисел (; ) — произвольное решение системы (2), тогда верными являются числовые равенства и . Вычитаем из первого из этих равенств второе. Получим верное равенство  Поскольку равенства и  являются верными, то пара чисел (; ) является решением системы (1). Мы показали, что произвольное решение системы (2) является решением системы (1).

Следовательно, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Пример №82

Решить способом сложения систему уравнений

Умножим обе части первого уравнения системы на –2. Получим систему

Почленно сложив уравнения последней системы, получим: 

Подставим в первое уравнение системы вместо число 3 и решим полученное уравнение:

Ответ. (–2; 3).

Решение задач с помощью систем уравнений

Вы уже решали задачи с помощью уравнений с одной переменной. Решим задачу, составив систему уравнений.

Пример №83

Скорость моторной лодки по течению реки равна 24 км/ч, а против течения — 19 км/ч. Какова скорость лодки в стоячей воде и какова скорость течения реки?

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна км/ч, а скорость течения реки —  км/ч. Скорость лодки по течению реки (24 км/ч) равна сумме его скорости в стоячей воде и скорости течения реки, поэтому имеем уравнение

Скорость лодки против течения реки (19 км/ч) равна разности скорости лодки в стоячей воде и скорости течения реки, поэтому

Чтобы ответить на вопросы задачи, нужно найти следующие значения и , которые удовлетворяли бы и первое, и второе уравнения, то есть которые удовлетворяли бы систему этих уравнений:

Решив систему, получим:

Ответ. Скорость лодки в стоячей воде равна 21,5 км/ч; скорость течения реки — 2,5 км/ч.

Решая задачу, мы получили систему уравнений и задачу на движение привели к математической задаче — решить систему уравнений. Итак, в качестве математических моделей реальных процессов могут выступать не только функции и уравнения, но и системы уравнений.

Отметим, что для моделирования задачи можно было бы использовать уравнение с одной переменной. Однако для составления такого уравнения пришлось бы провести более сложные рассуждения.

Чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, поступают так:

1. обозначают некоторые две неизвестные величины буквами;
2. используя условие задачи, составляют два уравнения с выбранными неизвестными;
3. записывают систему этих уравнений и решают ее;
4. отвечают на поставленные в задаче вопросы.

Пример №84

Если открыть кран горячей воды на 7 мин., а затем кран холодной — на 3 мин., то в ванну нальется 54 л воды. Если же открыть кран горячей воды на 8 мин., а затем кран холодной — на 6 мин., то в ванну нальется 72 л воды. Сколько литров воды наливается в ванну через каждый кран за минуту? 

Пусть за 1 мин. через первый кран (горячей воды) наливается л воды, а через второй кран (холодной воды) — л. Тогда за 7 мин. через первый кран нальется 7 л воды, а через второй кран за 3 мин. — З л. В результате, по условию задачи, в ванне будет 54 л воды. Имеем уравнение: 

Во втором случае за 8 мин. через первый кран нальется 8 л воды, а через второй кран за 6 мин. — 6 л, что, по условию задачи, равно 72 л воды. Имеем второе уравнение:  

Получили систему уравнений 

Решим эту систему способом сложения: 

Из первого уравнения системы находим :

Ответ. 6 л; 4 л.

Рациональные выражения и рациональные дроби

Дробные выражения – это выражения, которые помимо действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля, содержат деление на выражение с переменными. Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями.

Целые, дробные и рациональные выражения

В седьмом классе мы учили целые выражения. Примеры таких выражений: 

Вспомним: целые выражения могут содержать действия сложения, вычитания, умножения, возведения в степень, а также действие деления, но только на число, отличное от нуля. 

Каждое целое выражение можно записать в виде многочлена. Например,

Рассмотрим выражения

Эти выражения отличаются от целых выражений тем, что содержат действие деления на выражение с переменной. Такие выражения называют рациональными выражениями.

Рассмотрим рациональные выражения  Они являются частями двух выражений, к тому же, действие деления записано с помощью черты дроби. Такие выражения называют дробями. 

Если имеем дробь где А и В — некоторые числовые выражения или выражения с переменными, то выражение А называют числителем дроби, а выражение В — знаменателем.

Следовательно,  — дробь с числителем  и знаменателем 

Дробь  в которой А и В — многочлены, называют рациональной дробью. Например,  — рациональные дроби.

Допустимые значения переменных

Рассмотрим дробное выражение 

Если  то значение этого выражения равно: 

если  то значение выражения равно: 

Значение выражения  можно найти для любого значения  кроме  

Если  то знаменатель  равен нулю, а на нуль делить нельзя. Говорят: если  то выражение  имеет смысл, а если  не имеет смысла. Значения переменных, для которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. 

Определение. Допустимыми значениями переменных выражения называют такие их значения, для которых выражение имеет смысл.

Так, для выражения  допустимыми значениями переменной являются все значения  кроме 

Допустимыми значениями переменных  любого целого выражения являются все значения переменных. Допустимыми значениями переменных дробного рационального выражения являются все значения переменных, кроме тех, для которых равен нулю знаменатель хотя бы одной из дробей, которые входят в данное выражение. 

Тождественно равные выражения

Рассмотрим целое выражение  Поскольку

то для любого значения переменной  соответствующие значения выражений  и  равны друг другу. Такие целые выражения мы называли тождественно равными. 

А какие два не целых выражения считают тождественно равными?

Рассмотрим дробные выражения  и  Допустимыми значениями обоих являются все значения  кроме  Эти выражения имеют одинаковые знаменатели и тождественно равные числители. Поэтому для каждого допустимого значения  соответствующие значения выражений равны друг другу. Такие выражения называют тождественно равными.

Определение. Два выражения называют тождественно равными, если для любых допустимых для них значений переменных соответствующие значения выражений равны друг другу.

Если два тождественно равных выражения  и  соединить знаком  то получим равенство  которое является верным для всех допустимых значений  Такое равенство называют тождеством.

Определение. Равенство, которое является верным для всех допустимых значений переменных, входящих в него, называют тождеством.

Например,  — тождества.

Замену одного выражения тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием выражения.

Пример №85

Найти значения выражения  если 

 Если  то 

Если 

Пример №86

Найти значение выражения  если:

а)  б) 

Упростим данное выражение: 

а) Если 

б) Если  — не имеет смысла 

Пример №87

Указать допустимые значения переменной в выражении:

а)  б)  в)

а) Допустимыми являются все значения  кроме 

б) Найдем значения  для которых знаменатель дроби равен нулю:

 или  или 

Допустимыми являются все значения  кроме  и 

в) Для любого значения  значение знаменателя  не меньше, чем 8, а поэтому не равно нулю. Следовательно, допустимыми являются все значения  

Основное свойство дроби

Вспомним основное свойство обычных дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натурально число, то получим дробь, которая равна данной. Следовательно, если  и  — натуральные числа, то  и 

Аналогичное свойство справедливо для любых дробей. А именно:

Для любых значений и  где  и  выполняются равенства:

Данные равенства являются тождествами и выражают основное свойство дроби, которое можно сформулировать так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на выражение, не тождественно равное нулю, то получим дробь, тождественно равную данной.

Сокращение дробей

С помощью тождества  дробь  можно заменить на дробь  то есть дробь  можно сократить на общий множитель  числителя и знаменателя. Например,

Равенства  и  являются тождествами, то есть они являются верными для всех допустимых значений переменных (первое — для всех значений  и  где  второе — для всех значений  и  где ).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) выделить общий множитель числителя и знаменателя дроби;

2) выполнить сокращение на общий множитель.

Приведение дробей к общему знаменателю

С помощью тождества  дробь  можно привести к новому знаменателю. Например, 

 — привели дробь  к знаменателю 

Любые дроби с разными знаменателями, как и обычные дроби, можно привести к общему знаменателю. Рассмотрим примеры.

Пример №88

Привести к общему знаменателю дроби  и 

Общим знаменателем данных дробей является произведение их знаменателей, то есть  Дополнительным множителем для первой дроби является  для второй —  Тогда:

Пример №89

Привести к общему знаменателю дроби  и 

Знаменатели обеих дробей являются одночленами, поэтому общий знаменатель будем искать в виде одночлена, к тому же как можно меньшей степени. В качестве коэффициента этого одночлена возьмем наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей данных дробей,  то есть 24, а каждую переменную возьмем с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей, то есть возьмем  и  Тогда общим знаменателем будет  Дополнительным множителем для первой дроби является  так как  для второй —  так как   Получим:

Чтобы привести к простейшему общему знаменателю дроби, знаменателями которых являются одночленами, нужно:

1. найти наименьшее общее кратное (НОК) коэффициентов знаменателей;
2. образовать общий знаменатель в виде произведения НОК и степеней переменных с наибольшим показателем, с которым они входят в знаменатели;
3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. (Чтобы найти дополнительный множитель для дроби, нужно записать общий знаменатель в виде произведения двух одночленов, одним из которых является знаменатель данной дроби. Тогда другой одночлен будет дополнительным множителем.)

Пример №90

Привести к общему знаменателю дроби  и 

Разложим на множители знаменатель каждой дроби:

Общим знаменателем дробей является произведение Дополнительным множителем для первой дроби является выражение  для второй — выражение  Умножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель, получим:

Чтобы привести к простейшему общему знаменателю дроби, знаменателями которых являются многочлены, нужно:

1. разложить на множители знаменатель каждой дроби;
2. образовать общий знаменатель в виде произведения полученных множителей с наибольшим показателем, с которым они входят в знаменатели;
3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Изменение знака числителя или знаменателя дроби

Рассмотрим верное числовое равенство  Его можно прокомментировать так: если изменить знак в числителе дроби и знак перед дробью, то получим дробь, которая равна данной. 

Таким же способом изменяют знак числителя или знаменателя любой дроби, используя тождества:

Если изменить знак в числителе или знаменателе  дроби и знак перед дробью, то получим дробь, тождественно равную  данной. 

Докажем основное свойство дробей. Покажем, что равенство  является тождеством, то есть что оно выполняется для любых значений  и  где  и 

Пусть  По определению частного имеем:  Умножив обе части полученного равенства на  получим верное равенство  или  Поскольку  и  то  В таком случае из равенства  , опять-таки по определению частного, получим Следовательно, 

Пример №91

Выделить общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократить дробь:

Пример №92

Сократить дробь 

Пример №93

Привести дробь  к знаменателю 

Поскольку  то умножив числитель и знаменатель данной дроби на  получим: 

Пример №94

Привести к общему знаменателю дроби   и 

 Общим знаменателем дробей является произведение  Дополнительным множителем для первой дроби является 1, для второй —  То есть первую дробь оставляем без изменений, а для второй дроби имеем: 

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают так же, как и обычные дроби с одинаковыми знаменателями, то есть складывают их числители, а знаменатель оставляют тем же:

Равенство (1) является тождеством, то сеть оно является верным для любых значений  и  где 

Из тождества  (1) следует такое правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. 

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняют на основе тождества

Из тождества (2) следует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы отнять дроби с одинаковыми знаменателями, нужно от числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же.

Записывание дроби в виде суммы или разности дробей

В каждом из тождеств (1) и (2) поменяем местами левую и правую части:

Полученные тождества можно использовать, если нужно записать дробь в виде суммы или разности дробей.

Пример №95

Сложить дроби

Пример №96

Отнять дроби:

б) Изменив знак знаменателя второй дроби, получим:

Пример №97

Записать дробь в виде суммы или разности целого числа и дроби:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю и сложить или вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Таким же способом складывают и вычитают любые дроби с разными знаменателями. 

Пусть нужно сложить дроби  и  которые имеют разные знаменатели. Приведем эти дроби к общему знаменателю  Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножим на  а второй дроби — на  Получим:

Зная, как складывать дроби с одинаковыми знаменателями, получим:

Следовательно,

Вычитают дроби с разными знаменателями аналогично, а именно:

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно:

1. привести дроби к общему знаменателю;
2. сложить или вычесть полученные дроби с одинаковым знаменателем.

Пример №98

Выполнить сложение (вычитание) дробей:

а) Общим знаменателем является произведение их знаменателей. Поэтому дополнительный множитель для первой дроби —  а для второй — 

б) Общим знаменателем дробей является  Дополнительным множителем для первой дроби является   для второй — 

в) Разложив на множители знаменатели дробей, получим:

Пример №99

Представить в виде дроби выражение 

Выражение  запишем в виде дроби  Тогда:

Пример №100

Доказать тождество 

Преобразуем левую часть равенства:

Путем тождественных преобразований левую часть равенства привели к правой части. Поэтому это равенство является тождеством. 

Примечание. Напоминаем, что для доказательства тождеств одну часть тождества приводят  к другой части, или обе части приводят к одному и тому же выражению, или создают разность левой и правой частей и доказывают, что она равно нулю.

Умножение дробей

Когда умножают обычные дроби, то отдельно умножают их числители и знаменатели и первое произведение записывают числителем дроби, а второй — знаменателем. Например, 

Точно так же умножают любые дроби:  и 

Равенство (1) является тождеством, то есть оно является верным для любых значений  и  где  и 

Из тождества (1) следует правило умножения дробей:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить отдельно их  числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

Это правило распространяется на случай умножения трех и более дробей.

Возведение дроби в степень

Используя правило умножения дробей, возведем дробь до n-ной степени:

 

Следовательно, 

Из тождества (2) следует правило возведения дробей в степень:

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать числителем, а второй — знаменателем дроби.

Пример №101

Выполнить умножение:

Пример №102

Умножить дробь  на многочлен 

Записав многочлен  в виде дроби  получим:

Сокращенная запись: 

Пример №103

Возвести в квадрат дробь — 

Сокращенная запись: 

Деление дробей

Когда делят обычные дроби, то первую дробь умножают на дробь,  обратную ко второй. Например, 

Таким же способом делят любые дроби: и 

Последнее равенство является тождеством, то есть оно является верным для всех значений  и  где  и  Из этого тождества следует правило деления дробей:

Чтоб разделить одну дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную ко второй.

Например, 

Пример №104

Выполнить деление:

Тождественные преобразования рациональных выражений

В курсе алгебры нам уже попадалось немало заданий, для решения которых необходимо было преобразовать то или иное выражение. В частности, преобразование целых рациональных выражений мы использовали для решения уравнений, доказательства тождеств, нахождения значений выражений. Рассмотрим некоторые задачи, связанные с тождественными преобразованиями дробных рациональных выражений.

Пример №105

Упростить выражение 

Сначала представим выражения в каждой скобке в виде дробей, а потом найдем их частное:

Проведенные преобразования можно записать в строку:

Рациональное выражение в данном примере мы привели к рациональной дроби  Вообще, любое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби. 

Пример №106

Доказать, что для всех допустимых значений переменных выражение  приобретает одно и то же значение.

Упростим данное выражение:

Следовательно, для всех допустимых значений переменных, значение выражения равно одному и тому же числу (числу 2).

Пример №107

Доказать тождество 

Упростим левую часть равенства:

Путем тождественных преобразований левую часть равенства привели к правой части. Поэтому это равенство является тождеством.

Рациональные уравнения

Рациональное уравнение — это такой вид уравнения, в которой левая и правая части являются рациональными выражениями. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень. Любое рациональное уравнение сводится к алгебраическому.

Целые и дробные рациональные уравнения

Рассмотрим уравнения:

Левая и правая части каждого из этих уравнений являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями.

Определение. Уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

Рациональные уравнения делят на целые и дробные. Если обе части рационального уравнения являются целыми выражениями, то такое уравнение называют целым рациональным уравнением. Рациональное уравнение, у которого хотя бы одна часть является дробным выражением, называют дробным рациональным уравнением.

•  — целое рациональное уравнение;
•  — целое рациональное уравнение;
• — дробное рациональное уравнение;
•  —  дробное рациональное уравнение.

Решение дробных рациональных уравнений на основании условия равенства дроби нулю

Вспомним: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда  ее числитель равен нулю,  а знаменатель отличный от нуля. 

 тогда и только тогда, когда  и 

Данное утверждение можно использовать для решения дробных рациональных уравнений. Рассмотрим примеры.

Пример №108

Решить уравнение 

Используем условие, при котором дробь равна нулю. Приравняем числитель дроби к нулю:

 или 

Проверим, отличен ли от нуля знаменатель  для найденных чисел .

Если  то  Поэтому  — корень уравнения.

Ответ 0.

Пример №109

Решить уравнение 

Приведем данное уравнение к уравнению, левая часть которого является дробью, а правая — нулем:

Приравняем числитель дроби  к нулю:

Если  то знаменатель  дроби отличный от нуля. Действительно:

Следовательно,  — корень данного уравнения.

Ответ. –18.

Чтобы решить дробное рациональное уравнение на основании условия равенства дроби нулю, необходимо:

1. привести его к виду  где  и  — целые рациональные выражения;
2. приравнять к нулю числитель дроби и решить полученное целое рациональное уравнение 
3. исключить из его корней те, для которых знаменатель дроби равен нулю.

Равносильность уравнений

Решая предыдущий пример, мы имели цепочку уравнений:

Первое из этих уравнений имеет один корень — число 0, второе и третье уравнения имеют два одинаковых корня — числа 0 и 2.

Определение. Два уравнения, которые имеют одинаковые корни, называют равносильными. Два уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными.

Следовательно,

• уравнения  и  равносильные;
• уравнения  и  не равносильные.

Уравнения  и  равносильные, так как каждое из них не имеет корней.

Поскольку решение уравнения  приводится к решению уравнения  и проверке условия  то говорят, что уравнение  равносильно системе  Решением этой системы, как мы уже выяснили, является число 

Уравнение  равносильно системе 

Мы уже рассматривали преобразование уравнений, выполняя которые, получают уравнения с одними и теми же корнями. Следовательно, эти преобразования переводят уравнение в равносильное ему уравнение. С ними связаны такие основные свойства уравнений.

Свойство 1. Если в какой-либо части уравнения выполнить тождественное преобразование, которое не изменяет допустимые значения переменной, то получим уравнение, равносильное данному.

Свойство 2. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Свойство 3. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Умножение обоих частей уравнения на выражение  с переменной

Рассмотрим пример.

Пример №110

Решить уравнение 

Поскольку,  то общим знаменателем всех дробей, которые входят в уравнение, является  Умножив обе части уравнения на общий знаменатель, при условии, что  получим:

 или 

Если  то  Поэтому  — корень уравнения.

Если  то  Поэтому  не является корнем уравнения.

Ответ. 0.

Обратим внимание, что уравнение  имеет один корень  а полученное в решении уравнение   — два корня  и  Следовательно, умножив обе части дробного уравнения на общий знаменатель, мы потеряли его корень, но получили посторонний относительно этого уравнения корень 

Верным является утверждение:

Если обе части какого-либо уравнения умножить на целое выражение с переменной, то можно получить уравнение, не равносильное данному. Полученное уравнение имеет такие свойства: 1) его корнями являются все корни данного уравнения; 2) оно может иметь посторонние корни относительно данного уравнения.

Посторонними корнями могут быть значения переменной, для которых целое выражение, на которое мы умножаем обе части уравнения, становится равным 0. Эти посторонние корни можно отбросить, сделав проверку. 

Чтобы решить дробное рационально уравнение, можно:

1. умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, и заменить его целым рациональным уравнением;
2. решить полученное целое рациональное уравнение;
3. исключить из его корней те, для которых общий знаменатель дробей равен нулю.

Пример №111

Решить уравнение 

Ответ. –1. 

Пример №112

Решить уравнение 

Будем рассматривать равенство  как пропорцию. Согласно основному свойству пропорции, получим:

 при условии, что  и 

Решим полученное уравнение:

Если  то  то есть для  условие  не выполняется. Поэтому  — не корень уравнения.

Ответ. Корней нет.

Пример №113

Из города А в город В , расстояние между которыми равно 21 км, выехал велосипедист, а через 20 минут вслед за ним — мотоциклист, скорость которого втрое больше, чем скорость велосипедиста. Найти скорость велосипедиста, если известно, что мотоциклист приехал в город В на 40 минут раньше, чем велосипедист.

Пусть скорость велосипедиста равна  км/ч, тогда скорость мотоциклиста —  км/ч. Расстояние 21 км велосипедист преодолел за  часов, а мотоциклист  — за  (часов). Поскольку велосипедист был в дороге на 20 мин. + 40 мин. = 60 мин. = 1 час дольше, чем мотоциклист, то получим уравнение

 Решим это уравнение:

Ответ. 14 км/ч.

Степень с целым показателем

Когда говорят о степени с целым показателем, это означает, что число "n" должно быть величиной не дробной. Если данный показатель имеет отрицательное значение, то для начала необходимо избавиться от минуса перед показателем степени, а затем производить действия над степенью.

Степень с натуральным показателем

Степени с натуральным показателем мы уже изучали ранее. Напоминаем, что степенью числа  с натуральным показателем  где   называют произведение  множителей, каждый из которых равен  Например, 

В выражении  число 4 называют основанием степени, число 3 — показателем степени, а все выражение — степенью. Степенью числа с показателем 1 называют само число 

Степени с натуральными показателями часто используют для записи  больших чисел и больших значений величин в компактном виде. Например,

Если значение величины маленькое, то ее задают с помощью степеней, показатели которых не являются натуральными числами. Например, из справочной литературы можно узнать, что масса молекулы воды равна  Чтобы понять подобные задания величин, расширим действие возведения в степень. Рассмотрим, что означает возведение в степень с нулевым и целым отрицательным показателем. 

Степень с нулевым и целым отрицательным показателем

Рассмотрим степень  с натуральным показателем. Если  то эту степень можно представить как часть  Следовательно, 

 где  — натуральное число  

Если равенство (1) распространить на случай  то получим:

Именно число 1 считают нулевой степенью любого числа  где 

Определение. Степень числа  с нулевым показателем, где  равна 1.

Например,  Степень числа 0 с нулевым показателем не определена, то есть запись  не имеет смысла.

Распространим равенство (1) для случаев  и 

Для следующих целых отрицательных значений  должны быть:  и т. д. Следовательно, целесообразно принять по определению, что  где  — натуральное число.

Определение. Если  и  — натуральное число, то степенью числа  с целым отрицательным показателем  называют число  то есть 

 (  — натуральное число)

Например, 

Степень числа 0 с целым отрицательным показателем не определена. Поэтому, запись  не имеет смысла.

Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести в отрицательную степень дробь, можно использовать равенство

 где  — натуральное число.

Это равенство следует из таких преобразований:

Например: 

Пример №114

Вычислить:

Пример №115

Используя отрицательный показатель, представить дробь  в виде произведения.

Пример №116

Упростить выражение 

Пример №117

Представить в виде рациональной дроби выражение 

Свойство степени с целым показателем

Степени с целым показателем имеют все свойства, установленные для степеней с натуральным показателем, а именно:

для любого числа  и любых целых чисел  и  справедливы равенства:

для любых чисел  и  и любого целого числа  справедливы равенства:

Для доказательства этих свойств используют определение степени с целым показателем и свойства степени с натуральным показателем. 

Покажем, например, что равенство  является верным, если показатели степеней являются целыми отрицательными числами. В этом случае показатели степеней можно записать в виде  где  и  — натуральные числа. Осталось доказать, что 

Действительно, поскольку  то:

Точно так же можно доказать, что равенство  является верным, когда один из показателей степени или  является отрицательным, а другой — положительным, когда один или оба показателя равны нулю.

Пример №118

Вычислить:

Пример №119

Представить выражение в виде степени с основанием 

Пример №120

Представить степень в виде выражения, которое не содержит степени с отрицательным показателем:

Пример №121

Упростить выражение 

Стандартный вид числа

В науке и технике приходится иметь дело с величинами, значения которых очень большие или очень маленькие. Например:

• площадь Мирового океана равна 
• диаметр молекула воды равен 
• масса молекулы воды равна 

Указанные значения трудно прочитать, а выполнение с ними определенных действий приводит к громоздким записям. Чтобы эффективнее оперировать с большими и маленькими положительными числами, их удобно записывать с помощью степеней числа 10. Например:

О числах  говорят, что они записаны в стандартном виде. 

Определение. Стандартным видом положительного числа  называют его написание в виде  где  и  — целое число.

Число  называют порядком числа  Например, порядок числа  равен 14, а порядок числа  равен –23. Порядок числа дает представление про то, насколько большим или маленьким является это число.

Обратим внимание на особенность числа  поскольку  то в целой части десятичной записи числа  должна быть только одна цифра, к тому же отличающаяся от нуля.

В стандартном виде можно записать любое положительное число.

Например, запишем число  в стандартном виде  

Чтобы получить число  перенесем в числе запятую на 2 цифры влево:  Число а в  раз меньше, чем число  поэтому  

Другой пример:  (В числе  перенесли запятую вправо на 4 цифры, получили число  которое в  больше, чем число  Поэтому 

Пример №122

Записать в стандартном виде число:

Пример №123

Выполнить действия и записать результат в стандартном виде:

в) Слагаемое, содержащее большую степень числа 10 (первое слагаемое), оставим без изменений, а в другом выделим множитель 

Тогда:

Функция 

Ранее мы рассматривали прямую пропорциональность — функцию  где  Эта функция является отдельным, но важным случаем линейной функции и служит моделью многих реальных процессов. Например, если тело двигается со скоростью 10 м/с, то путь  пройденный им за время  можно вычислить по формуле  Обратим внимание, что зависимость пути  от времени  является прямой пропорциональностью, так как если увеличим (уменьшим) время  в несколько раз, то во столько же раз увеличится (уменьшится) путь 

Существуют зависимости между величинами, имеющими другой, но несколько схожий характер. Рассмотрим примеры.

Пример №124

Пусть тело двигается равномерно и прямолинейно. Если путь 24 м тело проходит за время  то скорость его движения равна  Возьмем значения и  и соответствующие им значения и  — вдвое большему времени отвечает вдвое меньшая скорость. В целом, если увеличим (уменьшим) время  в несколько раз, то во столько же раз уменьшится (увеличится) скорость 

Пример №125

Пусть площадь прямоугольника равна  а длина одной из его сторон —  тогда длина другой стороны прямоугольника равна  Если увеличивать (уменьшать) значение  в несколько раз, то во столько же раз уменьшится (увеличится) значение 

В обоих примерах имеем зависимости между величинами с такой особенностью: если увеличивать (уменьшать) одну величину в несколько раз, то во столько же раз уменьшается (увеличивается) вторая величина. Каждую из таких зависимостей называют обратной пропорциональностью.

В первом примере скорость  является функцией от времени  а во втором примере длина у второй стороны прямоугольника является функцией от длины  первой стороны. Обе функции можно задать формулой 

Определение. Функцию, которую можно задать формулой вида   где  — независимая переменная,  — некоторое число, называют обратной пропорциональностью.

Построим график функции  Составим таблицу для нескольких значений  и соответствующих значений  

Обозначим на координатной плоскости точки, координаты которых представлены в таблице (рис. 1).

Если для каждого значения  кроме  вычислили соответствующее значение  и обозначили точки с такими координатами на координатной плоскости, то получили бы линию, которую называют гиперболой (рис 2.). Она состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях. 

В целом, график любой обратной пропорциональности называют гиперболой.

На рисунке 3 изображена гипербола, которая является графиком функции  Она состоит из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.

Свойства функции  (обратной пропорциональности).

1. Область определения функции создают все числа, кроме 
2. Область значений функции создают также все числа, кроме 
3. Графиком функции является гипербола, которая состоит из двух ветвей.
4. График функции расположен в  и  координатных четвертях, если  во  и  координатных четвертях, если 
5. График функции симметричный относительно начала координат.

Доказательство свойства 5 представлено в рубрике "Для тех, кто хочет знать больше".

Докажем, что график обратной пропорциональности симметричен относительно начала координат (свойство 5).

Пусть  — произвольная точка, которая принадлежит графику функции  Тогда справедливо равенство  Умножив обе части этого равенства на –1, получим верное равенство  из которого следует, что графику принадлежит и точка  — точка, симметричная точке  относительно начала координат.

Пример №126

Решить графически уравнение

Уравнение равносильно уравнению  Строим в одной системе координат графики функций  и  (рис. 4). Эти графики пересекаются в точках с абсциссами  и 

С помощью проверки устанавливаем, что  и  являются корнями уравнения.

Ответ. 

Квадратные корни и действительные числа 

В предыдущих классах мы рассматривали натуральные, целые и рациональные числа. Оказывается, что для практических и теоретических задач таких чисел мало. Среди них, например, нет числа, которое выражало бы длину диагонали квадрата со стороной 1.

В данной лекции мы расширим понятие числа: будем рассматривать иррациональные и действительные числа. Выясним также, что такое квадратный корень, какие свойства имеет квадратный корень.

Функция y = x²

Вы знаете, что площадь квадрата вычисляют по формуле  где  — длина стороны квадрата. Поскольку каждому значению  соответствует единственное значение площади  то  является функцией от . Переходя к принятым обозначениям аргумента и функций, получим функцию 

Далее будем рассматривать функцию  в которой переменной  можно придавать любые значения. 

Построим график функции  Для этого сначала составим таблицу для нескольких значений  и соответствующих значений 

Обозначим на координатной плоскости точки (рис. 5), координаты которых представлены в таблице. Если для каждого значения  вычислили соответствующее значение  и обозначили бы точки с такими координатами на координатной плоскости, то получили бы линию, которая является графиком функции  (рис. 6). Эту линию называют параболой.

Функция  имеет такие свойства:

• Область определения функции образуют все числа.
• Графиком функции является парабола.
• Если  то  если  то 

Из свойства 3 следует, что график функции проходит через точку (0; 0). Эту точку называют вершиной параболы. Вторая часть свойства означает, что все точки параболы, кроме ее вершины, расположены выше оси 

• Область значений функции образуют все неотрицательные числа.

• График функции симметричный относительно оси 

Действительно, противоположным значениям  аргумента соответствует одно и то же значение функции. Например, противоположным значениям аргумента  и  соответствует одно и то же  значение функции  Следовательно, если графику принадлежит точка  то ему принадлежит и точка  Это и означает, что парабола симметрична относительно оси 

Пример №127

Сколько корней имеет уравнение 

Строим в одной системе координат графики функций  и  Эти графики пересекаются в одной точке с абсциссой  Следовательно, данное уравнение имеет один корень.

Ответ. Один корень.

Квадратный корень

Рассмотрим задачу: найти сторону квадрата, площадь которого равна 

Пусть сторона квадрата равна  Тогда его площадь составит  что по условию задачи равно  Следовательно, 

Решим полученное уравнение графически. Парабола  пересекает прямую в двух точках с абсциссами 3 и —3 (см. рис. 7). Поэтому корнями уравнения  являются два числа  и 

Длина стороны квадрата не может выражаться отрицательным числом. Следовательно, искомая сторона равна 3 см.

Решая задачу, мы нашли числа 3 и –3, квадраты которых равны 9. Каждое их этих чисел называют квадратным корнем из числа 9

Определение. Квадратным корнем из числа  называют такое число, квадрат которого равен .

Квадратными корнями из числа 9, как мы уже показали, являются два числа: 3 и –3.

Квадратными корнями из числа 6,25 являются числа 2,5 и –2,5, так как  и 

Квадратными корнями из числа 0 является только число 0, так как только квадрат нуля равен нулю.

Квадратных корней из числа –9 не существует, так как нет чисел, квадраты которых равнялись бы отрицательному числу.

Арифметический квадратный корень

Мы установили, что числа 3 и –3 являются квадратными корнями из числа 9. Неотрицательный из этих корней, то есть число 3, называют арифметическим квадратным корнем из числа 9.

Определение. Арифметическим квадратным корнем из числа  называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Арифметический квадратный корень из числа  обозначают  ( — знак арифметического квадратного корня). Выражение  читают:  квадратный корень из  (правильно было бы: арифметический квадратный корень из  но во время чтения слово "арифметический" опускают).

Следовательно,  (читают: квадратный корень из девяти равен трем).

По определению арифметического квадратного корня:

 так как число 11 неотрицательное 

В общем случае равенство 

является верным, если выполняются два условия:

Корней из числа –1 не существует, поэтому не существует и арифметического квадратного корня из этого числа. Говорят, что выражение  не имеет смысла.

В целом, выражение  имеет смысл, если 

Тождество :

Это тождество следует из определения арифметического квадратного корня. Действительно, поскольку  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен  то:

Например, 

Извлечение квадратного корня

Нахождение значение арифметического квадратного корня иногда называют извлечением квадратного корня. Извлекать квадратные корни из натуральных чисел, которые являются точными квадратами, можно по таблице квадратов. Пусть необходимо найти  По таблице квадратов находим, что число 5476 является квадратом числа 74, поэтому  Понятно, что по таблице квадратов нельзя найти значение квадратного корня из натурального числа, которое не является точным квадратом или квадрат которого не помещен в таблицу. 

Для извлечения квадратного корня из числа можно использовать калькулятор. Для этого необходимо ввести число в калькулятор, а потом нажать клавишу На экране появится значение корня.

Найдем  Введем в калькулятор число 111,9 и нажмем клавишу  На экране появится число  — приближенное значение  Полученный результат округляют до нужного числа знаков. Например, округлив результат до тысячных, получим: 

Найдем Введем в калькулятор число и нажмем клавишу  На экране появится число 3456 — точное значение 

Пример №128

Доказать, что 

Число 0,2 — неотрицательное и его квадрат равен  Поэтому 

Пример №129

Найти значение выражения 

Уравнение  x² = a

Решим графически уравнение  Для этого в одной системе координат построим графики функций  и прямые  На рисунке 8 изображена парабола  и прямые  для трех случаев:  и 

Если  то прямая  пересекает параболу в двух точках с абсциссами  и  Поэтому в данном случае корнями уравнения  являются числа  и 

Если  то получим прямую  которая имеет с параболой одну общую точку  Следовательно, уравнение  имеет единственный корень 

Если  то прямая  не пересекает параболу. В данном случае уравнение  не имеет корней. 

Следовательно, уравнение 

1) имеет два корня  и  если 

2) имеет единый корень  если 

3) не имеет корней, если 

Например, 

• уравнение  имеет два корня  и 
• уравнение  имеет два корня  и 
• уравнение  не имеет корней.

Пример №130

Решить уравнения:

 или 

Ответ. 

 — уравнение корней не имеет, так как 

Ответ. Корней нет.

Ответ. 

Числовые множества

Натуральные и целые числа: Из курса математики нам известно, что натуральные числа 

используют в большинстве для счета.

Целые числа

— это натуральные числа, противоположные им числа и число 0.

Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают буквой  а все целые числа — множество целых чисел, которое обозначают буквой 

Термин "множество" используют, когда речь идет о наборе, совокупности любых объектов, объединенных по определенному признаку. Например, множество учеников школы, множество деревьев в парке, множество букв алфавита, множество планет Солнечной системы и тому подобное. Понятие "множество" относится к основным понятиям математики, таких как "число", "точка", "прямая", поэтому его не определяют.

Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества. Так, число 5 — элемент множества натуральных чисел. Для обозначения множеств используют большие буквы латинского алфавита  а для обозначения элементов множества — малые буквы 

Если элемент  является элементом множества  то записывают:  (читают:  принадлежит ). Запись  означает, что элемент  не принадлежит множеству  Например:

пусть  — множество простых чисел; тогда 

пусть  — множество букв русского алфавита, которые обозначают гласные звуки; тогда 

Тот факт, что число 3 является целым, а число 0,5 — нет, можно записать так: 

Записывая множество, которое состоит из конечного количества элементов, эти элементы берут в фигурные скобки. Например,  — множество, которое состоит из трех элементов — чисел 1, 3, и 5. Тогда 

Каждое натуральное число является целым. Поэтому множество натуральных чисел является частью (подмножеством) множества целых чисел. 

В целом, если любой элемент множества  является элементом множества то множество  называют подмножеством множества  и записывают  (читают:  является подмножеством ).

Например, если  то  так как оба элемента — 1 и 1 множества  являются элементами множества  На рисунке 9 показано схематично, что 

Рациональные числа

Рациональные числа, как мы знаем, — это целые и дробные числа. Примерами рациональных чисел являются   и так далее.

Множество всех рациональных чисел обозначают буквой  Каждое натуральное и каждое целое число  являются рациональным числом, поэтому 

Любое рациональное число можно представить в виде дроби  где  — целое число, а  — натуральное. Например, 

Поэтому говорят, что рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби  где  — целое число, а  — натуральное.

Рациональные числа, как мы знаем, можно представить также в виде десятичных дробей. Например,

Рациональное число  представлено в виде конечной десятичной дроби 0,375, а рациональное число  — виде бесконечной десятичной периодической дроби  с периодом 27.

Конечную десятичную дробь 0,375 можно представить в виде бесконечных десятичных периодических дробей:

В целом, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и наоборот: любая бесконечная десятичная периодическая дробь является записью некоторого рационального числа. Например,

Чтобы убедиться, что данные равенства являются верными, достаточно рациональные числа  и  представить в виде бесконечных десятичных дробей.

Иррациональные числа

Рассмотрим пример.

Пусть имеем квадрат  сторона которого равна единичному отрезку (рис. 10).

Обозначим длину диагонали  через  На этой диагонали построим квадрат как показано на рисунке. Площадь квадрата  равна 1, площадь треугольника  равна  — половине площади квадрата , а площадь квадрата  —  С другой стороны, площадь квадрата  равна квадрату стороны  то есть 

Поэтому  Получили, что длина  диагонали  должна быть положительным числом, квадрат которого равен 2. Однако среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен 2 (доказательство — в рубрике "Для тех, кто хочет знать больше").

Следовательно, число  которое определяет длину диагонали квадрата со стороной 1, не является рациональным числом. 

Поскольку число  является положительным, и его квадрат равен 2, то  Таким образом,  — не рациональное число, то есть его нельзя представить в виде дроби  где   — целое число, а  — натуральное.

Число, которое нельзя представить виде дроби  где  — целое число, а  — натуральное, называют иррациональным числом.

Префикс "ир" означает отрицание: иррациональное — не рациональное.

Следовательно, — иррациональное число. Если искать значение  с помощью калькулятора, то получим приближенное значение

Точное же значение

представляется в виде бесконечной десятичной непериодической дроби (эта дробь не может быть периодической, так как  — не рациональное число).

В целом, любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Примерами иррациональных чисел являются: 

В целом, если натуральное число  не является точным квадратом, то числа  и  являются иррациональными.

Иррациональными являются также числа:

 которое выражает отношение длины окружности к ее диаметру;

 (количество нулей между пятерками последовательно увеличивается на 1).

Действительные числа

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел, которое обозначают буквой 

Каждое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Если эта дробь периодическая, то действительное число  является рациональным; если же эта дробь непериодическая, то действительное число  является иррациональным. Понятно, что множества натуральных, целых и иррациональных чисел являются подмножествами множества действительных чисел (см. рис. 11).

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить (на отличные от нуля числа), возводить в степень, к тому же для этих действий выполняются свойства, установленные для действий над рациональными числами. В частности, для действий сложения и умножения справедливы свойства перемещения, сочетания и распределения:

• свойство перемещения:  
• свойство сочетания:  
• свойство распределения:  

где  и  — любые действительные числа.

Например: 

Любые два действительных числа можно сравнить. Если числа записаны в виде бесконечных десятичных дробей, то их сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Например, 

так как данные числа имеют одинаковые целые части, одинаковое число десятых, но второе число содержит большее число сотых.

Этапы развития понятия числа

В истории развития понятия числа точкой отсчета являются натуральные числа, которые возникли очень давно и служили для подсчета количества предметов. Каждое следующее расширение и обобщение понятия числа проходило под влиянием практических потребностей, а также под влиянием потребностей самой математики.

Так, необходимость точнее измерять размеры земельных участков, определять время, вести торговые расчеты и так далее привели к введению понятия "дробное положительное число".

Идея введения отрицательного числа больше связана с потребностями самой математики — отрицательные числа были нужны для решения уравнений.

Введение иррациональных и действительных чисел решило проблему измерения длины отрезка, так как по выбранной единице измерения действительным числом выражается длина любого отрезка.

Докажем, что среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен 2.

Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что рациональное число  квадрат которого равен 2, существует. Представим число  в виде несократимой дроби  где  — целое число, а  — натуральное. Тогда:

Из равенства  следует, что  — четное число. Тогда и число  должно быть четным  (если бы число было нечетным, то и число  было бы нечетным). Пусть  где  — целое число. Подставив в равенство  вместо число  получим:

 Из равенства  следует, что число  а с ним и число  — четное.  Поскольку числа  и  четные, то дробь  можно сократить на 2. Однако, это противоречит тому, что дробь  несократимая.

Следовательно, предположение, что существует рациональное число, квадрат которого равен 2, не верное. Поэтому верным является утверждение, которое и требовалось доказать.

Пример №131

Сравнить числа:

  и  и  и 

а) С помощью калькулятора находим  Поскольку  то 

б) Вспомним: из двух отрицательных чисел большим является то число, модуль которого меньше. Поскольку, 

а поэтому 

в) Поскольку 

Пример №132

Найти приближенное значение выражения  если  округлив предварительно значения  и 

а) до сотых;   б) до тысячных.

Пример №133

Записать все двухэлементные подмножества 

Пример №134

В классе у 12 девочек черные брови, у 10 девочек — карие глаза, у 7 девочек — черные брови и карие глаза. У скольких девочек черные брови или карие глаза?

Пусть С — множество тех девочек, у которых черные брови, а К — множество тех девочек, у которых карие глаза. Схематично изобразим эти множества на рисунке.

При условии, что черные брови и карие глаза у 7 девочек, множества С и К содержат 7 общих элементов. Поскольку у 12 девочек черные брови, у 7 девочек — черные брови и карие глаза, то только черные брови у  (девочек). Только карие глаза у (девочек). Следовательно, черные брови или карие глаза у  (девочек).

Ответ. 15 девочек.

Свойства арифметического квадратного корня

Напомним сначала, как мы доказываем равенство  Поскольку, 1) правая часть равенства является неотрицательным числом  и 2) квадрат правой части равен выражению под корнем в левой части ( то равенство  является верным. Такие размышления будем использовать для доказательства свойств арифметического квадратного корня, сформулированных в виде теорем.

Квадратный корень из произведения

Теорема 1.  Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей:

если   то 

Доказательство. 1) Выражения  и  для  и  имеют смысл. Поскольку  и 

Следовательно, выражение  приобретает неотрицательные значения, и квадрат этого выражения равен  Поэтому равенство  является верным.

Например, 

Используя теорему 1, можно находить квадратный корень из произведения, которое содержит три и более неотрицательных множителя. Например, если 

В целом, квадратный корень из произведения нескольких неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей.

Квадратный корень из дроби

Теорема 2. Квадратный корень из дроби, числитель которой является неотрицательным, а знаменатель — положительным, равен квадратному корню из числителя, поделенного на квадратный корень из знаменателя:

если  

Доказательство. 1) Выражение  и  имеет смысл. Поскольку  и  Следовательно, равенство  является верным.

Например, 

Квадратный корень из степени

Теорема 3. Квадратный корень из степени  где  и   — натуральное число, равен 

Доказательство. 1) Поскольку  Следовательно, равенство  является верным.

Например, 

Тождество  :

Докажем, что для любого значения  выполняется равенство:

Действительно, выражение  принимает неотрицательные значения, и квадрат этого выражения равен  (если  и  если  Следовательно, равенство  является верным. 

Например, 

Пример №135

Найти значения выражений:

Пример №136

Найти значение выражения

Пример №137

Найти значения выражений:

Пример №138

Упростить выражение  где 

Поскольку  Поэтому 

Пример №139

Найти значение выражения  если 

Если 

Если 

Тождественные преобразования выражений, которые содержат квадратные корни

Рассмотрим преобразования, связанные со сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением в степень выражений, которые содержат квадратные корни:

Вынесение множителя из-под знака корня

Рассмотрим преобразование:

Выполненное преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня. В данном случае вынесен из-под знака корня множитель 3.

Вынесем множитель из-под знака корня в выражениях  где  и  где 

 (если 

 (если 

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим преобразование:

Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня. Заменив выражение  на выражение  мы внесли под знак корня множитель 3.

Внесем множитель под знак корня в выражении  где  Поскольку  Поэтому 

Внесем множитель под знак корня в выражении  где Поскольку  откуда  Поэтому 

Избавление от иррациональности в знаменателе или числителе дроби

Рассмотрим преобразования, которые позволяют избавиться от корней в знаменателях или числителях дробей:

Выполненные преобразования называют избавлением от иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Каждое такое преобразование сводится к умножению числителя и знаменателя дроби на определенное выражение.

Пример №140

Упростить выражения:

Пример №141

Разложить на множители:

 где 

б) Выражение   имеет смысл, если  Для таких значений  справедливо равенство  поэтому:

в) Учитывая, что  получим:

Пример №142

Упростить выражение:

б) Разложив числитель и знаменатель дроби на множители, получим:

Пример №143

Упростить выражение 

Избавившись от иррациональности в знаменателях дробей, получим:

Функция y = √x

Если известна площадь  квадрата, то для нахождения его стороны  можно воспользоваться формулой  Поскольку каждому значению площади  соответствует единственное значение стороны  то  является функцией от  Переходя к принятым обозначениям функции и аргумента, получим функцию 

Выражение  имеет смысл, если  Поэтому областью определения функции  является множество всех неотрицательных действительных чисел.

Построим график функции  составив таблицу для некоторых значений  и соответствующих значений 

Обозначим на координатной плоскости точки, координаты которых представлены в таблице (см. рис. 12). Если для каждого неотрицательного значения  вычислили соответствующее значение  и обозначили бы точки с такими координатами на координатной плоскости, то получили бы линию, которая является графиком функции 

График функции  где  называют правой ветвью параболы. График функции  можно получить, если эту ветвь симметрично отобразить относительно прямой   Поэтому и график функции  называют ветвью параболы.

Функция  имеет следующие свойства:

1. Областью определения функции является множество всех неотрицательных действительных чисел.
2. Областью значений функции также является множество всех неотрицательных действительных чисел. Действительно, значения функции  не могут быть отрицательными. В то же время любое неотрицательное число является значением функции. Например, число 10 является значением функции  для значения аргумента 
3. Графиком функции является ветвь параболы.
4. Если  то есть график проходит через начало координат. График расположен в первой четверти координатной плоскости.

Уравнение √x = a

Рассмотрим уравнение  где  — некоторое число.

Если  то, по определению арифметического квадратного корня, равенство  будет верным только при условии, что  В данном случае уравнение имеет один корень 

Если  то уравнение корней не имеет, так как арифметический квадратный корень не может быть равен  отрицательному числу. 

Следовательно, уравнение 

1) имеет один корень  если 

2) не имеет корней, если 

Например, уравнение  имеет один корень  уравнение  не имеет корней.

Уравнение  является примером иррационального уравнения (так называют всякое уравнение, в котором неизвестное находится под знаком корня). Если  то его можно решить путем возведения обеих частей уравнения в квадрат: 

Пример №144

Решить уравнения:

Ответ. 16.

 — уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Ответ. 

Квадратные уравнения 

Существует много задач, решая которые, получают уравнения, содержащие квадрат переменной.

В данной лекции мы выясним, что такое квадратное уравнение, сколько корней может иметь квадратное уравнение и как их находить. Познакомимся также с уравнениями, которые приводятся к квадратным, и задачами, которые решают с помощью квадратных уравнений и уравнений, которые приводятся к квадратным.

Ранее мы рассматривали линейные уравнения с одной переменной, то есть уравнения вида  где  — переменная,  и  — некоторые числа (коэффициенты уравнения). Уравнение  содержит переменную  только в первой степени, и если  то же самое уравнение называют еще уравнением первой степени с одной переменной. 

Рассмотрим задачу, которая приводит к уравнению, содержащему переменную во второй степени (в квадрате).

Пример №145

Площадь участка прямоугольной формы равна  Длина участка на 10 м больше, чем ширина. Найти ширину участка.

Пусть ширина участка равна  Тогда длина участка равна  а площадь —  По условию задачи эта площадь равна  поэтому получим уравнение  откуда

Полученное уравнение называют квадратным.

Определение. Квадратным уравнением называют  уравнение вида

где  — переменная,  и  — некоторые числа, причем 

Числа  и  называют коэффициентами квадратного уравнения:

 — первый коэффициент;  — второй коэффициент;  — свободный член.

Например,  — квадратное уравнение, в котором первый коэффициент  второй коэффициент  свободный член 

Если в квадратном уравнении первый коэффициент равен 1, то такое уравнение называют приведенным квадратным уравнением. Так,   —приведенное квадратное уравнение.

Любое квадратное уравнение, которое не является приведенным, можно преобразовать в равносильное ему приведенное квадратное уравнение. Например, квадратное уравнение  не является приведенным. Разделив обе его части на первый коэффициент, получим приведенное квадратное уравнение 

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов  или  равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Например, уравнения

являются неполными квадратными уравнениями. В первом уравнении  во втором —  в третьем —  и 

Следовательно, существует три  вида неполных квадратных уравнений:

Решение неполных квадратных уравнений

Замечание. Уравнение  можно записать в виде  Первый множитель равен нулю, если  второй — тоже, если  Поэтому иногда говорят, что уравнение  имеет два равных корня  и 

Пример №146

Решить уравнение 

 Отсюда  или: 

Ответ. 

Пример №147

Решить уравнение 

Ответ. 

Формула корней квадратного уравнения

Выведем формулы, которые позволят искать корни любого квадратного уравнения, зная его коэффициенты. Для этого решим в общем виде квадратное уравнение

Умножим обе части уравнения на  (поскольку  Получим равносильное ему уравнение:

В левой части уравнения выделим квадрат двучлена:

Выражение  называют дискриминантом квадратного уравнения  и обозначают буквой  то есть 

Учитывая данное обозначение, уравнение (2) можно записать так:

Наличие корней уравнения и их количество зависит от знака числа  Рассмотрим три возможных случая: 

1) Если то из уравнения (3) получим:

  или 

 или 

 или 

Следовательно, если  то квадратное уравнение (1) имеет два разных корня

Эти две формулы для корней можно объединить в одну:

Полученную формулу называют формулой корней квадратного уравнения.

2) Если  то из уравнения (3) получим:

Полученный корень можно найти и по формуле корней квадратного уравнения. Действительно, если  то  Поэтому иногда говорят:  если  то уравнение имеет два равных корня, каждый из которых равен 

Следовательно, если  то квадратное уравнение (1) имеет один корень  (или два равных корня, каждый из которых равен ).

3) Если  то уравнение (3) не имеет корней, так как его левая часть приобретает неотрицательные значения, а правая часть является отрицательным числом. 

Следовательно, если  то квадратное уравнение (1) не имеет корней.

Итог: корни квадратного уравнения

Решать квадратное уравнение целесообразно так:

1) Вычислить дискриминант  и сравнить его с нулем.

2) Если дискриминант положительный или равен нулю то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения 

Если дискриминант отрицательный, то записать, что уравнение не имеет корней.

Формула корней приведенного квадратного уравнения

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение  Для этого уравнения  Если 

Следовательно, для приведенного квадратного уравнения  получим такую формулу корней:

Используя эту формулу, найдем корни уравнения 

Пример №148

Решить уравнение 

Ответ. 

Пример №149

Решить уравнение 

Поскольку  то данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Корней нет.

Пример №150

Решить уравнение 

Данное уравнение имеет один корень 

Ответ. 

Пример №151

Существуют ли значения  для которых уравнение  не имеет корней?

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку  для любого значения  то данное уравнение для любого значения  имеет корни.

Ответ. Не существуют.

Теорема Виета

Рассмотрим приведенные квадратные уравнения:

Найдем корни каждого из этих уравнений, а также сумму корней и их произведение. Результаты занесем в таблицу:

Из таблицы видно, что сумма корней каждого из уравнений равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это верно для любого приведенного квадратного уравнения  которое имеет корни.

Теорема (Виета). Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение  и пусть  и  — его корни. Тогда

 где 

(Поскольку уравнение имеет корни, то )

Найдем сумму и произведение корней:

Следовательно,  Теорема доказана.

Если  — корни приведенного квадратного уравнения  то:

Доказанную теорему называют "теоремой Виета" по фамилии французского математика Франсуа Виета (1540—1603), который первый заметил зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

На основании теоремы Виета можно, не находя корней квадратного уравнения, искать их сумму и произведение. Использовать теорему Виета можно только для квадратных уравнений, которые имеют корни.

Рассмотрим, например, уравнение  Оно имеет корни, так как  Если  и  — корни уравнения, то, по теореме Виета:

Замечание 1. Пусть некоторое приведенное квадратное уравнение имеет корни. Из уравнения  следует: если  то эти корни оба положительные или оба отрицательные;  то корни имеют разные знаки.

Замечание 2. Если коэффициенты уравнения  являются целыми числами, то из равенства  следует, что целыми корнями такого уравнения могут быть только числа, на которые делится (без остатка) свободный член 

Например, целыми корнями уравнения  могут быть только числа 1, 5,  —1, или —5.

Сумма и произведение корней произвольного квадратного уравнения

Мы доказали теорему Виета для приведенного квадратного уравнения. Рассмотрим теперь произвольное квадратное уравнение  которое имеет корни  и  Данное уравнение равносильно уравнению 

Полученное квадратное уравнение уже является приведенным, а поэтому для него выполняется теорема Виета: 

Если  — корни квадратного уравнения

 то:

Теорема. Если сумма двух чисел равна  а их произведение равно  то эти числа являются корнями уравнения 

Доказательство. Пусть числа  и  такие, что  тогда   Подставим значения  и  в уравнение

получим равносильное ему уравнение

Решим полученное уравнение так:

откуда  или  Числа  и  являются корнями уравнения (2), а поэтому и корнями уравнения (1). Теорема доказана.

На основании теоремы, обратной теореме Виета, можно:

1. проверить, являются ли некоторые два числа корнями заданного квадратного уравнения;
2. решить квадратное уравнение путем подбора его корней;
3. составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются некоторые заданные два числа.

Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример №152

Являются ли числа —3 и 5 корнями уравнения 

Найдем сумму чисел —3 и 5 и их произведение:  Сумма чисел равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену. Поэтому по теореме, обратной теореме Виета, числа —3 и 5 являются корнями данного уравнения.

Пример №153

Решить уравнение  путем подбора его корней.

Пусть  и  — корни уравнения. Тогда

Проверим, могут ли корнями уравнения быть целые числа. Равенство  является верным для таких пар целых чисел: —1 и 8; —2 и 4; —4 и 2; —8 и 1.Из этих пар только сумма чисел третьей пары равна —2. Поэтому по теореме, обратной теореме Виета, числа —4 и 2 являются корнями данного квадратного уравнения. Следовательно, 

Ответ. —4; 2.

Пример №154

Составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа —11 и 4.

Искомое уравнение должно иметь вид  где

Следовательно, получим уравнение 

Ответ. 

Пример №155

Не решая уравнение  найти сумму и произведение его корней.

Найдем дискриминант уравнения: 

Поскольку  то данное уравнение имеет корни. Если  и  — корни уравнения, то по формулам  находим:

Ответ. 

Пример №156

Найти коэффициенты приведенного квадратного уравнения  если его корнями являются числа 3 и —6.

Пусть  и  — корни уравнения. По теореме Виета

Ответ. 

Пример №157

Найти значение выражения  где  и  — корни уравнения 

По теореме Виета  Тогда:

Ответ. —61.

Пример №158

Корни  и  уравнения  отвечают условию  Найти эти корни и коэффициент 

По теореме Виета  Учитывая условие  получим систему уравнений  откуда 

Следовательно,  — корни уравнения. Тогда 

Ответ. —4; —6 — корни уравнения; 

Квадратный трехчлен и его корни

Рассмотрим выражения   Каждое из них является многочленом второй степени и содержит три члена. Такие выражения называют квадратными трехчленами.

Определение. Квадратным трехчленом называют многочлен вида где — переменная,  и  — некоторые известные числа, причем 

Значение квадратного  трехчлена для   равно нулю. Говорят, что число 1 является корнем этого трехчлена. 

Определение. Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, для которого значение трехчлена равно нулю.

Чтобы найти все корни квадратного трехчлена  нужно решить уравнение  Получим:

Следовательно, данный квадратный трехчлен имеет два корня:  и 1.

Дискриминант  квадратного уравнения  называют и дискриминантом квадратного трехчлена  Понятно: если  то квадратный трехчлен имеет два корня, если  — один корень, если  то квадратный трехчлен корней не имеет.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Зная корни квадратного трехчлена, его можно разложить на множители на основании такой теоремы:

Теорема. Если  и  — корни квадратного трехчлена  то 

Доказательство. Корни  и  данного трехчлена являются корнями квадратного уравнения  Поэтому по теореме Виета

откуда

Учитывая эти равенства, получим:

Поскольку корнями квадратного трехчлена  являются числа  и 1, то 

Мы разложили квадратный трехчлен  на два множителя, каждый из которых является многочленом первой степени. Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, которые являются многочленами первой степени.

Пример №159

Разложить на множители квадратный трехчлен:

а) Решим уравнение 

Следовательно, 

Ответ. 

б) Решим уравнение 

Уравнение имеет два равных корня, поэтому:

Ответ. 

Пример №160

Сократить дробь 

Разложим квадратный трехчлен   на множители:

Поэтому 

Следовательно, 

Ответ. 

Дробные рациональные уравнения

Решение некоторых дробных рациональных уравнений сводится к решению квадратных уравнений. Рассмотрим пример.

Пример №161

Решить уравнение 

Перенесем дробь  в левую часть уравнения и запишем полученную разность в одной дроби:

Найдем значения  для которых числитель дроби равен нулю:

Если  или  то знаменатель  не равен нулю. Следовательно,  — корни уравнения.

Ответ. 2; 7.

Биквадратные уравнения

Определение. Уравнение вида  где  называют биквадратным уравнением.

С помощью замены  (тогда ) биквадратное уравнение можно привести к квадратному уравнению 

Пример №162

Решить уравнение 

Сделаем замену  Получим квадратное уравнение:

Для этого уравнения:

Возвращаясь к замене  получим:

 откуда 

 откуда 

Ответ. 

Путем замены  решение биквадратного уравнения сводится к решению квадратного уравнения. Используя подобные замены, аналогичным способом можно решать и некоторые другие уравнения. Рассмотрим примеры.

Пример №163

Решить уравнение 

Пусть  Относительно переменной  получим квадратное уравнение  Его корнями являются числа 

Учитывая замену, получим:

Поскольку дискриминант отрицательный, то уравнение корней не имеет.

Ответ. —1; 4.

Пример №164

Решить уравнение 

Пусть  тогда  Получим уравнение  корнями которого являются числа 

Учитывая замену, получим:

 — уравнение корней не имеет;  

Ответ. 16.

Решение задач с помощью квадратных уравнений и уравнений, которые приводятся к квадратным

Вы уже решали задачи с помощью линейных уравнений с одной переменной и систем линейных уравнений с двумя переменными. Рассмотрим задачи, решение которых приводит к квадратным уравнениям.

Пример №165

Длина классной доски на 1,3 м больше чем ширина. Найти размеры доски, если ее площадь равна  

Пусть ширина доски равна Тогда длина доски равна  а площадь —  По условию задачи площадь доски равна  Получим уравнение:  откуда  Корнями полученного уравнения являются числа  и  Первый корень не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, ширина доски равна 1,2 м, а длина — 

Ответ. 

Пример №166

Моторная лодка за 2 часа прошла 15 км по течению реки и 14 км против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна  км/ч, тогда скорость лодки по течению реки равна  км/ч, а против течения —  км/ч.

Расстояние 15 км по течению реки лодка прошла за  часов, а расстояние 14 км против течения — за  часов. На весь путь лодка потратила  часов, что по условию задачи равно 2 часа. Получим уравнение:

Решим полученное уравнение:

Число —0,5 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.

Ответ. 15 км/ч.

Пример №167

Две автоматических линии, работая вместе, произвели заказанную партию упаковок за 4 дня. За сколько дней может выполнить заказ каждая линия, работая отдельно, если первая может это делать на 6 дней быстрее, чем вторая?

По условию задачи составим таблицу:

Получим уравнение: 

Решим полученное уравнение:

Число –4 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первая линия может выполнить заказ за 6 дней, а вторая — за 6 + 6 = 12 (дней).

Ответ. 6 дней; 12 дней.

Пример №168

Поезд был задержан в дороге на 20 мин. Для того чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, он за 160 км от этой станции увеличил свою скорость на 16 км/ч. Найти начальную скорость поезда.

По условию задачи составим таблицу:

20 мин. =  часа.

Получим уравнение 

Решим уравнение, умножив обе его части на 

Если  или  то  поэтому данные числа являются корнями уравнения.

Число –96 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, начальная скорость поезда была равна 80 км/ч.

Ответ. 80 км/ч.

Неравенства

Есть немало задач, для решения которых нужно сравнить некоторые числа или величины, найти значения переменной, которые удовлетворяют некоторое неравенство.

В этой лекции мы выясним свойства числовых неравенств, как доказывать неравенства, что такое неравенство с переменной и система неравенств с переменной, как решать неравенства и их системы.

Числовые неравенства

Вы знаете, что записи

являются примерами числовых неравенств. Вы научились сравнивать натуральные числа, дроби, рациональные и действительные числа.

Известно, что  Найдем разность левой и правой частей этого неравенства:

 разность положительная.

Найдем разность левой и правой частей неравенства 

 разность отрицательная.

Из равенства 15 = 15 имеем:

 разность равна нулю.

То есть , существует зависимость между соотношениями  и значением левой и правой частей соответственного неравенства (равенства). Эту зависимость выражает определение.

Определение:

• Число a больше числа b, если разность  положительное число;
• Число a меньше числа b, если разность   отрицательное число;
• Число a равно числу b, если разность  равна нулю.

Поскольку разность чисел a и b может быть только положительной, отрицательной или равной нулю, то для произвольных чисел a и b выполняется одно и только одно из трёх соотношений:  или 

Используя данное определение, сравним числа  и  Для этого найдем их разность:

Разность данных чисел  число положительное, поэтому 

То есть, для сравнения двух чисел a и b достаточно определить разность  и выяснить, является ли она положительным числом, отрицательным числом или равна нулю. Если  то ; если  то  если  то 

На координатной прямой большее число изображают точкой, которая лежит справа от точки, которая изображает меньшее число (см. рис. 1).

                    

Рис.1

В неравенствах используют знаки:  меньше,  больше,  меньше или равно (не больше),   больше или равно (не меньше).

Неравенства, составленные с помощью знаков  или  называют строгими неравенствами, а неравенства, составленные с помощью знаков  или   называют нестрогими.

Из определения соотношений "больше", "меньше", "равно" вытекает,

что  если  если 

Числовые неравенства могут быть верными и неверными.

Например,  верные неравенства,   неверное неравенство.

Доказательство неравенств

Докажем, что для любого числа a является верным неравенство

(Еще говорят: докажем неравенство 

Для этого  запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее :

Поскольку разность  является отрицательной для любого числа a,  то неравенство   является верным также для любого числа a.

Пример №169

Доказать неравенство  если 

 Запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

  

Разность мы представили в виде дроби, числитель которой не отрицательный, потому что является квадратом некоторого числа, а знаменатель  положительный, как произведение положительных чисел. Поэтому эта дробь, а значит и разность, не отрицательные:  Следовательно, неравенство   является верным для любых положительных чисел a и b.

Если в доказанном неравенстве взять  то получим верное неравенство: 

Следовательно, сума двух положительных  взаимно обратных чисел не меньше 2.

Пример №170

Доказать неравенство  если 

Запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Следовательно, 

Для положительных чисел a и b число  называют их средним геометрическим (или средним пропорциональным). Неравенство

 

является верным и для любых положительных чисел a и b. Следовательно, среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического. 

Пример №171

Доказать, что неравенство  является верным для любых действительных чисел a и b .

Поскольку   для любых действительных чисел a и b, то  

Примечание. Чтобы доказать неравенство при помощи определения соотношений "больше", "меньше" или "равно", разность левой и правой частей неравенства нужно преобразовать так, чтобы можно было определить знак разности. 

Выражение, полученное после преобразований, приобретает неотрицательное значение, если оно является, например, суммой, произведением или частным неотрицательных чисел, четной степенью некоторого выражения и т. п.

Выражение приобретает отрицательное значение, если оно является суммой отрицательных чисел, произведением или частным чисел разных знаков и т. п. 

Свойства числовых неравенств

Свойство 1. Если  то 

Доказательство. если  то  положительное число. Противоположное ему число  является отрицательным. Поскольку  то 

Свойство 2. Если  и   то 

Доказательство. По условию  и поэтому  и    отрицательные числа. Сума двух отрицательных чисел является отрицательным числом, поэтому  Поскольку 

Геометрическая иллюстрация свойства показана на рисунке 3.

Аналогично можно доказать утверждение: если  и  то 

Свойство 3. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть  и  любое число. Докажем, что 

Рассмотрим разность   Поскольку  то  То есть, поэтому 

Аналогично проводим доказательство для случая  и любого числа c.

Следствие. Если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть верное неравенство. Прибавим к обеим его частям число –с, получим верное  неравенство а + (–с) < b + c + (–с) или а – с < b. Следовательно, если перенести слагаемое с в левую часть неравенства, изменив его знак на противоположный, то получим верное неравенство. 

Свойство 4. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и поменять знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть   Докажем, что если  положительное число, и  если  отрицательное число. Рассмотрим разность:

По условию  поэтому  Если  то в произведении  первый множитель положительный, а второй — отрицательный. Поэтому  В данном случае  откуда 

Если  то произведение  положительное, как произведение двух отрицательных множителей. Тогда и  откуда 

Аналогично проводим доказательство, если имеется неравенство  

Верной является и та часть свойства, которая касается деления двух частей неравенства на некоторое число, поскольку деление можно заменить умножением на число, обратное делителю.

Следствие. Если a и b — положительные числа и то 

Доказательство. Разделим обе части неравенства на положительное число   Имеем:

следовательно 

Это следствие можно использовать для сравнения чисел, обратных данным. Например, поскольку  

Примечание. Двойное неравенство  можно записать в виде двух неравенств:  и  Поскольку:  и   то для любого числа m верными являются неравенства: и  откуда  Следовательно, если ко всем частям верного двойного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.

Аналогично можно обосновать утверждение:

если  и 

если  и  то есть 

Пример №172

Известно, что  Оценить значение выражения.

 Прибавим ко всем частям неравенства  получим:  откуда 

 Умножим все части неравенства  получим:

 или  

 Умножим все части заданного неравенства на 2, получим:  Теперь прибавим ко всем частям полученного неравенства число –5, получим:  откуда 

Пример №173

Доказать, что если 

Запишем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем его:

 

Значение выражения  является неотрицательным. По условию  прибавим к обеим частям этого неравенства число 1, получим:  Поэтому 

То есть, если неравенство  является верным.

Рассмотрим действия, которые можно выполнять над верными числовыми неравенствами.

Сложение числовых неравенств

Пусть имеются верные числовые неравенства с одинаковым знаком:  и  . Почленно сложим эти неравенства. Получим верное неравенство с тем же знаком, а именно:  или  В общем случае имеет место такое свойство:

Свойство 5. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, оставив их общий знак, то  получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть  и  Нужно доказать, что  Чтобы получить сумму  прибавим к обеим частям первого неравенства число c, а чтобы получить суму  прибавим к обеим частям второго неравенства число b. Получаем верные неравенства:  По свойству 2 из последних двух неравенств вытекает, что 

Аналогично можно доказать: если  и  то 

Умножение числовых неравенств

Пусть имеются верные неравенства: и . Почленно перемножим эти неравенства. Получим верное неравенство   или 

Почленно перемножим неравенства  и  Получим верное неравенство 

В первом случае все числа данных неравенств были положительными, во втором — положительными и отрицательными. Докажем такое свойство.

Свойство 6. Если почленно  перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, оставив при этом их общий знак, то получим верное неравенство.

Доказательство. Пусть  и  где  и  положительные числа. Нужно доказать, что  Умножим обе части неравенства  на положительное число c, а обе части неравенства  на положительное число b. Получим верные неравенства:  По свойству 2 из последних двух неравенств вытекает, что 

Аналогично можно доказать: если  и  где  и  положительные числа, то 

Следствие. Если  и   положительные числа, натуральное число, то  

Для доказательства следствия достаточно взять n неравенств  и почленно их перемножить.

Оценивание значений выражений

Рассмотрим пример.

Пример №174

Дано:  и Оценить: 

сумму                разность 

 произведение      частное 

 Оценим сумму 

Применим к неравенствам  и  свойство почленного сложения неравенств. Получим:  Применим это же свойство к неравенствам  и  Получим:  Результат запишем в виде двойного неравенства  

Коротко эти преобразования записывают так:

Общая схема оценки суммы выглядит так:

 Оценим разницу 

Зная, как оценивается сумма, представим разность в виде суммы  Сначала оценим значение выражения  Умножим все части неравенства   получим:  или  По свойству почленного сложения неравенств получим:

Общая схема оценки разности выглядит так:

 Оценим произведение 

Поскольку  и  и  положительные числа. Применим к неравенствам  и  свойство почленного умножение неравенств.

Получим:  Применим это же свойство к неравенствам  и  Получим:  Результат запишем в виде двойного неравенства 

Коротко эти преобразования записывают так: 

Общая схема оценки произведения выглядит так:

 Оценим частное 

Представим частное  в виде произведения  Поскольку   или   По свойству почленного умножения неравенств получаем: 

следовательно 

Общая схема оценки частного выглядит так:

Пример №175

Доказать неравенство где 

Используем известное неравенство   где  Запишем это неравенство для чисел m и n, а потом — для чисел mn и 1. Получим два верных неравенства: 

Умножим обе части каждого неравенства на 2:

Почленно перемножив эти неравенства, получим:

Примечание. Для доказательства неравенства примера мы использовали известное неравенство, которое доказали раньше. Суть примененного способа доказательства неравенств заключается в том, что:

1. записываем несколько неравенств, которые доказали раньше;
2. перемножив (или сложив) эти неравенства, приходим к неравенству, которое требовалось доказать.

Понятие неравенства с одной переменной и его решение

Рассмотрим неравенство  Для одних значений x данное неравенство превращается в верное числовое неравенство, для других — в неверное. Например, если  получим верное числовое неравенство  а если  получим неверное числовое неравенство 

Если нужно найти все значения x, для которых неравенство  является верным, то говорят, что нужно решить неравенство  которое имеет одну переменную x.

Если неравенство  является верным. Говорят, что число 5 является решением данного неравенства, или удовлетворяет данное неравенство.

Определение:

Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое превращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенство с одной переменной обычно имеет несколько решений. Так, решениями неравенства  являются числа  и так далее. Множество решений неравенств иногда можно записывать в виде числовых промежутков.

Числовые промежутки

Рассмотрим несколько примеров.

1) Неравенство  удовлетворяют все действительные числа, которые больше –2 и меньше 3, следовательно все действительные числа, которые лежат на числовой прямой между числами –2 и 3. Множество всех чисел, которые удовлетворяют двойному неравенству  называют числовым промежутком, или просто промежутком, и обозначают (–2; 3) (читают: "промежуток от –2 до 3"). На координатной прямой его изображают так:

Промежуток заштриховывают, точки –2 и 3 изображают "пустыми" ("выколотыми") .

Число 2,2 удовлетворяет двойному неравенству  ему не удовлетворяет. Говорят, что число 2,2 принадлежит промежутку (–2; 3), а число 4 ему не принадлежит.

2) Неравенство  удовлетворяют все действительные числа, которые лежат между –2 и 3, или равны числам –2 или 3. Множество таких чисел обозначают так: ( читают: "промежуток от –2 до 3, включая –2 и 3"). На координатной прямой его изображают так: 

3) Множество чисел, которые удовлетворяют двойные неравенства  и  обозначают соответственно  и : "промежуток от —2 до 3, включая —2" и "промежуток от —2 до 3, включая 3"). Эти промежутки изображают на координатной прямой так: 

4) Неравенство  удовлетворяют все действительные числа  больше 4. На координатной прямой эти числа изображают точками, которые лежат правее точки с координатой 4. Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство  изображают полупрямой, расположенной правее точки с координатой 4 без этой точки (см. рис. 8). Такое множество называют промежутком от 4 до плюс бесконечности  и обозначают  

Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство  изображают полупрямой (см. рис. 9). Это множество обозначают : "промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4").

Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство  записывают  и читают "промежуток от минус бесконечности до 8". Множество чисел, которое удовлетворяет неравенство  записывают  и читают: "промежуток от минус бесконечности до 8, включая 8". На координатной прямой эти числовые промежутки изображают так:

6) Множество всех действительных чисел изображают всей координатной прямой и обозначают так: 

Объединение и пересечение числовых промежутков

Рассмотрим два промежутка : и 

Промежуток  образуют все числа, которые принадлежат промежутку  или промежутку   Говорят, что промежуток  является объединением промежутков  и  Записывают:  где знак объединения.

Определение:

Объединением числовых промежутков называют множество всех чисел, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков.

Промежуток (2; 4) образует все общие числа из промежутков и (2; 7), то есть все числа, которые принадлежат каждому из промежутков  и  Говорят, что промежуток  является пересечением  промежутков  и  Записывают:  где пересечения.

Определение:

Пересечением числовых промежутков называют множество всех чисел, которые принадлежат каждому из этих промежутков.

Объединением и пересечением двух числовых промежутков могут быть не числовые промежутки. Рассмотрим, например, промежутки  и  Чисел, которые принадлежат обоим этим промежуткам, нет (см. рис. 12). Поэтому говорят, что пересечением этих промежутков является пустое множество.

Его обозначают символом  Записывают:  Объединением промежутков  и  является множество  которое не является числовым промежутком (оно "состоит" из двух промежутков).

Для промежутков  и  множество общих чисел имеет только одно число — число 1 (см. рис. 13). Такое множество обозначают так:  Записывают:

 Легко определить, что 

Пример №176

Указать наименьшее и наибольшее действительные числа, которые принадлежат промежутку:

 наибольшего действительного числа, которое принадлежит этому промежутку, нет. (Это вытекает из таких рассуждений. Допустим, что  наибольшее число промежутка  Поскольку можно рассматривать промежуток  любое число которого больше  То есть, в промежутке  3  не является наибольшим.);  наименьшего числа нет; 4, 8;   ни наименьшего, ни наибольшего чисел нет.

Пример №177

Изобразить на координатной прямой множество чисел, которые удовлетворяют неравенству, и записать это множество в виде промежутка или объединения промежутков:  

 Модулем числа x является расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число x на координатной прямой. Поэтому решениями данного неравенства являются числа, которым отвечают точки координатной прямой,  размещенные от начала отсчета на расстоянии,  не превышающем 5.

Следовательно, решениями неравенства  являются все числа, которые принадлежат промежутку [–5; 5].

б) Решениями неравенства |x| ≥ 5 являются числа, которым соответствуют точки координатной прямо, размещенные от начала отсчета на расстоянии, не меньшем 5 (большем 5 или равном 5), следовательно значения x, которые удовлетворяет неравенству  или неравенству 

Значит, множеством решений неравенства  является объединение промежутков  и  то есть 

Решение неравенств с одной переменной

Пример №178

Одна сторона участка прямоугольной формы на 5 метров длиннее другой. Какими могут быть стороны участка, если для его ограждения хватило сетки длинною 46 метров? 

Пусть длина меньшей стороны участка равна x метров, тогда длина большей   , а периметр участка  По условию периметр не превышает 46 метров, то есть 

Чтобы найти длины сторон участка, нужно решить неравенство  с одной переменной x.  

Решая неравенство, его преображают, заменяя простыми неравенствами с теми же решениями. 

Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, которые не имеют решений, также называют равносильными. 

Замену неравенства равносильными ему неравенствами выполняют на основании таких свойств:

1. если выполнить тождественные преобразования некоторой части неравенства, которые не изменяют допустимые значения переменной, то получим неравенство, равносильное данному;
2. если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному;
3. если обе части неравенства умножить  или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному;
4. если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Используя эти свойства, решим неравенство:

Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный, получим неравенство 

которое равносильно заданному неравенству.

В правой части неравенства  приведем подобные слагаемые, получим:

Поделим обе части последнего неравенства на 4, получим неравенство 

То есть, неравенство  равносильно неравенству  и ему удовлетворяют все числа, не больше 9 (см. рис. 16). Множество решений данного неравенства можно записать в виде числового промежутка 

Вернемся к задаче. Длину меньшей стороны участка мы обозначили x метров. Поскольку длина стороны выражается положительным числом, то x может принимать значение промежутка  То есть, меньшая сторона участка не должна превышать 9 метров, большая же сторона на 5 метров длиннее нее.

Решая неравенство:

мы перенесли слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, поменяв его знак на противоположный. Получили неравенство

Докажем, что неравенства (1) и (2) равносильны.

Пусть  произвольное решение неравенства (1), тогда верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, поменяв его знак на противоположный, получим правильное числовое неравенство  Из того, что последнее неравенство является верным, вытекает, что число a является решением неравенства (2).

Пусть  произвольное решение неравенства (2), тогда верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое –10 из правой части неравенства в левую, поменяв его знак на противоположный, получим верное числовое неравенство Из того, что последнее неравенство является верным, вытекает, что число b является решением неравенства (1).

Мы показали, что произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Поэтому эти неравенства имеют одни и те же решения, следовательно являются равносильными.

Равносильность неравенств  и  а также неравенств  и  доказывают аналогично.

Пример №179

Решить неравенство  и изобразить на координатной прямой множество его решений.

Раскроем скобки: 

перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, а другие — в правую часть: 

приведем подобные слагаемые:

поделим обе части неравенства на 3:

Ответ.  или по=другому 

Пример №180

Решить неравенство  изобразить на координатной прямой множество его решений и записать это множество в виде числового промежутка.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, которые входят в неравенство, то есть на 18. Получаем:

Ответ. 

Пример №181

Решить неравенство 

Умножим все части неравенства на 2:  

Прибавим ко всем частям неравенства число 1:

Разделим все части неравенства на 3, получим: 

Ответ.  или по=другому 

Пример №182

Решить неравенство:

а) Решением неравенства  являются числа, которые удовлетворяют двойному неравенству 

Прибавим ко всем частям неравенства число 3, получим:

Поделим все части неравенства на 2:

Ответ. 

 Модуль числа — число неотрицательное, поэтому модуль числа не может быть меньше –4. Неравенство  не имеет решений.

Ответ. Решений нет.

 Выражение  которое стоит под знаком модуля, должно приобретать значения меньше –5 или больше 5. То есть,  или 

Если нужно найти все значения x, которые удовлетворяют неравенство или неравенство   говорят, что нужно решить совокупность неравенств, которую записывают так: 

Решая каждое неравенство совокупности, получаем:

Решениями совокупности являются значения x, которые удовлетворяют неравенство  или неравенство 

Ответ.  или  (Ответ можно записать и в виде объединения промежутков:  

Линейные неравенства с одной переменной

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №183

Решить неравенство 

            

Множеством решений неравенства является числовой промежуток 

Ответ.  

Пример №184

Решить неравенство 

Для любого значения x значение левой части неравенства  равно нулю, а ноль больше –8. То есть, множеством решений данного неравенства является множество всех действительных чисел, следовательно, промежуток 

Ответ. 

Пример №185

Решить неравенство 

Неравенство  не имеет решений, потому что для любого x значение его левой части равно нулю, а ноль не меньше –5.

Ответ. Решений нет.

В результате преобразований мы свели первое неравенство к неравенству  второе — к неравенству  третье — к неравенству  Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

Неравенство вида   где  и  некоторые известные числа, а x — переменная, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Если  то для решения линейного неравенства с одной переменной нужно разделить обе части неравенства на a. Если  то или решением неравенства является любое число, или неравенство не имеет решений.

Выделим такие основные шаги решения неравенств:

1. если неравенство содержит дроби, то умножаем обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство;
2. если в неравенстве есть скобки, то раскрываем их;
3. переносим слагаемые, которые имеют переменную, в одну часть неравенства (как правило, в левую), а слагаемые, которые не имеют переменной, — в другую часть (как правило, в правую);
4. приводим подобные слагаемые;
5. если получили линейное неравенство и коэффициент при переменной не равен нулю, то поделим на него обе части неравенства;
6. если коэффициент при переменной равен нулю, то определяем, не имеет ли неравенство решений, или его решением является любое число.

Пример №186

Найти область определения функции 

Область определения функции образуют те значения x, для которых выражение   приобретает неотрицательные значения. То есть, нужно решить неравенство   Имеем:

Областью определения функции является промежуток 

Ответ. 

Пример №187

Решить неравенство  с параметром a.

Рассмотрим три случая: 

1) Если  следовательно  то, разделив обе части неравенства на отрицательное число  получим: 

2) Если  следовательно  то получаем неравенство  решением которого является любое число.

3) Если  то есть 

Ответ. Если  если  то решением неравенства является любое число; если 

Системы линейных неравенств с одной переменной и их решение

Пример №188

Одна хозяйка купила на рынке 10 кг помидоров и заплатила за них больше, чем 18 рублей. Вторая хозяйка купила такие же помидоры и заплатила за 5 кг меньше, чем 14 рублей. По какой цене покупали помидоры хозяйки?

Пусть цена 1 кг помидоров равно x рублей, тогда 10 кг стоят 10x рублей, что по условию задачи больше, чем 18 рублей, то есть 

5 кг помидоров стоят 5x рублей, что по условию задачи меньше, чем 14 рублей, то есть 

Чтобы решить задачу, нужно найти те значения x, для которых верным будет как неравенство  так и неравенство 

Если нужно найти те значения переменной, которые удовлетворяют оба неравенства, то говорят, что нужно решить систему неравенств. Для нашей задачи систему записывают так:

Решая каждое неравенство системы, получим: 

То есть, значение x удовлетворяет условию  следовательно цена 1 кг помидоров больше, чем 1 руб. 80 коп., но меньше, чем 2 руб. 80 коп.

Значение  является решением двух неравенств системы  потому что каждое из числовых неравенств  и  является верным. Такое значение x называют решением системы неравенств.

Определение:

Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, для которого является верным каждое из неравенств системы.

Решить систему неравенств означает найти все его решения или доказать, что их нет. 

Решение систем линейных неравенств с одной переменной

Рассмотрим  примеры.

Пример №189

Решить систему неравенств  

Решим каждое из неравенств системы: 

Обозначим на координатной прямой множество чисел,удовлетворяющих первое неравенство последней системы, — промежуток  и множество чисел, удовлетворяющих второе неравенство, — промежуток 

  

Общими решениями неравенств являются значения x, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть их пересечению: 

Ответ. 

Пример №190

Решить систему неравенств 

На координатной прямой обозначим множество чисел, удовлетворяющих неравенство  и множество чисел, удовлетворяющих неравенство  

Общими решениями неравенств являются значения x, принадлежащие промежутку 

Ответ. 

Пример №191

Решить систему неравенств 

На координатной прямой обозначим множество чисел, удовлетворяющих неравенство  и множество чисел, удовлетворяющих неравенство  

Общих решений неравенства не имеют.

Ответ. Решений нет.

Следовательно, систему линейных неравенств с одной переменной можно решать по такой схеме:

1. решаем каждое неравенство системы;
2. изображаем множество решений каждого неравенства на одной координатной прямой;
3. находим пересечение множеств решений неравенств и записываем множество  решений системы в виде промежутка или соответствующего неравенства.

Примечание:

1. Если система неравенств сводится к виду  где  решениями системы являются то есть x меньше, чем меньшее из чисел a и b.
2. Если система неравенств сводится к виду  где a > b,  то  решениями системы являются x > a,  то есть x больше, чем большее из чисел a и b.

Пример №192

Решить неравенство 

Найдем значение x, для которых значение выражений, стоящих под знаком  модуля, может быть равно нулю:

Значения  и  разбивают координатную прямую на три промежутка. 

Раскроем модули каждого из промежутков и решим соответствующее неравенство.

1)  или x принадлежит промежутку  что сокращенно записывают так: : "принадлежит"). Для этих значений x выражение  приобретает отрицательные значения, а поэтому   выражение  тоже приобретает отрицательные значения, поэтому  Тогда неравенство  приобретает вид  Решим полученное неравенство: 

Кроме того, значение x должно удовлетворять неравенству  а поэтому и системе неравенств   Множеством решений этой системы является промежуток 

2)  или  Значение выражения  для этих значений x неотрицательные, поэтому  выражение  приобретает отрицательные значения, поэтому  Заданное неравенство на промежутке  без знака модуля будет иметь вид:  откуда  Решениями последнего неравенства являются любые числа. Поэтому все числа промежутка   являются решениями заданного неравенства.

3)  или  На этом промежутке выражения  и  приобретают неотрицательные значения, поэтому   Заданное неравенство на промежутке  без знака модуля будет иметь вид:  откуда 

Значения x должны удовлетворять двум неравенствам:  и  то есть системе  множеством решений которой является промежуток 

То есть, множеством решений заданного неравенства является объединение промежутков   и  то есть промежуток 

Ответ. 

Пример №193

Для каких значений x имеет смысл выражение  

Данное выражение имеет смысл для тех значений x, для которых каждое из выражений  и  приобретает неотрицательные значения. То есть, искомые значения x должны удовлетворять системе неравенств  

Решить полученную систему: 

Общими решениями неравенств являются значения x, которые удовлетворяют неравенство  

Ответ. 

Пример №194

Решить неравенство 

Дробь положительна только тогда, когда её числитель и знаменатель положительны или когда они оба отрицательны. Поэтому решение данного неравенства сводится к решению двух систем неравенств:

Решениями первой системы являются значения x, которые удовлетворяют неравенство  а второй — неравенство 

Ответ.  или  (Множество решений можно записать  в виде объединения промежутков:  

Примечание. Решение неравенства  также сводится к решению двух систем, представленных в предыдущем примере. Поэтому множеством решений этого неравенства тоже является  

Пример №195

Решить двойное неравенство 

Данное двойное неравенство можно записать в виде системы

Решим систему:

Ответ. 

Обратим внимание, что двойное неравенство тут можно решать и на основе свойств равносильности неравенств.

Как известно, возникновение чисел обусловлено потребностями практической деятельности человека. Использование же чисел требовало умения их сравнивать. Делать это люди научились много тысячелетий тому назад.

Ещё в «Началах» Эвклида чисто геометрически было обосновано неравенство  , где a и b рассматривали как длины отрезков.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию неравенства , где a > 0, b > 0.

На отрезке MN  длиной a + b как на диаметре построим полуокружность, О — её центр, MK = a, KN = b. Проведем перпендикуляры PO и LK к прямой MN, где P и L — точки полуокружности. Треугольник MLN — прямоугольный (∠L = 90°), LK — его высота, поэтому 

Отрезок PO — радиус полуокружности, поэтому 

Поскольку  то 

Это довольно известное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, которое можно расширить на случай большего количества чисел, называют ещё неравенством Коши.

Квадратичная функция 

Моделируя реальные процессы при помощи функций, довольно часто приходят к так называемой квадратичной функции, частным случаем которой является уже выученная функция 

В этой лекции мы выясним: что такое квадратичная функция, каковы ее свойства и график; что такое квадратное неравенство, как решать квадратные неравенства, исходя из свойств квадратичной функции.

Ранее мы начали изучать одно из самых важных понятий математики — понятие функции.

Что такое функция

Напомним, что переменную y называют функцией переменной x, если каждому значению переменной x отвечает одно определенное значение переменной y. При этом переменную x называют независимой переменной, или аргументом, а переменную y — зависимой переменной, или функцией (аргумента x).

Если переменная y является функцией аргумента x, то записывают:  (читают: y равен f от x). Значение функции для  обозначают через  Так, если функция задана формулой   то можно записать:  Тогда, например,  

Область определения и область значений функции

Множество значений, которые приобретает независимая переменная (аргумент), называют областью определения функции; множество значений, которые приобретает зависимая переменная (функция), называют областью значений функции.

Область определения функции  обозначают  или  а область значений  или 

Так, областью определения линейной функции  является множество всех действительных чисел, то есть  Множеством значений этой функции также является множество всех действительных чисел: 

Если функция задана формулой  и не указано, какие значения можно придавать аргументу, то считают, что областью определения функций является множество всех действительных чисел, для которых выражение  имеет смысл.

Если выражение  является многочленом, то областью определение функции  является множество всех действительных чисел; если  рациональная дробь, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме тех значений x, для которых знаменатель дроби равен нулю; если функция задана формулой   то областью определения функции является множество всех действительных чисел, для которых выполняется неравенство 

Рассмотрим, например, функцию   Выражение   имеет смысл для всех значений x, кроме  Поэтому областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, кроме  следовательно 

График функций

Графиком функции называют фигуру, которая состоит из всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны всем значениям аргумента, а ординаты — соответствующим функциям.

Графики функций, которые мы учили в предыдущих классах, а также их области определения и области значений приведены в таблице. 

На рисунке 18 изображен график функции  областью определения которой является промежуток  Точка  принадлежит графику. Это означает, что для  значение функции равно

Очевидно, что наименьшее значение функции равно –1. Это наименьшее значение функция приобретает, если  Наибольшее значение функции равно 5 и достигается для  Областью значений функций является промежуток

​

Задание функции несколькими формулами

Существуют функции, которые на отдельных частях области определения задаются разными формулами. Например, если функция  задана в виде

то это означает, что для  значение функции нужно находить по формуле  по формуле   по формуле 

Так,  

Чтобы построить график такой функции (см. рис. 19), достаточно на промежутке  построить график функции  на промежутке  график функции   и на промежутке  график функции 

 

Описанным способом можно задать и функцию 

График функции  показан на рисунке 20.

График функции, формула которой содержит аргумент под знаком модуля

Построим график функции 

Найдем значения x, для которых значения выражений  и  стоящих под знаком модуля, равны нулю:

 

Значения  и  разбивают координатную прямую на три промежутка (см. рис. 21).

Учитывая определение модуля числа, получим:

если  поэтому  и  

если   и 

если  и 

Чтобы получить график данной функции,  строим на промежутке  график функции  на промежутке  график функции  и на промежутке  график функции   Искомый график изображен на рисунке 22.

Пример №196

Найти область определения функции  

Область определение функции образуют те значение x, для которых выражение приобретает неотрицательные значения, а выражение  положительные значения. То есть, нужно решить систему неравенств  Получим:  

Областью определения функции является промежуток 

Ответ. 

Свойства функций 

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Рассмотрим функцию  график которой изображен на рисунке 24. Если   или  то значение функции равно нулю. Такие значения аргумента x называют нулями функции.

Определение:

Значения аргумента, для которых значение функции равно нулю, называют нулями функциями.

Нулем функции  является только одно значение x, а именно:  потому что значение функции равно нулю только для  

Чтобы найти нули функции  нужно решить уравнение 

Функция  график которой изображен на рисунке 24, на промежутках  и   принимает только отрицательные значения, а на промежутках  только положительные значения. Все эти промежутки называют промежутками знакопостоянства  функции 

Возрастание, убывание функции

Рассмотрим график функции  на рисунке 24. На промежутке  график "идет вверх": если увеличивать значение x из этого промежутка, то соответствующие значения функции увеличатся. Например, возьмем значение аргумента  и  тогда 

Поскольку  Большему значению аргумента  отвечает большее значение функции  Говорят, что на промежутке  функция  возрастает (или является возрастающей). Такой же она является и на промежутке 

На промежутке  график функции  "идет вниз": если увеличивать значение аргумента, то соответствующие значения функции уменьшатся. Говорят, что на этом промежутке функция  убывает (или является убывающей).

Определение:

Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента отвечает большее значение функции.

Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента отвечает меньшее значение функции.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией; если же функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей функцией. 

Например, на рисунке 25 изображен график функции, областью определения которой является промежуток  Эта функция является возрастающей, потому что она возрастает на всей области определения. Функция, график которой изображен на рисунке 26, является убывающей, потому что она убывает на всей области определения — промежутке 

Возрастающими, например, являются функции  (их графики всегда " идут вверх", а убывающими — функции  (их графики всегда "идут вниз"). Функция  график которой изображен на рисунке 24, не является ни возрастающей, ни убывающей. Она только возрастает или убывает на отдельных промежутках.

Функция  где  убывает на каждом из промежутков  и  но не является убывающей. На самом деле, она не убывает на всей области определения  поскольку для  (см. рис. 27) получаем: 

Четные и нечетные функции

Рассмотрим функцию  ее график изображен на рисунке 28. Поскольку для любого значения x выполняется равенство  то  Функцию  называют четной.

Определение. Функцию  называют четной, если для любого значения x из области ее определения значения —x также принадлежит области определения и выполняется равенство 

Область определения четной функции симметрична относительно начала координат, потому что вместе со значением x она содержит и значение —x.

График четной функции симметричен относительно оси y (см. например, рис. 28). Поэтому для построения графика четной функции достаточно построить часть графика для  а потом симметрично отобразить эту часть относительно оси y.

На рисунке 29 изображен график функции  Поскольку для любого значения x выполняется равенство  Функцию называют  нечетной. 

Определение:

Функцию  называют нечетной, если для любого значения x из области ее определения значение —x также принадлежит области определения и выполняется равенство 

Область определения и график нечетной функции симметричны относительно начала координат. Поэтому для построения графика нечетной функции достаточно построить часть графика для  а потом симметрично отобразить эту часть относительно начала координат.

Рассмотрим функцию  Область ее определения — множество всех действительных чисел — симметрична относительно начала координат. Для этой функции  Равенства  и   не выполняются для всех значений x, например, для   Эта функция  не является ни четной, ни нечетной.

Функция  где   также  не является ни четной, ни нечетной, потому что область определения функции (промежуток  не симметрична относительно начала координат.

Итог: Чтобы исследовать функцию  на четность, нужно: 

1) найти область определения функции и установить, симметрична ли она относительно начала координат;

2) если область определения симметрична относительно начала координат, то ищем   

• а) если для любого значения x из области определения функции выполняется равенство  то функция является четной;
•  если для любого значение x из области определения функции выполняется равенство   то функция является нечетной;
•  если хотя бы для одного значения x из области определения  функции ни одно из этих  равенств не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной;

3) если область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример №197

Найти нули функции 

Решим уравнение 

Следовательно, функция имеет два нуля:  и 

Ответ. 

Пример №198

Доказать, что функция  возрастает на промежутке  

Пусть   и  два произвольных значения аргумента промежутка  к тому же,   и соответствующие им значения функции, то есть   Покажем, что  Для этого рассмотрим разность:

Поскольку  Значения  и  принадлежат промежутку  поэтому  ( потому что ) и 

Тогда: 

Большему значению аргумента промежутка  отвечает большее значение функции. Следовательно, функция  на промежутке  возрастает.  

Пример №199

Четной или нечетной является функция:

Областью определения каждой из данных функций является множество всех действительных чисел. Следовательно, область определения каждой функции симметрична относительно начала координат. Для любого значения x имеем:

  функция  является нечетной;

 функция  является четной;

 Возьмем  и найдем: 

Видим, что  и  Функция   не является ни четной, ни нечетной.

Ответ. а) Нечетная;  четная;  ни четная, ни нечетная.

График функции  где 

Пусть имеется график функции  а нужно построить графики функций   и  Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента:

Для любого значения x значения функции  больше, чем соответствующее значение функции , а значение функции  меньше, чем соответствующее значение функции  (Из таблицы это легко увидеть для избранных значений x.)

Поэтому график функции  можно получить при помощи параллельного переноса графика функции  вдоль оси y на 2 единицы вверх (см. рис. 33).

График функции  можно получить при помощи параллельного переноса графика функции  вдоль оси y на 3 единицы вниз.

Если функцию  записать в виде  то функции  и  будут функциями вида   где  а именно:  и 

В целом, график функции   где  можно получить из графика функции   при помощи  параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх; график функции  где  можно получить из графика функции  при помощи параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вниз.

График функции  где 

Пусть имеется график функции   а нужно построить графики функций   и  Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента: 

Из таблицы видно, что график функции  можно получить из графика функции  при помощи параллельного переноса вдоль оси x на 3 единицы  вправо (рис. 34).

График функции  можно получить из графика функции  при помощи параллельного переноса вдоль оси x на 2 единицы левее (рис. 34).

Если функцию  записать в виде  то функции  и   будут функциями вида  где  именно:  и 

 

В целом, график функции  где  можно получить из графика функции  при помощи параллельного переноса вдоль оси x на  m единиц вправо; график функции где  можно получить из графика функции  при помощи параллельного переноса вдоль оси x на m единиц влево.

График функции  где 

Рассмотрим функцию  Её график можно получить, если график функции  параллельно перенести вдоль оси x на 2 единицы вправо, а затем вдоль оси y на 1 единицу вниз (рис. 35). 

График функции 

Пусть имеется график функции  а нужно построить функцию  Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента:

Значения функции  противоположны соответствующим значениям функции  Поэтому, каждая точка графика функций  симметрична соответствующей точке графика функции   относительно оси x. Например, точка  графика функции  симметрична точке  графика функции  относительно оси x. Следовательно, график функции  можно получить из графика функции  при помощи симметрии относительно оси x (рис. 36).

Если функцию  записать в виде  то функция  будет функцией вида 

В целом, график функции  можно получить из графика функции  при помощи симметрии относительно оси x.

График функции  где 

Пусть имеется график функции  нужно построить графики функций  и . Составим таблицу  значений этих функций для некоторых значений аргумента: 

Для любого значения x значения функции  вдвое больше, чем соответствующее значение функции  а значение функции  вдвое меньше, чем соответствующее значение функции  (Из таблицы это легко увидеть для выбранных значений x.)

Поэтому график функции  можно получить из графика функции  растянув последний от оси x вдвое, а график функции    можно получить из графика функций  сжав последний к оси x вдвое (см. рис. 37).

Если функцию  записать в виде  то функции  и  будут функциями вида   где  а именно  и 

В целом, график функции  где  можно  получить из графика  функции  растянув последний от оси x в a раз, если  и стянув его к оси x в , если 

График функции 

По определению модуля числа получаем:

   

Следовательно, если  то значения функций  и  одинаковы, если  то значения этих функций являются противоположными числами. Поэтому график функции  можно получить так: строим график функции  и ту его часть, которая расположена ниже от оси x, симметрично отображаем относительно этой оси.

 

На рисунке 38 изображен график функции  Сравните его с графиком функции 

График функции 

Обозначим два свойства данной функции.

1) Функция является четной. Из тождества  вытекает, что для любого значения x из области ее определения выполняется равенство  Следовательно, график функции симметричен относительно оси y. 

2) Если  то  Поэтому для  график функции  совпадает с графиком функции  

Таким образом, график функции  можно построить так: строим часть графика функции  выполнив симметрию построенной части относительно оси y, получим вторую часть графика для 

На рисунке 39 изображен график функции  Сравните его с графиком функции 

Пример №200

Построить график функций 

Строим график функции  Параллельно переносим его вдоль оси x на 2 единицы влево, а потом вдоль оси y на 1 единицу вверх. Получаем искомый график (рис. 40).

Пример №201

Построить график функции 

Последовательно строим графики таких функций:

 то есть 

График функции  изображен на рисунке 41.

Пример №202

Построить график функции 

Последовательно строим графики таких функций:

График функций  изображен на рисунке 42.

Функция 

Рассмотрим пример. Пусть тело свободно падает. Путь S, который тело проходит за время t, можно найти по формуле

,

где g — ускорение свободного падения (g ≈ 9,8 м/с²). Перейдя к принятым обозначениям аргумента и функции, получим функцию, заданную формулой вида у = ax², где а ≠ 0.

Рис.44                                                                                                   Рис.45

На рисунках 44 и 45 изображены графики функций , которые являются отдельными случаями  функции , если а равно  и . График функции , где а ≠ 0, как и график функции , называют параболой.

Функция , где а ≠ 0, имеет такие свойства:

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел.

2. Если а > 0, то областью значений функции является промежуток [0; +∞); если а < 0 —промежуток  (–∞; 0].

3. График функции — парабола.

4. Если х = 0, то у = 0. График проходит через точку (0; 0). Эту точку называют вершиной параболы.

5. Если а > 0, то все точки параболы, кроме её вершины, размещены выше оси х; если а < 0 — ниже этой оси. Говорят: если а > 0, то ветви параболы направлены вверх; если а < 0 — вниз.

6. Если а > 0, то функция возрастает на промежутке [0; +∞) и убывает на промежутке (–∞; 0]. Если а < 0, то функция возрастает на промежутке (–∞; 0] и убывает на промежутке [0; +∞).

Доказательство свойства 6 приведено в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше».

7. Функция  является четной, т. к. для любого значения х выполняется равенство . График функции симметричен относительно оси у.

Докажем, что функция , где а > 0, возрастает на промежутке [0; +∞).

Пусть  и  — два произвольных неотрицательных значения аргумента, к тому же,  > , а  и  — соответствующие им значения функции, то есть  . Покажем, что  > . Для этого рассмотрим разность:

Поскольку , то  и . Учитывая, что а > 0, получим:

Большему значению аргумента соответствует большее значения функции. Следовательно, если а > 0, то функция  на промежутке [0; +∞) возрастает.

То, что функция , где а > 0, убывает на промежутке (–∞; 0], доказываем аналогично.

Квадратичная функция

Рассмотрим пример. Пусть тело движется прямолинейно вдоль оси x с ускорением . Если в начальный момент времени оно имело скорость  и находилось в точке с координатой , то координату x тела в момент времени t можно найти по формуле

В частности, если то

Формула задаёт функцию, которую называют квадратичной. 

Определение. Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида  где x — независимая переменная, a, b и с — некоторые числа, к тому же, а ≠ 0.

Так,  — квадратичные функции.

График квадратичной функции

Выясним сначала, что является графиком квадратичной функции . Для этого преобразуем квадратный трехчлен  так:

Записав квадратный трехчлен  в виде , говорят, что из данного квадратного трехчлена выделили квадрат двучлена х – 2.

В целом, выделить из квадратного трехчлена  квадрат двучлена, значит записать его в виде  где m и n — некоторые числа.

Следовательно, квадратичную функцию  можно задать формулой . Поэтому её график можно получить, если график функции  параллельно перенести вдоль оси х на 2 единицы вправо, а потом вдоль оси у на 1 единицу вниз (рис. 46).

Рассмотрим общий случай. Пусть есть квадратичная функция  Выделим из квадратного трехчлена  квадрат двучлена:

Поэтому,

где 

Значит, график функции  можно получить из графика функции  с помощью двух параллельных переносов вдоль осей координат (см. рис. 47). Графиком функции  является парабола.

Точку (m;n), где  называют вершиной этой параболы. Её осью симметрии является прямая х = m. Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх; если а < 0, — вниз.

Координаты вершин параболы можно искать по формулам

или по формулам

(ордината n вершины параболы является значением квадратичной функции для х = m).

Построение графика квадратичной функции

Рассмотрим квадратичную функцию

Поскольку , то график этой функции можно получить из графика функции  с помощью двух параллельных переносов: вдоль оси х на 2 единицы влево и вдоль оси у на 1 единицу вниз (см. рис. 48).

Параболу, которая является графиком функции  можно построить и так:

1) находим координаты вершины параболы:

— абсцисса вершины;

 — ордината вершины.

2) находим значения функции для нескольких целых значений х, близких к абсциссе вершины:

3) отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией. Получаем искомую параболу (рис. 49).

Положение графика квадратичной функции 

В таблице показано положение графика функции  в зависимости от знаков  коэффициента а и дискриминанта D квадратного трёхчлена .

Если D > 0, то парабола пересекает ось x в двух точках; если D = 0, — касается этой оси; если D < 0, — не имеет с осью x общих точек.

Пример №203

Построить график функции  Используя график, найти:

а) область значений функции;

б) промежуток, на котором функция возрастает, убывает.

 Найдём координаты вершины параболы:

Составим таблицу значений функции для нескольких значений х:

Отметив точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получаем искомый график (рис. 50).

Из графика получаем: а) областью значений функции является промежуток (–∞; –1]; б) функция возрастает на промежутке (–∞; 2] и убывает на промежутке [2; +∞). 

Пример №204

Построить график функции у = (х – 1)(х – 3).

 Графиком данной функции является парабола.

Нулями функции у = (х – 1)(х – 3) являются  и  Эти нули должны быть симметричными относительно оси параболы, поэтому абсциссой её вершины должна быть   (середина отрезка с концами в нулях функции).

Находим ординату вершины

Ось y парабола пересекает в точке (0; 3). График функции изображен на рисунке 51. 

Пример №205

Доказать, что функция  принимает только положительные значения, и найти наименьшее значение функции.

Находим координаты вершины параболы 

 —абсцисса вершины;  — ордината вершины.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, то значение квадратичной функции для х = m = 3 является наименьшим. Это наименьшее значение  является положительным, поэтому квадратичная функция принимает только положительные значения. 

Неравенства второй степени с одной переменной

Неравенства вида

где х — переменная, а, b, с — некоторые числа,  к тому же, а ≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной (или квадратными неравенствами).

Например,  — квадратные неравенства.

Решение квадратных неравенств можно свести к нахождению промежутков, на которых квадратичная функция  принимает положительные, неположительные, отрицательные или неотрицательные значения. Рассмотрим примеры.

Пример №206

 Решить неравенство 

Рассмотрим квадратичную функцию  Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, пересекает ли парабола ось х. Для этого решим уравнение . Его корнями являются  Значит, парабола пересекает ось х в двух точках с абсциссами –1 и .

Схематично изображаем параболу на координатной плоскости (рис. 53). Из построенного графика видим, что функция принимает положительные значения, если х принадлежит промежутку (–∞; –1) или   (на этих промежутках парабола размещена выше оси х). Следовательно, множеством решений заданного неравенства  является  .

Ответ. .

Используя схематическое изображение параболы  (см. рис. 53), можно записать и множества решений таких неравенств.

Пример №207

Решить неравенство 

Графиком функции является парабола , ветви которой направлены вниз. Решив уравнение  , получим  Значит, парабола пересекает ось х в точках с абсциссами  и 4.

Схематически изображаем данную параболу (рис. 54). Функция принимает неотрицательные значения, если х принадлежит промежутку . Этот промежуток и есть множеством решений неравенства.

Ответ..

Пример №208

Решить неравенство

 

Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вверх. Уравнение  не имеет корней, т. к.  Следовательно, парабола не пересекает ось х. Схематически изображаем эту параболу (рис. 55). Функция для всех значений х принимает положительные значения.

Поэтому множеством решений неравенства  является множество всех действительных чисел, то есть (–∞; +∞), а неравенство  решений не имеет.

Ответ. а) (–∞; +∞); б) решений нет.

Итог. Чтобы решить неравенство вида

 или 

где а ≠ 0, можно рассмотреть квадратичную функцию  и

1) найти нули функции;

2) если квадратичная функция имеет два нуля, то обозначить их точками на оси х и через эти точки схематически провести параболу  ветви которой направлены вверх, если a > 0, и вниз, — если a < 0;

• если квадратичная функция имеет один нуль, то обозначить его точкой на оси х  и схематически провести параболу, которые касаются оси х в этой точке; ветви параболы направлены вверх, если a > 0, и вниз — если a < 0;
• если квадратичная функция не имеет нулей, то схематически провести параболу, размещённую в верхней полуплоскости ветвями вверх, если a > 0, в нижней полуплоскости ветвями  вниз — если a < 0;

3) найти на оси х промежутки, на которых значения функции  удовлетворяют соответствующее неравенство.

Пример №209

Решить неравенство 

 Перенесем слагаемые из правой части неравенства в левую, изменив их знаки на противоположные, и упростим полученное в левой части выражение:   Поделим обе части последнего неравенства на –4, получим неравенство

Графиком квадратичной функции  является парабола, ветви которой направлены вверх. Уравнение  имеет корни  и  . Следовательно, парабола пересекает ось х в точках с абсциссами  и  . Изобразим схематически эту параболу (рис. 56). Множеством решений неравенства ,  а значит, и заданного в условиях неравенства, является промежуток 

Ответ. 

Пример №210

Найти область определения функции 

 Область определения функции образуют те значения х, для которых подкоренное выражение   принимает неотрицательные значения.

Решим неравенство  Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вниз. Уравнение  имеет корни:  и . Следовательно, парабола пересекает ось х в точках с абсциссами 0 и 2. Изобразим схематически эту параболу (рис. 57). Неравенство  выполняется, если х принадлежит промежутку [0; 2]. Это и есть искомая  область определения.

Ответ. [0; 2].

Пример №211

Найти область определения функции 

 Область определения функции  образуют те значения х, которые являются решениями системы неравенств

Корнями уравнения  являются числа –4 и 1. Поскольку ветви параболы  направлены вверх, то множеством решений первого неравенства системы является множество (–∞; –4]∪[1; +∞).

Решим второе неравенство системы: 4 – х > 0; –х > –4; х < 4. (–∞; 4) — множество решений второго неравенства.

Изобразим на координатной прямой множества решений обоих неравенств.

Общие решения неравенств системы образуют множества (–∞; –4]∪[1; 4).

Ответ. 

Пример №212

Решить неравенство 

 Выражение   имеет смысл, если x ≥ 1. Поэтому решения данного неравенства должны принадлежать промежутку  [1; +∞).

Поскольку множитель  принимает только неотрицательные значения, а именно:  если x = 1, если x > 1, то рассмотрим два случая:

1) x = 1. Тогда получим верное неравенство 0 ≥ 0. Значит, x = 1 — решение неравенства.

2) x > 1. Тогда множитель — положительный, и данное неравенство будет выполнятся, если второй множитель неотрицательный. Получаем систему неравенств :

  Решив эту систему, найдем решения: x ≥ 2.

Ответ. {1}∪[2; +∞).

Пример №213

Решить неравенство 

 Дробь в левой части неравенства имеет смысл, если x ≠ 2. Поскольку для x ≠ 2 знаменатель дроби положительный, то данное неравенство будет выполнятся, если   Множеством решений квадратного неравенства  является промежуток [–1; 5]. Исключив из него число 2, получим множество решений данного неравенства: [–1; 2)∪(2; 5].

Ответ. [–1; 2)∪(2; 5].

Решение неравенств методом интервалов

Решим неравенство

(х + 1)(х – 2)(х – 4) > 0.

Для этого рассмотрим функцию

f(х) = (х + 1)(х – 2)(х – 4)

и найдем значения х, для которых она принимает положительные значения. Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, а нулями — числа –1, 2 и 4. Нули разбивают область определения на четыре промежутка: (–∞; –1), (–1; 2), (2; 4) и (4; +∞). На каждом из этих промежутков каждый из множителей произведения (х + 1)(х – 2)(х – 4) имеет определённый  знак. Знаки множителей и знаки произведения (х + 1)(х – 2)(х – 4) = f(x) приведены в таблице.

Значит, функция f(x) принимает положительные значения на промежутках (–1; 2) и (4; +∞). Поэтому множеством решений неравенства (х + 1)(х – 2)(х – 4) > 0 является (–1; 2)∪(4; +∞).

Обозначим на координатной прямой нули функции f(x) = (х + 1)(х – 2)(х – 4) и её знаки на промежутках (–∞; –1), (–1; 2), (2; 4) и (4; +∞) (рис. 61). На каждом из этих промежутков функция сохраняет знак, а при переходе через значения –1, 2 и 4 (нули функции) её знак поочерёдно меняется. На крайнем справа  промежутке (4; +∞), как видно из таблицы, функция f(x) принимает положительные значения. Поэтому знаки функции f(x) на промежутках можно было найти так: отмечаем знаком «+» знак функции на крайнем справа промежутке (4; +∞), а потом, использовав свойство чередования знаков, определяем знаки функции на остальных промежутках, двигаясь справа налево.

Описанным способом можно найти знаки функции вида

где  — некоторые попарно разные числа, на промежутках, которые определяются нулями этой функции. Зная знаки функции на промежутках, можно записать множества решений неравенств

Пример №214

Решить неравенство (х + 3)(х + 2)(х – 6) < 0.

Обозначим на координатной прямой нули функции f(х) = (х + 3)(х + 2)(х – 6) — числа –3, –2 и 6. Отметим знаки функции на образованных промежутках (на крайнем справа — знак «+», на остальных промежутках — такие знаки, чтобы, двигаясь справа налево, эти знаки чередовались).

Множеством решений неравенства является объединение промежутков  (–∞; –3) и (–2; 6).

Ответ. (–∞; –3)∪(–2; 6).

 Рассмотренный в примере  метод  решения неравенств называют методом интервалов.

Чтобы решить неравенство вида (1) методом интервалов, нужно:

1. обозначить на координатной прямой нули функции 
2. отметить знаки функции на образованных промежутках (на крайнем правом — знак «+», на остальных промежутках — такие знаки, чтобы, двигаясь справа налево, эти знаки чередовались);
3. выбрав промежутки, на которых функция f(х) принимает значения соответствующего знака, записать множество решений неравенства.

Метод интервалов можно применить при решении не только неравенств вида (1), но и неравенств, которые путём преобразований сводятся к одному из неравенств этого вида. Рассмотрим пример.

Пример №215

Решить неравенство 

Сведем данное неравенство к виду (1). Для этого в выражении 1 – 2х вынесем за скобки множитель –2, а квадратный трехчлен  разложим на множители:

Поделив обе части неравенства на –2, получим неравенство вида (1):

Обозначим на координатной прямой нули функции  и отметим её знаки на образованных промежутках.

На промежутках  и  (4; +∞) функция f(x) принимает положительные значения, а для  — значения 0. Поэтому f(x) ≥ 0, если x принадлежит промежутку  или промежутку  [4; +∞).

Ответ.  ∪[4; +∞). 

Если в неравенствах (1) не все числа являются разными , то рассмотренный алгоритм нахождения знаков функции f(x) = (x – x₁) (x – x₂)…(x – x_n) применить нельзя . Способ решения таких неравенств показан в следующем примере.

Пример №216

Решить неравенство 

Обозначим на координатной прямой нули функции  и отметим её знаки на образовавшихся промежутках

На крайнем справа промежутке (3; +∞) все множители произведения   являются положительными, поэтому на этом промежутке f(x) > 0. Двигаясь справа налево при переходе через значение x = 3, функция меняет знак, поскольку  меняет знак множитель , который является нечетной степенью двучлена x – 3. При переходе через значение x = 1 знак функции не меняется, поскольку не меняется знак множителя , который является  четной степенью двучлена x – 1. При переходе через значение x = –0,5 функция меняет знак, т. к. меняет знак множитель  x + 0,5 — нечетная (первая) степень двучлена x + 0,5.

Ответ. (–0,5; 1)∪(1; 3).

Решение дробных рациональных неравенств

Метод интервалов можно применить и для решения дробных неравенств. Решим неравенство

Рассмотрим функцию 

1) Найдем область определения функции: x – 4 ≠ 0; x ≠ 4.

2) Найдем нули функции: 

3) Обозначим на координатной прямой точки, соответствующие числам –1, 2 и 4.

Знаки частного  на промежутках (–∞; –1), (–1; 2), (2; 4) и (4; +∞) определяем так же, как и знаки произведения (х + 1)(х – 2)(х – 4).

Функция  принимает положительные значения на промежутках (–1; 2) и (4; +∞). Поэтому множеством решений неравенства (2) является (–1; 2)∪(4; +∞).

Пример №217

Решить неравенство 

Сведём данное неравенство к неравенству, левой частью которого является дробь, а правой — нуль:

Нулем функции  является х = 1; если х = –2, то эта функция не определена. Обозначим на координатной прямой точки, соответствующие числам –2 и 1 и отметим знаки функции на образованных промежутках (на крайнем справа — знак «+», на остальных промежутках — такие знаки, чтобы, двигаясь справа налево, эти знаки чередовались).

На промежутках (–∞; –2) и (1; +∞) функция  принимает положительные значения , а для х = 1 — значение 0. Поэтому множеством решений неравенства является объединение промежутков (–∞; –2) и [1; +∞).

Ответ. (–∞; –2) ∪ [1; +∞).

Системы уравнений с двумя переменными

Система уравнений с двумя переменными — это два уравнения, которые рассматриваются вместе и отличаются наличием одинаковых неизвестных.

Уравнение с двумя переменными

Пусть известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см. Если длину одного из катетов обозначить через х см, а другого — через у см, то получим уравнение

которое содержит две переменные х и у. Такое равенство, как известно, называют уравнением с двумя переменными (или уравнением с двумя  неизвестными).

Уравнение   также является уравнением с двумя переменными.

Левой частью уравнения  является многочлен второй степени, а правой — нуль. Такое уравнение называют уравнением второй степени с двумя переменными.

Уравнения и  являются соответственно уравнениями первой, второй и четвертой степеней.

Напомним, что решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, для которых уравнение превращается в верное числовое равенство. Так, уравнение  для х = 3, y = 4 превращается в верное числовое равенство   Поэтому пара значений переменных х = 3, y = 4 является решением уравнения . Это решение записывают еще и так: (3; 4). Решениями уравнения  являются также пары (–3; 4), (4; 3), (0; 5), (–5; 0) и т. д.

Если на координатной плоскости обозначить все точки, координаты которых являются решениями некоторого уравнения с двумя переменными, то получим график этого уравнения .

Так, график уравнения 2х – 5у = 1 —это прямая, график  уравнения — окружность с радиусом 5 и с центром в начале координат (рис. 62). Уравнения и ху = 1 равносильны уравнениям  и  . Поэтому их графиками являются, соответственно, парабола и гипербола.

Графический способ решения систем уравнений

Ранее мы рассматривали разные способы решения систем линейных уравнений: графический способ, способы подстановки, сложения. Пусть требуется решить систему

оба уравнения которой — уравнения второй степени.

Строим в одной системе координат графики обоих уравнений системы (рис. 63). График уравнения  — это окружность , а график уравнения   парабола. Эти графики имеют 3 общие точки: A(0; 5), B(–3; –4) и C(3; –4). Легко проверить, что координаты каждой из этих точек являются решением как первого, так и второго уравнений системы. Значит, система имеет 3 решения: (0; 5), (–3; –4) и (3; –4).

Чтобы решить систему уравнений с двумя переменными графическим способом, нужно построить графики уравнений системы в одной системе координат и найти координаты общих точек этих графиков.

Решение систем уравнений

Если в системе уравнений с двумя переменными одно из уравнений — уравнение первой степени, то такую систему можно решить способом подстановки.

Пример №218

Решить систему уравнений 

Выразим из первого уравнения переменную у через переменную  х:

–у = –3х + 2; у = 3х – 2.

Подставим во второе уравнение вместо у выражение 3х – 2  и решим полученное  уравнение с одной переменной х:

По формуле  находим

Значит, система имеет два решения 

Ответ. (–1; –5), (2; 4)

Решая систему уравнений способом подстановки, нужно:

1. выразить из какого-то уравнения системы одну переменную через другую;
2. подставить полученное выражение во второе уравнение вместо соответствующей переменной;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующее значение второй переменной.

Пример №219

Решить систему уравнений 

Умножим второе уравнение на 2 и прибавим к первому уравнению, получим:

Отсюда:   х + у = 4 или х + у = –4.

Следовательно, возможны два случая:

 — решения системы

 — решения системы.

Ответ. 

Примечание 1. Систему из примера можно было бы решить способом подстановки, выразив из второго уравнения переменную у через переменную х: 

2. Решая систему уравнений вида  где a и b — некоторые известные числа, можно использовать теорему, обратную теореме Виета. Так, при решении примера, у нас была система  На основе упомянутой теоремы числа x и y  являются корнями квадратного уравнения . Решив уравнение, найдем: . Тогда пары чисел (1; 3) и (3; 1) — решения данной системы.

Пример №220

Решить систему уравнений 

Выполним замену:  Получим систему линейных уравнений

решения которой: u = 4, v = 1. Возвращаясь к замене, получим:

Решив последнюю систему способом подстановки, найдём: 

Ответ. (2; 2), (–2; –2)

Пример №221

Решить систему уравнений 

Перепишем данную систему так  Поделим почленно второе уравнение на первое (поскольку xy – x = 35, то xy – x ≠ 0 и на xy – x делить можно). Получим: , откуда .

Подставим эти значения y в первое уравнение системы:

Ответ. .

Пример №222

Построить график уравнения 

Поскольку для допустимых значений х выражение  принимает неотрицательные значения , то у ≥ 0. Поэтому данное уравнение равносильно таким двум условиям: , у ≥ 0 или , у ≥ 0. Значит, графиком уравнения является полуокружность с радиусом 2 и с центром в начале координат, расположенная в верхней полуплоскости (рис. 64).

Пример №223

Построить график уравнения |2x – y| = 2. 

Если модуль числа равен 2, то этим числом является 2 или –2. Значит, 2х – у = 2 или 2х – у = –2. Поэтому графиком  уравнения являются две прямые, заданные уравнениями 2х – у = 2 и 2х – у = –2 (рис. 65).

.

Пример №224

Решить систему уравнений 

Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, получим: х + 3у = 7, откуда х = 7 – 3у. Подставим вместо х выражение 7 – 3у во второе уравнение системы, получим:

Ответ. 

Решение задач с помощью системы уравнений

Рассмотрим примеры

Пример №225

Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу  две группы туристов и встретились через 2 часа. Найти скорость движения каждой группы, если первой для прохождения всего пути между пунктами требуется на 0,9 часа больше, чем второй.

Пусть скорость первой группы туристов равна x км/ч, а второй — y км/ч. Группы встретились через 2 часа, поэтому до встречи первая группа прошла путь 2x км, а вторая — 2y км. Вместе они прошли 18 км. Получаем уравнение 2x + 2y = 18.

Чтобы пройти весь путь длиной 18 км, первой группе требуется часа, а второй —  часа. Поскольку первой группе на это требуется времени на 0,9 часа больше, чем второй, то : Получаем систему уравнений:

По смыслу задачи x > 0 и y > 0. Поэтому, умножив обе части второго уравнения на ху, получим:

Если x = 4, то y = 9 – 4 = 5.

Если x = 45, то y = 9 – 45 = –36 — не удовлетворяет неравенству  y > 0.

Ответ. 4 км/ч; 5 км/ч.

Пример №226

Сад и огород имеют прямоугольные формы. Длина сада на 30 м меньше длины огорода, зато его ширина на 10 м больше ширины огорода. Найти размеры сада, если его площадь равна 900 м², а площадь огорода — 1200 м².

По условию задачи составим таблицу.

Получаем систему уравнений:

Решим систему:

Значение  не удовлетворяет условию задачи (ширина сада не может выражаться отрицательным числом). Поэтому: y = 30; x = 3y – 60 = 3 · 30 – 60 = 30.

Ответ. 30 м; 30 м.

Парабола имеет ряд интересных свойств. Представим себе, что парабола может отражать световые лучи . Если на параболу падает пучок лучей параллельно её оси симметрии, то после отражения они пройдут через одну точку, которую называют фокусом параболы (на рисунке — это точка F). Наоборот, если в фокус параболы поместить источник света, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно её оси симметрии.

На этом свойстве параболы основывается строение параболических зеркал. Поверхность такого зеркала образуется вследствие вращения параболы вокруг своей оси. Параболические зеркала используют  для создания прожекторов, телескопов, автомобильных фар и т. д. При определённых условиях камень, брошенный под углом к горизонту, движется «по параболе». То же самое можно сказать и о пушечном снаряде.

Элементы прикладной математики

Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя использовать ни одну из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.

Леонардо да Винчи

В этой лекции мы вспомним прикладное использование математики, а также выясним, что такое случайное событие, вероятность случайного события, что изучает математическая статистика.

Математическое моделирование

Вам, наверное, уже приходилось видеть модели судна, самолёта, автомобиля, изготовлять модели куба, прямоугольного параллелепипеда. Каждая модель, в зависимости от её назначения, отображает определённые свойства  оригинала.

Математическая модель — это описание какого-то реального объекта или процесса языком математики.

В предыдущих классах для моделирования реальных процессов мы использовали уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, функции и т. д.

Решение задач из любой области с использованием математики предусматривает такие три шага:

1. формулируют задачу языком математики, то есть строят математическую модель;
2. решают полученную математическую задачу;
3. записывают математическое решение языком, на котором была сформулирована начальная задача.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №227

Найти, сколько требуется квадратных плиток со стороной 15 см, чтобы застелить пол ванной комнаты, размеры которой 3,3 м × 2,8 м.

Построим математическую модель задачи. Пусть для покрытия пола требуется  х плиток. Площадь одной плитки равна 0,15 · 0,15 = 0,0225 (), площадь х плиток — 0,0225х , а площадь пола — 3,3 · 2,8 = 9,24 (). Площадь всех плиток должна быть не меньше площади пола:

0,0225х ≥ 9,24.

Полученное неравенство и есть математическая модель задачи.

Решим математическую задачу, то есть неравенство:

0,0225х ≥ 9,24; х ≥ 9,24 : 0,0225; х ≥ 410,(6).

Запишем полученный результат языком исходной задачи: чтобы застелить пол, требуется не меньше, чем 411 плиток.

В условии данной задачи использовано нематематическое понятие. Такие задачи называют прикладными. Числовое значение ответа для прикладных задач часто бывает приближенным .

Пример №228

На реостат подали напряжение 22 В. Когда напряжение увеличили на 10%, а сопротивление реостата уменьшили на 9 Ом, то сила тока в реостате увеличилась на 1,1 А. Найти начальное сопротивление реостата.

Построим математическую модель задачи. Пусть начальное сопротивление реостата равно x Ом, а начальная сила тока — y А. Поскольку начальное напряжение равнялось 22 В, то 22 = yх (U = IR — закон Ома для участка цепи).

Когда напряжение стало 22 · 1,1 = 24,2 (В) (увеличили на 10%), а сопротивление стало (x – 9) Ом, то сила тока стала (y + 1,1) А. Получаем: 24,2 = (y + 1,1)(x – 9).

Математической моделью задачи является система уравнений

Решим полученную математическую задачу.

Число –9 условию задачи не удовлетворяет.

Запишем результат языком исходной задачи: начальное сопротивление реостата равнялось 20 Ом.

Пример №229

Из пункта А в пункт B выехал велосипедист и двигался со скоростью 20 км/ч, а через полчаса вслед за ним выехал мотоциклист и двигался со скоростью 36 км/ч. Через какое время после выезда велосипедиста его догонит мотоциклист?

Можно построить разные математические модели этой задачи. Построим математическую модель с помощью графиков функций. За t часов велосипедист проедет 20t км, а мотоциклист, двигаясь на 0,5 часа меньше, за (t – 0,5) часов проедет 36(t – 0,5) км. На рисунке 66 изображены графики функций s = 20t и s = 36(t – 0,5), которые выражают зависимость расстояний, пройденных велосипедистом и мотоциклистом, от времени движения велосипедиста. Чтобы ответить на вопрос задачи, требуется найти абсциссу точки пересечения графиков функций. Из рисунка находим, что t ≈ 1,1 часа. Значит, мотоциклист догонит велосипедиста приблизительно через 1,1 часа после выезда велосипедиста.

История науки знает немало примеров, когда в пределах удачно выстроенной математической модели с помощью вычислений удавалось предвидеть существование новых физических явлений и объектов. Мы уже приводили один из таких примеров: опираясь на математические модели, астрономы Дж. Адамс (Англия) в 1845 году и У. Леверье (Франция) в 1846 году независимо друг от друга пришли к выводу о существовании неизвестной тогда ещё планеты и указали её размещение. По расчётам У. Леверье астроном Г. Галле (Германия) нашёл эту планету. Её назвали Нептуном.

Английский физик П. Дирак в 1928 год получил уравнение  движения электрона. Из решения этого уравнения вытекало существование элементарной частицы, которая отличается от электрона только знаком электрического заряда. Такую частицу в 1932 году открыл физик К. Д. Андерсон (США) и назвал её позитроном.

Метод математического моделирования играет ощутимую роль в корабле- и авиастроении, экономике и т. д.

Процентные расчёты. Формула сложных процентов

Процент — это одна сотая часть от любого числа.

Задачи на проценты

Вы знаете, что процент — это одна сотая, то есть Тогда:

Вы научились также решать основные типы задач на проценты, а именно — находить проценты от числа, число по его процентам, процентное отношение  двух чисел.

Напомним:

• 1) чтобы найти р% от числа а, надо число а умножить на дробь 
• 2)  чтобы найти число, р% которого равен b, надо число b разделить на дробь 
• 3) чтобы найти, сколько процентов составляет число а от числа b, надо разделить а на b и записать результат в процентах.

Например:

• 1) 15% от числа 75 равно 
• 2) число, 15% которого равно 75, составляет 
• 3) процентное отношение чисел 32 и 160 равно 

Рассмотрим более сложные задачи на проценты.

Пример №230

Зимняя куртка стоила 200 руб. С приходом весны цену куртки снизили на 10%, но продали только тогда, когда новую цену уменьшили ещё на 10%. На сколько процентов цена, по которой продали куртку, меньше начальной?

Решение. После первого снижения цену уменьшили на 200 · 0,1 = = 20 (руб.), и куртка стала стоить 200 – 20 = 180 (руб.).

После второго снижения цену уменьшили на 180 · 0,1 = 18 (руб.). В результате двух снижений цена куртки уменьшилась на 20 + 18 = 38 (руб.).

38 руб. от 200 руб. составляет: 

Значит, начальную цену уменьшили на 19%.

Ответ. 19%.

Для решения этой задачи нужно было находить проценты от числа и процентное отношение двух чисел. Цену куртки после снижения на 10% можно было найти так:

(руб.)

Если число а уменьшить на р%, то получим число 

Если число а увеличить на р%, то получим число 

Пример №231

Вкладчик снял со своего счёта в банке 20% всех денег, а на следующий день он снял 10% оставшихся. После этого на его счету осталось 360 руб. Сколько денег было на счету сначала?

Решение. Пусть на счету вкладчика сначала было x руб. После первого снятия денег на счету осталось 100% – 20% = 80% денег первоначального взноса. Из новой суммы было снято 80% · 0,1 = 8% первоначального взноса.

Вкладчик снял за два раза 20% + 8% = 28% первоначального взноса, а осталось 100% – 28% = 72%.

360 руб. — 72%

x руб. — 100%

 (руб.)

Ответ. 500 руб.

Пример №232

Есть два сплава с 30 и 10-процентным содержанием меди. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 6 кг нового сплава с 15-процентным содержанием меди?

Решение. Пусть надо взять х кг первого сплава (с 30-процентным содержанием меди). Тогда второго сплава надо взять (6 – х) кг.

Первый сплав содержит 30% меди, а второй — 10%. Поэтому х кг первого сплава содержат 0,3х кг меди, а (6 – х) кг второго сплава — 0,1(6 – х) кг меди. Новый сплав должен содержать 0,3х + 0,1(6 – х) килограммов меди.

С другой стороны, 6 кг нового сплава должны содержать 15%, или 6 · 0,15 = 0,9 (кг) меди. Получили уравнение:

0,3х + 0,1(6 – х) = 0,9.

Решив уравнение, найдем: х = 1,5.

Значит, надо взять 1,5 кг первого сплава и 6 – 1,5 = 4,5 (кг) второго сплава.

Ответ. 1,5 кг; 4,5 кг.

Формула простых процентов

Работникам финансовых учреждений приходится проводить расчёты, связанные с начислением процентных денег. Рассмотрим такие задачи в общем случае. Пусть банк насчитывает вкладчикам ежемесячно p% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере  руб. Требуется найти, какая сумма будет на его счету через n месяцев.

Насчитывая ежемесячно по p% от  руб., за n месяцев банк насчитает pn% от  руб. или руб. Через n месяцев у клиента на счету будет  (руб.).

Обозначим эту сумму через  тогда получаем формулу

которую называют формулой простых процентов. По этой формуле проводят вычисления, связанные с начислением пени, амортизацией (износом) механизмов, изменением цены и т. д.

Формула сложных процентов

Пусть вкладчик внёс в банк  руб. под р% годовых. Сумму  руб. называют начальным капиталом.

Через год банк насчитает ему р%, или руб. процентных денег. Значит, на счету вкладчика станет на р% денег больше, а именно:

(руб.) —наращенный капитал

За второй год ему будут насчитаны р% от новой суммы. Эта сумма возрастёт на р% и составит

(руб.)

Через n лет наращенный капитал составит

руб.

Значит, начальный капитал , положенный в банк под р% годовых, через n лет станет наращенным капиталом   вычисляемым по формуле:

которую называют формулой сложных процентов.

Пример №233

Стоимость нереализованного товара через каждые 5 дней уменьшают на 2% от начальной стоимости. Учитывая, что начальная стоимость составляла 400 руб., вычислите стоимость этого товара: а) на 6-й день; б) на 16-й день; в) на 26-й день.

На 6-й день стоимость товара уменьшают на 2%; на 16-й день — уменьшают 3-разово на 2%; на 26-й день — уменьшают 5-разово на 2%. Поэтому по формуле простых процентов находим:

(руб.);

(руб.);

(руб.).

Пример №234

Вкладчик внёс в банк 20000 руб. под 14% годовых (накопительный вклад). Сколько денег будет на счету вкладчика через 3 года? 

По формуле сложных процентов находим:

(руб.)

Случайные события

В жизни довольно часто приходится иметь дело с событиями, ход которых предусмотреть невозможно. Например, подбросив монету, заранее нельзя сказать, как она упадет: вверх орлом или решкой. Вынимая наугад шарик из лототрона, заранее нельзя сказать, какое число будет на нём написано. Подойдя к остановке, наперёд нельзя сказать, сколько минут придётся ждать нужный транспорт.

Есть события, все возможные результаты которых можно предусмотреть. Так, после подбрасывания монеты обязательно произойдёт одно из двух возможных событий: «выпадет орёл», «выпадет решка». Заранее неизвестно, какое из этих событий произойдёт, поэтому их называют случайными событиями.

Любое событие происходит вследствие испытания (или наблюдения). Если из партии деталей выбирают наугад 5 деталей для контроля качества, то выбор деталей — испытание, наличие среди выбранных деталей одной бракованной — событие.

События будем обозначать большими буквами латинского алфавита А, В, С  и т. д. Будем различать элементарные и сложные  события. Рассмотрим пример.

•  выпадет число 1;
•  выпадет число 2;
•  выпадет число 3;
• выпадет число 4;
•  выпадет число 5;
•  выпадет число 6.

Эти события обладают такими свойствами:

1. вследствие каждого испытания одно из этих событий обязательно произойдёт;
2. никакие два из них не могут произойти одновременно;
3. события являются равновероятными (среди них ни одно не имеет преимуществ в возникновении перед другими).

События, которые имеют такие три свойства, называют элементарными событиями, или случаями.

Можно говорить про следствия подбрасывания игрального кубика, которые не являются элементарными событиями. Например, появление четного числа, появление числа, меньшего, чем 4, появление одного из чисел 1, 2 или 3 и т. д. Такие события называют сложными. Каждое сложное событие можно разложить на элементарные. Пусть А — упомянутое выше сложное событие «выпадет четное число». Событие А можно разложить на элементарные события  («выпадет число 2», «выпадет число 4», «выпадет число 6»). Говорят, что событию А способствуют 3 элементарных события , или 3 случая .

Вероятным называют событие, которое вследствие данного испытания обязательно должно произойти, а невозможным — событие, которое не может произойти.

Например, после подбрасывания игрального кубика хотя бы одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6 обязательно выпадет, а число 7 выпасть не может. Поэтому событие «выпадет одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6» — вероятное, а событие «выпадет число 7» — невозможное.

Вероятность случайного события

Пусть в корзине лежат 40 яблок, из них 25 красных и 15 зеленых. Наугад берут из корзины одно яблоко. Обозначим буквой А событие «вынутое яблоко — красное», а буквою В — событие «вынутое яблоко — зелёное». Красных яблок больше, чем зелёных. Поэтому больше возможностей («шансов») состояться имеет событие А. Возможности осуществления событий  А и В характеризуют определёнными числами, которые определяют так.

В корзине лежат 40 яблок, поэтому всех случаев взять одно яблоко — 40. Событию А способствуют 25 случаев — если вынули одно из 25 красных яблок, а событию В — 15 случаев. Возможность наступления события А характеризуют числом , а события В — числом . Эти числа называют вероятностями событий А и В. Пишут: Р(А) , Р(В)  (Р — первая буква латинского слова probabilities, что означает вероятности).

Определение:

Вероятностью случайного события А называют отношение числа равновозможных случаев, которые способствуют событию А, к числу всех возможных случаев.

Следовательно,

где n — общее количество равновозможных случаев, m — число случаев, которые способствуют событию А.

Если событие А является вероятным, то ему способствуют все n возможных случаев. Для такого события m = n и 

Если событие А является невозможным, то и 

Если событие А случайное, то есть такое, которое может произойти или не произойти, то его вероятность удовлетворяет неравенству: 0 < P(A) < 1.

Пример №235

Какова вероятность того, что после подбрасывания игрального кубика выпадет число, кратное 2?

Пусть событие  А — выпадет число, кратное 2. После подбрасывания игрального кубика может выпасть любое из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6, поэтому n = 6. Событию А способствуют 3 случая — если выпадет число 2, 4 или 6, поэтому m = 3. Следовательно, 

Пример №236

В партии из 1000 деталей есть 600 деталей первого сорта, 370 — второго и 30 бракованных деталей. Какова вероятность того, что наугад выбранная деталь будет не бракованной? 

Пусть событие А — выбранная деталь не бракована. В партии есть 1000 деталей, поэтому n = 1000. Не бракованных деталей : 600 + 370 = 970, поэтому m = 970.

Следовательно, 

Пример №237

В ящике стола лежат 5 тетрадей, из них 3 в клетку и 2 в линейку. Ученик берёт наугад две тетради. Какова вероятность того, что среди них будет хотя бы одна тетрадь в линейку?

Пусть событие А — среди выбранных тетрадей будет хотя бы одна тетрадь в линейку. Обозначим тетради в клетку:  тетради в линейку:  После вынимания двух тетрадей возможны такие случаи:

Всех пар тетрадей, а, значит, всех возможных случаев, 10, поэтому n = 10. Событию А способствуют 7 случаев поэтому m = 7. Следовательно, 

Статистические данные

Статистические наблюдения

Вы, очевидно, не раз слушали данные состояния погоды в разных уголках планеты, результатов выборов, социальных опросов и т. д. Это статистические данные. Статистические данные позволяют не только охватить картину определённого вопроса на данный момент, но и планировать необходимые действия на будущее. Так, статистические данные о занятости населения позволяют определить, какое количество специалистов и какой квалификации следует готовить, в каком регионе стоит сооружать то или иное предприятие и т. д.

Методы сбора, обработки, интерпретации разнообразных данных изучает отдельный раздел прикладной математики — математическая статистика.

Пусть требуется обследовать семьи города по некоторому признаку (например, разделить семьи по количеству детей, по величине месячного материального дохода на одного члена семьи и т. д.). Для этого можно провести сплошное наблюдение — посетить каждую семью и выяснить данные, которые нас интересуют. Можно провести выборочное наблюдение — провести исследование только в части семей и по результатам исследования сделать вывод обо всех семьях города. При этом совокупность семей, отобранных для наблюдения, называют выборочной совокупностью, или просто выборкой.

В общем случае выборка — это совокупность объектов, отобранных для наблюдения. Для того чтобы по данным выборки можно было судить о свойствах всех объектов, необходимо, чтобы выборка правильно отображала эти свойства. Это обеспечивается, прежде всего, случайностью отбора, когда все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Обработка статистических данных и способы их подачи

Рассмотрим примеры.

Пример №238

В отделе женской обуви в течение трёх дней провели исследование для изучения спроса на определённые размеры обуви. За эти дни было продано 22 пары обуви таких размеров:

38; 36; 38; 37; 40; 38; 36; 35; 35; 39; 37; 40; 41; 37; 39; 36; 38; 37; 37; 38; 39; 37.

Расположим эти данные в порядке возрастания размеров:

35; 35;   36; 36; 36;   37; 37; 37; 37; 37; 37;   38; 38; 38; 38; 38;   39; 39; 39;  40; 40;   41.

Получили так называемый ранжированный ряд данных наблюдения. Он содержит 7 групп размеров обуви. Значения каждой группы называют вариантой, а число, показывающее, сколько раз встречается варианта, — частотой соответствующей варианты. В примере имеем таких 7 вариант:

35; 36; 37; 38; 39; 40; 41.

Варианта 35 имеет частоту 2 (35-й размер встречается дважды); варианта 38 — частоту 5; варианта 41 — частоту 1. Результаты наблюдения удобно подавать в виде такой таблицы:

Чтобы визуально охватить данные наблюдения, построим на координатной плоскости точки, абсциссы которых равны размерам обуви (вариантам), а ординаты — соответствующей частоте размера, и соединим соседние точки отрезками (рис. 69). Полученную ломаную называют полигоном частот.

Для наглядного изображения данных наблюдения можно использовать и диаграмму (рис. 70).

Графические изображения позволяют визуально охватить всю совокупность данных и составить картину исследования в целом. Так, из рисунков 69 и 70 видно, что большим спросом пользуется женская обувь 37 и 38 размеров.

Пример №239

Рассмотрим таблицу, в которой указано, по какой цене и сколько было продано арбузов на рынке за один день.

Из таблицы видно, что арбузов, цена которых лежит в интервале от 1 руб. до 1,2 руб., было продано 80 кг. Говорят, что первой строкой таблицы заданы интервалы цены, а второй — частоты этих интервалов (массы арбузов, проданных по цене соответствующих интервалов).

Интервалы цены можно задавать так: [1; 1,2); [1,2; 1,4); [1,4; 1,6); [1,6; 1,8); [1,8; 2]. При такой подаче понятно, куда следует относить значение величины, которое соответствует одному из концов интервала.

Для графического изображения данных такого наблюдения используют гистограмму, которую строят так: на оси абсцисс отмечают заданные интервалы и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник, высота которого равна частоте соответствующего интервала (рис. 71).

Рассмотрим другой графический способ изображения данных этого наблюдения. На оси абсцисс снова отметим заданные интервалы. К серединам этих интервалов проведём перпендикуляры, длина каждого из которых равна частоте соответствующего интервала. Соединив концы соседних перпендикуляров отрезками, получим ломаную (рис. 72), которую называют полигоном частот интервального распределения данных.

Итог. Данные наблюдений удобно  представлять в виде таблиц и графических изображений.

Для графического изображения данных, кроме уже рассмотренных столбчатых диаграмм, гистограмм, полигонов частот, можно использовать другие виды диаграмм (круговые, линейные), графики.

Средние значения

Рассмотрим пример.

Пример №240

На протяжении мая через день, проводя наблюдения за температурой воздуха в полночь, получили такие данные:

3°С; 4°С; 4°С; 3°С; 3°С; 5°С; 8°С; 8°С; 6°С; 8°С; 10°С; 11°С; 12°С; 11°С; 12°С; 12°С.

Найдём среднее значение температуры. Для этого сумму 16 значений температуры поделим на 16:

Значит, можно сказать, что средняя температура воздуха в полночь в мае составляла 7,5°С.

Средним значением n данных  выборки (или средним арифметическим данных выборки) называют число

Представим результаты наблюдения температуры воздуха в виде таблицы:

Учитывая, что значение 3°С имеет частоту 3 (повторяется трижды), значение 4°С — частоту 2 и т. д., среднюю температуру можно было найти и так:

Если в выборке из n объектов варианта  встречается  раз, варианта  раз, …, варианта  раз, то среднее значение выборки находят по формуле

где 

Теория вероятностей

Случайный характер событий, процессов отмечали ещё в давние времена. Древнегреческий философ Эпикур (341 – 270 гг. до н. э.) считал, что случай присущ самой природе явлений, и, значит, случайность объективна. Были попытки выработать математический подход к изучению случайных событий, но первые математические расчёты вероятностей появились в письменных документах только в середине ХVІІ ст.

У 1654 году вся научная (и не только) общественность Парижа говорила о возникновении новой науки — теории вероятностей. Основы этой теории были заложены не в научной работе, а в между двумя известными французскими математиками Б. Паскалем (1623 – 1662) и П. Ферма (1601 – 1665) по поводу задачи, касающейся игры в кости. В целом, к первым задачам теории вероятностей относятся задачи, связанные с азартными играми, очень популярными в средневековой Европе. С результатами Паскаля и Ферма ознакомился нидерландский физик и математик Х. Гюйгенс (1629 – 1695), который написал работу «Про расчёты в азартной игре». Эту работу считают первой книжкою по теории вероятностей.

Решение задач, связанных с популярными азартными играми, лишь способствовало возникновению теории вероятностей, как в своё время измерение площадей во время земляных работ способствовало возникновению геометрии.

Сегодня теория вероятностей развилась в универсальную теорию, которая находит применение во многих сферах человеческой деятельности. Её широко используют в экономике, транспорте, в производстве, статистике, военном деле. Современное природоведение широко использует теорию вероятностей как теоретическую основу в обработке результатов наблюдений.

Математическая статистика

«Статистика знает всё» — такими словами начинается вторая часть романа И. Ильфа и Е. Петрова «Двенадцать стульев». Чтобы подчеркнуть значение статистики в повседневной жизни, приводят пример прогнозирования результатов президентских выборов в США 1936 года. Тогда кандидатами на выборах были Ф. Рузвельт и А. Лэндон. Редакция одного очень уважаемого журнала решила провести опрос избирателей по телефонным справочникам. По всей стране были разосланы более 10 миллионов открыток с просьбой назвать фамилию будущего президента. Со временем журнал проинформировал, что на будущих выборах президентом США с большим преимуществом изберут А. Лэндона.

Параллельный опрос осуществили социологи Дж. Геллап и Е. Роупер, опираясь на выборку, которая насчитывала только 4 тысячи респондентов. Несмотря на то, что редакция журнала опросила 10 миллионов избирателей, потратила огромные деньги на распространение открыток, сбор и обработку данных, их прогноз оказался ошибочным, т. к. опирался на мнение только тех избирателей, которые имели телефоны. Прогноз же социологов почти совпал с результатами выборов.

Первые статистические исследования были проведены в Англии и Германии. В середине XVII ст. в Англии возникло научное направление, получившее название «политическая арифметика». Его создали У. Петти (1623 – 1687) и Дж. Граунт (1620 – 1674), которые на основе изучения информации о массовых общественных процессах стремились открыть закономерности общественной жизни. Вместе со школой «политической арифметики» в Англии развивалась школа описательной статистики, или «державоведение», в Германии. Развитие «политической арифметики» и «державоведения» способствовало появлению науки статистики. Термин «статистика» происходит от латинского слова status, что в переводе означает «состояние» (вещей, явлений).

Современную математическую статистику характеризуют как науку о принятии решений в условиях неопределённости. Её задание состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Числовые последовательности

Термин "последовательность" используют, когда говорят о расположении учеников в шеренге, очерёдности дней недели, размещении команд в турнирной таблице и т. д.

В этой лекции мы выясним, что такое числовая последовательность, в частности, что такое арифметическая и геометрическая прогрессии, каковы их свойства, научимся использовать свойства упомянутых прогрессий для решения прикладных задач.

— последовательность;

—арифметическая прогрессия (каждое число, начиная со второго, на 3 больше предыдущего);

— геометрическая прогрессия (каждое число, начиная со второго, втрое больше предыдущего).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №241

Один подсолнух за лето «выпивает» в среднем 250 л воды. Сколько воды «выпьют» за лето 1, 2, 3, 4, 5 подсолнухов?

Во второй строчки таблицы есть несколько чисел, записанных в определённом порядке. Говорят, имеется последовательность чисел: 250; 500; 750; 1000; 1250, в которой на первом месте стоит число 250, на втором — 500, на пятом — 1250.

В этом примере каждому натуральному числу от 1 до 5 включительно соответствует единственное число из указанной последовательности. Значит, имеется функция, областью определения которой является множество чисел 1, 2, 3, 4, 5.

Пример №242

Записать в порядке возрастания натуральные числа, запись которых заканчивается цифрой 2.

Получим последовательность чисел 2; 12; 22; 32; 42; ..., в которой на первом месте стоит число 2, на втором — 12, на третьем — 22 и т. д.

В этом примере каждому натуральному числу n отвечает единственное число из указанной последовательности. Так, натуральному числу 6 соответствует число 52 этой последовательности, числу 7 — число 62 и т. д. Значит, имеем функцию, областью определения которой является множество всех натуральных чисел.

Определение. Последовательностью называют функцию, которая задана на множестве всех или первых n натуральных чисел.

Числа, которые образуют последовательность, называют членами последовательности. Если последовательность имеет конечное число членов, тогда её называют конечной последовательностью (первый пример). Если последовательность имеет бесконечное число членов, то её называют бесконечной последовательностью (второй пример), а в записи это показывают тремя точками после последнего записанного члена последовательности.

Приведём ещё примеры последовательностей:

• 4; 8; 12; 16; ... — последовательность натуральных чисел, кратных 4;
• — последовательность правильных дробей с числителем 1;
• –1; –2; –3; –4; ... — последовательность отрицательных целых чисел;
• 0,1; 1,1; 2,1; 3,1 — последовательность, которая имеет четыре члена;
• 7; 7; 7; 7; ... — последовательность, все члены которой одинаковы.

Четвёртая последовательность конечная, остальные — бесконечные.

В общем случае члены последовательности, как правило, обозначают маленькими буквами с индексами внизу. Каждый индекс указывает порядковый номер члена последовательности. Например, первый член последовательности обозначают  читают «a первое», второй —  читают «a второе», член последовательности с номером n обозначают  и читают «a энное». Саму последовательность обозначают () и записывают:  … . Член  называют следующим за  а член  — предыдущим члену 

Например, рассмотрим последовательность (): 1; 3; 5; ... — последовательность нечетных натуральных чисел. В ней  = 1;  = 3;  = 5; … . Член последовательности  = 3 — предыдущий члену  = 5 и следующий за членом  = 1.

Способы задания последовательностей

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, с помощью которого можно найти любой её член. Существуют разные способы задания последовательностей.

1. Последовательность можно задать описанием способа нахождения её членов. Например, пусть задана последовательность, члены которой — делители числа 15, записанные в порядке возрастания. Эту последовательность, описанную словесно, можно записать так: 1; 3; 5; 15.

2. Конечную последовательность можно задать перечислением её членов. Например, (): 54; 1; 33; 27.

3. Последовательность можно задать  таблицей, в которой напротив каждого члена последовательности указывают его порядковый номер. Например,

4. Последовательность можно задать формулой, по которой можно найти любой член последовательности, зная его номер. Например, из натуральных чисел, кратных 3, можно задать формулой  = 3n; последовательность  чисел, обратных натуральным, — формулой . Такие формулы называют ещё формулами n-го члена последовательности.

Пусть последовательность () задана формулой  Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, ... , получим:

Значит, 

5. Последовательность можно задать так: сначала указать первый или несколько первых членов последовательности, а потом — условие, по которому можно определить любой член последовательности по предыдущим. Такой способ задания  последовательности называют рекуррентным.

Например, найдем несколько членов последовательности (), в которой первый член равен –1, второй — –3, а каждый следующий, начиная с третьего, равняется произведению двух предыдущих. Получим:  = –1;  = –3;

и т. д.

Условия, задающие эту последовательность, можно записать так:  Формулу, с помощью которой любой член последовательности можно найти через предыдущие, называют рекуррентной формулой.

Рассмотренные выше последовательности — это числовые последовательности, поскольку их элементами являются числа. Существуют и другие последовательности. Например, последовательность передач на канале телевидения, последовательность  футбольных команд в турнирной таблице и т. д. Далее будем рассматривать только числовые последовательности.

Пример №243

Записать шесть первых членов  последовательности натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2.

Первое натуральное число, которое при делении на 3 даёт в остатке 2 — это само число 2. Следующее — это число 5 — оно на 3 больше, чем 2, далее 8 — на 3 больше, чем 5 и т. д. Поэтому получим: 2; 5; 8; 11; 14; 17.

Ответ. 2; 5; 8; 11; 14; 17. 

Пример №244

Записать формулу n-го члена последовательности () натуральных чисел, больших, чем 8, которые при делении на 9 дают в остатке 7.

Первым натуральным числом,  большим, чем 8 и при делении на 9 даёт в остатке 7, является число 16. Его можно записать так: 16 = 9 · 1 + 7. Второе число — 25, которое можно записать  так: 25 = 9 · 2 + 7, третье — 34 = 9 · 3 + 7 и т. д. Тогда формула n-го члена искомой последовательности () будет иметь вид:  = 9n + 7.

Ответ.  = 9n + 7. 

Пример №245

Последовательность задана формулой  Является ли членом этой последовательности число 6?

Число 6 будет членом этой последовательности, если найдется такой номер n, что , то есть  Получили уравнение:  откуда  = 3;

 Число  не является натуральным, а потому не может быть номером члена последовательности. Значит, число 6 является третьим членом заданной последовательности.

Ответ. Да.

Пример №246

Записать три первых члена последовательности (), если ,.

Возьмём n = 1 в формуле , получим:  Взяв n = 2, получим: 

Ответ. 2; 4; 10

Арифметическая прогрессия и её свойства

Среди числовых последовательностей важную роль играют последовательности, которые называют арифметической и геометрической прогрессиями.

Пример №247

Группа туристов поднималась вверх в течение 4 часов. За первый час туристы прошли 2,5 км, а за каждый последующий — на 0,5 км меньше, чем за предыдущий. Какой путь проходили туристы за каждый час пути?

За первый час туристы прошли 2,5 км, за второй — 2,5 – 0,5 = 2 (км), за третий — 2 – 0,5 = 1,5 (км), за четвертый — 1 км.

Получили конечную последовательность чисел: 2,5; 2; 1,5; 1, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число –0,5.

Пример №248

Записать последовательность натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1.

Получим:

1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; ... .

В этой  последовательности любой член, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется  одно и то же число 3.

Каждая из рассмотренных последовательностей является примером арифметической прогрессии.

Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому прибавляется одно и то же число.

Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначаю буквой d (d — первая буква латинского слова differentia — разница).

Итак, если есть арифметическая прогрессия  , то есть для любого натурального n выполняется равенство

Из определения арифметической прогрессии вытекает, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна одному и тому же числу — разности d, то есть  Значит,

Правильно и наоборот: если у некой числовой последовательности разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна одному и тому же числу, то такая последовательность является арифметической прогрессией.

Арифметические прогрессии могут быть конечными (первый пример) и бесконечными (второй пример).

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность. Тогда каждый следующий член можно вычислить через предыдущий по рекуррентною формуле .

В таблице приведены примеры арифметических прогрессий для некоторых значений  и d.

Рассмотрим свойства арифметической прогрессии.

1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; 9; ... каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов:

Покажем, что такое свойство имеет любая арифметическая прогрессия. Пусть  имеется арифметическая прогрессия () с разностью d. Тогда для натуральных значений n > 1 выполняются равенства:Отсюда, 

Свойство 1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов.

С этим свойством арифметической прогрессии и связано её название.

2. Рассмотрим конечную арифметическую прогрессию (),  имеющую 7 членов: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15. Найдем сумму крайних членов прогрессии и суммы членов, равноудалённых от крайних:

Сумма любых двух членов арифметической прогрессии,  равноудаленных от её крайних членов, равна сумме крайних членов.

Используем эти рассуждения для произвольной конечной  арифметической прогрессии  с разностью d.

Пусть  Тогда:

Свойство 2. Сумма любых двух членов конечной арифметической прогрессии, которые равноудалены от её крайних членов, равна сумме крайних членов этой прогрессии.

Пример №249

Найти разность и третий член арифметической прогрессии 

В этой прогрессии  Поэтому:

Ответ. 

Пример №250

Является ли последовательность чисел 3; 0; –3; –6; –9 арифметической прогрессией?

Обозначим члены заданной последовательности:

Найдём разности следующего и предыдущего членов последовательности:

Поскольку полученные разности равны одному и тому же числу –3, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Пример №251

Между числами 7 и 15 вставить такое число, чтобы все три числа образовали арифметическую прогрессию.

Пусть x — искомое число, тогда  последовательность 7; x; 15 — арифметическая прогрессия. Второй член арифметической прогрессии является средним арифметическим первого и третьего членов:

Ответ. 11.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность, а следующие члены можно найти по формуле 

Например, найдем несколько первых членов арифметической прогрессии, у которой  = 4, d = 3. Получим:

Дальше можно найти  и т. д.

Чтобы найти член этой прогрессии с большим порядковым номером, например,  потребуется выполнить много вычислений. Поэтому определение членов арифметической прогрессии по формуле  часто бывает неудобным.

Найдём другой путь нахождения n-го члена арифметической прогрессии ().

По определению арифметической прогрессии получаем: 

Заметим, что в этих формулах коэффициент при d на 1 меньше порядкового номера искомого члена прогрессии. Так,  Следовательно, можем записать:

Полученную формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Пример №252

Найти девятый член арифметической прогрессии (): 5; 4,2; 3,4; ... . Имеем:  = 5. Найдем разность прогрессии: d = 4,2 – 5 = –0,8. Тогда  

Ответ. –1,4. 

Пример №253

Найти первый член арифметической прогрессии (), в которой d = –2,  = 93. 

Использовав формулу n-го члена арифметической прогрессии для n = 8, получим:  Отсюда 

Ответ. 107.

Пример №254

Является ли число 181 членом арифметической прогрессии, в которой ?

Число 181 будет членом прогрессии, если существует такое натуральное число n — порядковый номер члена прогрессии, что  Поскольку  то  Решим полученное уравнение: 181 = 3 + 5n – 5; 183 = 5n; n = 36,6. Число 36,6 не является натуральным, поэтому число 181 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ. Нет. 

Пример №255

Найти первый член и разность арифметической прогрессии (), если сумма второго и пятого её членов равна 20, а разность девятого и третьего членов равна 18.

По условию имеем: Записав члены и  по формуле n-го члена арифметической прогрессии, получим систему уравнений:

 Откуда: 

Ответ. 2,5; 3.

Формула суммы первых  n членов арифметической прогрессии

Пример №256

Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно. Запишем сумму S данных чисел двумя способами: в порядке возрастания слагаемых и в порядке убывания и почленно сложим полученные равенства:

Суммы пар чисел, размещённых одно под одним в правых частях этих равенств, равны одному и тому же числу 101; таких пар —  100. Поэтому,  2S = 101 · 100.

Отсюда: 

Значит, сумма всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно равна 5050. Отметим, что последовательность натуральных чисел 1; 2; ...; 99; 100 является арифметической прогрессией (), в которой  = 1; d = 1; n = 100. 

Используем проведенные рассуждения для выведения формулы суммы S_n первых n членов произвольной  арифметической прогрессии  

Запишем:

Сложим почленно эти равенства, получим:

По свойству 2 арифметической прогрессии сумма каждых двух членов, взятых в скобки, равна  Таких сумм n, поэтому:

Поэтому,

 

Если в этой формуле вместо  подставить выражение ,то получим:

Значит:

 

Формулы (1) и (2) называют формулами суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Пример №257

Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии.

1-й способ. Дано: Найдём = 3 + + 8 · 4 = 35. По формуле (1) находим:

2-й способ. Зная, что по формуле (2) находим:

Ответ. 171.

Пример №258

Найти сумму нечетных натуральных чисел, которые не превышают 71. 

Нечетные натуральные числа образуют  арифметическую прогрессию 1; 3; 5; ..., в которой . Найдём, какой порядковый номер имеет член 71 этой прогрессии: 71 = 2n – 1; n = 36. Следовательно, надо искать сумму первых тридцати шести членов прогрессии. Находим:

Ответ. 1296. 

Пример №259

Найти сумму натуральных чисел, не больших ,чем 105, которые при делении на 9 дают в остатке 1. 

Натуральные числа, которые при делении на 9 дают в остатке 1, образуют арифметическую прогрессию (): 1; 10; 19; ..., в которой  9n – 8. Найдем, сколько членов этой прогрессии не превышают 105. Для этого решим неравенство 

Значит, надо искать сумму первых двенадцати членов прогрессии. Находим:

Ответ. 606.

Пример №260

Найти первый член арифметической прогрессии(), если сумма второго и двенадцатого её членов равна 20,4, а сумма первых одиннадцати — 121.

По условию имеем:  Использовав формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии, получим систему уравнений   Отсюда:

Ответ. 15.

Пример №261

Сколько надо взять первых членов арифметической прогрессии () , в которой  = 2; d = 1, чтобы их сумма равнялась 90?

Использовав формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии  получим:   Корень  не удовлетворяет условие задачи. Значит, 

Ответ. 12.

Геометрическая прогрессия и её свойства

При благоприятных условиях  некоторые бактерии размножаются так, что их количество удваивается каждые 30 минут. Поэтому, если в начале была одна такая бактерия, то их будет:

• через 0,5 часа 2
• через 1 час 4
• через 1,5 часа 8
• через 2 часа 16
• ...................... ...

Во втором столбике получили последовательность чисел: 2; 4; 8; 16; ..., каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число 2. Такая  последовательность —  пример геометрической прогрессии.

Определение. Геометрической прогрессией называют последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой q (первая буква французского слова «qwoti» — частное).

Итак, если есть геометрическая прогрессия  то   то есть для любого натурального n выполняется равенство

Из определения геометрической прогрессии  вытекает, что частное от деления любого её члена, начиная со второго, на предыдущий член равно одному и тому же числу — знаменателю q, то есть: Следовательно,

Правильно и обратное: если в некоторой последовательности частное от деления любого её члена, начиная со второго, на предыдущий член  равно одному и тому же числу, то такая последовательность является геометрической прогрессией.

Геометрические прогрессии, как и арифметические, могут быть конечными и бесконечными.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель. Тогда каждый следующий член через предыдущий можно вычислить по рекуррентной формуле 

В таблице приведены примеры геометрических прогрессий для некоторых значений  и q.

Рассмотрим свойства геометрической прогрессии.

1. В геометрической прогрессии 1; 3; 9; 27; 81; ... квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов:

Покажем, что такое свойство имеет любая геометрическая прогрессия . Пусть есть геометрическая прогрессия () со знаменателем q. Тогда для n > 1 выполняются равенства :  Отсюда 

Свойство 1. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов.

Если все геометрической прогрессии — положительные числа, то из равенства  вытекает, что Следовательно, каждый член такой прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим двух соседних с ним членов. С этим свойством геометрической прогрессии и связано её название.

2. Рассмотрим конечную геометрическую прогрессию (), которая содержит шесть членов: –1; 2; –4; 8; –16; 32. Найдем произведение крайних членов этой прогрессии и произведения членов, равноудалённых от крайних:

Видим, что произведения членов прогрессии,  равноудалённых от её крайних членов, одинаковы и равны произведению крайних членов.

Используем эти рассуждения для произвольной конечной геометрической прогрессии 

Пусть  Тогда:

Свойство 2. Произведение любых двух членов конечной геометрической прогрессии, равноудалённых от её крайних членов, равно произведению крайних членов.

Пример №262

Найти знаменатель и третий член геометрической прогрессии  

В этой прогрессии Поэтому: 

Ответ. 1,5; 2,25.

Пример №263

Доказать, что последовательность  — геометрическая прогрессия.

Обозначим члены последовательности 

Найдём частные от деления следующего члена последовательности на предыдущий:

Поскольку полученные частные равны одному и тому же числу 

то заданная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем 

Пример №264

Найти  второй член геометрической прогрессии 

По свойству 1 геометрической прогрессии 

Отсюда  = 10 или  = –10.

Ответ. 10 или –10.

Формула n-го члена геометрической прогрессии 

Чтобы задать геометрическую прогрессию (), достаточно указать её первый член и знаменатель, а следующие члены можно найти по формуле 

Например, запишем несколько первых членов геометрической прогрессии, в которой 

Далее можно найти  и т. д.

Чтобы найти член этой прогрессии с большим порядковым номером, например, , надо выполнить много вычислений. Поэтому поиск членов геометрической прогрессии по формуле  часто является неудобным.

Найдём более короткий путь поиска n-го члена геометрической прогрессии () со знаменателем q.

По определению геометрической прогрессии получаем:

Заметим, что в этих формулах показатель степени числа q на единицу меньше порядкового номера искомого члена прогрессии. Так,  Значит, можем записать:

  

Полученную формулу называют формулой n-го члена геометрической прогрессии.

Пример №265

Найти шестой член геометрической прогрессии 

Имеем  Тогда 

Ответ. 6250.

Пример №266

Найти первый член геометрической прогрессии (), если = 32, q = –2.

Воспользовавшись формулой для получим:

Ответ. 0,5.

Пример №267

Найти знаменатель геометрической прогрессии (), в которой  = –12,  = –108.

Воспользовавшись формулой n-го члена геометрической прогрессии, получим: Отсюда:

 или 

Ответ. –3 или 3.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Пусть  — геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен q. Обозначим через  сумму первых n членов этой прогрессии, то есть

Умножив обе части этого равенства на получим:

По определению геометрической прогрессии: 

Тогда:

Отнимем почленно от равенства (1) равенство (2), получим:

Если  то:

Учтя, что  получим  Следовательно:

Формулы (3) и (4) называют формулами суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Если q = 1, то каждый член геометрической прогрессии равен  поэтому 

Пример №268

Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (): 3; –6; 12; ... .

Имеется:  Тогда по формуле  находим:

Ответ.

Пример №269

Найти первый член геометрической прогрессии (), если четвертый её член втрое больше третьего, а сумма первых пяти членов равна –12,1.

Поскольку  то  По условию поэтому:

Ответ. 

Сумма бесконечной геометрической прогрессии, в которой 

Пусть есть прямоугольник ABCD со сторонами 1 см и 4 см (рис. 74). Его площадь равна 1 · 4 = 4 ()

Найдём площадь этого прямоугольника по-другому.

Отрезком MN, соединяющим середины противоположных сторон BC и AD прямоугольника, поделим его пополам. Площади образовавшихся прямоугольников ABMN и NMCD  равны по 2  . Образовавшийся справа прямоугольник снова поделим пополам, объединив середины K и Р противоположных сторон. Площади образовавшихся прямоугольников NMKP и PKCD  равны по 1 . Аналогично образовавшийся прямоугольник PKCD снова поделим пополам отрезком TS на два прямоугольника с площадями по  и т. д.

Найдём сумму площадей прямоугольников ABMN, NMKP, PKTS и т. д. Числовое значение суммы площадей этих прямоугольников будет равно сумме чисел   Последовательность  является бесконечной геометрической прогрессией, первый член которой равен 2, а знаменатель 

Найдём сумму первых n членов этой прогрессии:

Если число n слагаемых суммы  неограниченно увеличивается, то значение дроби  приближается к нулю, а разность  приближается к  числу 4, говорят: стремится к числу 4. Число 4 называют суммой бесконечной геометрической прогрессии  и записывают 

Значит, сумма площадей прямоугольников ABMN, NМKP, PKTS и т. д. равна 4 , то есть равна площади прямоугольника ABCD. Обобщим рассмотренный пример.

Пусть  — произвольная бесконечная геометрическая прогрессия, в которой |q| < 1. Сумма первых n членов этой прогрессии вычисляется по формуле Преобразуем выражение в правой части последнего равенства:  Поскольку |q| < 1, то при неограниченном увеличении n множитель qn стремится к нулю, а значит, к нулю стремится и произведение  Тогда сумма  стремится к числу 

Число  называют суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1  записывают:  Обозначим эту сумму через S. Тогда

Полученную формулу называют формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии, в которой |q| < 1.

Пример №270

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 

По условию имеем:  Тогда  Получаем геометрическую прогрессию, в которой  По формуле  находим:

Ответ. 4,5.

Решение задач, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями

Вычисление сумм

Изучая арифметическую и геометрическую прогрессии мы находили суммы первых n их членов. Знаем также, как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1. Однако есть задачи, решая которые, приходится искать суммы чисел, которые не образуют ни арифметической, ни геометрической прогрессий. Такие суммы иногда можно найти, преобразовав определённым образом их слагаемые.

Пример №271

Найти сумму 

Обозначим эту сумму через  и запишем её так:

В первых скобках записана сумма членов арифметической прогрессии (), в которой  = 1, d = 2. Найдём, каким по номеру членом этой прогрессии является число 13:

Итак, в первых скобках  записана сумма первых семи членов арифметической прогрессии. Во вторых скобках записана сумма первых семи членов геометрической прогрессии (), в которой  Использовав формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий, находим:

Ответ. 

Запись бесконечных периодических десятичных дробей в виде обычных дробей

Рассмотрим пример.

Пример №272

Записать число 0,(7) в виде обыкновенной дроби. 

Бесконечную десятичную дробь  0,(7) = 0,777... запишем в виде такой суммы: 0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ... . Слагаемые 0,7; 0,07; 0,007; ... — члены бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 0,7 и знаменателем q = 0,1 (|q| < 1). Сумма этой прогрессии:  Поэтому 

Ответ.

Решение уравнений

Рассмотрим пример

Пример №273

Решить уравнение

  4x + 7x + ... + 25x = 290,

в котором коэффициенты 4, 7, … , 25 образуют арифметическую прогрессию.

 Запишем уравнение так:

(4 + 7 + ... + 25) · x = 290.

В скобках записана сумма первых членов арифметической прогрессии, в которой = 4, d = 3. Найдём количество членов. Пусть число 25 является её n-м членом. По формуле n-го члена 25 = 4 + (n – 1) · 3, откуда получаем:

21 = (n – 1) · 3;  7 = n – 1; n = 8.

Значит, в скобках записана сумма первых 8 членов арифметической прогрессии. Тогда получим:

Ответ. 2,5.

Пример №274

Записать число 3,1(23) в виде обыкновенной  дроби.

Число 3,1(23) = 3,12323... запишем в виде такой суммы:

3,1(23) = 3 + 0,1 + 0,023 + 0,00023 + ... .

Слагаемые 0,023; 0,00023; ... — члены бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 0,023 и знаменателем q = 0,01 (|q| < 1). Сумма этой прогрессии равна:

 Поэтому 

Ответ. 

Пример №275

Решить уравнение:

Запишем уравнение в виде:

Во вторых скобках  записана сумма первых n членов арифметической прогрессии, в которой . Найдем n. Пусть число 71 является её n-м членом. По формуле n-го члена 71 = 1 + (n – 1) · 2, откуда n = 36. Учтя, что в первых скобках записана сумма тридцати шести слагаемых, каждый из которых равен  получаем:

Ответ. 1; 35.

Пример №276

Найти сумму 

Обозначим данную сумму через S. Записав слагаемые в виде 9 = 10 – 1, 99 = – 1, 999 =  – 1 и т. д., получим:

В скобках записана сумма первых n членов геометрической прогрессии (), в которой  = 10, q = 10. Поэтому:

Ответ. 

Слово «прогрессия» происходит от латинского слова «progressio» и обозначает «движение вперёд» (как и слово «прогресс»). Впервые этот термин как математический употребляется в работах римского учёного Боэция (V–VI ст.).

Прогрессии, как частные виды числовых последовательностей, встречаются в папирусах ІІ тысячелетия до н. э. Первые задачи на прогрессии, которые дошли до нас, связаны с хозяйственной деятельностью, а именно — с распределением продуктов, разделом наследства и т. п.

Самой древней задачей, связанной с прогрессиями, считают задачу из египетского папируса Ахмеса Райнда о разделе 100 мер хлеба между пятью людьми так, чтобы второй  получил на столько больше, чем первый, на сколько третий получит больше второго и т. д. В этой задаче идёт речь об арифметической прогрессии, сумма первых пяти членов которой равна 100.

В одной из задач этого папируса приведена формула первого члена арифметической прогрессии, которую в современной символике записывают так:

где a — первый член, n — число членов, S — сумма первых n членов, d — разность прогрессии. Убедитесь, что эта формула верна.

С нахождением суммы членов арифметической прогрессии связана такая интересная история. Известный немецкий математик Карл Гаус (1777–1875) ещё в школе проявил блестящие математические способности. Однажды учитель предложил ученикам найти сумму первых ста натуральных чисел. Едва успел учитель прочитать условие задачи, как маленький Гаус поднял руку: «Уже». Весь класс был поражен скоростью, с которой он провёл подсчёт.  Подумайте, как считал Гаус.

Давно немалой популярностью пользуется задача—легенда, которая относится к началу нашей эры. Индийский царь Шерам вызвал к себе изобретателя игры в шахматы, своего подданного Сэту, чтобы наградить его за умную выдумку. Когда изобретателю предложили самому выбрать награду, он попросил за первую клетку шахматной доски дать ему 1 зерно пшеницы, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 и т. д. Выяснилось, что царь не смог выполнить просьбу Сэты. За последнюю 64-ю клетку шахматной доски пришлось бы отдать  зерна пшеницы, а за все клетки — такое количество зёрен, которое равно сумме членов геометрической прогрессии:  Эта сумма равна  = 18446744073709551615. Такое количество зёрен пшеницы можно собрать с площади, которая приблизительно в 2000 раз больше  площади всей поверхности Земли.

Множества

Множества и операции с ними

Элемент принадлежит множеству А⇔ 

Множество можно представить как совокупность некоторых объектов, объединённых по определённому признаку. В математике множество — одно из основных не определяемых понятий.

Каждый объект, принадлежащий множеству А, называется элементом этого множества.

Элемент b не принадлежит множеству А ⇔ 

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Ø.

У множества нет элементов ⇔ Ø

Подмножество ()

 ⇔ Если , то 

Если каждый элемент одного множества А является элементом другого множества В, то говорят, что первое множество А – это подмножество второго множества В, и записывают так: .

Также используют запись , если множество А или является подмножеством В, или равно множеству В.

Равенство множеств

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Пересечение множеств ()

Пересечением множеств А и В называют их общую часть, то есть множество С всех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В

, .

Объединение множеств ()

Объединением множеств А и В называют множество С, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (А или В).

 

, .

Разность множеств (\)

Разностью множеств А и В называют множеством С, которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В.

, .

Дополнение множеств

Если все множества, которые мы рассматриваем, являются подмножествами какого-либо так называемого универсального множества , то разность  называется дополнением множества А. То есть, дополнением множества А называется множество, которое состоит из всех элементов не принадлежащих множеству А (но принадлежащих универсальному множеству ).

Понятие множества

Одним из основных понятий, которые используют в математике, является понятие множества. Для него не дают определения. Можно объяснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества.

Так, можно говорить о множестве детей на игровой площадке (элементы — дети), множество дней недели (элементы — дни недели), множество натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д. В курсах алгебры и начала анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита. Например, если множество М состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: . Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества), записывают с помощью специального знака  так: ; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывают так: .

Также можно рассматривать множество, которое не содержит в себе ни одного элемента — пустое множество.

Например, множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначают символом , множество всех целых чисел — буквой , множество всех рациональных чисел — буквой , а множество всех действительных чисел — буквой . Множества бывают конечными и бесконечными, в зависимости от того, какое количество элементов оно содержит. Так, множество и  — конечные, поскольку содержат конечное число элементов, а множества —  — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задаётся правило — характеристическое свойство, — которое позволяет определить принадлежит ли данный объект рассматриваемому множеству. Например, множество  задано перечислением элементов, а множество В чётных целых чисел — характеристическим свойством элементов множества. Последнее множество записывают так:

чётное целое число или так:

, где  — здесь после вертикальной чёрточки записано характеристическое свойство.

В общем виде запись с помощью характеристического свойства выглядит так: , где   — характеристическое свойство. Например, , .

Равенство множеств

Пусть А — множество цифр трёхзначного числа 312, то есть , а В — множество натуральных чисел, меньших чем 4, то есть . Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: . Определить равенство бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Определение. Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведённого определения равенств множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, , поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз и, соответственно, при подсчёте количества элементов множества каждый элемент считают один раз, то есть множество  содержит только два элемента.

Подмножество

Определение. Если каждый элемент одного множества А является элементом множества В, то первое множество А называется подмножеством множества В.

Это записывают так: .

Например,  (поскольку любое натуральное число — целое),  (поскольку любое целое число — рациональное), (поскольку любое рациональное число — действительное).

Считается, что всегда , то есть пустое множество является подмножеством любого непустого множества.

Иногда вместо записи  также используют запись , если множество А или является подмножеством множества В, или равно  множеству В. Например, .

Сравним определение равных множеств с определением подмножеств. Если множество А и В равны, то:

1) каждый элемент множества А является элементом множества В, следовательно, А — подмножество .

2) каждый элемент множества В является элементом множества А, следовательно, В — подмножество А .

Таким образом, два множества равны, если каждое из них является подмножеством второго.

Иногда соотношения между множествами удобно изображать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера — Венна). Например, рис. 1.1.1 изображает определение подмножества, а рис. 1.1.2 — отношения между множествами .

 Если , то .

Рис. 1.1.1

 

Рис. 1.1.2

Операции над множествами

Над множествами можно выполнять определённые действия: находить пересечение, объединение, разность множеств.

Числовые множества

Действительные числа R — числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Рациональные числа Q — можно представить в виде несократимой дроби , где m — целое, а n — натуральное число. Записывают в виде бесконечной периодической десятичной дроби :   .

Целые числа Z — включают натуральные числа, числа, им противоположные, и также число 0.

Дробные числа — числа, состоящие из целого числа частей единицы ( — обычная дробь;  — десятичная дробь: ).

Натуральные числа N (целые положительные) — в школьном курсе математики натуральное число — основное не определяемое понятие.

Число 0 — такое число, которое при сложении с ним другого числа, не меняет его.

Целые отрицательные числа — числа, противоположные натуральным.

Иррациональные числа — нельзя представить в виде несократимой дроби , где m — целое, n — натуральное число. Записывается в виде бесконечной непериодической  десятичной дроби: .

Модуль действительного числа и его свойства

Определение. Модулем положительного числа называется само это число; модулем отрицательного числа называется число, ему противоположное; модуль нуля равен нулю.

Геометрический смысл модуля:

На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, которая изображает данное число.

Модуль разности двух чисел   и  — это расстояние между точками  и на координатной прямой.

Свойства модуля:

1.  Модуль любого числа — неотрицательное число.

2.  Модули противоположных чисел равны.

3. , то есть  Величина числа не превышает величины его модуля.

4. При                     

5. При   или 

6.  Модуль произведения равен произведению  модулей множителей.

7. Модуль дроби равен модулю числителя, разделённого на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю).

8. .

9. Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых.

10. 

Числовые множества

Известны из курса алгебры. 

Модуль действительного числа и его свойства

Определение. Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа — число, ему противоположное; модуль нуля равен нулю.

Это определение можно коротко записать несколькими способами:

 или 

или или 

При необходимости мы будем пользоваться любым из этих способов обозначения модуля. Для того что бы найти  , по определению необходимо знать знак числа  и использовать соответствующую формулу. Например,

Геометрический смысл модуля.

На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки которая изображает это число.

Конечно, если (рисунок 1.2.1), то расстояние . Если , то расстояние .

    

Рис. 1.2.1

Из геометрического смысла модуля вытекает такое определение.

Модуль разности двух чисел  и b — это расстояние между точками  и b на координатной прямой.

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля.

Например, учитывая, что  — это расстояние от точки  до точки О (рис. 1.2.2), а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаем:

, 

 то есть модуль любого числа является неотрицательным числом.

Учитывая, что точка  и — расположены на одинаковом расстоянии от точки О, получаем: |—| = ||, это означает, что модули противоположных чисел равны.

Пример 1. Докажите, что сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное (если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Пример 2. Докажите, что для любого натурального числа n число  либо натуральное либо иррациональное.

Например, поскольку числа и  не являются натуральными числами  то  и  — иррациональные числа.

Пример №277

Докажите, что сумма — число иррациональное.

Решение.

Допустим, что число = r — рациональное. Тогда . Возведя обе части последнего равенства в квадрат, получаем: . Отсюда следует . Значит, . Но правая часть этого равенства — рациональное число (поскольку по допущению r — рациональное число), а левая — иррациональная. Полученное противоречие означает, что наше допущение неправильно и число иррациональное.

Комментарий.

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного — допустить, что заданное число является рациональным, и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например с тем, что    — иррациональное число. Анализируя полученные выражения, используем результат примера 1: если число r рациональное, то числа  и  и их частное также будут рациональными.

Отметим, что знаменатель полученной дроби .

Пример №278

Решите уравнение .

I способ

Решение.

 или  ;

  или  

  или  .

Ответ: 1; —6.

Комментарий.

Данное уравнение имеет вид (в данном случае ). Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: — это расстояние от точки 0 до точки . Но расстояние 7 может быть отложенным от 0 как в право (получаем число 7), так и влево (получаем число —7). Следовательно, уравнение возможно тогда и только тогда, когда  или .

II способ.

Решение.

   

Рис. 1.2.3   

 или ;

  или  .

Ответ: 1; —6.

Комментарий.

Исходя из геометрического смысла модуля, расстояние между  и на координатной прямой. Запишем данное  уравнение в виде  Это равенство означает, что расстояние от точки 2x до точки —5 равно 7. На расстоянии 7 от точки —5 расположены точки 2 и —12 (рис. 1.2.3). Таким образом, данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда  или  то есть данное уравнение равносильно совокупности этих равенств.

Пример №279

Решите неравенство 

Решение.

Решая эти неравенства (рис. 1.2.4), получаем 

Рис. 1.2.4     

Следовательно,  или  

Ответ: 

Комментарий.

Заданное неравенство имеет вид  (в данном случае ), и его можно решить, используя геометрический смысл модуля. Исходя из геометрического смысла модуля, — это расстояние от точки 0 до точки t. На расстоянии 6 от 0 расположены числа 6 и —6.

Тогда неравенству  удовлетворяют те и только те точки, которые находятся в промежутке , то есть  Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой неравенств.

Понятие числовой функции

Числовой функцией с областью значений E называется зависимость, при которой каждому числу x из множества D (области определения) ставится в соответствие единственное число y.

Записывают это соответствие так: .

Обозначения и термины:

•  — область определения;
•  — область значений;
• аргумент (независимая переменная);
• функция (зависимая переменная);
• функция;
• — значение функции в точке .

График функции

Графиком функции  называется множество всех точек координатной плоскости с координатами , где первая координата  "пробегает" всю область определения функции, а вторая координата — это соответствующее значение функции  в точке  .

Возрастающие и убывающие функции

Функция  возрастающая на множестве P: если , то для всех то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

(При увеличении аргумента соответствующие точки графика "поднимаются")

Функция убывающая на множителе P:  если для всех , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (при увеличении аргумента соответствующие точки графика "опускаются").

Чётные и нечётные функции

Функция чётная: для всех x из области определения.

График чётной функции симметричен относительно оси .

Функция нечётная:  для всех x из области определения.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат — точки О.

Понятие функции

С понятием функции вы ознакомились в курсе алгебра. Напомним, что зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.

Функцию обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмотрим произвольную функцию f. Число y, которое соответствует числу x, называют значением функции f в точке x и обозначают  

Область определения функции f — это множество всех тех значений, которые может принимать аргумент x. Её обозначают 

Область значений функции f — это множество, которое состоит из всех чисел , где x принадлежит области определения. Её обозначают  

Чаще всего функцию задают с помощью формулы. Если нет дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, если функция задана формулой , то её область определения , то есть , а область значения , то есть .

Иногда функция может задаваться разными формулами на разных множествах значений аргумента. Например, 

Функцию можно задать не только с помощью формулы, но и с помощью таблицы, графика или словесного описания.

Например, на рис. 2.1.1 графически задана функция  с областью определения и множеством значений .

Определение. Наибольшим (наименьшим) значением функции  на множестве M, на которой эта функция задана, называется значение функции   в некоторой точке  множества М, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения.

То есть для всех выполняется неравенство  (соответственно для наименьшего значения).

 Иногда это записывают так: (соответственно 

Например, для функции , графически заданной на промежутке на рис. 2.1.1, наименьшее значение равно 1, а наибольшее — 4.

То есть  

Рис. 2.1.1

График функции

Напомним определение графика функции.

Определение. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости с координатами , где первая координата х "пробегает" всю область определения функции, а вторая координата — это соответствующее значение функции f в точке х.

                   

Рис. 2.1.2

На рисунке к п. 4 табл. 3 приведены графики функций  и , а на рис. 2.1.2 — график функции .

Приведём также график функции где  — обозначение целой части  числа х, то есть наибольшего целого числа, которое не превышает х (рис. 2.1.3). Область определения этой функции множество всех действительных чисел, а область значений множество всех целых чисел.

   

Рис. 2.1.3

На рис. 2.1.4 приведён график функции  , где  обозначение дробной части числа х (по определению .                 

Рис. 2.1.4

!  Примеры графиков функции можно найти, обращаясь к физике, химии, экономике, медицине. Например:

— график А, который отображает курс доллара — зависимость стоимости R доллара в национальной валюте от времени t;

А.     

— фрагмент кардиограммы Б — зависимость разности потенциалов U на поверхности кожи пациента от времени t;

Б.   

— вольт-амперная характеристика В диода — зависимость напряжения от силы тока;

В.   

— зависимость растворимости (г) твёрдых веществ от температуры (Т).

Г.   

В современном мире для построения графика всё чаще используют специальное программное обеспечение. Графики можно строить при помощи программ ,  и другие.

Практически самым простым для пользователей является сервис Google. С его помощью можно, например, строить графики функций, заданных аналитически. Для этого в строку поиск необходимо ввести формулу, которой задана функция, например, , и нажать клавишу "Enter". (Напомним, что запись формул выполняется определённым способом, об этом вам известно из уроков информатики.) В результате получаем график функции (см. рис).

рис. 

Возрастающие и убывающие функции

Главными характеристиками функций являются их возрастание и убывание.

Определение. Функция  называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение этой функции.

То есть для  любых двух значений  и  из множества Р: если , то .

Например, функция  возрастающая (на всей области определения, т.е. на множестве R), поскольку при имеем , т.е. .

Соответствующие точки возрастающего графика функции при увеличении аргумента "поднимаются" (рис. 2.1.5).

 

Рис. 2.1.5 

На рис. 2.1.6 приведён график возрастающей функции .

Действительно, при , имеем , т.е. .

   

Рис. 2.1.6

Определение. Функция  называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений  и  из множества Р: если , то .

Например, функция убывающая (на всей области определения, т.е. на множестве R), поскольку при , имеем , т.е. .

Соответствующие точки графика убывающей функции при увеличении аргумента "опускаются" (рис. 2.1.7).

   

Рис. 2.1.7

Рассматривая график функции (рис. 2.1.8), видим, что на всей области определения эта функция не является ни возрастающей, ни убывающей. Однако можно выделить промежутки области определения, где эта функция возрастает и где убывает. Так, на промежутке функции  возрастает, а на промежутке  убывает.

Отметим, что для возрастающих и убывающих функций выполняются свойства, обратные утверждениям, которые указаны в определениях.

Если функция возрастает, то большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Если функция убывает, то большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Докажем первое из этих свойств методом от противного. Пусть функция  возрастает и . Допустим, что аргумент не больше аргумента , то есть . Из этого предположения получаем: если  и возрастает, то , что противоречит условию . Таким образом, наше предположение не верно и,  если , то , что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается и второе свойство.

Например, если , то есть , то, учитывая возрастание функции , получаем .

Чётные и нечётные функции

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть содержат вместе с каждым числом х и число —х. Для таких функций вводятся понятия чётности и нечётности.

Определение. Функция f называется чётной, если для любого х из её области определения 

Например, функция (то есть функция ) — чётная, поскольку .

Если функция  чётная, то её графику вместе с каждой точкой М с координатами принадлежит также и точка с координатами . Точки  и  расположены симметрично относительно оси  (рис. 2.1.9), поэтому и график чётной функции расположен симметрично относительно оси .

Например, график чётной функции  (см. рис. 2.1.8) симметричен относительно начала оси  .

 

Рис. 2.1.8 

  

Рис. 2.1.9

Определение. Функция f называется нечётной, если для любого х из её области определения .

Например, функция (то есть функция ) — нечётная, поскольку .

Если функция  нечётная, то её графику вместе с каждой точкой М с координатами принадлежит также и точка с координатами . Точки  и  расположены симметрично относительно начала координат (рис. 2.1.10), поэтому и график нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Например, график нечётной функции  (см. п. 4 табл. 3) симметричен относительно начала координат, то есть относительно точки О.

Например, график чётной функции (см. рис. 2.1.8) симметричен относительно оси .

Пример №280

Найдите область определения функций:

1)       2)        3) 

Решение.

1) Ограничений для нахождения значений выражения нет, таким образом, .

2) Область определения функции задаётся ограничением , поскольку знаменатель дроби не может быть равным нулю. Выясним, когда . Имеем , или  .

Тогда область определения можно задать ограничениями  или записать так:  

3) Область определения функции задаётся ограничением , то есть , поскольку под знаком квадратного корня должно стоять не отрицательное выражение. Таким образом, .

Комментарий.

Поскольку все функции заданы формулами, то их область определения — это множество всех значений переменной  , при которых формула имеет смысл, то есть имеет смысл выражение, которое стоит в правой части формулы .

В курсе алгебры встречались только два ограничения, которые необходимо учитывать при нахождении области определения:

1) если выражение записано в виде дроби , то знаменатель ;

2) если запись выражения содержит квадратный корень , то подкоренное выражение .

В других случаях, которые вам приходилось рассматривать, областью определения выражения были все действительные числа.

Пример №281

Найдите область значения функции .

Решение.

Составим уравнение .

Оно равносильно уравнению  которое имеет решение, если , то есть при . Все эти числа и составят область значения функций. 

Таким образом, область значения заданной функции  (то есть ).

Комментарий.

Обозначим значение заданной функции  (то есть ) через  и выясним, для каких  можно найти соответствующее значение х (то есть значение х, при котором значение ).

Тогда все числа , для которых существует хотя бы один корень уравнения , войдут в область значений функции . Множество всех таких  и составляет область значений функции .

Полезно помнить, что область значений функции  совпадает с множеством тех значений  , при которых уравнение имеет решение.

Пример №282

Докажите, что при областью значений линейной функции является множество всех действительных чисел.

Решение.

Если , то решение этого уравнения существует для любого (по условию).

Таким образом, значением заданной функции может быть любое действительное число, т.е. область её значения .

Комментарий.

Обозначим значение заданной функции (то есть ) через и выясним, для каких можно найти соответствующее значение х, такое, что .

Множество всех таких значений  и будет составлять область значений функции .

Пример №283

Докажите, что линейная функция при  является возрастающей, а при — убывающей.

Комментарий.

Заданная функция будет возрастающей, если из неравенства   будет следовать неравенство , а для доказательства последнего неравенства достаточно найти знак разности . Аналогично обосновывают и убывание функции. 

Решение.

Пусть , тогда Рассмотрим разность . Поскольку , то при  имеем , значит, — возрастает. При имеем , значит, — функция убывает.

Обосновывая возрастание или убывание функции, полезно помнить, что для доказательства неравенства или достаточно найти знак разности .

Пример №284

Докажите, что: 

1) сумма двух возрастающих на множестве Р функций всегда является возрастающей функцией на этом множестве;

2) сумма двух убывающих на множестве Р функций всегда является убывающей на этом множестве.

Решение.

1) Пусть функции  и   являются возрастающими на одном и том же множестве Р. Если , то и . Складывая почленно эти неравенства, получаем 

Это и означает, что сумма функций  и  является возрастающей функцией на множестве Р. 

2) Пусть функции  и  являются убывающими на множестве Р. Тогда из неравенства получаем: и . После почленного сложения этих неравенств получаем:, а это и означает, что сумма функций  и  является убывающей на множестве Р.

 Комментарий.

Для доказательства возрастания суммы двух возрастающих функций   и  достаточно доказать, что на множестве Р из неравенства следует неравенство 

Аналогично для доказательства того, что сумма двух убывающих функций является убывающей функцией, достаточно доказать: если , то 

Пример №285  

Докажите, что возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке её области значений.

Комментарий.

Докажем это утверждение методом от противного. Для этого достаточно допустить, что выполняется противоположное утверждение (функция может принимать одно и то же значение в двух точках), и получить противоречие. Это будет обозначать, что наше предположение неправильно, а правильным является данное утверждение.

Решение.

 Пусть функция является возрастающей и Допустим, что  Если , то или или 

Учитывая возрастание функции , в случаи получаем , что также противоречит равенству. Значит, наше предположение неверное и равенство возможно только при . То есть возрастающая функция приобретает каждое своё значение только в одной точке её области значений.

Аналогично доказывается утверждение и для убывающей функции.

Пример №286

Исследуйте, является ли заданная функция чётной, нечётной или ни чётной, ни нечётной: 

Решение.

1) Область определения функции, то есть она не симметрична относительно точки О (точка х = 1 входит в область определения, а х = —1 не входит — см. рис. 2.1.11).

  

Рис. 2.1.11 

Таким образом, заданная функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

2) Область определения функции , то есть она симметрична относительно точки О.

, значит, функция чётная.

3) Область определения функции , значит, она симметрична относительно точки О.

, значит, функция нечётная.

Комментарий.

Для исследования функции на чётность или нечётность достаточно, во-первых, убедиться, что область определения этой функции симметрична относительно точки О (вместе с каждой точкой х содержит и точку —х), и, во-вторых, сравнить значения и .

Построение графика функции при помощи геометрических преобразований известных видов графиков функций

1) Симметрия относительно оси Ох.

2) Симметрия относительно оси Оy.

3) Параллельный перенос графика функции вдоль оси Ох на единиц.

4) Параллельный перенос графика функции вдоль оси Оy на единиц.

5) Растяжение или сжатие графика функции вдоль оси Оy (при растяжение, при сжатие).

6) Растяжение или сжатие графика функции вдоль оси Ох (при сжатие, при растяжение).

7) Выше оси Ох (и на самой оси) график функции  — без изменения, ниже оси Ох — симметрия относительно оси Ох.

8) Справа от оси Оy (и на самой оси) график функции без изменений и та же самая часть графика — симметрия относительно оси Оy.

Рассмотрим способы построения графиков с помощью геометрических преобразований известных графиков функций.

Построение графика функции y = —f(x)

Сравним графики функций и. Очевидно, что график функции можно получить из графика функции  симметричным отображением его относительно оси Ох. Покажем, что график функции всегда можно получить из графика функции его симметричным отображением относительно оси Ох.

Действительно, по определению графика функции состоит из всех точек М координатной плоскости, которые имеют координаты . Тогда график функции состоит из всех точек К координатной плоскости, которые имеют координаты .

Точки и размещены на координатной плоскости симметрично относительно оси Ох (рис. 2.2.1). Значит, каждая точка К графика функции  получается симметричным отображением относительно оси Ох некоторой точки М графика функции .

     

Рис. 2.2.1 

Поэтому график функции  можно получить из графика функции  его симметричным отображением относительно оси Ох.

Это свойство позволяет легко обосновать построение графика функции  .

Имеем:                               

=  (график не меняется); 

= (симметрия относительно оси Ох).

Итак, график функции может быть построен так: часть графика функции , которая лежит выше от оси Ох (и на самой оси), остаётся без изменения, а та часть, которая лежит ниже от оси Ох, отображается симметрично относительно этой оси.

Аналогично обосновываются другие геометрические изменения графика функции  .

Пример №287

Постройте график функции .

Решение.

Комментарий.

Мы можем построить график функции 

Тогда график функции  можно получить параллельным переносом графика функции  вдоль оси Ох на —3 единицы.

Пример №288

Постройте график функции .

Комментарий.

Составляем план последовательного построения графика данной функции. 

1. Мы можем построить график функции .

2. Потом можно построить график функции (симметрия графика функции  относительно оси Оy).

3. После этого можно построить график функции  (параллельный перенос графика функции  вдоль оси Ох на 4 единицы).

4. Потом уже можно построить график заданной функции  (справа от оси Оy соответствующая часть графика функции  остаётся без изменений, и та же часть отображается симметрично относительно оси Оy).

Решение.

Запишем уравнение заданной функции так: .

Последовательно строим графики:

 

Обратная функция

Если функция приобретает каждое своё значение в единственной точке её определения, то можно задать функцию , которая называется обратной к функции :

для каждой , если .

.

Функции  и взаимно обратные.

Свойства обратной функции:

1) Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

2) Если функция  возрастает (убывает) на некотором промежутке, то она имеет обратную функцию этого промежутка, которая возрастает, если  возрастает, и убывает, если  убывает.

Практический способ нахождения формулы функции, обратной к функции 

Алгоритм:

1. Выяснить, будет ли функция  обратной на всей области определения:

для этого достаточно выяснить, имеет ли уравнение  единственный корень относительно переменной х.

2. Из равенства  выразить х через y. 

3. В полученной формуле ввести традиционные обозначения — аргумент обозначить через х, а функцию — через у.

Пример №289

Найдите функцию, обратную к функции .

Из равенства  можно однозначно выразить х через у: .

Эта формула задаёт обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через у, а функция — через х.

Обозначим в полученной функции аргумент через х, а функцию  — через у.

Получаем функцию , обратную функции .

Понятие обратной функции

Известно, что зависимость пути от времени для тела, которое движется с определённой скоростью , выражается формулой . Из этой формулы можно найти обратную зависимость — времени от пройденного пути: . Функцию  называют обратной к функции . Отметим, что в рассмотренном примере каждому значению соответствует единственное значение s и, наоборот, каждому значению  соответствует единственное значение t.

Рассмотрим процедуру получения обратной функции в общем виде.

Пусть функция   принимает каждое своё значение в единственной точке её области определения (такая функция называется обратной). Тогда для каждого числа   (из области значения функции ) существует единственное значение  такое, что . Рассмотрим новую функцию , которая каждому числу b из области значения функции  ставит в соответствие число , то есть  для каждого b из области значения функции .

В этом случаи функция  называется обратной к функции , а функция  — обратной к функции .

Практический способ нахождения формулы функции, обратной к функции .

Из процедуры получения обратной функции следует, что для получения обратной зависимости (которая и будет задавать обратную функцию) необходимо знать, как значение х выражается через значение у. Это можно сделать решая уравнение   относительно переменной х. Если заданная функция обратимая, то уравнение будет иметь единственное решение для всех у из области значений функции , и мы получим формулу , которая задаёт обратную функцию. Но в этой формуле аргумент обозначается через у, а функция — через х. Если поменять обозначения на традиционные, то получим запись функции, обратной к функции .

Эти рассуждения реализованы в примерах приведённых ниже.

Пример №290

Найдите функцию, обратную к функции .

Решение.

Из уравнения  при  получаем . Тогда при одному значению у соответствует два значения х. Таким образом, на всей области определения  функция  не является обратимой и для неё невозможно найти обратную функцию.

Комментарий.

Область значения заданной функции: . Но при из уравнения  нельзя однозначно выразить х через у. Например, при у = 4 получаем . Из-за этого мы не можем значению у = 4 поставить в соответствие единственное число, чтобы построить обратную функцию. 

Пример №291

Найдите функцию, обратную к функции  .

Решение.

Из уравнения  при  получаем . Учитывая, что по условию , получаем .

Обозначим аргумент через х, а функцию — через у и получаем, что функцией, обратной к функции , которая задана только при , будет функция .

Комментарий.

Область значений заданной функции: . При  заданная функция  возрастает, таким образом, на промежутке  она имеет обратную функцию. По этому, на этом промежутке мы можем однозначно решить уравнение : при  имеет .

Эта формула задаёт обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через у, а функция — через х. Заменяя обозначения на традиционные, получаем конечный результат.

Замечание. В приведенных примерах мы фактически рассматриваем разные функции (они имеют разные области определения), хотя в обоих случаях эти функции задаются одной и той же формулой. Как известно, графиком функции  является парабола, а графиком функции  при  является только правая ветвь этой параболы (рис. 2.3.1)

     

Рис. 2.3.1 

Уравнения и неравенства

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом уравнения являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

Неравенство — некоторое соотношение, связывающее неизвестный объект (неизвестные объекты) с известными объектами с помощью знаков неравенства (знаков <, >, ... ).

Область допустимого значения (ОДЗ) уравнений и неравенств

Областью допустимых значений (или областью определения) уравнения (или неравенства) называют общую область определения для всех функций, которые стоят в левой и правой частях уравнения (или неравенства).

Для уравнения  (неравенств  или ) ОДЗ: , то есть , поскольку область определения функции  определяется условием , а областью определения функции  является множество всех действительных чисел.

Уравнения–следствия (⇒)

Ориентир. Если каждый корень первого уравнения является корнем второго, то второе уравнение называют следствием первого.

Если из верности первого равенства следует верность каждого последующего, то получаем уравнения–следствия.

При этом возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании уравнений–следствий проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является важной частью решения.

Пример №292

Решите уравнение .

Решение.

Возведём обе части уравнения в квадрат: ;

.

Проверка:

 — корень;

 — посторонний корень.

Ответ: 2.

Равносильные уравнения и неравенства (⇔)

Определение. Два уравнения (неравенства) называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения.

То есть,  каждое решение первого уравнения является решением второго, и, наоборот, каждое решение второго является решением первого.

Простейшие теоремы:

• 1) Если из одной части уравнения (неравенства) перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, получим уравнение (неравенство), равносильное заданному (на любом множестве).
• 2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, которое не равно нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю), получим уравнение, равносильное заданному (на заданной ОДЗ).

Схема поиска плана решения уравнений

Решение уравнений:

1) с помощью уравнений–следствий: 

• преобразования, гарантирующие сохранение верного равенства;
• проверка корней подстановкой в исходное уравнение.

2) с помощью равносильных преобразований:

• учесть ОДЗ исходного уравнения;
• сохранять на ОДЗ верное равенство при прямых и обратных преобразованиях.

3) применением свойств функций.

Замена переменных

Ориентир. Если к уравнению (неравенству или тождеству) замена проходит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение  с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример №293

Решите уравнение .

Решение.

Замена:  (тогда ).

1. При  имеем  корней нет.

2. При  имеем , тогда .

Ответ: .

Схема поиска решения неравенств

Решение неравенств:

1) при помощи равносильных преобразований:

• учёт ОДЗ исходного неравенства;
• сохранять на ОДЗ верное неравенство при прямых и обратных преобразованиях.

2) с помощью метода интервалов 

• найти ОДЗ;
• найти нули функции: ;
• отметить нули на ОДЗ и найти знак функции  на каждом промежутке, на которые ОДЗ разбивается нулями;
• записать ответ, учитывая знак заданного неравенства.

Метод интервалов (решение неравенств вида ):

План:

1. Найти ОДЗ.

2. Найти нули функции .

3. Обозначить нули на ОДЗ и найти знак  в каждом промежутке, на которых ОДЗ разбивается на нули.

4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства (если решаемое нестрогое неравенство, то все нули функции следует включать в ответ).

Пример №294

Решите неравенство .

Решение.

Пусть .

1. ОДЗ: , таким образом .

2. Нули функции: .

(входят в ОДЗ).

3. 

Ответ: .

Теоремы о равносильных неравенствах:

1. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число (или на одну и туже функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не изменяя знака неравенства, получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и туже функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Метод интервалов

Решение неравенств методом интервалов опирается на свойства функций, связанные с изменением знаков функции. Поясним эти свойства, используя графики известных нам функций, например (рис. 3.1).

Рассматривая эти графики, замечаем, что функция может изменить свой знак только в двух случаях:

1) если график разрывается (как в случае функции (рис. 3.1, а) — график разрывается в точке 0, и знак функции изменяется в точке 0);

2) если график без разрыва переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (или наоборот), но тогда график пересекает ось Ох (как в случаи функции , рис. 3.1, б). На оси Ох значение функции равно нулю. (Напомним, что значения аргумента, при которых функция превращается в ноль, называют нулями функции). Таким образом, любая функция может изменить свой знак только в нулях либо в точках, где разрывается график функции (в так называемых точках разрыва функции).

Точки, в которых разрывается график функции , мы выделяем, как правило, когда находим область определения этой функции.

  

Рис. 3.1

Например, если , то её область определения , а именно в точке 0 график функции разрывается (см. рис. 3.1, а). Если же на каком-либо промежутке области определения график функции не разрывается и функция не равна нулю, то, согласно приведённым выше выводам, она не может в этом промежутке изменить свой знак. Таким образом, если обозначить нули функции на её области определения, то область определения разобьётся на промежутки, в середине которых знак функции измениться не может (и поэтому знак можно определить в любой точке из этого промежутка). План и пример решения неравенств методом интервалов приведён выше.

Применение свойств функций к решению уравнений

1. Конечная ОДЗ.

Ориентир. Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

Пример №295

.

ОДЗ: .

Проверка.

 — корень (),

 — не является корнем ().

Ответ: 1.

2. Оценка значений левой и правой частей уравнения.

Ориентир:

Если необходимо решить уравнение вида  и выяснилось, что ,  то равенство между левой и правой частями возможно только тогда, когда  и одновременно равны .

Пример №296

.

,   (поскольку ).

Таким образом, заданное уравнение равносильно системе уравнений

.

Ответ: 0.

Ориентир:

Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.

Пример №297

.

Таким образом, заданное уравнение равносильно системе уравнений 

Из первого уравнения получаем х = 2, что удовлетворяет и остальным уравнениям системы.

Ответ: 2.

Использование возрастания и убывания функций

Схема решения уравнения:

1. Подбираем один или несколько корней уравнения.

2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используем теорему о корнях уравнения или оценку левой и правой частей уравнения).

Теоремы о корнях уравнения

1.  

Если в уравнении функция  возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не больше чем один корень на этом промежутке.

Пример №298

Уравнение  имеет единственный корень , то есть 3=3, поскольку функция   возрастает на всей области определения .

2.  

Если в уравнении  функция  возрастает на некотором промежутке, а функция  убывает на том же самом промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не больше чем один корень на этом промежутке.

Пример №299

Уравнение  имеет единственный корень , то есть 2=2, поскольку  возрастает на всей области определения , а  убывает (на множестве R, а значит, и при ).

Объяснения и обоснования.

1. Конечная ОДЗ.

Напомним, что в случае, когда задано уравнение , общую область определения для функций  и  называют областью допустимых значений этого уравнения. Понятно, что каждый корень заданного уравнения входит как в область определения функции , так и в область определения функции . Таким образом, каждый корень уравнения обязательно входит в ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях, анализируя ОДЗ, получить решения уравнений.

Например, если задано уравнение , то его ОДЗ можно записать с помощью системы неравенств 

При решении этой системы, получаем: то есть х = 2. Таким образом, ОДЗ заданного уравнения состоит только из одного значения х = 2. Но если только для одного числа необходимо выяснить, является ли оно корнем заданного уравнения, то для этого достаточно подставить это значение в уравнение. В результате получаем правильное числовое равенство (0=0). Таким образом, х = 2 — корень этого уравнения, других корней быть не может, поскольку все корни уравнения расположены в его ОДЗ, а там нет других значений, кроме х = 2.

Замечание. В том случаи, когда ОДЗ — пустое множество (не содержит ни одного числа), мы можем сразу дать ответ, что заданное уравнение не имеет корней.

Пример №300

Решите систему уравнений 

Решение.

ОДЗ: 

Рассмотрим функцию . На своей области определения  эта функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций). Тогда первое уравнение заданной системы, которое имеет вид , равносильно уравнению х = у. Таким образом, на ОДЗ задана система уравнений, равносильная системе .

Подставляя х = у в другие уравнения системы, получаем . Учитывая, что на ОДЗ , получаем у = 3. Тогда х = у = 3.

Ответ: (3; 3).

Комментарий.

Иногда свойства функции удаётся использовать во время решения систем уравнений. Если отметить, что в левой и правой частях первого уравнения заданной системы стоят значения одной и той же функции, которая является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то равенство  для возрастающих функций возможно тогда и только тогда, когда х = у, поскольку одинаковые значения возрастающая функция может приобретать только при одном значении аргумента. (Отметим, что то же самое свойство будет иметь место и для убывающей функции.)

Замечание. Во время решения задач может быть использовано такое утверждение: если функция  является возрастающей (или убывающей) на определённом множестве, то на этом множестве  .

Графики уравнений и неравенств с двумя переменными

Определение. Графиком уравнения (неравенства) с двумя переменными х и у называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; у), где пара чисел (х; у) является решением соответствующего уравнения (неравенства).

Графики некоторых уравнений и неравенств:

Геометрическое преобразование графика уравнения F (x; y)=0.

Преобразование 

Параллельный перенос графика уравнения  на вектор 

Пример.

Преобразование 

Часть графика уравнения  справа от оси Оу (и на самой оси) остаётся без изменений, и эта же самая часть отображается относительно оси Оу.

Пример.

Преобразование 

Часть графика уравнения  выше оси Ох (и на самой оси) остаётся без изменений, и эта же часть отображается симметрично относительно оси Ох.

Пример.

Пример №301

Покажите штриховкой на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств 

Решение.

Задана система, равносильная системе неравенств 

Изобразим на рис. 2.1 штриховкой графики неравенств системы (первый — вертикальной, второй — горизонтальной):

        

Рис. 5.1 

Тогда множество точек, координаты которых удовлетворяют систему, будет таким (рис. 5.2)

     

Рис. 5.2 

Комментарий.

Перепишем заданную систему неравенств так,  чтобы нам было удобно изобразить графики заданных неравенств (то есть запишем неравенства в виде  или ). Множеством точек, координаты которых удовлетворяют неравенство  , является объединение параболы  и точек координатной плоскости, которые расположены ниже этой параболы (на рис. 5.1 это множество обозначено вертикальной штриховкой).

Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенство , состоит из точек координатной плоскости, которые расположены выше прямой (на рисунке это множество обозначено горизонтальной штриховкой).

Систему неравенств удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат пересечению множеств точек, которые задаются каждым из неравенств заданной системы (на рисунке пересечению множеств отвечает та  область, где штриховки наложились друг на друга).

Заметим, что в подобных заданиях можно не использовать промежуточные рисунки, а сразу штриховать  искомое множество точек координатной плоскости (выше прямой у = х — 2 и ниже параболы вместе с той частью параболы, которая лежит выше прямой — рис. 5.2).

Метод математической индукции

При решении математических задач иногда возникает потребность доказать, что определённое свойство выполняется для произвольного натурального числа n.

Проверить данное свойство для каждого натурального числа мы не можем — их количество бесконечно. Приходиться рассуждать так:

1. я могу проверить, что это свойство выполняется при n = 1;
2. я могу показать, что для каждого следующего значения n оно тоже выполняется, таким образом, свойство будет выполняться для каждого следующего числа, начиная с единицы, то есть для всех натуральных чисел.

Такой способ рассуждения при доказательстве математических утверждений называется методом математической индукции. Он является одним из универсальных методов доказательства математических утверждений, в которых содержатся слова "для любого натурального n" (возможно, не сформулированные явно). Доказательство с помощью этого метода всегда состоит из двух этапов:

1. начало индукции: проверяется, выполняется ли рассматриваемое утверждение при n = 1;
2. индуктивный переход: доказывается, что если данное утверждение выполняется для , то оно выполняется и для +1.

Таким образом, начав с n = 1, мы на основании доказанного индуктивного перехода получаем, что сформулированное утверждение справедливо и для n = 2, 3, ..., то есть для любого натурального n.

На практике этот метод удобно применять по схеме, приведённой ниже.

Схема доказательства утверждений с помощью метода математической индукции:

1. Проверяем, выполняется ли данное утверждение при n = 1 (иногда начинают с n = p).
2. Предполагаем, что заданное утверждение справедливо при , где  (другой вариант — ).
3. Доказываем (опираясь на предположение) справедливость нашего утверждения и при .
4. Делаем вывод, что данное утверждение справедливо для любого натурального числа n (для любого ).

Пример №302

Докажите, что для положительного натурального n 

.

Для удобства записи обозначим: .

1. При n = 1 равенство выполняется: , то есть 2 = 2.

2. Предполагаем, что заданное равенство является правильным при , где , то есть .                                      (1)

3. Докажем, что заданное равенство выполняется и при , то есть докажем, что .

Учитывая, что , и подставляя  из равенства (1), получаем: , что и требовалось доказать.

4. Следовательно, заданное равенство верно для любого натурального n.

Многочлены от одной переменной и действия над ними

Определение многочленов от одной переменной и их тождественное равенство:

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной переменной, например от переменной x.

По определению одночлена, числа и буквы (в нашем случае одна буква — x) в нём связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел записать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандартном виде), то получим выражение вида , где  — некоторое число.

Определение. Одночленом от одной переменной x называется выражение вида , где — некоторое число, n — целое неотрицательное число.

Если , то показатель степени n переменной x называется степенью одночлена. Например,  — одночлен шестой степени, — одночлен второй степени. Если одночлен является числом (которое не равно нулю), то его степень считают равной нулю. Для одночлена, который задан числом 0, понятие степени не определяется (поскольку ...).

По определению многочлен от одной переменной x — это сумма одночленов от одной переменной x.

Определение. Многочленом от одной переменной x называется выражение вида , где коэффициенты  — некоторые числа.

Если , то этот многочлен называют многочленом n-й степени от переменной x. При этом член называют старшим членом многочлена , число  —коэффициентом при старшем члене, а член  — свободным членом. Например,  — многочлен третьей степени, у которого свободный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Определение. Два многочлена называются тождественно равными, если они приобретают равные значения при всех значениях переменной.

Теорема 1. Одночлены , где , и , где , являются тождественно равными тогда и только тогда, когда  и . Одночлен  тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Поскольку равенство одночленов                          (1)

выполняется при всех значениях x (по условию эти одночлены тождественно равны), то, подставляя в это равенство x = 1, получаем . Сокращая обе части равенства (1) на (где  по условию), получаем . При x = 2 из этого равенства получаем . Поскольку , а , то равенство  возможно только тогда, когда . Таким образом, из тождественного равенства  получается, что и . 

Если известно, что  для всех x, то при х = 1 получаем . Поэтому одночлен  тождественно равен нулю при  (тогда ).

В дальнейшем любой одночлен вида  заменяем на 0.

Теорема 2. Если многочлен  тождественно равен нулю (то есть принимает нулевые значения при всех значениях х), то все его коэффициенты равны нулю.

Доказательство. Для доказательства используем метод математической индукции.

Пусть .

При n = 0 имеем , поэтому . То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при это утверждение тоже выполняется: если многочлен 

Докажем, что заданное утверждение выполняется и при . Пусть 

Поскольку равенство (2) выполняется при всех значениях х, то, подставляя в это равенство х = 0, получаем, что . Тогда равенство (2) преобразуется в такое равенство: . Вынесем х в левой части этого равенства за скобки и получим 

Равенство (3) должно выполняться при всех значениях х. Для того чтобы оно выполнялось при , должно выполняться тождество 

В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от  до . Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: . Но мы также доказали, что  , поэтому наше утверждение выполняется и при . Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательного n, то есть для всех многочленов.

Определение. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают 0(х) или просто 0 (поскольку 0(х) = 0).

Теорема 3. Если два многочлена  и  тождественно равны, то они совпадают (то есть их степени одинаковые, и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Доказательство.  Пусть многочлен , а многочлен . Рассмотрим многочлен . Поскольку многочлены  и  по условию являются тождественно равными, то многочлен  тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю.

Но .

Тогда .

Из этого следует  Как видим, если допустить, что в каком-то из двух данных многочленов  степень выше, чем у второго многочлена (например, n больше чем m), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому, начиная с номера (m+1), все коэффициенты  также будут равны нулю. Таким образом, многочлены  и  действительно имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Теорема 3 является основой так называемого метода неопределённых коэффициентов. Покажем его применение на примере.

Пример №303

Докажите, что выражение  является полным квадратом.

Данный многочлен является многочленом четвёртой степени, поэтому он может быть полным квадратом только многочлена второй степени. Многочлен второй степени имеет вид . Получаем тождество:.                                           (4)

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему равенств. Этот этап удобно оформлять в таком виде:

Из первого равенства получаем:  или .

Если , из второго равенства получаем , а из третьего — . Как видим, при этих значениях ,  и  остальные два равенства также выполняются. Таким образом, тождество (5) выполняется при ,  ,  (аналогично можно также получить  ).

Итак, .

Действия над многочленами

Сложение и умножение многочленов от одной переменной выполняется с помощью известных правил сложения или умножения многочленов. В результате выполнения действий сложения или умножения над многочленами от одной переменной всегда получаем многочлен от той же переменной.

Из определения произведения двух многочленов вытекает, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов многочленов, а свободный член произведения равен произведению свободных членов множителей. Отсюда получаем, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

При сложении многочленов одной степени получаем многочлен этой же степени, хотя иногда можно получить многочлен меньшей степени.

Например, .

При сложении многочленов с разной степенью получаем многочлен, степень которого равна большей степени слагаемого.

Например, .

Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению целых чисел. Напомним, что целое число делится на целое число , если существует такое целое число , что .

Определение. Многочлен  делится на многочлен  (где  — ненулевой многочлен), если существует такой многочлен , что .

Определение. Многочлен   делится на многочлен   (где — ненулевой многочлен) с остатком, если существует такая пара многочленов  и , что , причём степень остатка  меньше степени делителя  .

Отметим, что в этом случае многочлен  называется неполным частным.

Например, поскольку , то при делении многочлена на многочлен  получаем неполное частное и остаток 2.

Иногда деление многочлена на многочлен, как и деление многозначных чисел, удобно выполнять "уголком", пользуясь алгоритмом, который проиллюстрирован ниже.

Пример №304

Разделим многочлен  на многочлен .

По использованному алгоритму: сначала необходимо старший член делимого разделить на старший член делителя , результат  умножить на делимое и полученное произведение  отнять от делимого. К полученной разности снова применить указанные действия до тех пор, пока степень полученной разности не будет меньше степени делителя. Докажем, что полученный результат действительно является результатом деления  с остатком.

Доказательство. Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через , второго шага — через , третьего — через , то операцию деления, которую выполнили выше, можно записать в виде системы равенств:

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим 

Учитывая, что степень  меньше степени делителя , обозначим  (остаток), а  (неполное частное). Тогда из равенства (4) получаем , то есть , а это значит, что мы разделили  на  с остатком.

Очевидно, что приведённое доказательство можно привести для любой пары многочленов  и  в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для произвольных делимого  и делителя  (где  — ненулевой многочлен) найти неполное частное  и остаток .

Отметим, что в случае, когда степень делимого  меньше, чем степень делителя , учитывая, что неполное частное , а остаток .

Теорема Безу

Рассмотрим деление многочлена  на двучлен . Поскольку степень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должен быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число . Таким образом, если разделить многочлен  на двучлен , то получим =++R.

Это равенство является тождественным, то есть при любом значении x. При  получаем: . Полученный результат называют теоремой Безу.

Теорема 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена  на двучлен  равен  (то есть значению многочлена при ).

Пример №305

Докажите, что значение выражения  делится без остатка на .

Подставив в вместо х значения 1, получаем . Таким образом, остаток от деления  на  равен 0, то есть  делится на  без остатка.

Определение. Число  называется корнем многочлена , если .

Если многочлен  делится на ,то  — корень этого многочлена.

Действительно, если  делится на , то  и поэтому . Таким образом,  — корень многочлена .

Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Теорема 2. Если число  является корнем многочлена , то этот многочлен делится на двучлен  без остатка.

Доказательство. Для доказательства используем метод математической индукции.

При n = 1 утверждение доказано в теореме 2.

Допустим, что утверждение справедливо при . То есть, если , , ... ,  — попарно разные корни многочлена , то он делится на произведение . Тогда .     (1)

Докажем, что утверждение теоремы справедливо и при . Пусть , , ... , ,  — попарно разные корни многочлена . Поскольку  — корень , то . Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно допущению индукции, получаем: .

По условию все корни   разные, поэтому ни одно из чисел  ,  не равно нулю.

Тогда . Таким образом, — корень многочлена . Согласно теоремы 2, многочлен  делится на , то есть  и из равенства (1) получаем .

Это означает, что  делится на произведение , то есть теорема доказана и при .

Таким образом, теорема справедлива для любого натурально n.

Следствие. Многочлен степени n имеет не более n разных корней.

Доказательство. Допустим, что многочлен n-й степени имеет (n+1) разных корней: . Тогда  делится на произведение  — многочлен степени (n+1), но это невозможно. Поэтому многочлен n-й степени не может иметь больше чем n корней.

Пусть теперь многочлен n-й степени  имеет n разных корней  . Тогда этот многочлен делится без остатка на произведение . Это произведение является многочленом той же n-й степени. Таким образом, в результате деления можно получить только многочлен нулевой степени, то есть число. Таким образом,

    (2)

Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что , то есть

  (3)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, которые стоят в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называют формулами Виета:

      (4)

Например, при n = 2 получаем:

а при n = 3:

       (5)

Выполнение таких равенств является необходимым и достаточным условием для того, чтобы числа были корнями многочлена  .

Формулы (3) и (4) справедливы не только в случае, когда все корни многочлена  разные. Введём понятие кратного корня многочлена.

Если многочлен  делится без остатка на , но не делится без остатка на , то говорят, что число  является корнем кратности  многочлена .

Так, если произведение  записать в виде многочлена, то для этого многочлена число —2 является корнем кратности 3, число 1 является корнем кратности 2, а число —3 является корнем кратности 1.

Используя формулы Виета в случае кратных корней, необходимо каждый корень записать такое количество раз, которое равно его кратности.

Пример №306

Проверьте справедливость формул Виета для многочлена .

. Поэтому  имеет корни: , ,  (поскольку —2 — корень кратности 2).

Проверим справедливость формул (5).

В нашем случае: , . Тогда ;

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета являются справедливыми для данного многочлена.

Пример №307

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения .

Обозначим корни уравнения  через и  . Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа  и . Таким образом это  уравнение имеет вид  , где 

По формуле Виета имеем  и . Отсюда находим, что, а .

Таким образом, искомое уравнение имеет вид .

Уравнения и неравенства, которые содержат знак модуля

Решение уравнений и неравенств, которые содержат знак модуля:

— по определению: ;

— с использованием специальных соотношений;

— по геометрическому смыслу:  — расстояние на числовой прямой от точки 0 до точки . .

— по общей схеме:

• 1) Найти ОДЗ.
• 2) Найти нули всех подмодульных функций.
• 3) Отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки.
• 4) Найти решение в каждом промежутке (и проверить, входит ли это решение в рассматриваемый промежуток).

Использование геометрического смысла модуля (при >0):

1) 

2) 

3) 

4) 

Обобщение

5) 

6) 

7) 

Использование специальных соотношений:

• 1) 
• 2) 
• 3) 
• 4) тогда знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности их квадратов.
• 5) 
• 6) 
• 7) 
• 8) 
• 9) 

Отметим, что общая схема может быть использована не только для решения уравнений или неравенств, но и для выполнения преобразований выражений, содержащих знак модуля.

Уравнения и неравенства с параметрами

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Если кроме переменной и числовых коэффициентов в запись уравнений и неравенств входят буквенные коэффициенты — параметры, то при решении можно пользоваться таким ориентиром.

Любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обыкновенное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Если какие-то преобразования нельзя выполнить однозначно, то решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.

На этапе поиска плана решения уравнения или неравенства с параметрами или в ходе решения часто удобно сопровождать ответы соответствующим рассуждениям схемами, по которым легко проследить, в какой момент мы не смогли однозначно выполнить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого. Чтобы на таких схемах (или в записях громоздких решений) не потерять какой либо ответ, целесообразно помещать окончательный ответ в прямоугольные рамки. Записывая окончательный ответ, следует учитывать, что ответ должен быть записан для всех возможных значений параметра.

Пример №308

Решите неравенство с переменной х: .

Комментарий.

Заданное неравенство является линейным относительно переменной х, поэтому используем известный алгоритм решения линейных неравенств:

1) переносим члены переменной х в одну сторону, а без х — в другую: ;

2) выносим в левой части за скобки общий множитель х, то есть  приводим неравенство к виду .

Для нахождения решений последнего неравенства мы бы хотели разделить обе его части на . Но если обе части неравенства разделить на положительное число, то знак неравенства не изменится, а если на отрицательное, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Кроме того, следует учитывать, что на ноль делить нельзя. Таким образом, начиная с этого момента необходимо рассмотреть три случая: 

Приведённые выше рассуждения можно наглядно записать так.

Решение.   

                                                        х — любое число   

Ответ: 

1) если , то ;

2) если , то ;

3) если , то х — любое число.

Пример №309

Решите уравнение  относительно переменной х.

Комментарий.

Будем выполнять равносильные преобразования заданного уравнения. Для этого найдём его ОДЗ (знаменатели дробей не равны нулю). Если дальше обе части уравнения умножить на произведение выражений, которые стоят в знаменателях дробей (и которые не равны нулю на ОДЗ уравнения), то получим уравнение , равносильное заданному (на ОДЗ заданного). Но последнее уравнение будет квадратным только при  , потому для его решения следует рассмотреть два случая ( и ).

Если , то для исследования полученного квадратного уравнения нужно рассмотреть ещё три случая , ,  и в каждом из них проверить, входят найденные корни в ОДЗ или нет. При  удобно использовать тот факт, что значение корня соответствующего квадратного уравнения совпадает с абсциссой вершины параболы , то есть . Рассматривая случай , следует помнить также предыдущее ограничение: .  Поскольку корни уравнения (1) записываются достаточно громоздкими формулами (см. решение), то для решения вместо подстановки полученных корней в ограничение ОДЗ можно подставить "запрещённые" значения х и в уравнение (1) и выяснить, при каких значениях параметра  мы получим те значения х, которые не входят в ОДЗ, а затем проверить полученные значения параметра.

Решение.

ОДЗ , . На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям: ; .       (1)

1. Если , то из уравнения (1) получаем  — не входит в ОДЗ, таким образом, при  корней нет.

2. Если , то уравнение (1) — квадратное. Его дискриминант . Рассмотрим три случая:

1) , то есть ; . Тогда уравнение (1) имеет одно значение корня .

а) Если , то корень х = 2 уравнения (1) входит в ОДЗ и является корнем заданного уравнения.

б) Если , то корень х =—2 уравнения (1) тоже входит в ОДЗ и является корнем заданного уравнения.

2), то есть , следовательно,  или . Тогда уравнение (1) не имеет корней.

3) , то есть , следовательно, , но .

Тогда уравнение (1) имеет два корня:

           (2)

Выясним, при каких значениях найденные корни не входят в ОДЗ, то есть при каких значениях  получим х = 0 и х = .

Подставляя в уравнение (1) х = 0, получаем = 0, но при = 0 заданное уравнение не имеет корней.

Подставляя в уравнение (1) х =, получаем , то есть , 

. Тогда = 0 (заданное уравнение не имеет корней) или .

При =1 ОДЗ записывается так: , . Из формулы корней (2) имеем  (входит в ОДЗ) и (не входит в ОДЗ). Следовательно, при =1 заданное уравнение имеет только один корень х = 4.

При =—1 ОДЗ записывается так:, , а по формуле корней (2) получаем:  (входит в ОДЗ) и  (не входит в ОДЗ). Следовательно, при =—1 заданное уравнение имеет только один корень х =—4.

Таким образом, формулу корней (2) можно использовать, если , только при  и .

Ответ: 1) если , то х = 2; 2) если , то х =—2; 3) если = 1, то х = 4; 4) если =—1, то х =—4; 5) если , то ; 6) если  или =0, то корней нет.

Замечание. Чтобы облегчить запись ответа в этом и аналогичных примерах, можно пользоваться таким приёмом. Перед тем как записать ответ, в сложных и громоздких случаях изобразим ось параметра () и отметим на ней все особые значения параметра, которые появились в процессе решения. Под осью параметра (левее от неё) выпишем все полученные решения (кроме решения "корней нет") и напротив каждого ответа обозначим значение параметра, при которых этот ответ можно использовать (рис. 9.1.1). После этого ответ записывают для каждого из особых значений параметра и для каждого из полученных промежутков оси параметра.

Кроме того, в рассматриваемом примере, прежде чем записать ответ, удобно изобразить в черновике такую схему (см. 9.1.1).

   

                                                                                           Рис. 9.1.1

Исследовательские задачи с параметрами

Некоторые исследовательские задачи с параметрами удаётся решить по такой схеме:

1. решить заданное уравнение или неравенство;
2. исследовать полученное решение.

Пример №310

Найдите все значения , при которых уравнение  имеет единственный корень.

Решение.

ОДЗ . На ОДЗ получаем равносильное уравнение . Тогда или . Получаем  или . Учтём ОДЗ. Для этого выясним, когда : .

Тогда при  получаем:

 — посторонний корень;

 — единственный корень.

При  получаем:

 — посторонний корень;

 — единственный корень.

Также заданное уравнение будет иметь единственный корень, если , то есть при  (тогда  и ).

Ответ: 

Исследование количества решений уравнений и их систем

При решении некоторых задач с параметрами можно пользоваться таким ориентиром.

Если в задаче с параметрами речь идёт о количестве решений уравнения (неравенства или системы), то для анализа заданной ситуации часто удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Наиболее простым соответствующее исследование является в том случаи, когда заданное уравнение можно преобразовать к виду , поскольку график функции  — это прямая, параллельная оси Ох (которая пересекает ось Оу в точке ). Отметим, что, заменяя заданное уравнение на уравнение , нужно следить за равносильностью выполненных преобразований, чтобы полученное уравнение имело те же корни, что и заданное, а следовательно, и количество корней у них будет одинаковым. Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение , достаточно определить, сколько точек пересечения имеет график функции  с прямой  при различных значениях параметра . (Для этого на соответствующем рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.)

Пример №311

Сколько корней имеет уравнение  в зависимости от значения параметра .

Решение. 

Построим график функций  и  (рис. 9.2.1).

Анализируя взаимное размещение полученных графиков, получаем ответ:

• 1) при  уравнение корней не имеет;
• 2) при уравнение имеет 3 корня;
• 3) при уравнение имеет 6 корней;
• 4) при уравнение имеет 4 корня;
• 5) при уравнение имеет 2 корня.

      

Рис. 9.2.1 

Комментарий.

Поскольку в этом задании речь идёт о количестве решений уравнения, то для анализа заданной ситуации попробуем использовать графическую иллюстрацию решения.

1. Строим график функции

(учитывая, что , построение может происходить, например, по таким этапам: ).

2. Строим график функции .

3. Анализируем взаимное размещение полученных графиков и записываем ответ (количество корней уравнения  равно количеству точек пересечения графика функции с прямой ).

Отметим, что значительное количество исследовательских заданий не удаётся решить путём непосредственных вычислений (или такие вычисления являются громоздкими). Поэтому часто приходится сначала обосновывать какое-то свойство заданного уравнения или неравенства, а затем, пользуясь этим свойством, уже давать ответ на вопрос задачи. Например, принимая во внимание чётность функций, которые входят в запись заданного уравнения, можно использовать такой ориентир.

Если в уравнении функция является чётной или нечётной, то вместе с каждым корнем мы можем указать ещё один корень этого уравнения .

Пример №312

Найдите все значения параметра , при которых уравнение будет иметь единственный корень.                   (1)

Решение.

Функция  является чётной , ). Если  — корень уравнения (1), то  тоже является корнем этого уравнения. Потому единственный корень у заданного уравнения может быть только тогда, когда , то есть . Следовательно, единственным корнем заданного уравнения может быть только . Если , то из уравнения (1) получаем , тогда  или . При  уравнение (1) превращается в уравнение . Тогда , . Получаем (тогда , то есть ) или  (тогда , то есть ). Таким образом, при  уравнение (1) имеет три корня, и условие задачи не выполняется. При  уравнение (1) превращается в уравнение . Тогда ; . Поскольку , то получаем . Тогда , то есть  — единственный корень. Следовательно, удовлетворяет условие задачи.

Ответ: .

Комментарий.

Замечаем, что в левой части заданного уравнения стоит чётная функция, и используем ориентир, приведённый выше. Действительно, если  — корень уравнения , то  — верное числовое равенство. Учитывая чётность функции , имеем . Следовательно,  — тоже корень уравнения . Единственный корень у этого уравнения может быть только тогда, когда корни  и  совпадают. Тогда .

Выясним, существуют ли такие значения параметра , при которых х = 0 является корнем уравнения (1). (Это значение  и .)

Поскольку значение  и  мы получим из условия, что х = 0 — корень уравнения (1), то необходимо проверить, на самом ли деле при этих значениях  заданное уравнение будет иметь единственный корень.

При решении полученных уравнений целесообразно использовать, что .

Использование условий расположения корней квадратного трёхчлена  относительно A и B

Решение некоторых исследовательских задач с параметрами можно свести к использованию необходимых и достаточных условий расположения корней квадратного трёхчлена. 

С соответствующими условиями и их обоснованиями, примером их использования и дополнительными примерами решения заданий с параметрами можно ознакомиться, обратившись к интернету.

Степенная функция

Квадратный корень

Определение. Квадратным корнем из числа  называется такое число , квадрат которого равен .

Если , то  — квадратный корень из числа .

Арифметический корень — неотрицательное значение корня.

При обозначения арифметического корня такие: , .  

Область допустимого значения (ОДЗ):

 существует только при .

Запись решения уравнения .

 — нечётное .

При любых значениях  уравнение  имеет единственный корень .

Пример:

Уравнение  имеет единственный корень .

Свойства корня n-й степени:

 — нечётное число.

1) 

2) 

Для положительного значения n и  (, , )

3) При  — 

4) При — 

5) При ,  — 

Следствия:

При  — вынесение множителя из-под знака корня.

6) При  

7) При   — основное свойство корня.

Значение корня из степени неотрицательного числа не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить (или разделить) на одно и то же натуральное число.

8) При , если , то .

Функция  и её график

График функции 

n — чётное ()

Свойства функции 

n — чётное ()

• 1. Область определения:  , то есть .
• 2. Область значений: , то есть .
• 3. Наибольшего значения функция не имеет; наименьшее значение —  (при х = 0).
• 4. Функция ни чётная, ни нечётная.
• 5. Точки пересечения с осями координат  то есть график проходит через начало координат. 
• 6. Промежутки возрастания и убывания: на всей области определения функция возрастает.
• 7. Промежутки знакопостоянства: при значение .

Корень n-й степени

Корнем n-й степени из числа называется такое число b, n-я степень которого равна .

Если  (, ), то b — корень n-й степени из числа .

Арифметический корень — неотрицательное значение корня.

При обозначения арифметического корня такие: , .   .

Область допустимого значения (ОДЗ):

 существует только при  (, );

 существует при любом значении  (, ).

Запись решения уравнения 

При  уравнение не имеет корней.

Пример:

Уравнение  не имеет корней.

При  все корни уравнения  можно записать так: .

Пример:

Уравнение  имеет корень .

Свойства корня n-й степени:

 — чётное число.

Для положительного значения n и  (, , )

При  — 

При — 

При ,  — 

Следствия:

При ,  — внесение множителя под знак корня.

При  

При   — основное свойство корня.

Значение корня из степени неотрицательного числа не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить (или разделить) на одно и то же натуральное число.

При , если , то .

Функция  и её график

График функции 

n — нечётное ()

Свойства функции :

n — нечётное ()

1. Область определения  (х — любое действительное число), то есть .
2. Область значений:  (у — любое действительное число), то есть .
3. Наибольшего и наименьшего значений функция  не имеет.
4. Функция нечётная: , следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
5. Точки пересечения с осями координат  то есть график проходит через начало координат. 
6. Промежутки возрастания и убывания: на всей области определения функция возрастает.
7. Промежутки знакопостоянства:

• при х > 0 значение у > 0, 
• при х < 0 значение у <0.

Определение корня n-й степени

Понятие корня квадратного из числа  вам известно: это такое число, квадрат которого равен . Аналогично определяют и корень n-й степени из числа , где n — произвольное натуральное число, большее 1.

Определение. Корнем n-й степени из числа  называется такое число, n-я степень которого равна .

Например, корень третьей степени из числа 27 равен 3, поскольку ; корень третьей степени из числа –27 равен –3, поскольку . Числа 2 и –2 являются корнями четвёртой степени из числа 16, поскольку  и .

При n = 2 и n = 3 корни n-й степени называют также соответственно квадратным и кубическим корнями.

Как и для квадратного корня, для корня n-й степени вводят понятие арифметического корня.

Определение. Арифметическим корнем n-й степени из числа  называется неотрицательное число, n-я степень которого равна .

Для арифметического значения корня n-й степени из числа  существует специальное обозначение ; число n называют показателем корня, а само число — подкоренным выражением. Знак  и выражение  называют также радикалом.

Например, то, что корень третьей степени из числа 27 равен 3, записывают так: ; то, что корень четвёртой степени из числа 16 равен 2, записывают так: . Но для записи того, что корень четвёртой степени из 16 равен –2, обозначения нет.

Отрицательное значение корня n-й степени из числа  существует только при нечётных значениях n (поскольку не существует такого действительного числа, чётная степень которого будет отрицательным числом). В этом случае корень нечётной степени n из числа  также обозначают . Например, то, что корень третьей степени из числа –27 равен –3, записывают так: . Поскольку –3 — отрицательное число, то  не является арифметическим значением корня. Но корень нечётной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметическое значение корня с помощью формулы .

Чтобы доказать приведённую формулу, заметим, что по определению корня n-й степени это равенство будет верным, если . Действительно, , а это и означает, что .

Например, 

Отметим также, что значение имеет тот же знак, что и число , поскольку при возведении в нечётную степень знак числа не меняется.

По определению корня n-й степени можно также записать, что в том случае, когда существует значение , выполняется равенство  и, в частности, при  .

Область допустимых значений выражений с корнями n-й степени. Решение уравнения  

См. в доп. материалах.

Свойства корня n-й степени

Указанные свойства можно доказать, опираясь на определение корня n-й степени.

1) Формулу доказали выше.

Напомним, что по определению корня n-й степени для доказательства равенства  достаточно проверить равенство .

2) Выражение  рассмотрим отдельно при  (нечётное) и при  (чётное).

Если n — нечётное, то учитываем то, что выражение  существует при любых значениях  и что знак  совпадает со знаком : .

Если n — чётное, то учитываем то, что выражение  обозначает арифметическое значение корня n-й степени (следовательно, ) и что . Тогда .

3) Формулу  докажем, рассматривая её справа налево. Поскольку  , то по определению .

4) Справедливость формулы  следует из равенства .

5) Для обоснования формулы  используем равенство .

6) Для обоснования формулы  используем равенство .  

7) Свойство корня  при  следует из равенства .

Например,  (показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделили на натуральное число 3).

Из формулы  можно получить важные следствия.

При .

Рассматривая полученную формулу слева направо, получаем формулу вынесения неотрицательного множителя из-под знака корня:  , а справа налево — формулу внесения неотрицательного множителя под знак корня: .

Например, .

8) Отметим ещё одно свойство корней n-й степени: для любых неотрицательных чисел  и , если .

Докажем это методом от противного. Допустим, что . Тогда при возведении обеих частей последнего неравенства с неотрицательными членами в n-ю степень (с сохранением знака неравенства) получаем верное неравенство . Это противоречит условию . Таким образом, наше предположение неверно, и .

Обобщение свойств корня n-й степени

Основная часть формул, которые выражают свойства корней n-й степени, доказана для неотрицательных значений подкоренных выражений. Но иногда приходится выполнять преобразования выражений с корнями n-й степени и в том случае, когда таких ограничений нет, например извлекать корень квадратный (или в общем случае — корень чётной степени) из произведения  отрицательных чисел . Тогда  и   существует, но формулой  (1) воспользоваться нельзя: она доказана только для неотрицательных значений  и b. Но в случае  имеем:  и теперь  и . Следовательно, для доказательства корня из произведения можно применить формулу (1). Тогда при  можем записать: .

Отметим, что полученная формула справедлива и при  поскольку в этом случае  и . Таким образом, при .

Аналогично можно обобщить свойство 6. При .

Следует отметить, что в тех случаях, когда доказательство основных формул можно повторить и для отрицательных значений  и  , такими формулами можно пользоваться для любых  и   (из ОДЗ левой части формулы).

Например, для корней нечётной степени для любых значений   и 

Действительно, левая и правая части этой формулы существуют при любых значениях   и  и выполняется равенство:

, 

тогда по определению корня -й степени выполняется и равенство (2).

Например,  при любых значениях   и .

Но некоторыми формулами не удаётся воспользоваться для произвольных значений  и .

Например, если мы по основному свойству корня запишем, что  (показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделили на натуральное число 2), то полученное равенство не является тождеством, поскольку при  (левая и правая части этого равенства определены при всех значениях ) имеем , то есть 1 = –1 — неверное равенство.

Следовательно, при делении показателя корня и показателя степени подкоренного выражения на чётное натуральное число необходимо обобщить основное свойство корня. Для этого достаточно заметить, что , и теперь основание степени подкоренного выражения , а значит, можно использовать основную формулу (свойство 7): .

В общем случае, если при использовании основного свойства корня приходится делить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на чётное натуральное число, то в результате основание степени подкоренного выражения необходимо брать по модулю, то есть .

Аналогично можно доказать и другие примеры использования основных свойств корней при произвольных значениях  и  (ОДЗ левой части формулы).

Следовательно, если по условию задачи на преобразование выражений с корнями n-й степени (иррациональных выражений) известно, что все переменные (которые входят в запись заданного выражения) приобретают неотрицательные значения, то для преобразования этого выражения можно пользоваться основными формулами, а если таких условий нет, то необходимо анализировать ОДЗ заданного выражения и только после этого решать, какими формулами пользоваться — основными или обобщёнными.

Основные формулы для корня n-й степени (только для неотрицательных значений  и , то есть ):

1)  

— если корень нечётной степени — можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы;

— если корень чётной степени — можно пользоваться основными формулами только для неотрицательного числа.

2) 

— если корень нечётной степени — можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы;

— если корень чётной степени — используют обобщённую формулу .

3) Корень из корня 

— при корнях как чётной так и нечётной степенях — можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы.

4) Корень из произведения 

— если корень нечётной степени — можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы;

— если корень чётной степени — используют обобщённую формулу.

и произведение корней 

— при корнях как чётной так и нечётной степеней —можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы.

5) Корень из частного , 

— если корень нечётной степени — можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы;

— если корень чётной степени — используют обобщённую формулу .

и частное из корней ;

— при корнях как чётной так и нечётной степеней —можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы.

6) Основное свойство корня: 

— если корень нечётной степени — можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы, если все корни нечётной степени (то есть переход нечётный → нечётный);

— если корень чётной степени — можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы, если все корни чётной степени (то есть переход чётный → чётный);

— если корень чётной степени с переходом нечётный → чётный — используют обобщённую формулу ;

и наоборот 

— если корень нечётной степени — можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы, если все корни нечётной степени (то есть переход нечётный → нечётный);

— если корень чётной степени — используют обобщённую формулу .

7) Вынесение множителя из-под знака корня 

— если корень нечётной степени — можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы;

— если корень чётной степени  — используют обобщённую формулу.

8) Внесение множителя под знак корня 

— если корень нечётной степени — можно пользоваться основными формулами для любого числа  и  с ОДЗ левой части формулы;

— если корень чётной степени — используют обобщённую формулу где .

Пример №313

Найдите значение выражения:

Решение. 

, поскольку .

, поскольку .

Комментарий.

Используем свойства корня n-й степени. Запись  означает, что .

Пример №314

Найдите значение выражения: 

1) ;   2) .

Комментарий.

Используем свойства корня n-й степени и учтём, что каждую формулу, которая выражает эти свойства, можно применять как слева направо, так и справа налево. Например, для решения задания 1 воспользуемся формулой , а для решения задания 2 — этой же формулой, но записанной справа налево, то есть  (при ).

Решение.

1) ;  2) .

Пример №315

Сравните числа:

1)  и ;        2)  и .

Решение.

1) . Так как , то , то есть ;

2) . Так как , то , то есть .

Комментарий.

Для сравнения заданных чисел в каждом задании достаточно привести все корни к одному показателю корня и учесть, что для любых неотрицательных чисел  и , если , то .

Пример №316

Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит корня n-й степени:

1) ;       2) ;         3) .

Комментарий.

В задании 1 учитываем, что , значит, после умножения числителя и знаменателя заданной дроби на  знаменатель можно будет записать без знака радикала.

В задании 2 достаточно числитель и знаменатель заданной дроби умножить на разность  (чтобы получить в знаменателе формулу разности квадратов).

Но выполнение аналогичного преобразования в задании 3 связано с определёнными проблемами. ОДЗ выражения   :  (следовательно, все тождественные преобразования необходимо выполнять для всех значений  ). Умножим числитель и знаменатель заданной дроби на выражение . По основному свойству дроби это можно сделать только для случая, когда , то есть только при . Но значение входит в ОДЗ исходного выражения, поэтому выбранный нами способ решения приведёт к сужению ОДЗ исходного выражения. Действительно, если записать, что , то это равенство не является тождеством, поскольку не выполняется для  из ОДЗ исходного выражения. В этом случае, чтобы не допустить ошибок, можно пользоваться таким ориентиром. 

Если для тождественных преобразований (или для решения уравнений и неравенств) приходится применять преобразования (или формулы), приводящие к сужению ОДЗ исходного выражения, то значения, на которые сужается ОДЗ данного выражения, следует рассмотреть отдельно.

Решение.

1) .

2) .

3) Обозначим  . Тогда при  получаем .

При имеем .

Значит, при , при .

Пример №317

Упростите выражение .

Комментарий.

В условии не указано, что значение неотрицательное, поэтому придётся сначала определить ОДЗ данного выражения.

Исходное выражение существует при любых значениях (ОДЗ: любое ), и его преобразование необходимо выполнить на всей ОДЗ.

Возможными являются несколько путей преобразования исходного выражения, например:

1) сначала рассмотреть корень квадратный из произведения, а потом воспользоваться формулой корня из корня и основным свойством корня;

2) внести выражение под знак кубического корня, а затем также применить формулу корня из корня и основное свойство корня.

В каждом из этих вариантов учитываем, что при любых значениях  значения  и  (а значит, для этих выражений можно пользоваться основными формулами). Далее, при использовании основного свойства корня приходится делить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на чётное натуральное число 2. Поэтому в результате основание степени подкоренного выражения берём по модулю (поскольку ). 

Решение.

I способ:

.

II способ:

.

Иррациональные уравнения

Понятие иррационального уравнения

Уравнения, в которых переменная находится под знаком корня, называют иррациональными. Для того чтобы решить заданное иррациональное уравнение, его, чаще всего,  сводят к рациональному с помощью некоторых преобразований.

Решение иррациональных уравнений

1. С помощью возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

— при возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное заданному (на его ОДЗ);

Пример №318

Решите уравнение .

Ответ: 9.

— при возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут появиться посторонние корни, которые отсеиваются проверкой.

Пример №319

Решите уравнение .

Проверка. При  имеем:  — неверное равенство, следовательно,  — посторонний корень.

При  имеем:  — верное равенство, следовательно,  — корень заданного уравнения.

Ответ: 3.

2. С помощью замены переменных.

Если в уравнение переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример №320

Решите уравнение .

Обозначим . Тогда . 

Получаем уравнение: .

Выполняем обратную замену: , тогда  или  , отсюда .

Ответ: 1;  –8.

3. Использование теоремы о равносильности.

 Если обе части уравнения неотрицательные, то при возведении обеих частей уравнения в чётную степень получим уравнение, равносильное заданному, при условии учёта его ОДЗ.

Пример №321

Решите уравнение .

Решение.

Проверка.  — корень (); 

— посторонний корень 

Ответ: 1.

Комментарий.

Изолируем один корень и возведём обе части уравнения в квадрат — так мы избавимся от одного из корней.

Затем снова изолируем и снова возведём обе части уравнения в квадрат — получим квадратное уравнение.

Поскольку при возведении в квадрат можно получить посторонние корни, то в конце выполним проверку полученных решений.

Пример №322

Решите уравнение .

Пусть  Тогда 

Получаем систему уравнений 

Из первого уравнения находим  и подставляем во второе уравнение: 

Учитывая, что , получаем . Тогда .

Имеем систему уравнений 

Из первого уравнения , что удовлетворяет и второму уравнению. 

Ответ: 3.

Комментарий.

Некоторые иррациональные уравнения, которые содержат несколько корней n-й степени, можно привести к системе рациональных уравнений, заменив каждый корень новой переменной. 

После замены ,  из данного уравнения получаем только одно уравнение . Для получения второго уравнения запишем, что по определению корня n-й степени

Вычтем из первого равенства второе (чтобы избавиться от переменной х) и получим ещё одну связь между и : .

Полученную систему уравнений решаем методом подстановки. Следует обратить внимание на то, что, выполняя обратную замену, необходимо выяснить, существует ли значение х, удовлетворяющее обоим соотношениям замены.

Если, решая иррациональные уравнения, мы используем уравнения–следствия (как в примере 1), то в конце следует выполнять проверку полученных решений. Но проверка иногда бывает достаточно сложной и громоздкой. Для таких уравнений приходится использовать равносильные преобразования на каждом шаге решения. При этом, необходимо помнить, что все равносильные преобразования уравнений либо неравенств выполняются на ОДЗ заданного уравнения либо неравенства, поэтому, выполняя равносильное преобразование иррациональных уравнений, необходимо учитывать ОДЗ заданного уравнения. Также, достаточно часто в этих случаях рассуждают так: для всех корней заданного уравнения знаки левой и правой частей уравнения совпадают, поскольку, при подстановке в заданное уравнение числа, которое является его корнем, получают верное числовое равенство. Используя последнее рассуждение, часто удаётся получить какое-либо дополнительное условие для корней заданного уравнения и выполнять равносильные преобразования не на всей ОДЗ данного уравнения, а на какой-либо её части.

Пример №323

Решите уравнение  .

Решение этой системы: 

На ОДЗ задано уравнение, равносильное уравнениям: 

Для всех корней уравнения (1) 

            (2)

Согласно этому условию, уравнение (1) равносильно уравнениям:  Тогда .

 — входит в ОДЗ и удовлетворяет условию (2), значит, является корнем заданного уравнения;  — входит в ОДЗ, но не удовлетворяет условию (2), значит, не является корнем заданного уравнения.

Ответ: .

Комментарий.

Выполним равносильное преобразование заданного уравнения.

Учитывая, что все равносильные преобразования выполняются на ОДЗ заданного уравнения, зафиксируем его ОДЗ.

Перенося выражение  из левой части уравнения в правую с противоположным знаком, получаем уравнение, равносильное заданному.

В уравнении обе части неотрицательные, значит, при возведении обеих частей в квадрат получаем уравнение, равносильное заданному, которое равносильно уравнению (1).

Для всех корней уравнения (1) является верным числовым равенством. В этом равенстве правая часть — неотрицательное число , то есть для всех корней.

Тогда, по условию (2) обе части уравнения (1) неотрицательные, значит, при возведении обеих частей в квадрат получаем равносильное уравнение. Но, после того как найден корень этого уравнения, необходимо проверить  входит ли он в ОДЗ и удовлетворяет ли условию (2). Для такой проверки достаточно взять приближённые значения корней  и .

Обобщение понятия степени. Степенная функция, её свойства и график

Обобщение понятия степени

1. Степень с натуральным и целым показателем.

                                                      

                                                           n раз

                                                      

2. Степень с дробным показателем.

                                

3. Свойства степеней.

               

Вам известны понятия степеней с натуральным и целым показателем. Напомним их определения и свойства.

Если n — натуральное число, большее, чем 1, то для любого действительного числа

 ,

               n раз

то есть  равно произведению n сомножителей, каждый из которых равен .

При n = 1 считают, что .

Если , то  и , где n — натуральное число.

Вам известны также основные свойства степеней: 

Напомним ещё одно полезное свойство 

Обобщим понятия степени для выражения вида ; ;  и т. п., то есть для степеней с рациональными показателями. Соответствующее определение желательно дать так, чтобы степени с рациональными показатели имели те же свойства, что и степени с целыми показателями.

Например, если мы хотим, чтобы выполнялось свойство , то должно выполняться равенство . Но по определению корня n-й степени последнее равенство означает, что число  является корнем n-й степени из числа . Это приводит нас к такому определению.

Определение. Степенью числа  с рациональным показателем  , где m — целое число , а n — натуральное число, называется число .

Также по определению принимаем, что при .

Например, по определению степени с рациональным показателем: ; 

Замечание. Значение степени с рациональным показателем  (где ) не определяется при .

Это объясняют тем, что рациональное число r можно представить разными способами в виде дроби: , где  — любое натуральное число.

При , используя основное свойство корня и определение степени с рациональным показателем, получаем: .

Следовательно, при  значение  не зависит от формы записи r.

При  это свойство не сохраняется. Например, если , то должно выполняться равенство . Но при  получаем;

, то есть при отрицательных значениях  получаем .

Таким образом, определение степени  (m — целое, n — натуральное, не равное 1) для отрицательных значений  не вводится.

Пример №324

Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем: 1) ;                      2) ;                      3)  при ;                      4) .

Решение.

1) ;

2) ;

3) при  ;

4) .

Комментарий.

По определению степени с рациональным показателем для .

Для задания 3 учитываем, что выражение  определено также и при .

В задании 4 при  мы не имеем права пользоваться формулой, приведённой выше. Но если учитывать, что , то для основания  приведённой формулой уже можно воспользоваться, поскольку .

Пример №325

Вычислите: 3) .

Решение.

1) 

2) ;

3)  не существует, поскольку  степень определена только при .

Комментарий.

Используем определение степени с рациональным показателем: , где , а при выполнении задания 3 учитываем, что выражение  не определено при .

Пример №326

Упростите выражение:

1) ;                       2) .

Решение.

1) ;

2) .

Комментарий.

Поскольку заданные примеры уже содержат выражения , , , то . Тогда в задании 1 неотрицательные числа  и  можно представить как квадраты:  и использовать формулу разности квадратов: , а в задании 2 представить неотрицательное число x как куб:  и использовать формулу разложения суммы кубов: .

Пример №327

Решите уравнения:

1) ,          2) .

Решение.

1) 

Ответ: .

2) 

Учитывая ОДЗ, получаем х = 1.

Ответ: 1.

Комментарий.

Область допустимых значений уравнения  — все действительные числа, а уравнения  — только при .

При возведении обеих частей уравнения в куб получаем уравнение, равносильное заданному на его ОДЗ. Следовательно, первое уравнение удовлетворяют все найденные корни, а второе — только неотрицательные.

(В задании 1 также учтено, что , а в задании 2 — что.)

Степенная функция, её свойства и график

Определение. Функция вида , где  — любое действительное число, называется степенной функцией.

Особый случай 

Если , то  (при )     

Графики и свойства функции 

1) — чётное натуральное число .

       ⇒, ⇒.

Чётная, убывает на промежутке , возрастает на промежутке .

2)  — нечётное натуральное число 

         ⇒, ⇒.

Нечётная, возрастает.

3.  — нечётное отрицательное число 

 

⇒,

E(y)⇒

Нечётная, убывает на каждом из промежутков  и .

4.  — чётное отрицательное число 

  ⇒, E(y)⇒

Чётная, возрастает на промежутке , убывает на промежутке .

5.  — нецелое положительное число. 

                                                                                                         нецелое)

⇒, E(y)⇒

Ни чётная, ни нечётная, возрастает.

6.  — нецелое отрицательное число.

— нецелое

⇒, E(y)⇒

Ни чётная, ни нечётная, убывает.

Степенными функциями называют функции вида , где  — любое действительное число.

С некоторыми из таких функций вы уже ознакомились в курсе алгебры. Это, например, функции , . При произвольном натуральном графики и свойства функции аналогичны известным вам графикам и свойствам указанных функций.

Описывая свойства степенных функций, выделим те характеристики функций, которые мы использовали:

1. область определения;
2. область значений;
3. чётность и нечётность;
4. точки пересечения с осями координат;
5. промежутки знакопостоянства;
6. промежутки возрастания и убывания;
7. наибольшее и наименьшее значения функции.

Функция вида ( — чётное натуральное число): Если  — чётное натуральное число, то функция , имеет свойства и график, полностью аналогичные свойствам и графику функции .

Действительно, область определения функции , поскольку значение этой функции можно вычислить при любых значениях .

Функция чётная: если , то . Таким образом, график функции симметричен относительно оси Оу.

Поскольку при х = 0 значение у = 0, то график функции всегда проходит через начало координат.

На промежутке  функция возрастает.

Действительно, для неотрицательных значений  при получаем , поскольку, как известно из курса алгебры, при возведении обеих частей верного неравенства с неотрицательными членами в чётную степень (с сохранением знака неравенства) получаем верное неравенство.

На промежутке  функция убывает.

Действительно, для неположительных значений  и  (), если , то  (и теперь ). Тогда , таким образом, , то есть .

Для того чтобы найти область значений функции , составим уравнение . Оно имеет решение для всех  (тогда ) и только при таких значениях . Все эти числа и составят область значений функции. Следовательно, область значений данной функции: , то есть .

Таким образом, для всех действительных значений х значение . Наименьшее значение функции равно нулю (у = 0 при х = 0). Наибольшего значения функция не имеет.

Отметим также, что при  значение .

Учитывая свойства функции , , получаем её график (рис. 12.2.1).

                   

Рис. 12.2.1

Аналогично можно самостоятельно обосновать свойства степенной функции для других показателей степени.

Пример №328

Найдите область определения функции:

1) ;  2) .

Решение.

1) , то есть , следовательно, .

2) , то есть , следовательно, .

Комментарий.

Учитываем, что выражение  определено при , выражение  только при .

Пример №329

Постройте график функции:

Решение.

1) Строим график  (рис. 12.2.2, а), а потом параллельно переносим его вдоль оси Оу на +1 (рис. 12.2.2, б).

2) Строим график  (рис. 12.2.3, а), а потом параллельно переносим его вдоль оси Ох на –2 (рис. 12.2.3, б).

     

Рис. 12.2.2, а                          Рис. 12.2.2, б

    

Рис. 12.2.3, а                                             Рис. 12.2.3, б

Комментарий.

Графики заданных функций можно получить из графиков функций: 

с помощью параллельного переноса:

1) на +1 вдоль оси 

2) на –2 вдоль оси 

Иррациональные неравенства

Метод интервалов (для неравенств вида ):

Ориентир: 

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти нули функции  (=0).
3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак функции в каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Пример №330

Решите неравенство .

Заданное неравенство равносильно неравенству .

Обозначим .

ОДЗ: , то есть .

Нули f (x): 

— корень,  — посторонний корень.

Обозначаем нули на ОДЗ и находим знак функции f(х) в каждом промежутке.

Ответ: .

Равносильные преобразования

Ориентир:

1) При возведении обеих частей неравенства в нечётную степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного)

Пример №331

Решите неравенство .

ОДЗ: .

Заданное неравенство равносильно неравенствам: 

Ответ: .

Ориентир: 

2) Если обе части неравенства неотрицательны, то при возведении обеих частей неравенства в степень (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному (на ОДЗ заданного).

Пример №332

Решите неравенство .

ОДЗ: , то есть . Обе части заданного неравенство неотрицательны, следовательно, оно равносильно (на его ОДЗ) неравенствам:

 

Учитывая ОДЗ, получаем .

Ответ: .

Ориентир:

3) Если на ОДЗ заданного неравенства какая-либо часть неравенства может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то прежде чем возводить обе части неравенства в чётную степень, эти случаи необходимо рассмотреть отдельно.

Например, или 

Пример №333

Решите неравенство .

Данное неравенство равносильно совокупности систем:

  или 

Тогда или 

Решив неравенство , имеем .  

Учитывая неравенство , получаем решение первой системы: . Решение второй системы: . Объединяя эти решения, получаем ответ.

Ответ: .

Пример №334

Решите неравенство 

Решение.

Задано неравенство, равносильное неравенству 

Обозначим 

1) ОДЗ: Тогда  то есть 

2) Нули функции 

Тогда: 

Возводим обе части последнего уравнения в квадрат: 

корень, посторонний корень.

3) Разбиваем ОДЗ точкой 1,5 на два промежутка и находим знак  в каждом из промежутков (рис. 13.1).

Ответ: 

       

Рис. 13.1 

Комментарий.

Приведём неравенство к виду  и решим его методом интервалов.

Для того чтобы найти нули функции , используем уравнение–следствие. Чтобы исключить посторонние корни, выполним проверку полученных решений.

Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

При решении задач с параметрами, в которых требуется решить уравнение или неравенство, можно пользоваться следующим ориентиром.

 Любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Но в том случае, когда какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.

Также на этапе поиска плана решения уравнений или неравенств с параметрами или рассуждая над самим решением, часто бывает удобно сопровождать ответы и рассуждения схемами, по которым легко проследить, в какой именно момент мы не смогли однозначно выполнить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого.

Отметим, что уравнения и неравенства с параметрами чаще всего решают с помощью их равносильных преобразований, хотя иногда используют и свойства функций, метод интервалов для решения неравенств и уравнений–следствий.

Пример №335

Решите уравнение 

Решение.

1) При  уравнение не имеет корней.

2) При 

Тогда 

Ответ: 1) если , то корней нет; 2) если , то .

Комментарий.

Мы не можем однозначно дать ответ на вопрос, есть ли в заданном уравнении корни, поэтому уже на первом шаге должны разбить решение на два этапа:

1) — корней нет,

2) — корни есть (см. схему).

    

  корней нет                            

Если , имеем простейшее иррациональное уравнение, обе части которого неотрицательные. Следовательно, при возведении в квадрат обеих частей получаем уравнение, равносильное данному. ОДЗ данного уравнения можно не записывать, она учитывается автоматически, т. к. для всех корней полученного уравнения .

Пример №336

Решите неравенство .

Комментарий.

Сначала воспользуемся равносильными преобразованиями:

 или 

Если в полученные системы параметр входит линейно, то в таких случаях иногда бывает удобно выражать параметр через переменную, рассмотреть параметр как функцию от этой переменной и использовать графическую иллюстрацию решения неравенств (в системе координат хО, в которой выделить штриховкой соответствующие решения).

Решение. 

Заданное неравенство равносильно совокупности систем неравенств: 

 или 

Тогда    (1)                   или     (2)

Изобразим графические решения систем неравенств (1) и (2) в системе координат хО (на рис. 14.1 закрашены соответствующие области 1 и 2).

   

Рис. 14.1 

Видим, что при  решений нет (нет закрашенных точек); если  то прямая  пересекает только закрашенную область 1. Причём полученный интервал ограничен слева и справа ветвями параболы . Но для ответа нам необходимо записать х через . Для этого из уравнения  находим х: .

Как видим, , то есть — уравнение правой ветви параболы,  — левой.

Тогда ответ в этом случае будет таким: .

Если , то прямая  пересекает заштрихованные области 1 и 2. Для области 1 интервал для х слева ограничен прямой , а справа — правой ветвью параболы, то есть . Для области 2 интервал для х ограничен слева прямой , а справа — прямой х = –1, то есть .

Объединение этих интервалов можно короче записать так: .

Ответ: 1) при  решений не имеет; 2) при ;

3) при .

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге).

Понятие угла

В геометрии:

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.

  образован лучами ОА и ОВ.

В тригонометрии:

Угол — фигура, образованная при повороте луча на плоскости вокруг начальной точки.

  образован при повороте луча ОА вокруг точки О.

Измерение углов:

Градусная мера угла ( часть развёрнутого угла)

В геометрии:

Каждому углу ставится в соответствие градусная мера .

В тригонометрии:

Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол.

Угол поворота .

Радианная мера угла:

 

1 радиан — центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.

 = 1 рад. Это значит, что .

= 180° =  (радиан).  — развёрнутый.

1 радиан = ;  радиан.

В курсе геометрии угол определяют как геометрическую фигуру, образованную двумя лучами, которые выходят из одной точки. Например, угол АОВ, изображённый выше, — это угол, образованный лучами ОА и ОВ. Угол можно рассматривать и как результат поворота луча на плоскости вокруг начальной точки. Например, поворачивая луч ОА вокруг точки О от первоначального положения ОА до конечного положения ОВ, также получаем угол АОВ. Заметим, что достичь конечного положения ОВ можно при повороте луча ОА как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.

Измерение углов

Приведённые выше разные определения угла приводят к разным понятиям измерения углов.

В курсе геометрии каждому углу соответствует его градусная мера, которая может находиться только в промежутках от 0º до 180º, и поэтому, например, для прямого угла АОВ его мера записывается однозначно:  (напомним, что 1º — это  часть развёрнутого угла).

При измерении углов поворота договорились считать направление поворота против часовой стрелки положительным, а по часовой стрелки — отрицательным.

Поэтому, при измерении углов при повороте луча вокруг начальной точки, можно получить как положительное, так и отрицательное значение углов поворота. Например, если угол АОВ, в котором лучи ОА и ОВ взаимно перпендикулярны, получен при повороте луча ОА на угол 90º против часовой стрелки, то значение угла поворота равно +90º (или просто 90º). Если тот же угол АОВ получим при повороте луча ОА на угол 270º по часовой стрелке (понятно, что полный поворот — это 360º), то значение угла поворота   равно -270º. Также тот же угол АОВ можно получить при повороте луча ОА против часовой стрелки на 90º и ещё на полный оборот; в этом случае значение угла поворота  равно , то есть 450º и т. д.

Выбрав в качестве значения угла поворота произвольное отрицательное или положительное число (в градусах), мы всегда можем повернуть луч ОА (по часовой стрелке или против неё) и получить соответствующий угол АОВ. Таким образом, величина угла поворота (в градусах) может принимать все действительные значения от .

Для измерения углов принимают определённый угол за единицу измерения и с его помощью измеряют другие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол, например один градус (1º) —  часть развёрнутого угла. В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот (заметим, что 1º — это  часть полного оборота).

У мореплавателей за единицу измерения углов принимают румб, который равен  части полного оборота.

В математике и физике, кроме градусной меры углов, используют также радианную меру углов.

Если рассмотреть какую-нибудь окружность, то можно обозначить радиан таким способом.

Определение. 1 радиан — это центральный угол, который соответствует дуге, длина которой равна радиусу окружности.

Следовательно, если угол АОВ равен одному радиану (рис. 15.1), то это значит, что .

      

Рис. 15.1 

Установим связь между радианами и градусными мерами углов.

Центральному развёрнутому углу АОС (рис. 15.1), который равен 180º, соответствует полуокружность, то есть дуга, длина которой равна , а одному радиану — дуга длиной R. Таким образом, радианная мера развёрнутого угла АОС равна  .

Полученный ответ между градусной и радианной мер угла часто записываю так: радиан.

Из этого равенства получаем такое соответствие: 

Пример №337

Выразить в радианной мере величины углов 30º; 45º; 60º; 90º; 270º; 360º.

Поскольку 30º — это  часть угла 180º, то из равенства (рад) получаем, что (рад).

Аналогично можно вычислить и величины других углов. В общем случае учитываем, что , тогда: 

Поскольку радианными мерами рассмотренных углов приходится пользоваться достаточно часто, запишем полученные результаты в виде справочной информации:

Соотношение градусной меры и радианной

Замечание. Чаще всего при записи радианной меры углов наименование единицы измерения "радиан" (или сокращённо рад) не пишут. Например, вместо равенства радиан пишут .

Пример №338

Выразите в градусах меры величин углов ; ; ; 5.

Поскольку  — это  часть угла , то из равенства  получаем, что . Аналогично можно вычислить и величины углов  и . В общем случае учитываем, что 1 радиан = , тогда ; ; 

Тригонометрические функции угла и числового аргумента

Определение тригонометрических функций:

- через единичную окружность (R = 1) 

 — ордината точки ;

 — абсцисса точки ;

- через произвольную окружность (R — радиус окружности)

- через прямоугольный треугольник (для острых углов)

Тригонометрические функции числового аргумента

(числа ) = (окружности в  радиан); 

(числа ) = (окружности в  радиан); 

(числа ) = (окружности в  радиан); 

 (числа ) = (окружности в  радиан).

Линии тангенсов и котангенсов

 — линия тангенсов

ордината соответствующей точки линии тангенсов.

— линия котангенсов 

абсцисса соответствующей точки линии котангенса.

Определение тригонометрической функции

Из курса геометрии вам известно определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и определение тригонометрических функций углов от 0º до 180º через окружность радиуса R с центром в начале координат. Аналогично можно дать определение тригонометрическим функциям положительной окружности, но для упрощения определений чаще всего выбирают радиус соответствующей окружности равным 1.

Окружность радиуса 1 с центром в начале координат будем называть единичной окружностью. 

Пусть при повороте на угол точка  переходит в точку (то есть при повороте на угол  радиус  переходит в радиус) (рис. 16.1).

    

Рис. 16.1       

Определение 1. Синусом угла  называется ордината точки  единичной окружности: 

Определение 2. Косинусом угла  называется абсцисса точки  единичной окружности: 

Определение 3. Тангенсом угла  называется отношение ординаты точки  единичной окружности к её абсциссе, то есть отношение  Следовательно, 

Определение 4. Котангенсом угла  называется отношение абсциссы точки  единичной окружности к её ординате, то есть отношение . Следовательно, 

Пример №339

Пользуясь этими определениями, найдём синус, косинус, тангенс и котангенс угла  радиан.

Рассмотрим единичную окружность (16.2).

     

Рис. 16.2 

В результате поворота на угол  радиус  переходит в радиус  (а точка  переходит в точку ). Координаты точки  можно найти, используя свойства прямоугольного треугольника (с углами  и  и гипотенузой 1):  Тогда: .

Аналогично находят значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов. Отметим, что таким способом можно найти тригонометрические функции только некоторых углов. Тригонометрические функции положительного угла обычно находят с помощью калькулятора или таблиц.

Таблица функций положительного угла:

Тригонометрические функции числового аргумента

Введённые определения позволяют рассмотреть не только тригонометрические функции углов, но и тригонометрические функции числовых аргументов, если рассматривать тригонометрические функции числа  как соответствующие функции угла в  радиан.

Следовательно:

• синус числа  — это синус угла в  радиан;
• косинус числа  — это косинус угла в   радиан.

Например, .

Линии тангенсов и котангенсов

Для решения некоторых задач полезно иметь представление о линиях тангенсов и котангенсов.

Проведём через точку  единичной окружности прямую , параллельную оси  (рис. 16.3). Эту прямую называют линией тангенсов.

Пусть  — произвольное число (или угол), для которого . Тогда точка  не лежит на оси  и прямая  пересекает линию тангенсов в точке А.

Поскольку прямая проходит через начало координат, то её уравнение. 

Но эта прямая проходит через точку  с координатами , следовательно, координаты точки  удовлетворяют уравнению прямой , то есть . Отсюда .

Следовательно, уравнение прямой  такое: .

Уравнение прямой  х = 1. Чтобы найти ординату точки А, достаточно в уравнение прямой  подставить х = 1. Получаем .

   

Рис. 16.3 

Таким образом, тангенс угла (числа)  — это ордината соответствующей точки на линии тангенсов.

Аналогично вводят понятие линии котангенсов: это прямая СВ, которая проходит через точку С(0; 1) единичной окружности параллельно оси Ох (рис. 16.4).

Если  — произвольное число (или угол), для которого (то есть точка  не лежит на оси Ох), то прямая  пересекает линию котангенсов в некоторой точке .

Аналогично предыдущему обоснованию, что . Следовательно, котангенс угла (числа)  — это абсцисса соответствующей точки на линии котангенса.

Свойства тригонометрических функций

1. Знаки тригонометрических функций.

2. Чётность и нечётность.

Косинус — чётная функция .

Синус, тангенс и котангенс — нечётные функции 

3. Периодичность.

Функция  называется периодической с периодом , если для любого х из области определения функции числа  и  также принадлежат области определения и выполняется равенство .

— дробная часть числа х 

Через промежутки длиной Т (на оси Ох) вид графика периодической функции повторяется.

Если Т — период функции, то ,   — также периоды этой функции .

Функции  и  имеют период .

Функции  и  имеют период .

 — общий период для всех функций: .

Знаки тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций легко определить, исходя из определения этих функций. 

Например, — это ордината соответствующей точки  единичной окружности. Тогда значение  будет положительным, если точка  имеет положительную ординату, то есть, когда точка  расположена в I или II координатной четвертях (рис. 17.1). Если точка  расположена в III или IV четвертях, то её ордината отрицательная, и поэтому  тоже отрицательный.

      

Рис. 17.1

Аналогично, учитывая, что — это абсцисса соответствующей точки , получаем, что  в I и IV четвертях (абсцисса точки  положительная) и  в II и III четвертях (абсцисса точки  отрицательная) — рис. 17.2.

   

Рис. 17.2

Поскольку  и , то  и  там, где  и  имеют одинаковые знаки, то есть в I и III  четвертях,  и  там, где  и имеют разные знаки, то есть II и IV четвертях (рис. 17.3).

    

Рис. 17.3

Чётность и нечётность тригонометрических функций

Чтобы исследовать тригонометрические функции на чётность и нечётность, заметим, что на единичной окружности точки  и  расположены симметрично относительно оси Ох (рис. 17.4). Следовательно, эти точки имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Тогда 

    

Рис. 17.4 

Таким образом, — чётная функция, — нечётная функция.

Тогда 

Следовательно,  и  — нечётные функции.

Чётность и нечётность тригонометрических функций можно использовать для вычисления значений тригонометрических функций отрицательных углов (чисел).

Например, 

Периодичность тригонометрических функций

Много процессов и явлений, которые происходят в природе и технике, имеют повторяющийся характер (например, движение Земли вокруг Солнца, движение маховика). Для описания такого рода процессов используют так называемые периодические функции.

Определение. Функция  называется периодической с периодом , если для любого х из области определения функции числа  и  также принадлежат области определения и выполняется равенство

Учитывая, что на единичной окружности числам (углам)  и , где , соответствует одна и та же точка (рис. 17.5), получаем 

  

Рис. 17.5

Тогда  является периодом функций  и .

При  получаем, что — это наименьший положительный период функции   и .

Отметим, что одним из свойств периодических функций является: через промежуток Т вид графика периодической функции будет повторяться. Поэтому для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно построить график на любом промежутке длиной Т (например, на промежутке [0; Т]), а потом полученную линию параллельно перенести вправо и влево вдоль оси Ох на расстоянии , где — любое натуральное число (рис. 17.6).

Рис. 17.6

Пример №340

Пользуясь периодичностью, чётностью и нечётностью тригонометрических функций, найдите:

Решение.

1) 

2) 

3) 

4) .

Комментарий.

1) Учитывая, что значения функции  повторяются через период , выделим в заданном аргументе число, кратное периоду (то есть ), а потом воспользуемся равенством . 

2) Сначала учитываем чётность косинуса: , а потом его периодичность с периодом 

3) Функция тангенс периодична с периодом , поэтому выделяем в заданном аргументе число, кратное периоду (то есть 5), а потом используем равенство 

4) Сначала учитывает нечётность котангенса: , а потом его периодичность с периодом .

Пример №341

Докажите утверждение: если функция  периодическая с периодом Т, то функция  также периодическая с периодом  (— некоторые числа и ).

Решение.

Пусть  и .

Тогда , а это и означает, что функция   имеет период . Отметим, что полученное равенство  при подстановке вместо х значения  превращается в равенство . Следовательно,  и  действительно является периодом функции 

Комментарий.

По определению функция  будет периодической с периодом , если для любого значения х из области определения значения  этой функции в точках х и  равны, то есть . При доказательстве учитывается, что  при  равно , а при  равно . Также учтено, что функция  по условию периодическая с периодом Т, и поэтому .

Используем утверждение, доказанное в примере 2, для нахождения периодов функции.

Например,

1) если функция  имеет наименьший положительный период , то функция  имеет наименьший положительный период 

2) если функция  имеет наименьший положительный период , то функция  имеет наименьший положительный период 

Графики функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их свойства

График функции  и её свойства

График функции (синусоида).

Свойства функции 

1. Область определения:  (х — любое действительное число).

2. Область значений: 

3. Функция нечётная: (график симметричный относительно начала координат).

4. Функция периодическая с периодом : 

5. Точки пересечения с осями координат: 

Оу     Ох 

6. Промежутки знакопостоянства: 

7. Промежутки возрастания и убывания:

функция   возрастает на каждом из промежутков  

и убывает на каждом из промежутков 

8. Наибольшее значение функции равно 1 при 

Наименьшее значение функции равно –1 при 

Характеризуя свойства тригонометрических функций, мы будем выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) чётность и нечётность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции. 

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 18.1.1) . Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности, то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так: .

Для точек единичной окружности ординаты принимают все значения от 1 до –1, следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .

Как видим, наибольшее значение функции  равно единице.

 Этого значения функция достигает только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является А, то есть при .

Наименьшее значение функции  равно минус один, которого она достигает только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка В, то есть при 

Поскольку синус — нечётная функция: , её график симметричен началу координат.

Было доказано, что синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом , следовательно, через промежутки длиною  вид графика функции  повторяется. Поэтому достаточно построить её график на любом промежутке длинною , а потом полученную линию параллельно перенести вправо и влево вдоль оси Ох на расстояние , где  — любое натуральное число. 

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, вспомним, что на оси Оу значение х = 0. Тогда , то есть график функции у = проходит через начало координат.

На оси Ох значение у = 0. Следовательно, нам необходимы такие значения х, при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окружности, равняется нулю. Это будет только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности будет точка С или D (рис. 18.1.1), то есть при 

          

Рис. 18.1.1     

Промежутки знакопостоянства. Как было доказано, значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II координатных четвертях (рис. 18.1.2). Следовательно,  при , а также, учитывая период, при всех 

Значение функции синус отрицательно (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, следовательно  при 

      

Рис. 18.1.2 

Промежутки возрастания и убывания

Учитывая периодичность функций с периодом , достаточно исследовать её на возрастание и убывание на любом промежутке длинною , например на промежутке .

Если  (рис. 18.1.3, а), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), следовательно, в этом промежутке функция  возрастает.

Учитывая периодичность, делаем вывод, что она также возрастает в каждом из промежутков 

Если (рис. 18.1.3, б), то при увеличении аргумента  ордината соответствующая точке единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, в этом промежутке функция  убывает. Учитывая периодичность, делаем вывод, что также убывает в каждом из промежутков 

   

Рис. 18.1.3

Проведённое исследование позволяет обосновано построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длинною , например на промежутке . Для более точного построения точек графика пользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рис. 18.1.4 показано построение графика функции  на промежутке . Учитывая нечётность функции  (её график симметричен относительно начала координат), для того чтобы построить график на промежутке , отображаем полученную кривую симметрично относительно начала координат (рис. 18.1.5).

Рис. 18.1.4   

   

Рис. 18.1.5

Поскольку мы построили график на промежутке длинною , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длинною  (то есть переносим параллельно вдоль оси Ох на , где  — целое число).

Получаем график который называется синусоидой.

Замечание. Тригонометрические функции широко используются в математике, физике и технике. Например, много процессов, таких как колебание струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описывают функцией, которую задают формулой . Такие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции  можно получить из синусоиды  сжатием или растяжением её вдоль координатных осей и параллельным переносом вдоль оси Ох. Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени . Тогда оно задаётся формулой , где А — амплитуда колебания,  — угловая частота, — начальная фаза,   — период колебания (если ).

График функции  и её свойства

График функции  (косинусоида).

Свойства функции .

1. Область определения:  (х — любое действительное число).

2. Область значений: 

3. Функция чётная:  (график симметричный относительно оси Оу).

4. Функция периодическая с периодом : 

5. Точки пересечения с осями координат: 

6. Промежутки знакопостоянства: 

7. Промежутки возрастания и убывания: функция  возрастает на каждом из промежутков ,  и убывает на каждом из промежутков ,.

8. Наибольшее значение функции равно 1 при 

Наименьшее значение функции равно –1 при .

График функции  и её свойства

График функции  (тангенсоида).

Свойства функции .

1. Область определения: 

2. Область значений: . 

3. Функция нечётная:  (график симметричный относительно начала координат).

4. Функция периодическая с периодом : 

5. Точки пересечения с осями координат: Оу   Ох

6. Промежутки знакопостоянства: 

7. Промежутки возрастания и убывания: функция  возрастает на каждом из промежутков своей области определения, то есть на каждом из промежутков 

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

График функции  и её свойства

График функции  (котангенсоида).

Свойства функции .

1. Область определения: 

2. Область значений: .

3. Функция нечётная:  (график симметричный относительно начала координат).

4. Функция периодическая с периодом : 

5. Точки пересечения с осями координат: Оу — нет, Ох 

6. Промежутки знакопостоянства: 

7. Промежутки возрастания и убывания: функция  убывает на каждом из промежутков своей области определения, то есть на каждом из промежутков ,.

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Пример №342

Постройте график функции и укажите нули функции и промежутки знакопостоянства функции: 

Комментарий.

Графики всех заданных функций можно получить с помощью геометрических преобразований графика функции . Следовательно, графиком каждой из этих функций будет синусоида, полученная:

1)  растяжением графика вдвое вдоль оси Оу.

2) сжатием графика вдвое вдоль оси Ох.

Нули функции — это абсцисса точек пересечения графика с осью Ох.

Чтобы записать промежутки знакопостоянства функции, отметим, что функция  периодическая с периодом , а функция  периодическая с периодом  Поэтому для каждой функции достаточно выяснить на каком-нибудь периоде, где значения функции положительные (график расположенный выше оси Ох) и где отрицательные (график расположенный ниже оси Ох), а потом полученные промежутки повторить через период.

Решение.

1) График функции  получаем из графика функции  растяжением его вдвое вдоль оси Оу (рис. 18.4.1).

Нули функции: 

Промежутки знакопостоянства: 

2) График функции  получаем из графика функции сжатием его вдвое вдоль оси Ох (рис. 18.4.2).

Рис. 18.4.2

Нули функции: 

Промежутки знакопостоянства:  при  при 

Пример №343

Расположите в порядке возрастания числа 

Решение.

Числа  и  — положительные (точки  и  расположены во II четверти), а числа  и  — отрицательные ( и  расположены в IV четверти).

Учитывая, что  и что функция  приходится на промежуток , из неравенства  получаем .

Также . Функция на промежутке  возрастает. Учитывая, что , получаем . Следовательно, в порядке возрастания эти числа располагаются так: 

Комментарий.

Для того чтобы расположить заданные числа в порядке возрастания, выясним, какие из них положительные, а какие — отрицательные, а потом сравним между собой отдельно положительные и отдельно отрицательные, пользуясь известными промежутками возрастания и убывания функции .

Замечание. Для сравнения заданных чисел можно также изобразить точки  на единичной окружности и сравнить соответствующие ординаты (выполните такое решение самостоятельное).

Пример №344

Постройте график функции и укажите промежутки её убывания и возрастания: 

Комментарий.

Графики заданных функций можно получить с помощью геометрических преобразований графиков функций: 

Тогда получаем графики: 

1)  — параллельным переносом графика функции  вдоль оси Ох на  единиц;

2)  — симметрией графика функции  относительно оси Ох. 

Чтобы записать промежутки убывания и возрастания функции, отметим, что функция  периодическая с периодом , а функция  периодическая с периодом Поэтому для каждой функции достаточно выяснить на одном периоде, где она убывает и где возрастает, а потом полученные промежутки повторить через период.

Решение.

1) График функции  получаем из графика функции  его параллельным переносом вдоль оси Ох на  единиц (рис. 18.4.3). Функция убывает на каждом из промежутков  и возрастает на каждом из промежутков 

Рис. 18.4.3

2) График функции  получаем симметричным отображением графика функции  относительно оси Ох (рис. 18.4.4).

Функция убывает на каждом из промежутков 

   

Рис. 18.4.4

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

 

Единичная окружность радиусом 1 с центром в начале координат.

Основное тригонометрическое тождество .

                                    

                                  

.

На рисунке в начале лекции изображена единичная окружность, то есть окружность с радиусом 1 и с центром в начале координат. Уравнение этой окружности: .

Пусть в следствии поворота на угол точка  единичной окружности переходит в точку  (то есть в следствии поворота угла радиус  переходит в радиус ). Напомним, что синусом называют ординату точки  единичной окружности, то есть , а косинусом — абсциссу этой точки, то есть . Координаты точки  удовлетворяют уравнение окружности, тогда, следовательно,.

Это соотношение называют основным тригонометрическим тождеством.

Напомним также, что:;  Тогда , то есть 

С помощью этих соотношений и основного тригонометрического тождества получаем: 

то есть 

Аналогично получаем: 

то есть 

Пример №345

Зная значение одной тригонометрической функции и интервал, в котором находится , найдите значения остальных трёх тригонометрических функций: 

Комментарий.

1) Равенство  связывает и  и позволяет выразить одну из этих функций через другую.

Например,  . Тогда . Учитывая, в какой четверти находится , мы можем определить знак, который необходимо взять в правой части формулы (это знак косинуса во II четверти). Зная  и , находим . Заметим, что после нахождения  значение  можно также найти из соотношения .

2) Равенство связывает  и  и позволяет выразить одну из этих функций через другую как обратную величину.

Равенство  связывает  и и позволяет выразить одну из этих функций через другую.

Например, . Тогда . Зная, в какой четверти находится  мы можем определить знак, который необходимо взять в правой части формулы (это знак косинуса в III четверти). Чтобы найти , можно воспользоваться соотношением .

Решение.

1) Из равенства  получаем: . 

Отсюда . Поскольку, а следовательно, . Тогда, .

2) Из равенства  получаем . Подставляет в равенство  значение  и получаем . Отсюда . Поскольку , то , тогда .

.

Пример №346

Сократите выражение .

Комментарий.

Для преобразования тригонометрических выражений наряду с тригонометрическими формулами используют также алгебраические формулы, в частности, формулы сокращённого умножения. Так,  выражение  можно рассматривать как разность квадратов: . Тогда его можно разложить на множители (на произведение суммы и разности  и ).

Решение.

Формулы сложения и их следствия

Формулы сложения

1. Косинус разности и суммы: 

2. Синус суммы и разности: 

3. Тангенс суммы и разности: 

Косинус разности и суммы

Чтобы получить формулу для , сначала рассмотрим случай, когда  и  находятся в промежутке  и .На единичной окружности обозначим точки  и  и изобразим векторы  и  (рис. 20.1.1). Эти векторы имеют те же координаты, что и точки   и , то есть: .

     

Рис. 20.1.1   

Длины (модули) этих векторов равны единице: , а угол между ними равен  (то есть ).

Найдём скалярное произведение векторов  и  двумя способами:

1) как сумму произведений одноимённых координат:

;

2) как произведение длин (модулей) векторов на косинус угла между ними:

.

Таким образом,                 (1)

Полученное равенство называют формулой косинуса разности. Словесно её можно сформулировать так:

• косинус разности двух углов (чисел) равен произведению косинуса первого угла (числа) на косинус второго плюс произведение синуса первого на синус второго.

Чтобы доказать эту формулу в общем случае, напомним, что по определению угол между векторами  может быть только в пределах от 0 до . Поэтому при  угол между векторами  и  может равняться  (рис. 20.1.1), или  (рис. 20.1.2), или может отличаться от этих значений на целое число оборотов (то есть , где ).

 

Рис. 20.1.2       

Учитывая периодичность (с периодом ) и чётность функции косинус, получаем, что в любом случаи , следовательно, приведённое доказательство остаётся верным для любых значений  и .

С помощью формулы (1) легко вывести формулу косинуса суммы:

. Следовательно, .

Пример №347

Вычислите: 

Решение.

1) 

2) 

3) 

Комментарий.

Представим  как разность: , а значения тригонометрических функций углов  и  мы знаем. Поэтому, записав синус  как синус разности, получим значение . Аналогично найдём  и .

Заметим, что для нахождения  можно было бы также использовать формулу  .

В задании 3 в полученном выражении  удобно избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, что значительно упрощает ответ.

Пример №348

Найдите значение выражения .

Решение.

Комментарий.

Используем формулу косинуса суммы справа налево:

Пример №349

Докажите тождество:

Комментарий.

Для обоснования этих тождеств докажем, что их правые части равны левым, применяя формулу синуса суммы и синуса разности: 

Формулы двойного аргумента

Чтобы получить формулу двойного аргумента, достаточно в формуле сложения 

взять . Получаем тождества:

то есть 

то есть 

 то есть 

Из формулы , пользуясь основным тригонометрическим тождеством , можно получить формулы, которые позволяют выразить  только через  или только через .

Действительно, из основного тригонометрического тождества получаем   Тогда 

 то есть 

, то есть 

.                                     

Из формул (1) и (2) можно получить следствия, которые полезно запомнить:

Эти формулы называют формулами понижения степени.

Если в последних формулах обозначить , то есть , то можно записать такие формулы: 

Отметим, что формулы синуса и косинуса двойного аргумента справедливы для любого значения аргумента, тогда как формула тангенса двойного аргумента справедлива только для тех значений аргумента , для которых определены  и , то есть только при  и , где .

Отметим также, что, как всегда, полученные формулы можно использовать как слева направо, так и справа налево. Например, вместо выражения  можно записать , а вместо выражения  записать .

Пример №350

Вычислите: 

Решение. 

1) .

2) .

Комментарий.

В первом задании достаточно "узнать" правую часть формулы косинуса двойного аргумента и записать результат.

Во втором задании следует обратить внимание на то, что заданное выражение отличается от правой части формулы синуса двойного аргумента только отсутствием двойки. Поэтому, если это выражение умножить и разделить на 2, оно не изменится, но теперь получаем следующую формулу: 

.

Пример №351

Докажите тождество .

Решение.

.

Формулы приведения

Формулами приведения называют формулы, с помощью которых тригонометрические функции от аргументов вида  и  приводят к тригонометрическим функциям от аргумента .

Ориентир:

1. Если к числу  прибавляется , (то есть число, которое изображается на горизонтальном диаметре единичной окружности), то название заданной функции не меняется, а если прибавляется число (то есть число, которое изображается на вертикальном диаметре единичной окружности), то название заданной функции меняется на соответствующее (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

Пример №352

Упростите по формулам приведения .

     

Комментарий.

Название заданной функции не меняется, поскольку  изображается на горизонтальном диаметре (слева) единичной окружности.

Если — острый угол, то угол  расположен во II четверти, где тангенс отрицательный, поэтому в правой части формулы взят знак "–".

2. Знак полученного выражения определяется знаком начального выражения, если условно считать угол  острым.

Пример №353

Упростите выражение .

        

Комментарий.

Название заданной функции изменяется, поскольку  изображается на вертикальном диаметре (внизу) единичной окружности.

Если — острый угол, то угол  расположенный в IV четверти, где косинус положительный, поэтому в правой части формулы взят знак "+".

Комментарий.

Формулы сложения позволяют доказать формулы приведения, по которым тригонометрические функции от аргументов вида  и  приводят к тригонометрическим функциям аргумента .

Рассмотрим несколько примеров.

Анализ полученных результатов позволяет обосновать ориентир для формул приведения, а также остальные формулы приведения. Все другие случаи можно привести к основным формулам, используя периодичность соответствующих тригонометрических функций.

По формулам приведения получаем формулы дополнительных аргументов (аргументы  и  дополняют друг друга до ):

Например, 

Пример №354

Вычислите с помощью формул приведения: 1) ; 2) .

Решение.

Комментарий.

Представим заданные аргументы так, чтобы можно было использовать формулы приведения (то есть выделим в аргументе части, которые изображаются на горизонтальном или вертикальном диаметре единичной окружности).

Например, 210º = 180º + 30º. Конечно, можно было представить этот аргумент и так: 210º = 270º — 60º и тоже использовать формулы приведения. 

Пример №355

Докажите тождество  

Комментарий.

Докажем, что левая часть тождества равна правой. Сначала используем формулу приведения, а потом упростим полученные выражения с помощью формул: и . Во время упрощения выражений  и  можно использовать как непосредственно формулы приведения, так и периодичность соответствующих функций. Например, учитывая, что периодом функции  является , получаем: 

Решение.

Формулы суммы и разности одноимённых тригонометрических функций и формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

1. Формулы суммы и разности тригонометрических функций:

       

2. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:

  

Пояснения:

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

По формулам сложения: 

Складывая почленно эти равенства, получаем: 

Если обозначить:

то, складывая и вычитая равенства (2) и (3), имеем: 

Тогда по формуле (1) получаем формулу преобразования суммы синусов в произведение: 

Словесно его можно сформулировать так.

Сумма синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих аргументов на косинус их полуразности.

 Если заменить в формуле (4)  на  и учесть нечётность синуса: , то получим формулу: 

Аналогично, складывая почленно равенства

получаем: 

и, выполняя замены (2) и (3), имеем: 

Отметим, что в процессе обоснования формул преобразования суммы и разности синусов и косинусов в произведение мы фактически получили и формулы преобразования произведений тригонометрических функций в сумму. Например, если разделить обе части равенства (1) на 2 и записать полученное равенство справа налево, имеем: 

Аналогично из формулы (7) получаем: 

Пример №356

Превратите заданную сумму или разность в произведение и, если возможно, упростите: 

Комментарий.

1) В первом задании можно непосредственно воспользоваться формулой , а потом воспользуемся справочным значением  и .

2) Если выражение  рассматривать как разность квадратов, то его можно разложить на множители, а потом к каждому из полученных выражений применить формулы преобразования разности или суммы косинусов в произведение. Для дальнейшего упрощения полученного выражения воспользуемся формулой синуса двойного аргумента, а именно:  и .

Решение.

1).

2)

Пример №357

Преобразуйте в произведение сумму .

Комментарий.

Мы умеем преобразовывать в произведение сумму синусов или косинусов. Для перехода к таким выражениям достаточно вспомнить, что 

Решение.

Пример №358

Упростите выражение .

Решение.

Формулы тройного и половинного аргумента. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

1. Формулы тройного аргумента:

2. Формулы понижения степени:

                               

3. Формулы половинного аргумента:

(Знак перед корнем выбирают в зависимости от знака тригонометрической функции, которая стоит в левой части равенства).

4. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

Формулы тройного аргумента

Используя формулы произведения, формулы двойного аргумента, основное тригонометрическое тождество и формулу , получаем такие формулы: .

Следовательно, .

.

Следовательно, 

.

Следовательно, .

.

Следовательно, .

Замечание. Функции  и  существуют при любых значениях , а  существует только тогда, когда , где , то есть , следовательно , . Аналогично  существует только тогда, когда , где . Тогда , .

Формулы понижения степени

Из формул  и  понижаем формулы понижения степени:

Формулы половинного аргумента

Если в формулах (1) и (2) вместо взять аргумент , получим:

Из формул (3) и (4) получаем формулы половинного аргумента для синуса и косинуса:

В этих формулах знак перед корнем выбирают зависимо от знака тригонометрической функции, которая стоит в левой части равенства.

Если почленно разделить формулы (5) и (7) и учитывая, что  , а , то получаем:

,                                         (7)

,                                         (8)

В формулах (7) и (8) знак перед корнем также выбирают зависимо от знака тригонометрической функции, которая стоит в левой части равенства.

Отметим, что формулы (5) и (6) можно использовать при любых значениях , а формулы (7) и (8) только тогда, когда существуют значения  и  соответственно. Следовательно, формулу (7) можно использовать, если , то есть , а формулу (8) — если , то есть .

Заметим, что для тангенса и котангенса половинного аргумента можно получить формулы, которые не содержат квадратных корней. Например, 

Действительно, учитывая, что аргумент  вдвое больше аргумента , имеем: , если . То есть формулу (9) можно использовать при .

Аналогично обосновывают формулу 

если , то есть формулу (10) можно использовать при .

Учитывая, что , получаем формулы:

.

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

Чтобы получить соответствующие формулы для  и , запишем каждое из этих выражений по формулам двойного аргумента и разделим на . 

Потом, чтобы перейти к тангенсам, разделим числитель и знаменатель полученной дроби на  (конечно, при условии, что , то есть при ).

.

Следовательно, 

Следовательно, 

Если почленно разделить равенства (11) и (12), то получим формулы:  

Заметим, что формулу (13) можно можно получить и по формуле тангенса двойного аргумента, поскольку .

Пример №359

Вычислите, не пользуясь справочной информацией и калькулятором:

Решение.

1) 

2) 

3) 

Комментарий.

Поскольку аргумент 15º составляет половину от аргумента 30º, а косинус 30º нам известен, то можно найти искомые значения по формулам половинного аргумента. Учитывая, что аргумент 15º расположен в I четверти (где значение всех тригонометрических функций положительно), в формулах (5) и (6) перед знаком квадратного корня выбираем знак "+". Для того чтобы найти тангенс 15º, можно использовать любую из формул: (7), (9) или (10), но удобнее использовать формулы (9) или (10), запись которых не содержит квадратных корней. После того как найдено значения  и , можно также воспользоваться формулой .

Замечание. Записи ответов для   и  можно несколько упростить, выделяя под знаком внешнего квадратного корня квадрат двучлена. Чтобы представить, например, выражение  в виде квадрата двучлена, умножим и разделим это выражение на 2 (и рассмотрим выражение  как удвоенное произведение чисел  и 1). Получим:

 Тогда 

Выполняя аналогичные преобразования, имеем .

Тригонометрические уравнения и неравенства

Обратные тригонометрические функции

Для получения обратных тригонометрических функций для каждой тригонометрической функции выделяется промежуток, на котором она возрастает (или убывает). Для обозначения обратных тригонометрических функций перед соответствующей функцией ставится буквосочетание "arc" (читается "арк").

Функция .

1. График.

  

На промежутке  возрастает.

 

2. Значение 

Ориентир.

— это такое число из промежутка , синус которого равен .

, если 

Пример.

 поскольку 

3. Нечётность функции .

График функции 

Функция  возрастает на промежутке  и принимает все значения от –1 до 1. Следовательно, на этом промежутке функция  имеет обратную функцию, которая обозначается , с областью определения  и областью значений .

Функция  также возрастает, и её график можно получить из графика функции  (на заданном промежутке) с помощью симметричного отображения относительно прямой у = х (рис. 22.1.1)

  

Рис. 22.1.1

Значение 

По определению обратной функции (на выбранном промежутке), если , то , причём . Следовательно, запись   означает, что  и  . То есть — это такое число с промежутком , синус которого равен .

Например, , поскольку 

Аналогично , т. к. 

Нечётность функции 

Для нахождения арксинусов отрицательных чисел можно пользоваться также нечётностью функции , то есть формулой .

Это вытекает из того, что график функции  (рис. 22.1.2) симметричен относительно оси Ох. Тогда соответствующие точки А и В на единичной окружности (в промежутке ) тоже будут симметричными относительно оси Ох. Следовательно, .

Но  (рис. 22.1.2 приведён для случая ). Получаем  .

Например, 

 

Рис. 22.1.2

Функция 

1. График

На промежутке  убывает.

 

Значение :

Ориентир.

 — это такое число из промежутка   косинус которого равен 

 если 

Пример.

 поскольку 

3. Формула для 

Функция 

1. График 

 

На промежутке  возрастает

Значение 

Ориентир. 

 — это такое число из промежутка тангенс которого равен

, если 

Пример.

 поскольку 

3. Нечётность функции :

Функция 

1. График

 

На промежутке  убывает.

 

2. Значение 

Ориентир.

 — это такое число из промежутка , котангенс которого равен .

, если 

Пример.

 поскольку 

3. Формула для 

 

Рис. 22.4.1

  

Рис. 22.4.2

 

Рис. 22.4.3

Пример №360

Найдите 1) ; 2) .

Решение.

1) Пусть  Тогда по определению арксинуса получаем, что .

Следовательно, .

2) Пусть Тогда по определению арксинуса получаем, что  и  Учитывая, что , имеем: Следовательно, 

Комментарий.

1)Поскольку запись  означает, что  и , то всегда выполняется равенство 

Однако эту формулу можно не запоминать: достаточно обозначить выражение в скобках через  и применить определение арксинуса.

2) Если обозначить выражение в скобках , то по условию задачи необходимо найти . Воспользовавшись определением арксинуса, получаем стандартную задачу: зная синус угла, найти его косинус, если угол расположен в промежутке 

Тогда  Поскольку  то в этом промежутке , а следовательно, 

Пример №361

Найдите: .

Решение.

Пусть , тогда по определению арксинуса получаем, что  Следовательно,.

Комментарий.

Поскольку запись  означает, что и, то всегда выполняется равенство 

Однако эту формулу можно не запоминать: достаточно обозначить выражение в скобках через  и использовать определение арксинуса.

Пример №362

Докажите, что .

Решение.

Пусть 

1) Поскольку  то 

2) Если  и 

Тогда 

По определению арктангенса получаем  Следовательно,  а это и означает, что  

Комментарий.

Запишем заданное равенство в виде  Если обозначить , то для доказательства равенства  по определению арктангенса достаточно доказать, что:

1)  и 2) 

Во время доказательства следует также учитывать определение арккотангенса: 

если  и 

Решение простейших тригонометрических уравнений

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: 

Чтобы рассуждения о нахождении корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

Уравнение 

1. Графическая иллюстрация и решения уравнения 

Графическая иллюстрация

Решение.

корней нет                   

Примеры.

1. 

2. 

Корней нет, поскольку .

2. Частные случаи решения уравнения  

 (в точках А и В);

(в точке С);

(в точке D).

1. Решения уравнения 

При  уравнение не имеет корней, поскольку  для любого числа х (прямая  на рисунке выше видно, что при  или при  не пересекает график функции )

Пусть . Тогда прямая  пересекает график функции . На промежутке функция  убывает от 1 до –1, поэтому уравнение имеет только один корень на этом промежутке.

Косинус — чётная функция, поэтому на промежутке  равенство тоже имеет только один корень — число противоположное к  , то есть .

Следовательно, на промежутке  (длиной ) равенство  при  имеет только корни .

Учитывая, что функция  периодическая с периодом , а следовательно, все другие корни отличаются от найденных на , получаем такую формулу корней уравнения 

2. Частные случаи решений уравнения 

Полезно помнить специальные записи решений уравнения  при , , которые можно легко получить, используя единичную окружность. 

Учитывая, что косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, что , если соответствующей точкой единичной окружности является точка А или В. Тогда . Аналогично , когда соответствующей точкой единичной окружности является точка С, следовательно, .

Также , когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, следовательно .

Пример №363

Решите уравнение .

Решение.

Ответ: 

Комментарий.

Поскольку , то заданное уравнение вида  имеет корни, которые можно найти по формуле (1). Для вычисления  можно воспользоваться формулой .

Тогда .

Уравнение 

1. Графическая иллюстрация и решения уравнения 

Графическая иллюстрация

Решения.

корней нет                    

Примеры.

1. 

2. 

Корней нет, поскольку .

2. Частные случаи решения уравнения 

 (в точках С и D);

 (в точке А);

 (в точке В).

Уравнения  и 

1. Графическая иллюстрация и решения уравнения  

Формула:

Частный случай: 

Пример.

2. Графическая иллюстрация и решения уравнения 

Формула:

Частный случай: 

Пример.

 

1. Решения уравнений  и 

Рассмотрим уравнение . На промежутке функция  возрастает (от ), поэтому уравнение  при любом значении  имеет только один корень   на этом промежутке.

С учётом того, что функция  периодическая с периодом  и все другие корни отличаются от найденного на  , получаем такую формулу корней уравнения :

 

При , следовательно, уравнение  имеет корни  .

Рассмотрим уравнение . На промежутке  функция убывает (от ), поэтому уравнение при любом значении  имеет только один корень  на этом промежутке.

Учитывая, что функция  периодическая с периодом  и все другие корни отличаются от найденного на , получаем такую формулу корней уравнения :

При , следовательно, уравнение  имеет корни .

Пример №364

Решите уравнение .

Решение.

Ответ: 

Комментарий.

Уравнение  имеет решения при любом значении , следовательно, всегда можно воспользоваться формулой (1): 

Для нахождения  можно использовать формулу 

Тогда 

Пример №365

Решите уравнение

Решение.

Ответ: 

Комментарий.

Сначала по формуле (2) найдём значение выражения , а потом из полученного линейного уравнения — значение переменной х.

Для того чтобы найти , можно воспользоваться формулой .

Тогда 

Решение тригонометрических уравнений

Замена переменных при решении тригонометрических уравнений

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических уравнений.

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример №366

Решите уравнение .

Решение.

 Пусть , тогда получаем: .

Отсюда.

1. При  имеем:  — это уравнение не имеет корней, поскольку.

2. При  имеем: Ответ:.

Комментарий.

Анализируя вид этого уравнения, отмечаем, что в него входит только одна тригонометрическая функция — . Следовательно, удобно внести новую переменную .

После того как квадратное уравнение решено, необходимо выполнить обратную замену и решить полученные простейшие тригонометрические уравнения. 

Замечание. Записывая решение примера, можно при введении замены  учесть, что , и записать ограничение , а затем отметить, что один из корней   не удовлетворяет условиям ограничения , и после этого обратную замену выполнять только для .

Пример №367

Решите уравнение 

Комментарий.

В заданное уравнение переменная входит только в виде  . Следовательно, удобно ввести новую переменную . После выполнения обратной замены и решения полученных простейших тригонометрических уравнений следует записать в ответ все полученные корни.

Решение.

Пусть . Тогда получаем . Отсюда , то есть  либо 

Из последнего уравнения имеем , отсюда  либо .

Выполняем обратную замену:

1. При  имеем , тогда ,  Следовательно, 

2. При  имеем , тогда  Следовательно, 

3. При  имеем , тогда  Следовательно, 

Ответ:  .

Составляя план решения более сложных тригонометрических уравнений, можно воспользоваться таким ориентиром.

1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.
2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.
3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет, тогда пробуем привести уравнение к однородному.
4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить произведение, которое равно нулю,  или используем специальные приёмы решения.

Решения тригонометрических уравнений приведением к одной функции (с одинаковым аргументом)

Пример №368

Решите уравнение .

Используя формулу косинуса двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество, получаем:

Замена  даёт уравнение .

Тогда 

Выполняем обратную замену:

1. При  имеем  — корней нет, поскольку .

2. При  имеем .

Тогда  

Ответ: 

Все тригонометрические функции приводим к одному аргументу х, используя формулу . Потом все тригонометрические выражения приводим к одной функции  (учитываем, что ).

В полученном уравнении замена входит в одном и том же виде — , следовательно, удобно выполнять замену .

Отметим, что для решения заданного примера можно было также использовать формулу

 что позволит за один шаг свести все тригонометрические выражения и к одному аргументу, и к одной функции.

Замечание. При желании ответ можно записать в виде 

Решение однородных тригонометрических уравнений и привидение тригонометрического уравнения к однородному

Рассмотрим уравнение

Для поиска плана решения этого уравнения (но не для его решения) выполним замены: . Тогда уравнение (1) будет иметь вид

Все одночлены, которые стоят в левой части этого уравнения, имеют степени 2 (напомним, что степень одночлена  также равна 2). В этом случае уравнение (2) (и соответственно уравнение (1)) называют однородным, и для распознавания таких уравнений и их решения можно использовать такой ориентир.

Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень, то уравнение называется однородным. Решают однородные уравнения делением на наибольшую степень одной из переменных.

Замечание. Придерживаясь этого ориентира, приходится делить обе части уравнения на выражение с переменной. При этом можно потерять корни (если корнями являются те числа, при которых делитель равен нулю). Чтобы избежать этого, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда выражение, на которое мы собираемся делить обе части уравнения, равно нулю, и только после этого выполнять деление на выражение, не равное нулю.

Пример №369

Решите уравнение 

Решение.

При  уравнение не имеет корней, поэтому разделим обе его части на . Получаем

Тогда.

Замена  даёт уравнение ; .

Выполняем обратную замену:

1) При  имеем , тогда.

2) При  имеем , тогда .

Ответ: 

Комментарий.

Заданное уравнение однородное, поскольку все его члены имеют одинаковую суммарную степень 2. Его можно решить делением обеих частей на  или на .

Если мы будем делить на , то, чтобы не потерять корни, случай  рассмотрим отдельно. Подставляя  в заданное уравнение, получаем . Но в тоже время и  не могут быть равны нулю ( поскольку ). Таким образом, значение переменной х, для которых , не являются корнями заданного уравнения. А при  можно разделить обе части заданного уравнения на  и получить равносильное уравнение (и учесть при этом, что ).

В полученное уравнение переменная входит в одном и том же виде  , поэтому удобно выполнять замену .

Решение тригонометрических уравнений вида  с помощью разложения на множители:

Пример №370

Решите уравнение 

Решение.

Из первого из этих уравнений:

Второе уравнение преобразуем так:

Отсюда  или 

Из этих уравнений получаем:

 или 

 или 

Ответ: 

Комментарий.

Сразу воспользуемся четвёртым пунктом ориентира, приведённого выше: переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем получить произведение, которое равно нулю.

Для этого применим формулу преобразования суммы синусов, стоящей в левой части уравнения, в произведение:

(и учтём, что ).

Для того чтобы вынести какое-то выражение за скобки и получить произведение, достаточно записать  как синус двойного аргумента (тогда за скобки можно вынести ).

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Во втором из полученных уравнений преобразуем разность косинусов в произведение. В конце учитываем, что все заданные и полученные выражения существуют на всём множестве действительных чисел. Следовательно, заданное уравнение на этом множестве равносильно совокупности уравнений:  или , или  и поэтому в ответ необходимо записать все корни каждого из этих уравнений.

Замечание. Запись ответа можно сократить. Так, если изобразить все найденные решения на единичной окружности, то увидим, что решение  даёт те же точки, что и формула  при , кратном , или формула  при m, кратном . Следовательно, формула  не даёт новых решений в сравнении с формулами  или , и поэтому ответ можно будет записать в виде двух последних формул. Но такое сокращение ответа не является обязательным.

Выбор корней тригонометрических уравнений

Если при решении тригонометрических уравнений необходимо отбирать корни, то чаще всего это делают так: находят общий период (желательно наименьший) всех тригонометрических функций, входящих в запись уравнения (конечно, если этот общий период существует); потом на этом периоде отбирают корни (отбрасывают посторонние), а те, что остаются, периодически продолжают.

Системы тригонометрических уравнений. Сложнейшие тригонометрические уравнения

Решение систем тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений решают с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приёмов: из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.

Пример №371

Решите систему уравнений 

Решение.

Из первого уравнения находим  и подставляем во второе.

Получаем  , то есть ;  . Следовательно,

1) Если , то 

2) Если , то 

Ответ: 

Замечание. Если бы для нахождения значения у мы не рассмотрели формулу (1) со знаком "+" и знаком "-", то вместе с правильными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.

Действительно, в таком случаи имеем

Тогда, например, при n = 0 получаем

то есть 

Следовательно, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем ещё две пары значений:

Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первое уравнение.

Поэтому следует запомнить: когда решение уравнения  приходится использовать для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул:  отдельно со знаком "+" и отдельно со знаком "-".

Пример №372

Решите систему уравнений 

Решение.

Выполним почленно сложение и вычитание этих уравнений. Получим равносильную систему  От сюда 

Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком "+" и отдельно со знаком "-":

 или 

Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим х и у:

 или 

Ответ: , .

 Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и , которые независимо друг от друга "пробегают" множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведёт к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений, при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений

Для решения некоторых тригонометрических уравнений можно применять свойства функций, в частности, оценку значений левой и правой частей уравнения.

Пример №373

Решите уравнение .

Решение.

Оценим область значений функции 

Поскольку , то , то есть .

Выясним, существуют ли такие значения х, при которых функция  может достигать наибольшего значения 2. Если  будет меньше 1, то для того чтобы сумма  равнялась 2, необходимо, чтобы значение  было больше 1, что невозможно. Аналогично, если допустить, что  меньше 1, то для того чтобы сумма  равнялась 2, необходимо, чтобы значение  было больше 1, а это невозможно. Таким образом, равенство в данном уравнении тогда и только тогда, когда  и  равны 1.

Поэтому заданное равенство равносильно системе уравнений  Отсюда  Тогда 

Приравнивая правые части этих равенств, получаем . Отсюда .

Поскольку  и  — целые числа, то попробуем подставить в правую часть последнего равенства вместо  целые числа и найти, для каких значений  по этой формуле  также будет целым числом. При =1 получаем =3. В случае, когда коэффициент 12 при переменной  в числителе дроби и знаменатель 5 — взаимно простые числа, повторение делимости на целое будет только через знаменатель, то есть через 5. Поэтому последнее уравнение имеет решения в целых числах вида  . Подставляя значение в одно из решений системы получаем . Эти значения и являются решениями последней системы, а следовательно, и решениями заданного уравнения.

Ответ: 

Иногда, для того чтобы решить тригонометрическое уравнение, приходится использовать тригонометрические формулы, которые приводят к сужению ОДЗ заданного уравнения. Такие преобразования могут приводить к потере корней уравнения. Чтобы этого не происходило, следует пользоваться ориентиром.

Если для решения уравнений (или неравенств) приходится выполнять преобразования, которые сужают ОДЗ начального уравнения (или неравенства), то те значения, на которые сужается ОДЗ, необходимо рассматривать отдельно.

Ниже представлены тригонометрические формулы, которые могут приводить к сужению ОДЗ, а также соответствующие значения переменной, которые следует проверять при использовании этих формул.

Формулы (используют слева направо) — Значение переменной 

  — 

   —   

                                             —       

                                                          —      

—        

Чтобы убедиться, что приведённые формулы приводят к сужению ОДЗ, достаточно сравнить области допустимых значений их левых и правых частей.

Например, рассмотрим формулу .

ОДЗ левой части: . Чтобы найти ОДЗ правой части формулы, учитываем, что знаменатель дроби не равен нулю: , следовательно, , а также условие существования тангенса: . То есть ОДЗ правой части задана системой ограничений  Сравнивая ОДЗ левой и правой частей рассмотренной формулы, видим, что ОДЗ правой части содержит дополнительное ограничение . Таким образом, при переходе по этой формуле от её левой части к правой происходит сужение ОДЗ (отбрасываются именно те значения, которые указаны: ). Чтобы не потерять корни заданного уравнения, используя формулу , значение , необходимо рассмотреть отдельно (естественно, только в том случаи, когда они входят в ОДЗ заданного уравнения).

Некоторые тригонометрические уравнения удаётся решить, используя такой ориентир, который можно условно назвать "Ищите квадратный трехчлен": попробуйте рассмотреть заданное уравнение как квадратное относительно какой-нибудь переменной (или относительно какой-нибудь функции.)

Пример №374

Решите уравнение 

Решение.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: Это уравнение может иметь корни тогда и только тогда, когда его дискриминант будет неотрицательным: 

  Тогда 

Но  не может быть больше 1.

Следовательно, , то есть  или . Подставляя эти значения в заданное уравнение, получаем, что оно равносильно совокупности систем:

 или 

Из другого уравнения первой системы имеем х=1, что удовлетворяет и первое уравнение системы. Таким образом, х=1 — решение первой системы, а следовательно, и решение заданного уравнения. Аналогично получаем х=-1 — решение второй системы, а следовательно, и решение заданного уравнения.

Ответ: 1; -1.

Комментарий.

Можно воспользоваться несколькими подходами для решения заданного уравнения:

1) рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно переменной х и учесть, что оно может иметь корни тогда и только тогда, когда его дискриминант будет неотрицательным.

2) если в левой части уравнения выделить полный квадрат , то получим уравнение 

Учитываем, что всегда 

А сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.

Также можно последнее равенство записать в таком виде:  и оценить левую и правую части этого уравнения.

 Решая уравнения с обратными тригонометрическими функциями, полезно помнить, что при  и для произвольных значений 

Пример №375

Решите уравнение 

Комментарий.

Если взять от обеих частей заданного уравнения функцию синус, то получим уравнение–следствие: если числа равны, то и синусы будут равными, но если синусы двух чисел равны, то это ещё не означает, что числа обязательно будут равными.

Верность равенства будет сохраняться при прямых преобразованиях, но необязательно будет сохраняться при обратных преобразованиях. Следовательно, в конце необходимо выполнить проверку полученных решений. Если обозначить , то по определению арксинуса  и . Чтобы найти , учитываем, что при значение , следовательно 

Проверяя полученные решения, в тех случаях, когда найденные числа не являются корнями заданного уравнения, иногда удобно сравнивать полученные решения со справочными значениями. Например,  больше чем  Учитывая возрастание функции , получаем, что 

Решение.

Если обозначить , где , и , где , то заданное уравнение будет иметь вид

Возьмём от обеих частей уравнения (1) функцию синус и получим

По определению арксинуса ,

Учитывая, что получаем 

Тогда уравнение (2) будет иметь вид 

Отсюда 

Следовательно, х = 0 или , то есть 

Проверка:

1) х = 0 — корень 

2) посторонний корень. Действительно, для  имеем (поскольку , то , а ). Аналогично при  имеем  и равенство тоже не может выполняться.

Ответ: 0.

Замечание. Для того чтобы решить уравнение , можно было бы воспользоваться не только  уравнением–следствием, но и равносильными преобразованиями уравнений. Но в этом случае придётся учесть ОДЗ заданного уравнения: 

а также то, что для всех корней уравнения его правая часть  расположена в промежутке  (по определению арксинуса). Следовательно, и левая часть уравнения должна находиться в этом промежутке. Таким образом, для всех корней заданного уравнения выполняется условие: , то есть 

В промежутке  функция  является возрастающей, тогда при выполнении условия (4) (конечно, на ОДЗ (3)), если от обеих частей заданного уравнения взять синус, то получим равносильное ему уравнение (то есть заданное уравнение равносильно уравнению (2) при условии (3) и (4)). Выполняя рассуждения и преобразования, приведённые выше в решении примера 3, получаем х = 0 или . Все найденные корни входят в ОДЗ (удовлетворяют условие (3)), но условие (4) удовлетворяет только х = 0, следовательно, корнем заданного уравнения является только х = 0.

Тригонометрические уравнения с параметром

Решение уравнений с параметром

Если кроме переменной и числовых коэффициентов в запись тригонометрического уравнения входят также буквенные коэффициенты — параметры, то решая эти уравнения, можно пользоваться таким ориентиром.

Любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнять однозначно. Если какое-либо преобразование нельзя выполнить однозначно, то решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно. 

На этапе поиска плана решения уравнения или неравенства с параметрами или в ходе рассуждений, связанных с самим решением как таковым, часто удобно сопровождать ответ и рассуждения схемами. По этим схемам легко проследить, в какой именно момент мы не смогли однозначно выполнить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого. Чтобы на таких схемах (или в записях громоздких решений) не потерять какой-либо ответ, целесообразно помещать конечные ответы в прямоугольные рамки.

Пример №376

Решите уравнение .

Решение.

Тогда .

Отсюда  или 

корней нет                     

Ответ: (см. после комментария).

Комментарий.

Сначала приведём все тригонометрические функции к одному аргументу х, используя формулу .

Если перенести все члены уравнения в левую часть, то можно вынести за скобки общий множитель .

Поскольку оба множителя имеют смысл при любых значениях переменной х, то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений  или , то есть совокупности   или .

Для уравнения  мы можем записать корни при любых значениях  (в этом уравнении параметра  нет), а в уравнении  всё зависит от правой части: если , то корней нет, а если , то корни есть. Таким образом, приходится разбивать решение этого уравнения на два случая.

Замечание. Для записи полученных ответов целесообразно уточнить, при каких значениях  выполняются ограничения  и . Для этого решаем соответствующие неравенства:

• если , тогда , то есть 
• если , тогда  или ,  то есть  или 

Напомним: чтобы облегчить запись ответа в сложных или громоздких случаях, изобразим ось параметра () и обозначим на ней все особенные значения параметра, которые появились в процессе решения (рис. 26.1.1). Под осью параметра (слева от неё) выпишем все полученные решения (кроме "корней нет") и напротив каждого ответа обозначим, при каких значениях параметра этот ответ можно использовать. После этого запишем ответ для каждого из особенных значений параметра и для каждого из полученных промежутков оси параметра. 

        рис. 26.1.1    

По этой схеме хорошо видно, что при   или  в ответе необходимо записать только одну формулу, а при  две формулы.

Ответ: 1) если  или , то 

2) если , то 

Исследовательские задачи с параметрами

Кроме задач с параметрами, в которых требуется "решить уравнение или неравенство", часто предлагаются исследовательские задачи с параметрами.

Такие задачи иногда удаётся решать с помощью непосредственных вычислений: решить данное уравнение или неравенство и после этого дать ответ на вопрос задачи. Но достаточно часто исследовательские задачи не удаётся решить непосредственными вычислениями (или такие вычисления являются очень громоздкими), и поэтому приходится сначала обосновать какое-то свойство данного уравнения или неравенства, а потом, пользуясь свойством, уже давать ответ на вопрос задачи.

Рассмотрим некоторые из таких свойств. Например, принимая во внимание чётность функций, которые входят в запись данного уравнения, используется такой ориентир.

Если в уравнении  функция является чётной или нечётной, то вместе с любым корнем  мы можем указать ещё один корень этого уравнения .

Пример №377

Найдите все значения параметра , при которых уравнение

 имеет единственный корень.

Решение.

Функция  является чётной   Если  — корень уравнения (1), то  тоже является корнем этого уравнения. Поэтому единственный корень в заданном уравнении может быть только тогда, когда , то есть . Следовательно, единственным корнем заданного уравнения может быть только х = 0. Если х = 0, то из уравнения (1) получаем , то есть . Отсюда  или=1.

При  из уравнения (1) получаем уравнение , которое имеет единственный корень  х = 0. Следовательно,  удовлетворяет условия задачи. При=1 имеем уравнение , то есть 

Поскольку , то уравнение (2) равносильно системе  

Из второго уравнения системы получаем х = 0, что удовлетворяет и первое уравнение, то есть эта система, а значит, и уравнение (2) имеет единственное решение — х = 0. Таким образом, =1 также удовлетворяет условия задачи.

Ответ: 

Комментарий. 

Отмечаем, что в левой части заданного уравнения стоит чётная функция, и используем ориентир, приведённый выше. Действительно, если х =— корень уравнения , то  — правильное числовое равенство. Учитывая чётность функции , имеем . Следовательно,  тоже является корнем уравнения . Единственный корень это уравнение может иметь только тогда, когда корни  и –совпадают. Тогда .

Выясним, существуют ли такие значения параметра , при которых х = 0 является корнем уравнения (1). (Это = 0 и = 1).

Поскольку значения = 0 и = 1 мы получили из условия, что х = 0 — корень уравнения (1), то необходимо проверить, действительно ли при этих значениях  заданное уравнение будет иметь единственный корень.

Для решения уравнения (2) оценим его левую и правую части:

Решить некоторые исследовательские задачи с параметрами помогает использование такого ориентира.

Если в условии задачи с параметрами говорится про то, что решениями заданного уравнения или неравенства являются все значения переменной из некоторого множества, то иногда полезно подставить конкретные значения переменной из заданного множества и получить некоторые ограничения на параметр.

Решение тригонометрических неравенств

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств:

С помощью единичной окружности:

С помощью графиков:

С помощью единичной окружности:

С помощью графиков:

С помощью единичной окружности:

С помощью графиков:

С помощью единичной окружности:

С помощью графиков:

Способы решения более сложных тригонометрических неравенств

а) Использование равносильных преобразований, а именно, сведение к алгебраическому неравенству по схеме:

1) к одному аргументу; 2) к одной функции; 3) замена переменной (аналогично схеме решения тригонометрических уравнений, приведённой ранее) и последующее решение полученных простейших тригонометрических неравенств.

б) Использование метода интервалов (после приведения неравенства к виду  по схеме:

1) Найти ОДЗ неравенства.

2) Найти общий период (если он существует) для всех функций, которые входят в запись неравенства, то есть период функции .

3) Найти нули функции: =0.

4) Отметить нули функции на ОДЗ в середине одного периода и найти знак функции  в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (внутри одного периода).

5) Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства и период функции .

1. Решение простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами считают неравенства вида  (на месте знака ">" может стоять любой из знаков неравенства: ).

Чтобы рассуждения насчёт нахождения решений этих неравенств были более научными, используют единичную окружность или график соответствующих функций.

2. Способы решения более сложных тригонометрических неравенств

Пример №378

Решите неравенство .

Решение.

Тогда 

Замена  даёт неравенство , решения которого (рис. 27.1):  или .         

 

Рис. 27.1

Комментарий.

Используем равносильные преобразования заданного неравенства. Для этого сведём его к алгебраическому по схеме, аналогичной схеме решения тригонометрических уравнений:

1) к одному аргументу 

2) к одной функции 

3) замена переменной 

После обратной замены решим полученное простейшее тригонометрическое неравенство.

Решение (продолжение):

Обратная замена даёт: (решений не имеет) или .

Тогда 

Следовательно, 

Решая более сложные тригонометрические неравенства, можно также воспользоваться методом интервалов, немного изменив его. Необходимость коррекции известной схемы решения неравенств методом интервалов связано с тем, что в случае, когда функция  тригонометрическая, она, как правило, имеет бесконечное множество корней (которые получают при целых значениях параметра). Поэтому, если пытаться обозначить корни на ОДЗ, придётся обозначить их бесконечное множество, что невозможно. Избежать этого можно, если найти период функции  (если он существует) и рассмотреть знак функции на каждом промежутке в середине одного периода.

Таким образом, метод интервалов для решения тригонометрических неравенств  может быть использован по схеме:

1. Найти ОДЗ неравенства.

2. Найти период функции  (если он существует).

3. Найти нули функции .

4. Отметить нули на ОДЗ в середине одного периода и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (в середине одного периода).

5. Записать ответ (учитывая знак заданного неравенства и период функции ).

Пример №379

Решите неравенство 

Решение. 

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого приведём её к виду 

1. ОДЗ: х — любое действительное число.

2. Как мы знаем, период функции  равен . Тогда период функции  будет , период функции  и период функции 

На отрезке длиною  периоды  помещаются целое число раз. Тогда  будет общим периодом для всех этих трёх функций, и поэтому  является периодом функции 

3. Найдём нули этой функции: 

Тогда 

Отсюда  или . Решая последние уравнения, получим , или .

4. Отметим все нули на периоде длиной , например, на отрезке от 0 до  и получим 9 промежутков (рис. 27.2).

Рис. 27.2

Находим знаки функции  на каждом промежутке. Для этого удобно записать функцию  в виде произведения: .

Ответ: (записываем с учётом периода): 

Замечание. При решении тригонометрических неравенств методом интервалов часто приходится находить знак функции в большом количестве промежутков. Для того чтобы уменьшить объём работы, можно предложить такой способ: следить за тем, через какой нуль мы проходим при переходе от одного интервала к другому, и изменяется ли знак заданной функции в этом нуле.

В случае, когда функция , стоящая в левой части неравенства, записана в виде произведения , необходимо обращать внимание на то, что знак произведения не меняется, если одновременно оба множителя (функции и ) меняют знак на противоположный.

Практически для использования этого свойства в случае, если левая часть неравенства записана как произведение нескольких функций, нули каждого множителя отмечают на промежутке разным цветом, или, если множителей только два, нули первого множителя обозначают под осью, а нули второго — над осью.

Если у функции–множителей нет одинаковых нулей, то знак функции  меняется автоматически при переходе через каждый нуль (при условии, что только одна из функций–множителей меняет знак при переходе через этот нуль). В этом случае для нахождения всех знаков функции  на периоде достаточно найти её знак только в одном промежутке, а в других расставить знаки, чередуя их. Если же у функций–множителей есть одинаковые нули, то при переходе через такой нуль знак произведения может не меняться, и это учитывается при расстановке знаков.

Производная

1. Понятие предела функции в точке

Пусть задана некоторая функция, например 

Рассмотрим график этой функции и таблицу её значений в точках, которые на числовой прямой расположены достаточно близко к числу 2.

 

Из таблицы и графика видно, что чем ближе аргумент х к числу 2 (это обозначается так:  и говорят, что х стремится к 2), тем ближе значение функции  к числу 3 (обозначают  и говорят, что  стремится к 3). Это записывают также так:  (читается: "Лимит 2х-1 при х, стремящемся к 2, равен 3") и говорят, что предел функции 2х-1 при х, стремящемся к 2 (или предел функции в точке 2), равен 3.

В общем случае запись означает, что при , то есть В — число, к которому стремится значение функции , когда х стремится к .

2. Запись обозначений  и  с помощью знака модуля:

,обозначение и его смысл:

На числовой прямой точка х расположена от точки  на малом расстоянии (меньше )

Иллюстрация: 

Запись с помощью знака модуля:  (поскольку  на координатной оси Ох — это расстояние между точками х и ).

, обозначение и его смысл:

Значение  на числовой прямой расположено на малом расстоянии от В (меньше ).

Иллюстрация: 

Запись с помощью знака модуля:  (поскольку  на координатной оси Оу — это расстояние между точками  и В).

3. Определение предела функции в точке:

Число В называют пределом функции  в точке  (при х, стремящемся к ), если для любого положительного числа найдётся такое положительное число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

4. Свойства предела функции

Если , то при   

Предел постоянной функции равен самой постоянной. 

Если при и , то .

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если пределы слагаемых существуют.

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если приделы множителей существуют. 

Постоянный множитель можно выносить за знак предела. 

 (где )

Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. (где )

5. Непрерывность функции в точке

Определение. Функцию  называют непрерывной в точке , если при  , то есть .

Если функция  непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то её называют непрерывной на промежутке I.

Если функции  и  непрерывны в точке , то сумма, произведение и частное непрерывных в точке  функций непрерывны в точке  (частное в случае, когда делитель не равен нулю).

График функции, непрерывной на промежутке, — непрерывная линия на этом промежутке.

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения, поэтому на каждом промежутке из области определения их графики — непрерывные линии.

Если на интервале () функция  непрерывна и не обращается в нуль, то она сохраняет постоянный знак на этом интервале. (Эта особенность является основой метода интервалов.)

6. Метод интервалов (решение неравенств вида ).

План

• 1. Найти ОДЗ неравенства.
• 2. Найти нули функции: 
• 3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
• 4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства.

(Если решаем нестрогое неравенство, то все нули функции следует включить в ответ).

Пример №380

Решите неравенство .

Пусть  Функция  непрерывная на каждом из промежутков своей области определения как часть двух непрерывных функций. Поэтому для решения можно использовать метод интервалов.

1. ОДЗ:  Тогда 

2. Нули функции: .

(входит в ОДЗ),

(не входит в ОДЗ).

3. 

Ответ: 

Пример №381

Определите, является ли функция непрерывной в каждой точке данного промежутка: 

Решение.

1) Областью определения функции  является множество всех действительных чисел. Многочлен является непрерывной функцией в каждой точке своей области определения, поэтому в каждой точке промежутка  функция  непрерывна.

2) Область определения функции , то есть .

Дробно-рациональная функция  является непрерывной в каждой точке её области определения. 

Промежуток  полностью входит в область определения этой функции, поэтому в каждой точке промежутка  функция  непрерывная.

3) Промежуток содержит точку 3, которая не входит в область определения функции . Следовательно, в этой точке функция  не может быть непрерывной (поскольку не существует значения  ). Поэтому функция  не является непрерывной в каждой точке промежутка 

Комментарий.

Многочлен  и дробно-рациональная функция являются непрерывными в каждой точке их области определения (в частности, функция  непрерывна как часть двух многочленов — непрерывных функций, при условии, что знаменатель дроби не равен нулю).

Тогда в каждом из заданий необходимо найти область определения функции и сравнить её с заданным промежутком.

Если промежуток полностью входит в область определения соответствующей функции, то функция будет непрерывной в каждой его точке. И наоборот, функция не будет непрерывной в тех точках, которые не входят в её область определения.

Отметим, что когда в точке  не выполняется условие , то функцию  называют разрывной в точке   (а точку  — точкой разрыва функции ).

Пример №382

Выясните, к какому числу стремится функция

Решение.

Дробно-рациональная функция  является непрерывной в каждой точке её определения . Число 0 входит в область определения этой функции, поэтому при  значение 

Ответ: 

Комментарий.

Фактически в условии задачи говорится о нахождении функции  при . Дробно-рациональная функция  является непрерывной в каждой точке её области определения  как часть двух непрерывных функций–многочленов. Учитывая это, получаем, что при  значение , то есть .

Пример №383

Найдите: 

Решение.

1) Многочлен  является непрерывной функцией в точке числовой прямой, поэтому .

2) Дробно-рациональная функция  является непрерывной в каждой точке её области определения . Число 1 входит в область определения этой функции, поэтому  .

3) При 

.

Тогда 

Комментарий.

Многочлены и дробно-рациональные функции являются непрерывными в каждой точке их области определения. Это значит, что в том случае, когда число  (к которому стремится х) входит в область определения функции   (задания 1 и 2), получаем .

Если же число  не входит в область определения  (задание 3), то при  следует выполнить тождественные преобразования выражения , получить функцию, определённую , и использовать её непрерывность при  (для задания 3 это функция ).

Напомним, что обозначение  означает только то, что х стремится к  (но необязательно принимает значение ). Поэтому при  значение .

Основные свойства предела функции

Доказательство основных теорем о пределах

1. Определение основных теорем функции в точке:

 Число В называют границей функции  в точке  (при х, который стремится к ), если для любого положительного числа  найдётся такое положительное число , чтобы при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

2. Основные теоремы о пределах функции:

 Предел постоянной функции равен самой постоянной.

 Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если пределы слагаемых существуют.

 Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.

 Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 (где )  Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Теорема о единственности пределов:

Если функция  в точке  имеет предел, то этот предел единственный.

Если , причём в некоторой окрестности точки   (кроме, возможно, самой точки ) справедливо неравенство .

Границы промежуточной функции. Если ,  и в некоторой окрестности точек (кроме, возможно, самой точки ) справедливо неравенство .

3. Понятие бесконечно малой функции при :

Функцию , которая определена в некоторой окрестности точки , называют бесконечно малой функцией при х, стремящемся к , если .

4. Свойства бесконечно малых функций:

1. Если функции  и бесконечно малы при , то их сумма  и  произведения  и  (где ) тоже являются бесконечно малыми функциями при .

2. Если функция  бесконечно мала при  и для всех х, которые удовлетворяют условие  (кроме, возможно, ), выполняется неравенство , то функция  — тоже бесконечно мала при .

5. Связь определения предела функции в точке с бесконечно малыми функциями:

, где — бесконечно малая функция при .

Нахождение пределов функции в точке по определению

Пропускаем использование определения пределов функции, приведённых ниже, до обоснования того, что предел функции  при х, который стремится к , равно В. В простейших случаях такое обоснование проводят по схеме:

1) для произвольного положительного числа  рассматривают неравенство ;

2) при всех значениях  из некоторой окрестности точки  из этого неравенства получают неравенство ;

3) объясняют (опираясь на равносильность выполненных преобразований неравенства или на свойства неравенств), что при полученном значении  (которое записывают через ) из неравенства  (при ) получаем неравенство ;

4) используя определение пределов функции в точке , делают вывод: .

Пример №384

Используя определение пределов функций, проверьте, что .

Решение.

Пусть  и — некоторое положительное число . Рассмотрим неравенство                                                   (1)   

и найдём такое число , чтобы по условию  выполнялось неравенство (1).

Поскольку , то неравенство

 равносильно неравенству , которое, в свою очередь, равносильно неравенству . Поэтому если выбрать , то по условию  будет выполняться неравенство , а это и означает, что .

Замечание. Как видим, выбор  зависит от заданного значения . Чтобы подчеркнуть этот факт, иногда записывают .

Отметим, что точка , в которой рассматривают предел, может принадлежать области определения функции  (как в примере 1), а может и не принадлежать ей (как в примере 2).

Пример №385

Докажите, что .

Решение.

Пусть  и . Тогда на области определения функция  (при ) имеем 

Если выбрать , то получим, что , как только .

Поэтому, согласно определению предела, 

Пример №386

Докажите, что предел постоянной функции равен самой постоянной.

Решение.

Пусть  для всех  из некоторой окрестности точки . Тогда для любого : для всех из выбранной окрестности точи . Поэтому .

Пример №387

Докажите, что .

Решение. 

Пусть  и выбрано некоторое положительное число . Если взять , получим, что , как только . Поэтому 

по определению предела .

Пример №388

Докажите, что .

Решение.

Пусть  и выбрано некоторое положительное число . Если взять , получим, что , как только . Поэтому по определению предела .

Основные теоремы о пределах функции

С помощью определения предела функции можно также доказать теорему о пределе суммы двух функций.

Теорема. Предел суммы двух функций равен сумме пределов, если пределы слагаемых существуют: .

Зададим . Если , то найдётся такое число , что при  (кроме, возможно, ) выполняется неравенство

Аналогично, если , найдётся такое число , что при  (кроме, возможно, ) выполняется неравенство

.

Если выбрать как число  наименьшее из чисел  и  (это можно обозначить так: ), то мы выберем общую часть двух окрестностей точки , и при  (кроме, возможно, ) будут выполняться оба неравенства (1) и (2). Тогда , учитывая определение предела функции и ранее рассмотренные обоснования, неравенство  (модуль суммы не превышает суммы модулей  слагаемых), получаем 

А это и означает, что  , то есть .

Для доказательства свойств предела произведения и части функции удобно ввести понятие бесконечно малой функции.

Определение. Функция  , которая определена в некоторой окрестности точки , называется бесконечно малой функцией при х, стремящемся к , если .

Например,

1)  (см. пример), следовательно,  — бесконечно малая функция при ;

2)  (см. пример), следовательно,  — бесконечно малая функция при .

Замечание. Если , то это эквивалентно тому, что , где  — бесконечно малая функция при .

Действительно, если рассмотреть функцию 

то . А это и означает, что функция  является бесконечно малой при . Но тогда из равенства (3) получаем, что , где  — бесконечно малая функция при .

Свойства бесконечно малых функций

1. Если функции  и  бесконечно мала при , то их сумма  и произведения  и  (где ) тоже являются бесконечно малыми функциями при .

2. Если функция  бесконечно мала при  и для всех х, которые удовлетворяют условие  (кроме, возможно, ), выполняется неравенство , то функция  тоже бесконечно малая при.

Докажем теорему пределов произведения.

Если , то это эквивалент тому, что , где  — бесконечно малая функция при .

Аналогично, если , то это эквивалентно тому, что , где  — бесконечно малая функция при . Тогда

Учитывая свойства бесконечно малых функций, получаем, что функция — бесконечно малая.

Следовательно, , где  — бесконечно малая функция, а это и означает, что , то есть 

.

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.

Используя метод математической индукции, правила вычисления предела суммы и произведения можно обобщить на случай произвольного количества слагаемых или множителей.

Согласно правила вычисления произведения получаем:

.

Следовательно, — постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и  предел знаменателя не равен нулю.

Пример №389

Найдите .

Решение.

Используя теоремы о пределах суммы, разности и  произведения, получаем:

.

Ответ: 4.

Односторонние пределы

В определении предела функции в точке, приведённом ранее,  аргумент х принимает все значения из -окрестности точки  (кроме, возможно, ) как слева, так и справа от точки .

Если при нахождении предела рассматривать значение х только слева от точки , то такой предел называют левым, или левосторонним, и обозначают  или . Если рассматривать значение х только справа от точки , то такой предел называют правым, или правосторонним, и обозначают  или .

Левосторонние и правосторонние пределы называют односторонними. Когда рассматривают односторонние пределы в точке х = 0 (при х→0), запись упрощают и записывают для левостороннего предела  или , а для правостороннего предела  —  или .

Определение. Число  называется правосторонним пределом функции  в точке , если для произвольного числа  найдётся такое число , что для всех х из области определения функции, которые удовлетворяют условие , выполняется неравенство .

Аналогично дают определение числа  как левосторонний предел функции  в точке . Здесь неравенство 

должно выполняться для всех х из левой части -окрестности точки , то есть при .

Отметим связь между односторонними пределами и пределом функции в некоторой точке .

Если число В является границей функции  при х→, то неравенство 

справедливо для всех значений х из  -окрестности точки . Тогда это неравенство справедливо для всех значений х из левой половины указанной  -окрестности и для всех х из её правой половины, то есть существуют левосторонний и правосторонний пределы в точке , и эти пределы равны В. Поэтому, если , то , то есть  Справедливо и обратное утверждение: если выполняется равенство 

Действительно, если , то неравенство (1), которое определяет существование правостороннего предела, выполняется и слева от точки  (согласно неравенству (2)). Но тогда неравенство (1) фактически обращается в неравенство (3), и поэтому .

В связи с этим можно сформулировать такой критерий.

Критерий существования предела. Для того чтобы в точке  существовал предел В функции, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали левосторонний предел функции, то есть , и правосторонний предел функции, то есть , и чтобы они равнялись друг другу: , при этом 

Пример №390

Выясните существование предела в точке 2 для функции 

Решение.

Заданная функция определена на всей числовой прямой. Найдем односторонние пределы этой функции в точке х = 2.

  (см. пример выше).

 (см. пример выше).

Следовательно , поэтому заданная функция не имеет предела в точке х = 2 и не является непрерывной в этой точке. 

График функции изображён на рис. 29.2.1.

                  

Рис. 29.2.1.                                                                   Рис. 29.2.1. 

Предел отношения  при 

Этот предел обычно называют первым замечательным пределом, его часто приходится использовать при нахождении пределов тригонометрических функций.

Теорема. .

Доказательство. Можно считать, что х принимает только положительные значения. Это следует из того, что функция  является чётной функцией, поскольку  .

Поскольку , то, начиная с некоторого значения,  попадает в первую четверть. Поэтому можно считать, что . На рис. 29.3.1 изображена единичная окружность, на которой отложен угол в х радиан и проведена линия тангенсов CD. Учитывая определения синуса и тангенса через единичную окружность, получаем  . Сравним площади треугольников OBC, ODC, и сектора OBC. Эти площади удовлетворяют неравенство  

Поскольку 

а площадь кругового сектора  OBC: , то, подставляя эти значения в неравенство (1), получаем

 

Поскольку , то  (и). Поэтому, разделив неравенство (2) на , получим: . Отсюда  (учитывая чётность функций  и, получаем, что это неравенство выполняется и при ). 

Но ,  (функция  — непрерывна). Тогда по теореме о пределе промежуточной функции имеем .

Кроме предела, часто используются некоторые его вариации. 

Предел функции на бесконечности. Бесконечный предел функции. Предел последовательности

При изучении функций возникает необходимость найти предел функции на бесконечности, то есть найти такое число В (если оно существует), к которому стремится функция f(х) при неограниченном возрастании аргумента х, или когда х, увеличиваясь по абсолютной величине, остаётся отрицательным.

Рассмотрим функцию . Очевидно, что при увеличении х знаменатель дроби увеличивается, и поэтому значение дроби становится сколь угодно малым по абсолютной величине. Таким образом, значение функции  при очень больших значениях аргумента х мало отличается от числа 2. В этом случае говорят, что функция  имеет своим пределом число 2 при , и пишут:.

Определение. Пусть функция  определена на всей числовой прямой (или при всех достаточно больших по модулю значениях х). Число В называется пределом  при , если для любого числа  найдётся такое число , что для всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство.

 В этом случае пишут: .

Поведение функции  может быть разное при  и при. Поэтому при исследовании свойств функции иногда отдельно рассматривают    и . Эти пределы определяются аналогично определению предела , только условие  заменяется соответственно на  и .

Кроме рассмотренных случаев конечных пределов функции  при (или при ), иногда используется также понятие бесконечного предела. Например, функция , которая определена для всех (рис. 29.4.1), принимает сколько угодно большие значения при . В этом случае говорят, что функция в точке х = 0 имеет бесконечный предел, и пишут: .

Определение. Будем считать, что , если для любого числа существует такое число , что для всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

     

Рис. 29.4.1. 

Предел последовательности

Достаточно распространёнными в курсе математики являются бесконечные последовательности, то есть функции  , заданные на множестве натуральных чисел N. Чтобы подчеркнуть, что аргумент такой функции принимает только значения из множества натуральных чисел, его обозначают не х, а n. Для последовательности f (n) достаточно часто возникает необходимость найти её предел при неограниченном возрастании аргумента n (при ). Определение этого предела в основном аналогично определению предела функции на бесконечности.

Определение. Число В называется пределом последовательности f(n),  если для произвольного числа  существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Для пределов последовательности выполняются все известные теоремы о пределах (только в их формулировках слово "функция" заменяется на слово "последовательность").

Пример №391

Найдите предел .

Решение.

Вынесем за скобки в числителе и знаменателе наивысшую степень переменной и сократим числитель и знаменатель на . Тогда

Ответ: –2.

Асимптоты графика функции

Понятие и иллюстрация асимптоты

Асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при её удалении в бесконечность. 

Вертикальные асимптоты (х =) графика функции у =:

х = — вертикальная асимптота, если при . 

Вертикальная асимптота х = может быть в точке , если точка  ограничивает открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции и вблизи точки  значения функции стремятся к бесконечности.

Примеры вертикальных асимптот графиков функций

Наклонные и горизонтальные асимптоты .

1. Если  — дробно-рациональная функция, у которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя (либо равна ей), то выделяем целую часть дроби и используем определение асимптоты.

Примеры.

 

2. В общем случае уравнение наклонных и горизонтальных асимптот  можно получить, используя формулы: 

Пример №392

Найдите наклонную асимптоту графика функции .

Решение.

Будем искать наклонную асимптоту в виде , где  находят по приведённым выше формулам:

Асимптотой графика заданной функции будет прямая , то есть прямая у = х+1.

Иногда график функции y = f(x) может иметь разные асимптоты при  и при . Тогда при использовании формул для нахождения коэффициентов  приходится отдельно находить значения  при  и при .

Понятия производной, её механический и геометрический смыслы

1. Понятие приращения аргумента и приращения функции в точке .

Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки  из области определения функции f (х).

Приращение аргумента

Приращение функции

2. Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции.

Функция f(х) будет непрерывной в точке  тогда и только тогда, когда малому изменению аргумента в точке  отвечают малые изменения значения функции, то есть функция f(х) непрерывна в точке .

Задачи, которые приводят к понятию производной:

1) Мгновенная скорость движения точки по прямой.

 2) Касательная к графику функции.

Когда точка N приближается к точке M (перемещаясь по графику функции у = f(х)), то величина угла NMT приближается к величине угла  наклона касательной MA к оси Ох.

Определение производной:

 

Производной функции у = f(х) в точке  называется предел отношения приращения функции в точке  к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Производные некоторых элементарных функций:

  ;;;  ;  .

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции у = f(х):

Значение производной в точке  равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой  и угловому коэффициенту этой касательной. (Угол отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки.)

 — уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой .

Механический смысл производной:

В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции. Производную по времени используют для описания различных физических величин.

Например, мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движения — это производная функции, выражающей зависимость пройденного пути s от времени t.

Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Если функция f(х) дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Если функция f(х) дифференцируема на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Понятия приращения аргумента и приращения функции

Часто нас интересует не значение какой-то величины, а её приращение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины, работа — это изменение энергии и т. д.

Приращение аргумента или функции традиционно обозначают большой буквой греческого алфавита  (дельта). Дадим определение приращения аргумента и приращения функции.

Пусть  — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки  из области определения функции .

Определение. Разность  называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке  и обозначается (читается: "Дельта икс"):

Из этого равенства имеем 

то есть первоначальное значение аргумента  получило приращение . Отметим, что при  значение  больше, чем значение , а при  значение х меньше, чем  (рис. 31.1).

Тогда при переходе аргумента от точки  к точке  значение функции изменилось на величину .

Учитывая равенство (1), получаем, что функция изменилась на величину

(рис. 31.2),

которая называется приращением функции f  в точке , что соответствует приращению аргумента  (символ  читается: "Дельта эф").

Из равенства (2) получаем .

Обратим внимание на то, что при фиксированном  приращение является функцией от приращения .

Если функция задаётся формулой  называют также приращением зависимой переменной у и обозначают через .

 Например, если  , то приращение , соответствующее приращению , равно: 

.

 

Рис. 31.1

Рис. 31.2

Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции

Напомним, что функция  является непрерывной в точке , если при , то есть . Но если , то , то есть  (и наоборот, если , то , то есть ). Следовательно, условие  эквивалентно условию . Аналогично утверждение  эквивалентно условию , то есть . Таким образом, функция  будет непрерывной в точке  тогда и только тогда, когда при  , то есть если малым изменениям аргумента в точке  соответствуют малые изменения значений функции.  Именно вследствие этого свойства графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом из промежутков, которые полностью входят в область определения.

Задачи, которые приводят к понятию производной

1) Мгновенная скорость движения точки по прямой.

Рассмотрим задачу, известную из курса физики, — движение точки по прямой. Пусть координата х точки в момент времени t равна х (t). Как и в курсе физики, будем считать, что движение происходит непрерывно (как это мы наблюдаем в реальной жизни). Попробуем по известной зависимости х(t) определить скорость, с которой двигается точка в момент времени  (так называемую мгновенную скорость). Рассмотрим отрезок времени от  до  (рис. 31.3). Определим среднюю скорость на отрезке  как отношение пройденного пути к длительности движения: .

 

Рис. 31.3   

Для того чтобы определить мгновенную скорость точки в момент времени , возьмём отрезок времени длинною , вычислим среднюю скорость на этом отрезке и начнём уменьшать отрезок  до нуля (то есть уменьшать отрезок  и приближать t к ). Мы отметим, что значение средней скорости при стремлении  к нулю будет стремиться к некоторому числу, которое и считают значением скорости в момент времени . Иными словами, мгновенной скоростью в момент времени называется предел отношения , если : .

2) Касательная к графику функции.

Наглядное представление о касательной к кривой можно получить, изготовив кривую из плотного материала (например, из проволоки) и прикладывая к кривой линейку в выбранной точке (рис. 34.4). Если мы изобразим кривую на бумаге, а затем будем вырезать фигуру, ограниченную этой кривой, то ножницы также будут направлены по касательной к кривой.

Попробуем перевести наглядное представление о касательной на более точный язык.

Пусть задана некоторая кривая и точка М на ней (рис. 34.5). Возьмём на этой кривой другую точку N и проведём прямую через точки M и N. Эту прямую обычно называют секущей. Начнём приближать точку N к точке М. Положение секущей MN будет изменяться, но при приближении точки N к точке М оно начнёт стабилизироваться.

Определение. Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей МN.

Чтобы записать это определение с помощью формул, будем считать, что кривая — это график функции , а точка М, находящаяся на графике, задана своими координатами  Касательной является некоторая прямая, проходящая через точку М (рис. 31.6).

Чтобы построить эту прямую, достаточно знать угол  наклона касательной к оси .

Пусть точка N (через которую проходит секущая MN) имеет абсциссу . Когда точка N, перемещаясь по графику функции , приближается к точке М (это будет при ), величина угла NMT приближается к величине угла  наклона касательной МА к оси Ох.

Поскольку  значение  приближается к , то есть .

Фактически мы пришли к задаче, которую рассматривали при нахождении мгновенной скорости: тут необходимо найти предел отношения выражения вида  (где  заданная функция) при . Полученное таким способом число называется производной функции  в точке .

                                

Рис. 31.4                                                                                            Рис. 31.5

 

Рис. 31.6 

Определение производной

Определение. Производной функцией  в точке  называется предел отношения приращения функции в точке  к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную функцию  в точке  обозначают  (или) и читают: "эф штрих в точке ".

Коротко определение производной функции  можно записать так: .

Учитывая определение приращения функции  в точке , что соответствует приращению , определение производной можно также записать: .

Функцию , которая имеет производную в точке, называют дифференцируемой в этой точке. Если функция  имеет  производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Для нахождения производной функции   согласно определению можно пользоваться такой схемой:

• 1. Найти приращение функции, соответствующее приращению аргумента .
• 2. Найти отношение .
• 3. Выяснить, к какому пределу стремится отношение  при .

Это и будет производной данной функции.

Производные некоторых элементарных функций

Обоснуем, пользуясь предложенной схемой нахождения производной функции, формулы, приведённые в п. 5.

1. Вычислим производную функции у = с (то есть f(х) = с), где с — постоянная.

1) Найдём приращение функции, соответствующее приращению аргумента :

.

2) Найдём отношение .

3) Поскольку отношение  постоянное и равняется нулю, то и предел этого отношения при  тоже равен нулю. Следовательно, , то есть .

2. Вычислим производную функцию у = х (то есть f(х) = х).

  3) Поскольку отношение  постоянное и равно 1, то и предел этого отношения при  тоже равен 1. Следовательно, , то есть .

3. Вычислим производную функции  (то есть ).

3) При  значение  Это означает, что  Тогда производная функции в произвольной точке х равна:. Таким образом, 

4. Вычислим производную функцию  (то есть ).

1) 

2) 

3) При  значение . Тогда 

Это значит, что . Тогда производная функции  в произвольной точке х из её области определения (при ) равна: . Следовательно, .

5. Вычислим производную функции  (то есть ).

1)  Умножим и разделим полученное выражение на сумму  и запишем  следующим образом:

2) 

3) При  значение . Тогда  Это означает, что  (естественно, при ). Тогда производная функции  в произвольной точке х из её области определения, кроме х = 0 (то есть при ), .  Следовательно, 

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции у = f(х)

Учитывая определение производной функции у = f(х), запишем результаты, полученные при рассмотрении касательной к графику функции (рис. 31.7).

Как было обосновано выше, тангенс угла  наклона касательной в точке М с абсциссой (рис. 31.7) вычисляют по формуле . С другой стороны, . Тогда .

Напомним, что в уравнение прямой  угловой коэффициент  равен тангенсу угла  наклона прямой к оси Ох. Если  — угловой коэффициент касательной, то . То есть, значение производной в точке  равно тангенсу угла наклона касательной к графику в точке с абсциссой   и равно угловому коэффициенту этой касательной.

(угол отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).

Таким образом, если — уравнение касательной к графику функции  в точке М с координатами  Поскольку касательная проходит через точку  то её координаты удовлетворяют последнее уравнение, то есть . Отсюда находим , и записываем уравнение касательной:

 

Рис. 31.7

Это уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой .

Замечание. Угол , который образует невертикальная касательная графика функции у = f(х) в точке с абсциссой  с положительным направлением оси Ох, может быть нулевым, острым или тупым. Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что в случае, когда  (то есть ), угол  будет острым, а в случае, когда , угол  будет тупым. Если , то есть  (то есть касательная параллельна оси Ох или совпадает с ней). И наоборот, если касательная к графику функции  у = f(х) в точке с абсциссой  образует с положительным направлением оси Ох острый угол , то , если тупой угол — то , а если касательная параллельна оси  Ох или совпадает с ней , то .

Если же касательная образует с осью Ох прямой угол , то функция f(х) производной в точке  не имеет ( не существует).

Механический смысл производной

Записывая определение производной в точке  для функции  и сопоставляя полученный результат с понятием мгновенной скорости прямолинейного движения: ,

можно сделать вывод, что производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента.

Кроме того, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции, что может применяться к разнообразнейшим физическим величинам. Например, мгновенная скорость  неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость пройденного пути s от времени t; ускорение  неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость скорости  от времени t.

Если s = s(t) — зависимость пройденного пути от времени, то

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Если функция у = f(х) дифференцируемая в точке , то в этой точке существует её производная значение .

Для обоснования непрерывности функции у = f(х) достаточно обосновать, что при   значение .

Действительно при  получаем: . А это и означает, что функция у = f(х) — непрерывная. Следовательно, если функция f(х) дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Из этого утверждения следует: если функция f(х) дифференцируема на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Отметим, что обратное утверждение неверно. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка.

Например, функция у = |х| (рис. 31.8) непрерывная при всех значениях х, но не имеет производной в точке х = 0. Действительно, если 

Поэтому при  отношение  не имеет предела, а следовательно, и функция у = |х| не имеет производной в точке 0.

 

Рис. 31.8

Замечание. Тот факт, что непрерывная функция f(х) не имеет производной в точке , означает, что к графику этой функции в точке с абсциссой  нельзя провести касательную (или соответствующая касательная перпендикулярна к оси Ох). График в этой точке может иметь излом (рис. 31.8), а может иметь более сложный вид.

Например, к графику непрерывной функции  в точке М с абсциссой х = 2 нельзя провести касательную (а следовательно, эта функция не имеет производной в точке 2). Действительно, по определению касательная — это предельное положение секущей. Если точка N будет приближаться к точке M по левой части графика, то секущая NM займёт предельное положение МА. Если же точка К будет приближаться к точке М по правой части графика, то секущая МК займёт предельное положение МВ. Но это две разные прямые, следовательно, в точке М касательной к графику данной функции не существует.

 

Рис. 31.9

Пример №393

Найдите тангенс  угла наклона касательной, проведённой к графику функции  в точке с абсциссой , у оси Ох, если:

1)        2) 

Решение.

1) По геометрическому смыслу производной . Учитывая, что , получаем:  Следовательно 

2) Поскольку , то .

По геометрическому смыслу производной .

Следовательно, .

Комментарий.

По геометрическому смыслу производной , где  — угол наклона касательной, проведённой к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой , к оси Ох. Поэтому для нахождения  достаточно найти производную функции f(х), а потом найти значение производной в точке .

Для нахождения производных заданных функций отметим, что соответствующие формулы и обоснования приведены выше и в этой лекции.

В будущем, при решении задач мы будем использовать эти формулы как справочные значения.

Пример №394

Используя формулу  , запишите уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

Решение.

Если  Тогда 

Подставляя эти значения в уравнение касательной  получаем  то есть  — искомое уравнение касательной.

Комментарий.

Уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой  в общем виде записывается так: 

Чтобы записать это уравнение для заданной функции, необходимо найти значение , производную  и значение . Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через  и использовать табличное значение производной: .

Правила вычисления производных

1. Производные некоторых элементарных функций:

2. Правила дифференцирования:

Правило:

Пример:

Правило:

Пример:

Правило:

Пример:

Правило:

Пример:

.

3. Производная сложной функции (функция от функции):

Правила дифференцирования

Используя определение производной, были найдены производные некоторых элементарных функций:

 (c — постоянная), .

Для нахождения производной в сложных случаях целесообразно помнить специальные правила (правила дифференцирования), по которым находят производные от суммы, произведения и частного тех функций, для которых мы уже знаем значение производных, и производную от  сложной функции (функции от функций).

Обоснуем эти правила. Для сокращения записей используем следующие обозначения функций и их производных в точке :

.

Правило 1. Если функции  и  дифференцируемые в точке , то их сумма дифференцируема в этой точке 

 .

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

Для доказательства обозначим  и воспользуемся планом нахождения  по определению производной в точке .

1) Приращение функции в точке : 

2) 

3) Выясним, к какому пределу стремится отношение  при . Поскольку функции  дифференцируемые в точке , то при , а   то есть  и 

Учитывая, что предел суммы равен сумме пределов слагаемых, получаем, что при .

А это и значит, что , то есть 

Следовательно, 

Правило 1 можно расширить на любое конечное количество слагаемых :

Правило 2. Если функции  дифференцируемы в точке , то их произведение дифференцируемо в этой точке и .

Следствие (правило 3). Если функция  дифференцируема в точке , а с — постоянная, то функция cu дифференцируема в этой точке и   .

Коротко говоря: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Для доказательства используем правило 2 и известный факт, что :

Правило 4. Если функции  дифференцируемы в точке  и функция не равна нулю в этой точке, то их частное также дифференцируемо в точке  и 

 .

Эту формулу можно получить аналогично производной произведения. Но можно использовать более простые рассуждения, если принять без доказательства, что производная данного частного существует. Обозначим функцию  через t. Тогда =t, . Найдём производную  по правилу дифференцирования: .

Выразим из этого равенства , а вместо t подставим его значение . Получим:

. Следовательно, .

Используя правило нахождения производной произведения и формулу , обоснуем, что производная функция  при натуральном  вычисляется по формуле

При n = 2 получаем: . Тот же результат даёт и применение формулы (3):.

При n = 3 имеем:  Тот же результат даёт и применение формулы (3): 

Как видим, приведённые рассуждения позволяют, опираясь на предыдущий результат, обосновать формулу для следующего значения n. Допустим, что формула (3) выполняется для , то есть .

Покажем, что тогда формула (3) правильна и для следующего значения . Действительно, 

Следовательно, если формула (3) выполняется при n = 2, то она справедлива и для следующего значения n = 3. Но тогда формула (3) выполняется и для следующего значения n = 4, а значит, и для n = 5 и т. д., для любого натурального n >1.

Можно обосновать, что формула  будет верной для любого действительного показателя n (но только при тех значениях х, при которых определена её правая часть).

Например, если n = 1 или n = 0, то при  эта формула тоже верна. Действительно, если , то по формуле (3):

что совпадает со значениями производных функций х и 1.

Если n — целое отрицательное число, то n = –m, где m — натуральное число. Тогда при 

Таким образом, формула (3) выполняется и для любого целого показателя степени.

Если , то при х > 0 имеем . Как видим,  (при х > 0). Но по формуле (3):

 

то есть формула (3) верна и при .

Производная сложных функций

Сложной функцией обычно называют функцию от функции. Если переменная у является функцией от u: у = f(u), а u, в свою очередь, — функцией от х: u = u(x), то у является сложной функцией от х, то есть у = f(u(x)).

В таком случае говорят, что у является сложной функцией независимого аргумента х, а u — её промежуточным аргументом.

Например, если ,  — сложная функция, которая определена только при значениях х, для которых , то есть  (промежуточный аргумент u = х – 2).

Правило 5. (производная сложной функции). Если функция u(х) имеет производную в точке , а функция f(u) — производную в точке , то сложная функция y = f(u(x)) также имеет производную в точке , причём 

Поскольку по условию функция u(х) имеет производную в точке , то она является непрерывной в этой точке, и тогда малому изменению аргумента в точке  соответствуют малые переменные значений функции, то есть при .

Из равенства  имеем:

Дальнейшее доказательство проведём только для таких функций u(х), в которых  в некоторой окрестности точки . При  представим  так: . Учитывая, что при , а при , получаем, что при (и, соответственно, при ) . А это и означает, что  то есть .

Следовательно, производная сложной функции у = f(u(x)) равна произведению производной данной функции y = f(u) по промежуточному аргументу u (обозначается ) на производную промежуточного аргумента u = u(x) по независимому аргументу х (обозначается ).

Пример №395

Найдите производную функции:

1)  2)    3) 

Решение.

Комментарий.

Напомним, что алгебраическое выражение (или формула, которая задаёт функцию) называют по результатам последнего действия, которое необходимо выполнить при нахождении значения заданного выражения. Следовательно, в задании 1 сначала необходимо найти производную суммы :

в задании 2 — производную произведения: 

в задании 3 — производную частного: 

Также в заданиях 1 и 2 следует использовать формулу , а в задании 2 учесть, что при вычислении производной от 2х постоянный множитель можно вынести за знак производной.

В задании 2 лучше сначала раскрыть скобки, а потом взять производную суммы.

Пример №396

Вычислите значение производной функции  в указанных точках: х = 4, х = 0,01.

Решение.

Комментарий.

Для нахождения значения производной в указанных точках достаточно найти производную данной функции и в полученное выражение подставить заданные значения аргумента.

При вычислении производной следует учитывать, что заданную разность можно рассматривать как алгебраическую сумму , а при нахождении производной  за знак производной можно вынести постоянный множитель (–5). В результате мы, фактически, получаем разность производных функций .

Пример №397

Найдите значения х, для которых производная функции  равна нулю.

Решение.

Комментарий.

Чтобы найти соответствующие значения х, достаточно найти производную заданной функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

Пример №398

Найдите производную функции f:

Решение.

Комментарий.

В заданиях 1 и 2 необходимо найти соответственно производную степени и корня, но в основании степени и под знаком корня стоит аргумент х, а выражения с этим аргументом (тоже функция от х). Следовательно, надо найти производные сложных функций.

Обозначая (в черновике или мысленно) промежуточный аргумент через u (для задания 1: , а для задания 2: ), по формуле  записываем производные заданных функций с учётом формул 

Производные элементарных функций

; ; ; ; ;; ; ; .

Пояснения.

Для обоснования формулы используем то, что при малых значениях  значения (например, ,). Тогда при  отношение , то есть 

Если , то, применяя формулу преобразования разности синусов в произведение и схему нахождения производной по определению, имеем:

Учитывая, что по формулам привидения , , и используя правило нахождения производной сложной функции, получаем:

Для нахождения производных  и  воспользуемся формулами: ,  и правилом нахождения производной частного.

Следовательно, 

Пример №399

Найдите производную функции:

Решение.

Комментарий.

Последовательно определим, от какого выражения берётся производная (ориентируясь на результат последнего действия).

В задании 1 сначала берётся производная суммы . Затем для каждого из слагаемых используется правило вычисления производной сложной функции: берётся производная от  и  и умножается на . Полученный результат желательно упростить по формуле: 

В задании 2 сначала берётся производная частного: , а для производной знаменателя используется правило вычисления производной сложной функции (производная  умножается на).

Пример №400

Найдите все значения х, при которых значение производной функции 

: 1) равно нулю; 2) положительно; 3) отрицательно.

Решение.

Область определения заданной функции:

Область определения функции : , то есть производная  существует на всей области определения функции , кроме того х  –2.

 (не входит в область определения ).

На области определения  решим неравенства  и  методом интервалов (рис. 33.1):

Ответ: 1) таких значений х, при которых =0, нет; 2) ; 3) 

Комментарий.

Производная функции может существовать только в тех точках, которые входят в область определения. Поэтому сначала целесообразно найти область определения заданной функции.

Производная функции сама является функцией от х, и потому для решения неравенств  можно использовать метод интервалов. После нахождения ОДЗ этого неравенства необходимо сопоставить его с областью определения функции f(х) и продолжить решение на их общей части.

Следовательно, неравенства  всегда решаются на общей части областей определения функций . Для решения соответствующих неравенств достаточно на общей области определения функций  обозначить нули  и найти знак  в каждом из промежутков, на которые разбивается эта общая область определения.

   

Рис. 33.1.

Пример №401

Найдите уравнение касательной к графику функции  в точке .

Решение.

Тогда  Подставляя эти значения в уравнение касательной , получаем , то есть — искомое уравнение касательной.

Комментарий.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой в общем виде записывается так: .

Чтобы записать это уравнение для данной функции, необходимо найти , производную  и значение . Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через f(х), а для нахождения её производной использовать формулу производной произведения: .

Применение производной к исследованию функции

Применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функции и экстремумов функции

1. Монотонность и постоянство функции

Достаточное условие возрастания функции.

Достаточное условие убывания функции.

Необходимое и достаточное условие постоянства функции.

2. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции.

Точки максимума.

Точка из области определения функции f(х) называется точкой максимума этой функции, если найдётся такая -окрестность () точки  что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

 точка максимума.

              

Точки минимума.

Точку  из области определения функции  называют точкой минимума этой функции, если найдётся такая -окрестность  точки , что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство 

точка минимума.

              

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Значения функции в точках максимума и минимума называются экстремумами функции  (максимумом и минимумом функции).

3. Критическая точка

Определение. Критическими точками функции называют внутренние точки её области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Пример.

4. Необходимое и достаточное условия экстремума

Необходимое условие экстремума.

В точках экстремума производная функция  равна нулю или не существует.

точка экстремума функции 

                                   

0 или  — не существует (но не в каждой точке  , где 0 или  не существует, будет экстремум).

Достаточное условие экстремума.

Если функция  непрерывна в точке  и производная  меняет знак при переходе через точку , то  — точка экстремума функции .

В точке  знак  меняется с "+" на "-" ⇒  — точка максимума.

В точке  знак  меняется с "-" на "+" ⇒  — точка минимума.

5. Пример графика функции у = f(x), имеющей экстремумы (х_1, х₂, х₃, х₄, х₅ — критические точки):

6. Исследование функции у = f(х) на монотонность и экстремум

Схема:

 Пример: у = f(х) = 3х⁵ – 5х³ + 1

      

     

4.      

f(х) возрастает на каждом из промежутков: ;

f(х) убывает на промежутке 

Точки экстремума: 

Экстремумы: 

Замечание. Результаты исследования функции на монотонность и экстремумы удобно представлять наглядно в виде специальной таблицы:

Монотонность и постоянство функции. Критические точки функции

Производная является важным инструментом исследования функции, в частности, на монотонность (то есть на возрастание и убывание).

Напомним, что функцию f(х) называют возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции, то есть для любых х₁ и х₂ из этого множества из условия следует, что .

Функцию f(х) называют убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента их этого множества соответствует меньшее значение функции, то есть для любых  х₁ и х₂ из этого множества из условия  следует, что .

Как видно из рис. 34.1.1, , в каждой точке графика возрастающей функции касательная образует с положительным направлением оси Ох или острый угол  (тогда ), или угол, который равен нулю 

В каждой точке графика убывающей функции (рис. 34.1.1, б) касательная образует с положительным направлением оси Ох или тупой угол  , или угол, который равен нулю 

Следовательно, если на каком-нибудь интервале функция f(х) дифференцируема и возрастает, то  на этом интервале; если на каком-нибудь интервале функция f(х) дифференцируема и убывает, то  на этом интервале.

Но для решения задач на исследование свойства функции важными являются обратные утверждения, которые позволяют по знаку производной выяснить характер монотонности функции.

Для обоснования соответствующих утверждений воспользуемся так называемой формулой Лагранжа, строгое доказательство которой приводится в курсе математического анализа. Здесь мы ограничимся только её геометрической иллюстрацией и формулировкой.

Пусть функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех точках интервала . Тогда на этом интервале найдётся такая точка с, в которой касательная l к графику функции  в точке с абсциссой с будет параллельна секущей АВ, проходящей через точки  , (рис. 34.1.2).

        

Рис. 34.1.2 

Действительно, рассмотрим все возможные прямые, которые параллельны секущей АВ и имеют с графиком функции f(х)  на интервале  хотя бы одну общую точку. Прямая, которая находится на наибольшем расстоянии от секущей АВ, и будет касательной к графику функции f(х) (это как раз и будет предельное положение секущей, параллельной АВ). Если обозначить абсциссу точки касания через с, то, учитывая геометрический смысл производной, получаем , где  — угол между прямой l и положительным направлением оси Ох. Но , поэтому угол  равен углу наклона сечения АВ к оси Ох. Этот угол, в свою очередь, равен углу А прямоугольного треугольника АВD с катетами: 

Следовательно, можно сделать такой вывод. Если функция f(х) непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех точках интервала , то на интервале  найдётся такая точка , что 

Эту формулу называют формулой Лагранжа. Воспользуемся ею для обоснования достаточных условий возрастания и убывания функции.

1. Если  в каждой точке интервала , то функция  возрастает на этом интервале.
2. Если  в каждой точке интервала , то функция  убывает на этом интервале.

Возьмём две произвольные точки х₁ и х₂ из заданного интервала. По формуле Лагранжа существует число , такое, что 

Число с принадлежит заданному интервалу, поскольку ему принадлежат числа х₁ и х_2. . Пусть . Тогда 

Если  в каждой точке заданного интервала, то , и из равенства (1) получаем, что , то есть . Это значит, что функция  возрастает на заданном интервале.

Если  в каждой точке заданного интервала, то , и из равенства (1) получаем, что , то есть . А это значит, что функция  убывает на заданном интервале.

Пример 1. Функция определена на всём множестве действительных чисел  и имеет производную  при всех значениях х. Следовательно, эта функция возрастает на всей области определения.

Пример 2. Функция  определена на всём множестве действительных чисел  и имеет производную . Поскольку при всех значениях х. Следовательно, эта функция убывает на всей области определения.

Например, ранее рассматривая степенную функцию, мы без доказательства отметили, что при  функция , где  — нецелое число, возрастает при  и убывает при. Обоснуем это. Действительно, . Тогда при  и  значение , следовательно, функция  возрастает. При  и значение , то есть функция  убывает.

Достаточные условия возрастания и убывания функции имеют наглядную физическую иллюстрацию. Пусть по оси ординат движется точка, которая в момент времени  имеет ординату . Учитывая физический смысл производной, получаем, что скорость этой точки в момент времени  равна . Если , то точка движется в положительном направлении оси ординат и с увеличением времени ордината точки увеличивается, то есть функция возрастает. Если , то точка движется в отрицательном направлении оси и с увеличением времени ордината точки уменьшается, то есть функция убывает.

В том случае, когда , скорость точки равна нулю, то есть точка не движется, и поэтому её ордината остаётся постоянной. Получаем условие постоянной функции.

Функция  является постоянной на интервале  тогда и только тогда, когда  во всех точках этого интервала.

Действительно, если  (где постоянная), то .

Наоборот, если  во всех точках интервала , то зафиксируем некоторое число  из этого интервала и найдём значение функции в точке (пусть ). Для любого числа х из заданного интервала по формуле Лагранжа можно найти число с, которое находится между х и х_0,  что

Тогда

Поскольку , то по условию . Следовательно, . Таким образом, для всех х из заданного интервала, то есть функция f(х) является постоянной.

В случаи, если функция f(х) непрерывна на отрезке  во всех точках интервала , то при приближении значения х к точке справа значение . Но , тогда и (аналогично, приближая значение х к точке b слева, обосновывают, что ). Следовательно, функция f(х) является постоянной на отрезке .

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо решить неравенства  в области определения функции f(х). Поскольку  является функцией от переменной х, то для решения этих неравенств можно использовать метод интервалов, точнее, его обобщение,  опирающееся на утверждениях, которые в курсе математического анализа называют теоремой Дарбу.

Теорема. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции f(х) на промежутки, в каждом из которых  сохраняет постоянный знак.

Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Исходя из плана решения неравенств методом интервалов, получаем, что промежутки возрастания и убывания функции f(х) можно находить по схеме:

1. Найти область определения функции f(х).
2. Найти производную  .
3. Выяснить, в каких внутренних точках области определения функции производная  равна нулю или не существует (то есть найти критические точки этой функции).
4. Отметить найденные точки в области определения функции f(х) и найти знак  в каждом из промежутков, на которые разбивается область определения функции (знак можно определить, вычислив значения  в любой точке промежутка).

Пример №402

Исследуйте функцию  на возрастание и убывание.

Решение.

1. Область определения заданной функции — все действительные числа  

2. Производная .

3. Производная существует на всей области определения функции, и , если , то есть при х = 1 или х = –1.

4. Решим неравенства  и  на области определения функции f(х) методом интервалов. Для этого отмечаем точки 1 и (–1) на области определения функции f(х) и находим знак   в каждом из полученных промежутков (рис. 34.1.3). 

   

Рис. 34.1.3 

Учитывая достаточные условия возрастания и убывания функции, получаем, что в тех интервалах, где производная положительна, функция f(х) возрастает, а в тех интервалах, где производная отрицательная, — убывает. Следовательно, функция f(х) возрастает на каждом из интервалов  и  и убывает на интервале .

График функции  изображён на рис. 34.1.4. При построении графика учтено, что  и . Из графика видно, что функция  возрастает не только на промежутках  и , но и на промежутках    и  и убывает не только в интервале , но и на отрезке.

Выясняется, что всегда, когда функция f(х) непрерывна на любом из концов промежутка возрастания (убывания), то его можно присоединить к этому промежутку (как точки –1 и 1 в предыдущем примере).

Примем это утверждение без доказательства.

 

Рис. 34.1.4

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

На рис. 34.1.4 изображён график функции . Рассмотрим окрестности точки х = –1, то есть произвольный интервал, который содержит точку –1 (например, -окрестность этой точки). Как видно из рисунка, существует такая окрестность точки х = –1, что наибольшее значение для точек из этой окрестности функция  приобретает в точке х = –1. Например, на интервале (–2; 0) наибольшее значение, которой равно 2, функция достигает в точке х = –1. Точку х = –1 называют точкой максимума этой функции и обозначают , а значение функции в этой точке  называют максимумом функции.

Аналогично, точку х = 1 называют минимумом функции , поскольку значение функции в этой точке меньше её значения в любой точке некоторой окрестности точки 1, например, окрестность (0,5; 1,5). Обозначим точку минимума , а значение функции в этой точке f(1) = –2 называют минимумом функции.

Точки максимума и минимума функции ещё называют точками экстремума, а значения функции в этих точках называют экстремумами функции.

Приведём определение точек минимума и максимума.

Определение. Точка  из области определения функции   называется точкой максимума этой функции, если найдётся -окрестность  точки , такая, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство.

Определение. Точка  из области определения функции   называется точкой минимума этой функции, если найдётся -окрестность  точки , такая, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство.

По определению в точке максимума  значение функции f(х) является наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки. Поэтому график функции f(х) в окрестности  чаще всего имеет вид гладкого "горба" (рис. 34.1.5, а), но может иметь вид заострённой "пики" (рис. 34.1.5, б) или даже изолированной точки (понятно, что в этом случае функция не будет непрерывной в точке ) (рис. 34.1.5, в).

Аналогично, значение функции f(х) в точке минимума  является наименьшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки. График функции f(х) в окрестности  чаще всего имеет вид "впадины",  гладкой (рис. 34.1.6, а) или заострённой (рис. 34.1.6, б), или даже изолированная точка.

Локальный — от лат. lokalis — местный.

Замечание. По определению, точки экстремума — это такие точки, в которых функция набирает наибольшее или наименьшее значение, в сравнении со значениями этой функции в точках некоторой окрестности экстремальной точки. Такой экстремум обычно называют локальным экстремумом.

Необходимое и достаточное условия экстремума

При исследовании функции и построении её графика важное значение имеет нахождение точек экстремумов. Покажем, что точками экстремума могут быть только критические точки функции, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует.

Теорема Ферма. (необходимое условие экстремума). Если  является точкой экстремума функции , и в этой точке существует производная , то она равна нулю: .

Докажем это утверждение методом от противного. Пусть  является точкой экстремума функции , и в этой точке существует производная . Допустим, что .

Рассмотрим случай, когда . По определению производной при  (то есть при ) отношение  стремится к положительному числу , следовательно, и само будет положительным при всех х, достаточно близких к . Для таких х

.

Тогда при  получаем, что , и, значит, точка не может быть точкой максимума. 

При , и точка   не может быть точкой минимума, то есть точкой экстремума, что противоречит условию.

Аналогично рассматривается и случай, когда  . Следовательно, наше допущение является неверным, и .

Отметим, что теорема Ферма даёт только необходимое условие экстремума: из того, что , не обязательно следует, что в точке  функция имеет экстремум. Например, если  . Но точка  не является точкой экстремума, поскольку функция  возрастает на всей числовой прямой (рис. 34.1.7).

   

Рис. 34.1.7 

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции   в точке с абсциссой  (где — точка экстремума функции) параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней), и поэтому её угловой коэффициент  равен нулю (рис. 34.1.8).

       

Рис. 34.1.8

В точке с абсциссой  к графику функции у = х³ также можно провести касательную: поскольку , то этой касательной является ось Ох. Но  графики функций, приведённые на рисунках 34.1.7 и 34.1.8, по-разному расположены относительно касательной. На рисунке 34.1.8, где  и  — точки экстремума, можно указать окрестности этих точек, для которых соответствующие точки графика располагаются по одну сторону от касательной, а на рисунке 34.1.7 график функции у = х³ при переходе аргумента через точку  (в которой производная равна нулю, но которая не является точкой экстремума) переходит с одной стороны касательной на другую. В этом случае точку  называют точкой перегиба функции.

Функция может иметь экстремум и в той критической точке, в которой не существует производная данной функции. Например, функция   не имеет производной в точке , но, как видно по её графику (рис. 34.1.9), именно в этой точке функция имеет минимум.

        

Рис. 34.1.9

Отметим, что не каждая критическая точка, в которой не существует производная данной функции, будет точкой экстремума этой функции. Например, рассматривая функцию , отмечаем, что она не имеет производной в точке : график имеет излом при  (рис. 34.1.10). Действительно, если допустить, что функция  имеет производную в точке 0, то функция  тоже должна иметь производную в точке 0. Но , а функция  не имеет производной в точке 0, то есть мы пришли к противоречию. Следовательно, функция  в точке 0 производной не имеет. Однако, как видно на рис. 34.1.10, функция  возрастает на всей числовой прямой и экстремума не имеет.

       

Рис. 34.1.10   

Теорема 1. (признак максимума функции).  Если функция  непрерывна в точке , и при переходе через точку  её производная меняет знак с плюса на минус (то есть в некоторой -окрестности точки  при  значение , а при  значение ), то точка является точкой максимума функции .

Рассмотрим заданную -окрестность точки, то есть интервал . По условию, производная  на интервале  

Таким образом, функция  возрастает на этом интервале, а учитывая непрерывность  в точке , то она возрастает и на промежутке Тогда для всех  с интервалом  имеем , следовательно . Аналогично, по условию производная  на интервале  Отсюда следует, что функция  убывает на этом интервале, а поскольку непрерывна в точке , то она убывает и на промежутке  Тогда для всех с интервалом  имеем , следовательно, . Таким образом, для всех  из некоторой -окрестности точки , а это и означает, что точка  является точкой максимума функции .

Теорема 2. (признак минимума функции). Если функция  непрерывна в точке , и при переходе через точку  её производная меняет знак с минуса на плюс (то есть в некоторой -окрестности точки  при  значение , а при  значение ), то точка является точкой максимума функции .

Теоремы 1 и 2 дают возможность сделать такой вывод: если функция непрерывна в точке , и производная меняет знак при переходе через , то — точка экстремума функции .

Если же функция  непрерывна в точке , а её производная  не меняет знак при переходе через точку , то точка  не может быть точкой экстремума функции.

Действительно, если, например,  на интервале и на интервале , то функция возрастает на каждом из этих интервалов. Учитывая её непрерывность в точке  (см. доказательство теоремы 1), получаем, что для всех  выполняется неравенство , а для всех  неравенство  Это значит, что на всём промежутке  функция   возрастает, и точка  не является точкой экстремума. Аналогично рассматривается и случай, когда  на рассмотренных интервалах.

Замечание. Приведённые обоснования позволяют уточнить условия возрастания и убывания функции.

Если  в каждой точке интервала  (причём уравнение  имеет только конечное либо счётное множество корней), то функция  возрастает на этом интервале.

Если  в каждой точке интервала  (причём уравнение  имеет только конечное либо счётное множество корней), то функция  убывает на этом интервале.

Пример №403

Функция  определена на промежутке (–7; 8). На рис. 34.1.11 изображён график её производной.

1) Укажите промежутки возрастания и убывания функции .

2) Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, какие — точками минимума, а какие не являются точками экстремума.

   

Рис. 34.1.11

Решение.

1) Из графика имеем, что  на промежутке (–4; 2) и (6; 8), следовательно, возрастает на этих промежутках. Аналогично  на промежутках (–7; –4) и (2; 6), следовательно,  убывает на этих промежутках. Поскольку в точках –4, 2 и 6 существует производная , то функция  непрерывна в этих точках, поэтому эти точки можно включить в промежутки возрастания и убывания функции.

Ответ:  возрастает на промежутках и  и убывает на промежутках 

2) Производная  существует на всей области определения функции  и равна нулю в точках –4, 2 и 6. Это внутренние точки области определения, следовательно, критическими точками будут только точки –4, 2 и 6.

Поскольку производная существует на всей области определения функции, то функция непрерывна в каждой точке области определения.

В точках –4 и 6 производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точки минимума.

В точке 2 производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.

Ответ: 

Комментарий.

1) Как известно, на тех промежутках, где производная функции положительна, функция возрастает, а на тех промежутках, где производная отрицательна, убывает. Поэтому по графику выясняем промежутки, в каких производная положительна и в каких — отрицательна. Это и будут промежутки возрастания и убывания функции.

2) Критические точки — это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Из графика видно, что производная существует на всей заданной области определения. Следовательно, критическими точками будут только те значения х, при которых производная равна нулю.

Для определения того, является ли критическая точка точкой экстремума, используем достаточные условия экстремума: если в критической точке функция непрерывна, и её производная меняет знак с , то эта критическая точка является точкой максимума, а если с , — то точкой минимума.

Общая схема исследования функции для построения её графика

1. Найти область определения функции:

Пример:

Постройте график функции .

1. Область определения: 

2. Выяснить, является ли функция чётной или нечётной (или периодической):

Пример:  

2. Функция  ни чётная, ни нечётная, поскольку и 

3. Точки пересечения графика с осями координат (если их можно найти).

Пример:

3. График не пересекает ось Оу . На оси Ох у = 0:  — абсцисса точки пересечения графика с осью Ох.

4. Производная и критические точки функции:

Пример:

4. 

4. Производная существует на всей области определения функции  (следовательно, функция  непрерывна в каждой точке своей области определения)

 имеем х = 2 — критическая точка.

5. Промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума (и значение функции в этих точках):

Пример:

5. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной и характер поведения функции на каждом из промежутков, на которые разбивается область определения.

Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков  и  и убывает на промежутке . Поскольку в критической точке 2 производная меняет знак с "-" на "+", то х = 2 — точка минимума: 

6. Поведение функции на концах промежутков области определения (этот этап не входит в минимальную схему исследования функции):

Пример:

6. 

7. Если необходимо, найти координаты дополнительных точек, чтобы уточнить поведение графика функции:

Пример:

7. 

8. На основании проведённого исследования построить график функции:

Пример:

8. 

Наибольшее и наименьшее значения функции

1. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке

Свойства:

Если функция f(х) непрерывна на отрезке и имеет на нём конечное число критических точек, то она принимает наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка.

Примеры:

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке

Схема и пример:

1. Убедиться, что заданный отрезок входит в область определения функции f(х).

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Область определения функции — все действительные числа , следовательно, заданный отрезок входит в область определения функции f(х).

2. Найти производную .

Пример:

3. Найти критические точки:  = 0 или не существует.

Пример:

 существует на всей области определения функции f(х) (следовательно, функция f(х) непрерывна на заданном отрезке).

4. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.

Пример:

Заданному отрезку [1; 3] принадлежит только критическая точка х = 2.

5. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Пример:

6. Сравнить полученные значения функции и выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Пример:

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на интервале

Свойство и иллюстрация:

Если непрерывная функция  имеет на заданном интервале только одну точку экстремума , и это точка минимума, то на заданном интервале функция принимает своё наименьшее значение в точке .

Если непрерывная функция  имеет на заданном интервале только одну точку экстремума , и это точка максимума, то на заданном интервале функция принимает своё наибольшее значение в точке .

4. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Схема и пример:

1. Одну из искомых величин (или величину, с помощью которой можно дать ответ на вопрос задачи) обозначить через х (и по смыслу задачи наложить ограничения на х).

Пример:

Имеется кусок проволоки длиной 100 м. Необходимо огородить им прямоугольный участок наибольшей площади. Найдите размеры участка.

Решение.

Пусть участок имеет форму прямоугольника ABCD (см. рисунок) со стороной AB = х (м). Учитывая, что проволока будет натянута по периметру прямоугольника, получаем 2AB + 2BC = 100, то есть 2x + 2BC = 100. Отсюда BC = 50 – х (м). Поскольку длина каждой из сторон прямоугольника выражается положительным числом, то 0 < х < 50.

2. Величину, о которой говорится, что наибольшая или наименьшая, выразить как функцию от х.

Пример:

Площадь прямоугольника: 

3. Исследовать полученную функцию на наибольшее и наименьшее значения (чаще всего с помощью производной).

Пример:

Исследуем функцию  с помощью производной. Производная  существует при всех действительных значения х (следовательно,  — непрерывная функция на заданном промежутке).   — критическая точка.

В точке  меняет знак с плюса на минус (см. рисунок), следовательно, х = 25 — точка максимума. Учитывая, что непрерывная функция   имеет на заданном интервале (0; 50) только одну точку экстремума х = 25, и это точка максимума, делаем вывод, что на заданном интервале функция принимает своё наибольшее значение в точке х = 25.

4. Убедиться, что полученный результат имеет смысл для исходной задачи:

Пример:

Следовательно, площадь огороженного участка будет наибольшей, если стороны AB = х = 25 (м), BC = 50 – х = 25 (м), то есть участок будет иметь форму квадрата со стороной 25 м.

Пояснения.

Человеку в жизни часто приходится искать наилучшее, или, как часто говорят, оптимальное решение поставленной задачи. Часть таких задач удаётся решить с помощью методов математического анализа — это задачи, которые можно свести к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции.

В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса. Непрерывная на отрезке  функция  имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют точки отрезка , в которых  принимает наибольшее и наименьшее на  значения.

Рассмотрим случай. Пусть непрерывная на отрезке  функция  имеет на этом отрезке только конечное число критических точек. Тогда имеет место свойство: если функция  непрерывна на отрезке и имеет конечное число критических точек, то она принимает наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка.

1) Сначала рассмотрим случай, когда непрерывная на отрезке  функция  не имеет на этом отрезке критических точек. Тогда на отрезке  производная  сохраняет постоянный знак, следовательно, функция  на отрезке  возрастает (рис. 34.3.1, а) или убывает (рис. 34.3.1, б). Поэтому наибольшее и наименьшее значения функция  на отрезке  — это значения на концах  и .

2) Пусть теперь функция  имеет на отрезке  конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок  на конечное число отрезков, в середине которых критических точек нет. Тогда, согласно п. 1, наибольшее и наименьшее значения функция  достигает на концах таких отрезков, то есть в критических точках функции, или в точках  и .

Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции, которая имеет на этом отрезке конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Для использования этого ориентира необходимо убедиться, что заданный отрезок входит в область определения данной функции, и что функция непрерывна на этом отрезке (последнее следует, например, из того, что функция дифференцируема на заданном отрезке). Для нахождения критических точек функции необходимо найти её производную и выяснить, где производная равна нулю или не существует. 

Утверждения, что наибольшее значение функции f(х) на отрезке  достигается в точке , можно обозначить так: ; а утверждение, что наименьшее значение функции f(х) на отрезке  достигается в точке , так: .

При решении некоторых задач приходится находить наибольшее и наименьшее значения функции не на отрезке, а на интервале. Чаще всего в таких задачах функция имеет на заданном интервале только одну критическую точку: либо точку максимума, либо точку минимума. В таких случаях в точке максимума функции f(х) принимает наибольшее значение на данном интервале (рис. 34.3.2), а в точке минимума — наименьшее значение на данном интервале (рис. 34.3.3).

                                       

Рис. 34.3.2                                                                    Рис. 34.3.3

Пример №404

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Решение.

1) , следовательно, отрезок  входит в область определения функции f(х).

2) 

3)  существует на всей области определения функции f(х) (следовательно, функция f(х) является непрерывной на заданном отрезке);

4) в заданный отрезок попадают только критические точки: 

5) 

6) 

Комментарий.

Используем схему нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции f(х):

1. убедиться, что заданный отрезок входит в область определения функции;
2. найти производную;
3. найти критические точки ( или не существует);
4. выбрать критические точки, которые принадлежат заданному отрезку;
5. вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка;
6. сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Чтобы убедиться в непрерывности заданной функции, достаточно после нахождения её производной выяснить, что производная существует в каждой точке области определения функции, либо отметить, что заданная функция непрерывна как сумма двух непрерывных функций  и .

Вычислить, какие критические точки принадлежат заданному отрезку, можно на соответствующем рисунке, отмечая критические точки на числовой прямой

Вторая производная. Производные высших порядков. Понятие выпуклости функции

1. Понятие второй производной

Пусть функция  имеет производную  во всех точках некоторого промежутка. Эта производная, в свою очередь, является функцией аргумента х. Если функция   дифференцируема, то её производную называют второй производной от  и обозначают  (или ).

Запись.

Пример.

2. Понятие выпуклости и точек перегиба дифференцируемой на интервале  функции:

 

Функцию f(х) называют выпуклой вниз на интервале , если для любой точки из этого интервала при всех  график функции лежит выше касательной к этому графику в точке .

 

Функцию f(х) называют выпуклой вверх на интервале , если для любой точки из этого интервала при всех  график функции лежит ниже касательной к этому графику в точке .

 

Точка М графика непрерывной функции f(х), в которой существует касательная и при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба графика функции. В точке перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую.

Абсциссу  точки М перегиба графика функции f(х) называют точкой перегиба функции f(х). Точка  разделяет интервалы выпуклости функции.

3. Свойство графиков выпуклых функций:

Если функция f(х) выпукла вниз на интервале  и М₁ и М₂ — точки её графика на этом интервале, тогда на интервале (х₁; х₂) график функции у = f(х) лежит ниже отрезка М₁М₂, то есть график лежит ниже хорды.

 Если функция f(х) выпукла вверх на интервале  и М₁ и М₂ — точки её графика на этом интервале, тогда на интервале (х₁; х₂) график функции у = f(х) лежит выше отрезка М₁М₂, то есть график лежит выше хорды.

4. Достаточные условия выпуклости функции, имеющей вторую производную на заданном интервале .

Условия выпуклости вниз.

Если на интервале  дважды дифференцируемая функция f(х) имеет положительную вторую производную ( при всех ), то её график на интервале  направлен выпуклостью вниз.

Если на интервале  дважды дифференцируемая функция f(х) имеет отрицательную вторую производную ( при всех ), то её график на интервале  направлен выпуклостью вверх.

5. Нахождение точек перегиба функции, имеющей вторую производную на заданном интервале.

Необходимое условие:

В точках перегиба функции f(х) её вторая производная равна нулю или не существует.

Достаточное условие:

Пусть функция f(х) имеет на интервале  вторую производную. Тогда, если меняет знак при переходе через , где , то  — точка перегиба функции f(х).

6. Исследование функции у = f(х) на выпуклость и точки перегиба.

Схема и пример:

1. Найти область определения.

Пример:

Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

1. Область определения: .

Функция f(х) непрерывна в каждой точке своей области определения (как многочлен).

2. Найти вторую производную.

Пример:

2. 

3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

Пример:

3. существует и непрерывна на всей области определения функции f (х).

4. Отметить полученные точки на области определения функции, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.

Пример:

4. 

5. Записать нужный результат исследования (интервалы и характер выпуклости и точки перегиба).

Пример:

На интервале график функции направлен выпуклостью вниз , а на интервале (-1; 3) — выпуклостью вверх .

Точка перегиба: х = –1  и х = 3 (в этих точках меняет знак).

7. Расширенная схема исследования функции для построения её графика.

Схема и пример:

1. Найти область определения функции.

Пример:

Постройте график функции

1. Область определения: 

2. Выяснить, является ли функция чётной или нечётной, либо периодической.

Пример:

2. Функция f(х) ни чётная, ни нечётная, поскольку  и , а также не периодическая.

3. Точки пересечения графика с осями координат (если их можно найти).

Пример:

3. На оси Оу значения х = 0, тогда у = 0.

На оси Ох значения у = 0: 

Тогда х = 0, х = 5 — абсцисса точек пересечения графика с осью Ох.

4. Производная и критические точки функции.

Пример:

4. 

Производная существует на всей области определения функции f(х). Следовательно, функция f(х) непрерывна в каждой точке своей области определения.

5. Промежутки возрастания и убывания и точки экстремума (и значения функции в этих точках).

Пример:

5. Отметим критические точки на области определения и найдём знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения (см. рисунок).

Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков и  убывает  на промежутках . Так как в критической точке (–10) производная меняет знак с "+" на "-", то х = –10 — точка максимума. В критической точке 2 производная меняет знак с "-" на "+", поэтому х = 2 — точка минимума. Следовательно, 

6. Поведение функции на концах промежутков области определения и асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные).

Пример:

6. 

Следовательно, прямая х = –4 — вертикальная асимптота.

то есть прямая у = х – 9 — наклонная асимптота.

7. Вторая производная и исследование функции на выпуклость и точки перегиба (и значения функции в этих точках).

Пример:

7. 

Поскольку , то знак второй производной может меняться только в точке х = –4. Получаем такие знаки второй производной и соответствующий характер выпуклости (см. рисунок).

8. Найти координаты дополнительных точек графика функции (если нужно уточнить его поведение).

Пример:

8. 

9. На основании проведённого исследования построить график функции.

Пример:

9. 

Вторая производная и производные высших порядков

Если функция  имеет производную  во всех точках некоторого промежутка, то эту производную можно рассматривать как функцию от аргумента х. Если функция  является дифференцируемой, то её производную называют второй производной от  и обозначают(или).

По аналогии со второй производной определяют и производные высших порядков. Производную от второй производной функции  называют третьей производной, или производной третьего порядка этой функции, и т. д. То есть производной n-го порядка функции  называют производную от производной (n–1)-го порядка этой функции. Производную n-го порядка функции  обозначают .

Выпуклость функции

Пусть функция  определена на интервале , а в точке  имеет конечную производную. Тогда к графику этой функции в точке  можно провести касательную. В зависимости от расположения графика функции относительно касательной функцию называют выпуклой вниз, если график функции расположен выше касательной (рис. 35.1) либо выпуклой вверх, если график функции расположен ниже касательной (рис. 35.2). Соответственно, и сам график в первом случаи называют выпуклым вниз, а во втором — выпуклым вверх. 

Приведём соответствующие определения свойств для функции , определённой и дифференцируемой дважды на интервале .

Определение. Функцию называют выпуклой вниз на интервале , если для любой точки  из этого интервала при всех  график функции лежит выше касательной к этому графику в точке .

Определение. Функцию называют выпуклой вверх на интервале , если для любой точки  из этого интервала при всех  график функции лежит ниже касательной к этому графику в точке .

Отметим, что на интервале, где функция  выпуклая вниз, её производная  возрастает. Действительно, как видно на рис. 35.1, при возрастании аргумента х величина угла , который создаёт касательная к графику функции  с положительным направлением оси Ох, возрастает, принимая значения между  . Но тогда  тоже возрастает.

На интервале, где функция  выпуклая вверх, её производная  убывает. Действительно, как видно на рис. 35.2, при возрастании аргумента х величина угла , который создаёт касательная к графику функции  с положительным направлением оси Ох, убывает, принимая значения между  . Но тогда  тоже убывает.

Можно доказать, что справедливы и обратные утверждения.

1. Если производная  функции  возрастает на интервале , то функция является выпуклой вниз на этом интервале.
2. Если производная  функции  убывает на интервале , то функция является выпуклой вверх на этом интервале.

             

Рис. 35.1                                                           Рис. 35.2

Эти свойства позволяют сформулировать достаточные условия выпуклости функции (и графика функции).

1. Если на интервале  дважды дифференцируемая функция  имеет положительную вторую производную (то есть  при всех ), то её график на интервале  направлен выпуклостью вниз.
2. Если на интервале  дважды дифференцируемая функция  имеет отрицательную вторую производную (то есть  при всех ), то её график на интервале  направлен выпуклостью вверх.

Действительно, пусть  при всех . Если рассматривать  как функцию от х, то  является производной этой функции . Но тогда, имея положительную производную, функция  возрастает на интервале . Следовательно, по свойству 1 функция f(х) является выпуклой вниз на этом интервале, её график соответственно выпуклый вниз на интервале .

Аналогично обосновывают и второе достаточное условие.

Эти условия являются только достаточными, но не являются необходимыми. Например, функция  является выпуклой вниз на всей числовой прямой (рис. 35.3), хотя в точке х = 0 её вторая производная равна нулю.

В случае, когда функция f(х) выпуклая вниз на интервале  и M₁ и M₂ — точки её графика на этом интервале (рис. 35.4), тогда на интервале (х₁; х₂), где , график функции у = f(х) лежит ниже отрезка M₁M₂. Этот отрезок по аналогии с отрезком, соединяющим две точки дуги окружности, часто называют хордой кривой. Следовательно, в этом случае на интервале (х₁; х₂) график лежит ниже хорды.

В случае, когда функция f(х) выпуклая вверх на интервале  и M₁ и M₂ — точки её графика на этом интервале (рис. 35.5), тогда на интервале (х₁; х₂), где , график функции у = f(х) лежит выше отрезка M₁M₂, то есть график лежит выше хорды.

               

Рис. 35.3                                      Рис. 35.4                                    Рис. 35.5

Точки перегиба

Определение. Точку М графика непрерывной функции f(х), в которой существует  касательная и при переходе через которую кривая изменяет направление выпуклости, называется точкой перегиба графика функции.

Учитывая определение выпуклости функции вверх и выпуклости вниз, получаем, что касательная расположена выше одной части графика и ниже другой (рис. 35.6). Иначе говоря, в точке перегиба касательная пересекает кривую, а сам график функции переходит с одной стороны касательной на другую.

 

Рис. 35.6

Абсциссу  точки перегиба графика функции f(х) называют точкой перегиба функции. Тогда  является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз функции f(х).

Точки перегиба дважды дифференцируемой функции можно найти с помощью её второй производной. Приведём достаточное условие существования точки перегиба.

Пусть функция f(х) имеет на интервале  вторую производную. Если  меняет знак при переходе через , где — , то  — точка перегиба функции .

Действительно, если функция f(х) имеет на интервале  вторую производную, то она имеет на этом интервале и первую производную. Следовательно, функция f(х) является непрерывной на заданном интервале, и существует касательная к графику функции в точке с абсциссой . Пусть   при  и  при  (на заданном интервале). Тогда, используя достаточные условия выпуклости функции, получаем, что при  график функции f(х) направлен выпуклостью вверх, а при  — выпуклостью вниз. Следовательно, точка является точкой перегиба функции f(х).

Аналогично рассматривается и случай, когда  и  : точка  является также точкой перегиба функции f(х).

Для нахождения промежутков выпуклости функции и точек её перегиба необходимо учитывает следующее.

Пусть функция f(х) задана на интервале  и в каждой точке этого интервала имеет вторую производную, которая является на нём непрерывной функцией. Если для точки  из этого интервала , то в некоторой -окрестности этой точки вторая производная тоже будет положительной, то есть для всех  значение . Но тогда на интервале  функция f(х) направлена выпуклостью вниз, и точка  не может быть точкой перегиба функции f(х). Аналогично, если , то в некоторой окрестности точки  функция f(х) направлена выпуклостью вверх, и точка не может быть точкой перегиба функции f(х). Следовательно, точкой перегиба может быть только такая точка, у которой вторая производная равна нулю, из этого получаем необходимое условие существования точек перегиба:  если функция  задана на интервале , в каждой точке этого интервала имеет вторую производную , которая является непрерывной функцией на заданном интервале, и имеет точку перегиба , тогда .

Например, функция у = х³ (рис. 35.7) имеет перегиб в точке 0, в которой её вторая производная равна нулю. Действительно, , . При х > 0 значение  и график направлен выпуклостью вниз; а при х < 0 значение   и график направлен выпуклостью вверх. Следовательно, х = 0 — точка перегиба функции.

Точка перегиба функции f(х) может быть и в той точке , в которой  не существует (но  существует)

Например, функция , определена на всей числовой прямой (рис. 35.8), имеет перегиб в точке 0, в которой существует её первая производная  , но не существует вторая производная  ( не существует).

При х > 0 значение  и график направлен выпуклостью вниз, а при х < 0 значение  и график направлен выпуклостью вверх. Следовательно, 0 — точка перегиба функции. 

          

Рис. 35.7                                                               Рис. 35.8

Чтобы найти промежутки выпуклости функции f(х), необходимо решить неравенства  на области определения функции f(х). Поскольку  тоже является функцией от переменной х, то в случае, когда функция  является непрерывной в каждой точке своей области определения, для решения этих неравенств можно воспользоваться методом интервалов, точнее, его обобщением, основанном на следующем свойстве: точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции f(х) на промежутки, в каждом из которых  сохраняет постоянный знак.

Учитывая это свойство и условия выпуклости функции, а также существование её точек перегиба, получаем схему исследования функции f(х) на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти область определения функции.
2. Найти вторую производную.
3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
4. Отметить полученные точки на области определения функции, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
5. Записать нужный результат исследования (интервалы и характер выпуклости, точки перегиба).

Применение этой схемы рассматривалось выше.

Использование второй производной позволяет более детально исследовать свойства функции для построения её графика.

Применение производной к решению уравнений и неравенств, доказательства неравенств.

Применение производной к решению уравнений и неравенств

Было рассмотрено применение свойств функции для решения некоторых уравнений. Иногда для выяснения необходимых свойств функции целесообразно использовать производную. Это прежде всего нахождение промежутков возрастания и убывания функции и оценка области значений функции.

1. Оценка значений левой и правой частей уравнения

Ориентир.

Пример №405

2. Использование возрастания и убывания функций

Схема решения уравнений:

1. Подберём один или несколько корней уравнения.
2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения, или оценку значений левой и правой частей уравнения, или следующее свойство функции: возрастающая или убывающая функция принимает каждое своё значение только в одной точке её области определения).

Теоремы о корнях уравнения:

1. Если в уравнении  функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не больше чем один корень на этом промежутке.

Пример №406

Других корней это уравнение не имеет, поскольку функция  возрастает (её производная  при всех значениях х из области определения: )

Ответ: 

2. Если функция  в уравнении  возрастает на некотором промежутке, а функция  убывает (или наоборот), то это уравнение может иметь не больше чем один корень на этом промежутке.

Пример №407

Уравнение  имеет корень 

Других корней это уравнение не имеет, поскольку его ОДЗ х >0 и на этой ОДЗ функция  возрастающая ( при х >0), а функция  убывающая при х >0 

Ответ: 1.

Применение производной к доказательству неравенств

Производную иногда удаётся использовать при доказательстве неравенств с одной переменной.

Приведём ориентировочную схему доказательства неравенств вида  (либо ) с помощью производной.

1. Рассмотреть дополнительную функцию  (на её области определения либо на заданном промежутке).
2. Исследовать с помощью производной поведение функции f(х) (возрастание или убывание либо её наибольшее и наименьшее значения) на рассмотренном промежутке.
3. Обосновать (опираясь на поведение функции f(х)), что (либо ) на рассмотренном промежутке, и сделать вывод, что (либо ) на этом промежутке.

Заметим, что при доказательстве некоторых неравенств эту схему приходится использовать несколько раз, а иногда удобно использовать вторую производную и выпуклость соответствующей функции.

Пример №408

Докажите неравенство 

Решение.

Для доказательства данного неравенства достаточно доказать неравенство  Рассмотрим функцию  (её область определения  содержит заданный промежуток).

Производная .

Следовательно, функция f(х) возрастает на интервале , а учитывая непрерывность функции f(х) в точке 1 (она непрерывна и на всей области определения), получаем, что функция f(х) возрастает и на промежутке . Но  Тогда при  значение . Следовательно, , то есть , что и требовалось доказать. (Отметим, что при  значение , а при  заданное неравенство преобразуется в равенство.)

Использование производной в решении задач с параметрами

При решении задач с параметрами производная может использоваться для исследования функции на монотонность и экстремумы, для исследования функции и построения её графика, для записи уравнений касательных к графикам функции, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. Также следует помнить те ориентиры, которые использовались для решения задач с параметрами. В частности, если в задаче с параметрами говорится о количестве решений уравнения (неравенств или систем), то для анализа заданной ситуации удобно использовать графическую иллюстрацию решения).

Пример №409

Найдите все значения параметра , при которых функция  убывает для всех .

Решение.

Область определения функции . Функция дифференцируема на всей числовой прямой

Заданная функция будет убывать для всех , если  на всей числовой прямой (причём уравнение  имеет только конечное множество корней).

Если , то  и неравенство  не выполняется на всей числовой прямой ( только при ).

Если , то производная является квадратичной функцией относительно переменной х, которая принимает значения на всей числовой прямой тогда и только тогда (таблица в комментарии), когда выполняются условия  (при этом уравнение  может иметь разве что только один корень).

Из неравенства  получаем .

Из неравенства  получаем: 

Учитывая полученное условие , получаем, что . Тогда из неравенства (2) имеем , то есть . Следовательно, система (1) равносильна системе 

Отсюда получаем .

Ответ: 

Комментарий.

Используем уточнённый вариант условия убывания функции.

Если  в каждой точке интервала  (причём уравнение  имеет только конечное множество корней), то функция  убывает на этом интервале.

Это условие является не только достаточным, но и необходимым для дифференцируемой на интервале функции (если на каком либо интервале функция  дифференцируема и убывает, то  на этом интервале — см. п. 34.1). Следовательно, условие задачи может удовлетворять те и только те значения параметра, которые мы найдём по этому условию.

Анализируя производную заданной функции, учитываем, что она является квадратичной функцией только в случае, когда  (то есть ).

Поэтому случай  (то есть ) следует рассмотреть отдельно.

Для квадратичной функции вспоминаем все возможные варианты расположения параболы относительно оси абсцисс (см. таблицу ниже) и выясним, когда неравенство  выполняется для всех .

Обратим внимание, что неравенство (при ), которое свелось к неравенству (2), можно было решить отдельно или методом интервалов, с помощью графика квадратичной функции (исключая точку с абсциссой ), а уже затем находить общее решение системы (1).

Понятие предела функции в точке и непрерывность функции

1. Понятие предела функции в точке

Пусть задана некая функция, например  

Рассмотрим график этой функции и таблицу её значений в точках, которые на числовой прямой размещены достаточно близко от числа 2.

Из таблицы и графика видно, что чем ближе аргумент х  к числу 2 (это обозначают  и говорят, что х стремится к 2), тем ближе значение функции  к числу 3 (обозначают  и говорят, что  стремится к 3). Это записывают  так:   (читают: "лимит  при х, стремящемся к 2, равен 3") и говорят, что предел функции  при х, стремящемся к 2 (или предел функции в точке 2), равен 3.
В общем виде запись означает, что    то есть В — число, к которому стремится значение функции ,  когда  стремится к .

2. Запись обозначения  и  при помощи знака модуля

Обозначение и его содержание:
                                                 

На числовой прямой точка  находится от точки  на малом расстоянии (меньше чем )
                                         Иллюстрация:

                         

Запись при помощи модуля:
                                        
Обозначения и его содержание:
                                         

Значения  на числовой прямой расположены на малом расстоянии от  (меньше чем   )
                                    Иллюстрация:
                       

                    Запись при помощи модуля:
                                      

3. Определение предела функции в точке

 Число В называют пределом функции  в точке   (при , стремящемся к ), если для любого положительного числа   найдется такое положительное число , что при всех  , которые удовлетворяют неравенство  , выполняется неравенство  

4. Свойства предела функции

1. Если   то при     

Предел постоянной функции равен этой самой постоянной.

2.  Если  при   и  , то  

 Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если пределы слагаемых существую.
Если значение   удовлетворяет неравенство  , то говорят, что точка   находится в окрестностях точки  .

3. Если  Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.
 

4. Если  Постоянный множитель можно вынести за знак предела.
 

5. Если   где  . , где  . Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют, и предел знаменателя не равен нулю.

 

5. Непрерывность функции в точке

Определение. Функцию   называют непрерывной в точке  , если при  , то есть 
Если функция   непрерывна в каждой точке некоторого промежутка  , то её называют непрерывной на промежутке 
Если функции   и   непрерывны в точке , то сумма, произведение и частное непрерывных функций в точке  так же непрерывны в точке  (частное — в случае, когда делитель  ).

График функции, непрерывной на промежутке, — непрерывная линия на этом же промежутке.

Все элементы функции* непрерывны в каждой точке своей области определения, поэтому на каждом промежутке области определения их графики — непрерывные линии.

Если на интервале  функция   непрерывная и не превращается в ноль, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак.

* Элементарными чаще всего называют такие функции:  ,  
 и все функции, которые можно получить из выше перечисленных при помощи конечного количества действий сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции (функции от функции).

6. Метод интервалов (решение неравенств вида )

План:

• 1. Найти ОДЗ неравенства.
• 2. Указать нули функции: 
• 3. Обозначить нули функции на ОДЗ и найти знак   на каждом из промежутков, на которые они (нули функции) разбивают ОДЗ.
• 4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства.

Пример №410

Решите неравенство. 
Пусть  ,
 Функция    непрерывна на каждом  промежутке своей области определения,  как частное двух непрерывных функций. Поэтому для решения можно использовать метод интервалов.
1. ОДЗ:   тогда  
2. Нули функции:  

 .(входит в ОДЗ)
 (не входит в ОДЗ)
3.  

Ответ:  


 

Понятие предела функции в точке

Самое простое представление о пределе функции в точке можно получить, рассмотрев график функции (рис. 1.1.)

Из этого графика видно: чем ближе к числу 2 мы выбираем на оси  значение аргумента (это обозначают   и читают: " стремится к 2"), тем ближе значение  на оси   будет к числу 3.

Записывают таким образом:   при   или   
Знак  (читают: "предел") — сокращенная запись латинского   (лимес), что в переводе означает "предел".

В общем виде запись  означает, что при   значение  , то есть   — число, к которому стремится значение функции , когда   стремится к .

Чтобы дать определение предела функции  в точке , вспомним, что расстояние между точками  и  на координатной оси   — это модуль разности , а расстояние между точками   и   на координатной оси  — это модуль разности 

Тогда запись  означает, что на числовой прямой точка  расположена от точки  на малом расстоянии: например, меньше какого-то положительного числа  (рис. 1.2.) Это можно записать следующим образом: . Запись  означает ,что  стремится к , но не обязательно достигает самого значения . Из-за этого в определении предела функции в точке рассматривают значение  В том случае, когда значение   удовлетворяет неравенство   говорят, что точка  расположена в окрестности точки  .

Аналогично, запись   означает, что на числовой прямой значение  расположено на малом расстоянии от , например  меньшем от какого-то положительного числа  (рис. 1.3). Это записывают следующим образом: 

 

Тогда можно дать такое определение предела функции в точке:
число В называют пределом функции  в точке , (при , стремящемся к ), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что при всех  , которые удовлетворяют неравенство , выполняется другое неравенство 
Нахождение числа В по функции  называют предельным переходом.

Предельный переход выполняется по таким правилам (обоснование правил предельного перехода, а также правил использования определения для доказательства того, что число  есть пределом функции , при , приведено в ).

Если нам известны пределы функций  и  , то для выполнения предельного перехода над суммой, произведением или частным этих функций, достаточно выполнить соответствующие операции над пределами этих функций (для частного только в том случае, когда предел знаменателя не равен нулю).

Иначе говоря, если при   , то   (где ).

В случае, когда функция  постоянная, то есть , то при всех значениях , значения   равны .  Следовательно, и при  значение , то есть предел постоянной равен самой постоянной.
 

Из определения вытекает, что предел функции , когда  стремится к , можно вычислять и тогда, когда значение  не входит в область определения функции . Например, область определения функции — все действительные числа, кроме числа 0. Для всех   выполняется равенство . При  значение , или 

Понятие непрерывности функции

Если значение   входит в область определения функции , то при , для многих функций значение , то есть  . Тогда функции называются непрерывными в точке*  . Если функция   непрерывная в каждой точке некоторого промежутка  , то её называют непрерывной на промежутке .

* Если в точке  не выполняется условие , то функцию  называют разрывной в точке   , (а точку — точкой разрыва функции ).

График непрерывной функции изображают непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом промежутке, который целиком входит в область определения. На этом основывается способ построения графиков таких функций "по точкам", который мы постоянно используем. Строго говоря, для этого необходимо предварительно выяснить, действительно ли функция, которая рассматривается — непрерывна. Все известные вам элементарные функции —непрерывны в каждой точке своей области определения. Этим свойством можно воспользоваться при построении их графиков и вычислении пределов функций. 

Например, поскольку многочлен является непрерывной функцией, то 

Из правил предельного перехода вытекает, что когда функции  и  непрерывны в точке , сумма, произведение и частное непрерывных функций в точке   — функции непрерывные в точке  (частное   в случае, когда  ).

Например функция  непрерывна как сумма двух непрерывных функций. Действительно  ,  а это означает, что функция   — непрерывна.
 

Рассмотрим еще одно важное свойство непрерывных функций, полное доказательство которого приводят в курсах математического анализа.
Если на интервале  функция  непрерывная и не превращается в ноль, то на этом интервале она сохраняет свой знак.

Это свойство имеет наглядную иллюстрацию. Допустим, что функция  на заданном интервале изменила свой знак (например с "-" на "+"). Это означает, что в какой-то точке   значение функции отрицательное  . Тогда соответствующая точка М графика функции расположена ниже оси  . В некоторой точке  значение функции положительное  , и соответственно точка N графика расположена выше оси  .

Однако, если график функции (который является неразрывной линией) переходит из нижней полуплоскости относительно оси   в верхнюю полуплоскость, то на заданном интервале  он обязательно  (хотя бы один раз) пересекает ось , например, в точке  (рис. 1.4). Тогда  , что противоречит условию.  Следовательно, наше предположение неверно, и на заданном интервале функция не может изменить свой знак.

На последнем свойстве непрерывных функций основывается метод интервалов, которым мы решали неравенства с одной переменной в классе.
Действительно, если функция   непрерывная на интервале  и превращается в ноль в конечном числе точек этого интервала, то по сформулированному выше свойству непрерывных функций интервал  разбивается этими точками на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция   сохраняет постоянный знак. Чтобы определить знак функции, достаточно вычислить её значение в любой точке каждого интервала.

Пример №411

Является ли функция непрерывной в каждой точке данного промежутка: 


Решение.
1) Область определения функции  — множество всех действительных чисел. Многочлен является непрерывной функцией в каждой точке своей области определения, поэтому в каждой точке промежутка  функция   непрерывная.

2), 3) Область определения функций  , то есть  
Дробно-рациональная функция   является непрерывной в каждой точке её области определения.
Промежуток полностью входит в область определения этой функции, поэтому в каждой точке промежутка   функция 
 непрерывная.
Промежуток содержит точку 3, которая не входит в область определения функции  .
Следовательно, в этой точке функция  не может быть непрерывной (поскольку существует значение ). Поэтому функция   не является непрерывной в каждой точке промежутка  .
Комментарий. Многочлен  и дробно-рациональная функция  являются непрерывными в каждой точке их области определения (в частности, функция  непрерывная как частное двух многочленов – непрерывных функций, при условии, что знаменатель дроби не равен нулю).
Поэтому в каждом из заданий необходимо найти область определения функции и сравнить её с заданным промежутком. 
Если промежуток полностью входит в область определения соответствующей функции, то функция будет непрерывной в каждой его точке.
И наоборот, функция не будет непрерывной в тех точках, которые не входят в область её определения.

 

Пример №412

Выясните, к какому числу стремится функция  , при  
Решение. Дробно-рациональная функция   является непрерывной в каждой точке её области определения. Число 0 входит в область определения этой функции, поэтому при при   значение  
Ответ: 
Комментарий.  Фактически в условии задачи идет речь о нахождении предела функции   при .
Дробно-рациональная функция  является непрерывной в каждой точке её области определения  , как частное двух непрерывных функций–многочленов. Учитывая это, получим, что при  значение , то есть .

Пример №413

Найдите:

Решение.
1) Многочлен является непрерывной функцией в каждой точке числовой прямой, поэтому .
2) Дробно-рациональная функция   — непрерывна в каждой точке её области определения  . Число 1 входит в область определения этой функции, поэтому  
3) При 
.
Тогда .

Комментарий.  Многочлены и дробно-рациональные функции являются непрерывными в каждой точке их области определения. Это означает, что в том случае, когда число а,  (к которому стремиться х) входит в область определения функции (примеры 1 и 2), получаем  
Если же число а не входит в область определения функции  (пример 3), то при  необходимо выполнять тождественные преобразования выражения , получить функцию, определенную при , и использовать её непрерывность при   (для примера 3 это функция , при ).
Напомним, что из обозначения  следует только то, что х стремится к а (но не обязательно принимает само значение а). Поэтому при  значение 
 

Пример №414

Решите неравенство 
Решение.
Заданное неравенство равносильно неравенству вида 
Поскольку функция  непрерывна в каждом из промежутков своей области определения, то можно воспользоваться методом интервалов.
1. ОДЗ:  Тогда 
2. Нули функции  Из этого уравнения получаем уравнения–следствия:

Проверка показывает, что  – посторонний корень, а – корень.
3. Обозначаем нули функции на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (рис.1.5).

Ответ: 

Комментарий.  Данное неравенство можно решить при помощи равносильных преобразований или методом интервалов. Если выберем метод интервалов, то сначала нужно свести функцию к виду 
Для того чтобы решить неравенство методом интервалов, достаточно убедиться в том, что функция  непрерывная (это условие всегда выполняется для всех элементарных функций ), и использовать известную схему решения:
1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти нули функции 
3. Обозначить нули функции на ОДЗ и найти знак  в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства.
Когда ищем нули функции, можно следить за равносильностью выполненных (на ОДЗ) преобразований уравнения или использовать уравнения–следствия, а в конце выполнить проверку найденных корней.
Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учитывать, что все нули функции должны войти в ответ (в данном примере – число 8).
Чтобы найти знак функции  на каждом из полученных промежутков, достаточно сравнить величину дроби  с единицей в любой точке выбранного промежутка.
 

Понятие производной, её механический и геометрический смысл

1. Понятие приращения аргумента и приращения функции в точке  

Пусть   – произвольная точка, которая лежит в некоторой окрестности фиксированной точки с областью определения .
Приращение аргумента: 


Приращение функции:


 

2. Запись непрерывности функции через приращение аргумента и функции
 

Функция  будет непрерывной в точке  тогда и только тогда, когда малому изменению аргумента в точке соответствуют малые изменения значений функции, то есть функция  непрерывна в точке  при  

 

3. Задачи, которые  приводят к понятию производной

I. Мгновенная скорость движения точки вдоль прямой.

 — координата  точки в момент времени .
   

II. Касательная к графику функции.

Касательной к кривой в данной точке М называют предельное положение секущей MN


Если точка N приближается к точке M (двигаясь по графику функции  ), то величина угла NMT приближается к величине угла  наклона касательной MA к оси .
Поскольку , то 

4. Определение производной.

 

Производной функции  в точке   называют предел отношения приращения функции в точке  к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

 

5. Производные некоторых элементарных функций

(с — постоянная)





 

6. Геометрический смысл производной и уравнения касательной к графику функции 

    
 — угловой коэффициент касательной,  
 — уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .
 

Значение производной в точке  равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой и угловому коэффициенту касательной.
(Угол отсчитывают от положительного направления оси   против часовой стрелки.)

 

7. Механический смысл производной
 

Производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента.
— зависимость пройденного пути от времени.
 — скорость прямолинейного движения.
 — ускорение прямолинейного движения.
В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции, которую можно применять к самым разным физическим величинам.
Например, мгновенная скорость  неравномерного прямолинейного движения является производной от функции, которая выражает зависимость пройденного пути  от времени .

 

8. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
 

Если функция  дифференцируемая в точке , то она непрерывная в этой точке.
 

Если функция  дифференцируемая на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Понятие приращения аргумента и приращения функции

Часто нас интересует не значение какой-то величины, а ее приращение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины;  работа — это изменение энергии и т. д.

Приращение аргумента или функции традиционно обозначают большой буквой греческого алфавита  (дельта). Дадим определение приращения аргумента и приращения функции.

Пусть  — произвольная точка, которая лежит в некой окрестности фиксированной точки  с областью определения .
 

Разность  называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке  и обозначают  (читают: "дельта икс"):
          

Из этого равенства имеем:  то есть начальное значение аргумента   приобрело приращение .  Заметим, что при  значение   больше чем , а при — меньше чем  (рис. 2.1).

Тогда при переходе аргумента от точки  в точку  значение функции изменяется на величину .

Учитывая равенство , получим, что функция изменилась на величину (рис. 2.2), которую называют приращением функции  в точке , что соответствует приращению аргумента  (символ  читают: "дельта эф")
                                                                                                 

Из равенства имеем 

При фиксированном  приращение является функцией от приращения .
Если функция задана формулой , то   называют также приращением зависимой переменной   и обозначают через .

Например, если  , то приращение   соответствует приращению   и равно:


 

Запись непрерывности функции через приращение аргумента и функции

Вспомним, что функция  является непрерывной в точке  , если при   , то есть . Но если , то  то есть  (и наоборот, если , то , то есть  ), следовательно, условие  эквивалентно условию  . Аналогично, утверждение   эквивалентно условию  , то есть . Таким образов, функция  будет непрерывной в точке    тогда и только тогда, когда при , то есть малому изменению аргумента в точке   соответствуют малые изменения значений функции. Именно благодаря этому свойству графики непрерывных функций изображают непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом из промежутков, который целиком входит в область определения.

Задачи, которые приводят к понятию производной

I. Мгновенная скорость движения точки вдоль прямой. 

Рассмотрим задачу, известную из курса физики, — движение точки вдоль прямой. Пусть координата  точки в момент времени  равна . Как и в курсе физики, будем считать, что движение осуществляется непрерывно (как это мы наблюдаем в реальной жизни). Попробуем по известной зависимости   определить скорость, с которой двигается точка в момент времени  (так называемую мгновенную скорость). Рассмотрим отрезок времени от до  (рис. 2.3). Определим среднюю скорость на отрезке , как отношение пройденного пути к длительности движения  

Для того, чтобы определить мгновенную скорость точки в момент времени возьмем отрезок времени длинною , вычислим среднюю скорость на этом отрезке и начнем уменьшать отрезок  до нуля (то есть уменьшим отрезок  и приблизим   к  ). Ми заметим, что значение средней скорости при приближении  к нулю будет приближаться к определенному числу, которое и считают значением скорости в момент времени  . Другими словами, мгновенную скорость в момент времени  называют предел отношения   , если   
Рассмотрим, например, свободное падение тела. Из курса физики известно, что в этом случае зависимость пути от времени задают формулой:
                                           
1) Сначала найдем :

2) Найдем среднюю скорость:

3) Выясним, к какому числу стремится отношение   при  
Если , то , а поскольку величина   — постоянная, то  . Последнее число и является значение мгновенной скорости в точке . 
Мы получили известную из физики формулу   (тогда  ). Используя понятие предела, это можно записать так:
                              

 

II. Касательная к графику функции

Наглядное представление о касательной к кривой можно получить, изготовив кривую из плотного материала (например, из проволоки), и прикладывать к кривой линейку в выбранной точке (рис. 2.4). Если мы изобразим кривую на бумаге, а потом будем вырезать фигуру, ограниченную этой кривой, то ножницы также будут направленные по касательной к кривой.

Попробуем наглядное представление о касательной выразить точнее.
Пусть задана некая кривая и точка М на ней (рис. 2.5). Возьмем на этой кривой другую точку N и проведем прямую через точки M и N. Такую прямую обычно называют секущей.  Начнем приближать точку N к точке М. Положение касательной МN будет изменяться, но при приближении точки N к точке М начнет стабилизироваться.
Касательную к кривой в данной точке М называют предельным положением секущей .
Для того чтобы записать это определение с помощью формул, будем считать, что кривая — это график функции  , а точка  на графике задана координатами .
Касательная является некой прямой, которая проходит через точку  (рис. 2.6). Чтобы построить эту прямую, достаточно знать угол наклона касательной* к оси . (* Будем рассматривать не вертикальную касательную  .)
Пусть точка  (через которую проходит секущая ) имеет абсциссу  Если точка , двигаясь по графику функции , приближается к точке  (это будет при ), то величина угла  приближается к величине угла наклона касательной  к оси . Поскольку  , то при  значение  приближается к  то есть 

Фактически мы пришли к задаче, которую рассматривали при нахождении мгновенной скорости: тут необходимо найти предел отношения выражения   (где   — заданная функция) при  Полученное таким образом число называют производной функции  в точке 
Производной функции  в точке   называют предел отношения приращения функции в точке   к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производную функции  в точке  обозначают   (или ) и читают: "эф штрих в точке ".
Кратко определение производной функции можно записать так:
                                             
Учитывая определение приращения функции  в точке , что отвечает приращению , определение производной можно также записать в таком виде:
                                      
Функцию , которая имеет производную в точке  , называют дифференцируемой в этой точке. Если функция  имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операцию нахождения производной называют дифференцированием.
Для нахождения производной функции  по определению можно использовать следующую схему:
1. Найти приращение функции , которое соответствует приращению аргумента .
2. Найти отношение  .
3. Выяснить, к какому пределу стремится отношение  при . Это и будет производная заданной функции.

Производная некоторых элементарных функций

Аргументируем, используя представленную схему нахождения производной функции, формулы, приведенные в п. 5.
1. Вычислим производную функции  (то есть  ), где с — постоянная.
1.1. Найдем приращение функции, которое отвечает приращению аргумента 

1.2. Найдем отношение 
1.3. Поскольку отношение  постоянное и равно нулю, то и предел этого отношения при  также равен нулю. Следовательно,   то есть                                                               
2. Вычислим производную функции   (то есть ).
2.1. 
2.2.  
2.3. Поскольку отношение   постоянно и равно 1, то и предел этого отношения при  также равен единице. Следовательно,  , то есть  

3. Вычислим производную функции  (то есть ).
3.1. 
3.2. 
3.3. При  значение . Это означает, что  Тогда производная функции  в произвольной точке   равна 
Следовательно 
4. Вычислим производную функции  (то есть ).
4.1.
4.2. 
4.3. При  значение  . То есть  Это означает, что . Тогда производная функции в произвольной точке   из её области определения (при )  . Следовательно,                                              

5. Вычислим производную функции  (то есть ).
5.1.  Умножим и разделим полученное выражение на сумму  и запишем  так:

5.2. 
5.3. При  означает  Тогда  Это означает, что (естественно, при ). Тогда производная функции в произвольной точке  из области её определения, кроме (то есть при ),  Следовательно 

 

6. Геометрический смысл производной и уравнения касательной к графику функции 

Учитывая определение производной функции запишем результаты, полученные при рассмотрении касательной к графику функции.

Как было представлено выше, тангенс угла  наклона касательной в точке  с абсциссой  (рис. 2.7) вычисляют по формуле  С другой стороны,  Тогда 
Напомним, что в уравнении прямой угловой коэффициент равен тангенсу угла  наклона прямой к оси  Если   — угловой коэффициент касательной, то  Следовательно,
значение производной в точке  равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой  и равно угловому коэффициенту этой касательной (угол отсчитывают от положительного направления оси  против часовой стрелки).
Таким образом, если  — уравнение касательной к графику функции  в точке  с координатами  и  то 
Поскольку касательная проходит через точку  то её координаты удовлетворяют последнее уравнение, то есть  Отсюда находим  и уравнение касательной будет иметь следующий вид: 
Это уравнение касательной к графику функции. 
Его удобно записать в виде: 
Это уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

Замечание.  Угол  который образовывает невертикальная касательная к графику функции  в точке с абсциссой  с положительным направлением оси  может быть нулевым, острым или тупым. Учитывая геометрический смысл производной. получим, что в случае, когда  угол  будет острым, а в случае, когда  угол   будет тупым. Если то  (то есть касательная параллельна оси ). И наоборот, если касательная к графику функции  в точке с абсциссой образовывает с положительным направлением оси  острый угол  , то  если тупой угол — то  а если касательная параллельна оси , или совпадает с ней  то 
Если же касательная образовывает с осью  прямой угол  то функция  производной в точке  не имеет ( не существует).

 

Механический смысл производной

Записывая определение производной в точке  для функции 
                             ,
и сопоставляя полученный результат с понятием мгновенной скорости прямолинейного движения:
                         
можно сделать вывод, что производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента.
Кроме того, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции. Это может применяться к самым разным физическим величинам. Например, мгновенная скорость  неравномерного прямолинейного движения является производной от функции, которая выражает зависимость пройденного пути  от времени  а ускорение  — производной от функции, которая выражает зависимость скорости  от времени 
Если  зависимость пройденного пути от времени, то 
           скорость прямолинейного движения  
            ускорение прямолинейного движения.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Если функция  дифференцируемая в точке  то в этой точке существует ее производная то есть при   значение  
Для обоснования непрерывности функции   достаточно обосновать, что при  значение 
Действительно, при  получаем:   А это и означает, что функция   непрерывна.  Следовательно,
если функция  дифференцируемая в точке , то она непрерывная в это же точке.
Из этого утверждения следует:
если функция  дифференцируемая на промежутке (то есть в каждой из его точек), то она непрерывная на этом промежутке.
Заметим, что обратное утверждение неверное. Функция, непрерывная на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка.
Например, функция  (рис. 2.8). непрерывная при всех значения , но не имеет производной в точке  Действительно, если  и 
то 
Поэтому при  отношение  не имеет предела, а следовательно, и функция  не имеет производной в точке 0.
Замечание. Тот факт, что непрерывная функция  не имеет производной в точке  означает, что к графику этой функции в точке с абсциссой  нельзя провести касательную (или же соответствующая касательная перпендикулярна к оси ). График в этой точке может иметь перегиб (рис. 2.8), или может иметь более сложный вид*. (* В курсах математического анализа рассматривают примеры непрерывных функций, которые ни в одной из точек не имеют производной.)
Например, к графику непрерывной функции  (рис. 2.9) в точке   с абсциссой нельзя провести касательную (следовательно эта функция не имеет производной в точке 2). Действительно, по определению касательная — это предельное положение секущей. Если точка  приближается к точке  по левой части графика, то секущая   примет предельное положение . Если же точка  будет приближаться к точке   по правой части графика, то секущая  примет предельное положение  Но, это две разные прямые, таким образом, в точке  касательной к графику данной функции не существует.

Пример №415

Найдите тангенс угла  наклона касательной, проведенной к графику функции  в точке с абсциссой  к оси  если:

Решение.
1) По геометрическому смыслу производной  Учитывая, что  получим: 
Следовательно, 
2) Поскольку  то 
По геометрическому смыслу производной 
Следовательно 
Комментарий. 
По геометрическому смыслу производной где  — угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой  к оси  Поэтому для нахождения  достаточно найти производную функции  а потом значение производной в точке 
Для нахождения производных заданных функций, воспользуемся формулами соответствующих производных, приведенных в п. 5.
В дальнейшем, во время решения задач, мы будем использовать эти формулы, как табличные значения.

Пример №416

Используя формулу запишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 
Решение. 
Если  Тогда 
Подставляя эти значения в уравнение касательной 
получаем то есть искомое уравнение касательной.
Комментарий.  
Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде записывают так: 
Для того чтобы записать это уравнение заданной функции, необходимо найти значение  производную  и значение  Для вычисления удобно обозначить заданную функцию через  и использовать табличное значение производной: 
 

Правила вычисления производных

1. Производные некоторых элементарных функций.

2. Правила дифференцирования.



 

3. Производная сложной функции (функции от функции)

 

Правило дифференцирования

Используя определение производной, ранее были найдены производные некоторых элементарных функций:

Для нахождения производной в более сложных случаях целесообразно помнить о специальных правилах (правила дифференцирования), при помощи которых находят производные от суммы, произведения и частного тех функций, для которых мы уже знаем значения производных, и производную от сложной функции (функции от функции).
Аргументируем эти правила. Для сокращения записи используем следующие обозначения функций и их производных в точке 

Правило 1. Если функции   и дифференцируемые в точке , то их сумма дифференцируема в этой точке и 
Коротко говорят так: производная суммы равна сумме производных.
Для доказательства обозначим  и используем план нахождения  по определению производной в точке .
1) Приращение функции в точке :

*В обозначениях нижний индекс указывает, по какому аргументу берется производная.
2) 
3) Выясним, к какому пределу стремится отношение  при 
Поскольку функции  и  дифференцируемы в точке  то при   а  то есть 
Учитывая, что предел суммы равен сумме пределов слагаемых, получим, что при 
А это значит, что  то есть 
Следовательно: 
Правило 1 можно распространить на любое конечное количество слагаемых (для обоснования того, что эта формула верна для любого натурального, необходимо использовать метод математической индукции)
                    
Правило 2. Если функции  и дифференцируемы в точке , то их произведение дифференцируемо в этой точке и равно:
                                         
1) Обозначим  Сначала запишем приращение функции  и  в точке 

Из равенства получаем:
                                           
Учитывая равенства получим:

2) 
3) Поскольку функции   и дифференцируемы в точке , то при 
 а  то есть 
Поскольку функция  дифференцируема в точке , а следовательно, и непрерывна в этой точке, то при  по определению 
Учитывая, что предел суммы равен сумме пределов слагаемых (и постоянные множители   и  можно выносить за знак предела), получаем, что при 

А это и означает, что то есть 
Следовательно, 
Следствие (правило 3). Если функция  дифференцируема в точке , а постоянная, то функция  дифференцируема в этой точке и: 
Коротко говорят: 
постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Для доказательства используем правило 2 и известный нам факт, что 
                          
Правило 4. Если функции   и  дифференцируемы в точке  , и функция  не равна нулю в этой точке, то их частное  также дифференцируемое в точке  и:                               
Эту формулу можно получить аналогично производной произведения. Но можно и использовать более простые соображения, если принять без доказательства, что производная заданной функции частного существует. Обозначим функцию  через  Тогда  Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения: 
Выразим из этого равенства  а вместо  подставим его значение .
Получим: Следовательно: 

Используя правило нахождения производной произведения и формулу  аргументируем, что производная функции  при натуральном вычисляется по формуле:  
При  получаем:  Тот же результат дает и применение формулы (3):  
При  имеем:  Тот же результат дает использование формулы (3): 
Как видим, приведенные соображения позволяют, опираясь на предыдущий результат, обосновать формулу для следующего значения 
Допустим, что формула (3) используется для  то есть 
Покажем, что тогда формула (3) правильная и для следующего значения  Действительно: 
То есть, если формула (3) используется при  то она справедлива и для следующего значения  Но тогда формула (3) выполняется и для следующего значения  а следовательно и для   и так далее, для любого* натурального 
Можно аргументировать, что формула   будет правильной для любого действительного показателя (но только при тех значениях   при которых определена ее правая часть).
Например, если  или  то при эта формула так же верна. Действительно, если  то по формуле (3):
                                          
что совпадает со значениями производной функции и 1, полученных в п. 5.
Если   — целое неотрицательное число, то  где натуральное число. Тогда при  

* В приведенном обосновании фактически неявно использован метод математической индукции, который позволяет сделать вывод, что рассмотренное утверждение выполняется для любого натурального  (в данном случае при ).
То есть, формула (3) выполняется и для любого целого показателя степени.
Если  то при  имеем Как известно (при ).
Но по формуле (3): то есть формула (3) верна и при 
 

Производная сложной функции

Сложной функцией чаще всего называют функцию от функции. Если переменная   — функция от  а    в свою очередь, — функция от  то  — сложная функция от  то есть  
В таком случае говорят, что   является сложной функцией независимого аргумента   а  — её промежуточный аргумент.
Например, если то  — сложная функция, определена только при тех значениях   для которых то есть при (промежуточный аргумент ).

Правило 5. (производная сложной функции). Если функция  имеет производную в точке , а функция  — производную в точке  то сложная функция  так же имеет производную в точке , причем

Поскольку по условию функция  имеет производную в точке , то она является непрерывной в этой точке, и тогда малому изменению аргумента в точке  соответствует малое изменение значений функции, то есть при 
Из равенства  имеем 
Тогда: 
Дальнейшее доказательство проведем только для тех функций у которых  в некоторой окрестности точки . При  запишем  следующим образом:  
Учитывая, что при  а при получим, что при  (и, соответственно, при 
                                       
А это означает, что 
то есть 
Следовательно, производная сложной функции равна произведению производной данной функции  по промежуточному аргументу (обозначают ) на производную промежуточного аргумента  по независимому аргументу (обозначают )

Пример №417

Найдите производную функций:

Решение.
1) 
2) 
Учитывая, что 
имеем  
3)  Учитывая, что  имеем:

Комментарий. Вспомним, что алгебраическое выражение (или формулу, которая задает функцию) называют по результату последнего действия, которое необходимо выполнить при нахождении заданного выражения. Следовательно, в задании 1 сначала нужно найти производную суммы: 
в задании 2 — производную произведения: 
а в задании 3 — производную частного: 
В заданиях 1 и 2 следует использовать также формулу а в задании 2 также учитывайте, что при вычислении производной от постоянный множитель 2 можно вынести за знак производной. В задании 2 лучше сначала раскрыть скобки, а потом взять производную суммы.

 

Пример №418

Вычислить значение производной функции в заданных точках: 
Решение.



Ответ: 
Комментарий. Для нахождения значения производной в указанных точках достаточно найти производную данной функции и в полученное выражение подставить заданные значения аргумента. При вычислении производной необходимо учитывать, что данную разность можно рассматривать как алгебраическую сумму выражений  и  а при нахождении производной  за знак производной можно вынести постоянный множитель (-5). В результате фактически мы получаем разность производных функций  и 

 

Пример №419

Найдите производную функции  

Решение.
1) Учитывая, что получаем 

2) Учитывая, что  получаем 
Комментарий. В заданиях 1 и 2 необходимо найти производную степени и корня соответственно, но в основании степени и под знаком корня стоит не аргумент  а выражение с этим аргументом (тоже функция от ). Следовательно необходимо найти производные от сложной функции. Обозначая (на черновике или воображаемо) промежуточный аргумент через (для задания 1:  а для задания 2: по формуле записываем производные заданных функций с учетом формул  и
 

Производные элементарных функций

 

Формулы  (с — постоянная),  мы пояснили ранее.
Для обоснования формулы используем то, что при малых значениях значение (например, ). Тогда при  отношение  то есть                                                                                                                          (1)
Если то, используя формулы преобразования разности синусов в произведение и схему нахождения производной по определению, будем иметь:
1)  
2) 
3) При  Тогда  а учитывая равенство (1),  При  то есть 
Следовательно, производная функции  в произвольной точке :                                                                         
Учитывая, что по формулам приведения и используя правило нахождения производной сложной функции, получаем: 
Отсюда: 
Для нахождения производных  и  используем формулы:  и правило нахождения производной частного.

Следовательно: 
 

Пример №420

Найдите производную функции: 
Решение.
1)  
2)   

Комментарий. Последовательно определяем, от какого выражения необходимо взять производную (ориентируемся на результат последнего действия). В задании 1 сначала берут производную суммы:  Потом для каждого из слагаемых используют производную сложной функции: берут производную от и и умножают на  Полученный результат желательно упросить по формуле: 
В задании 2 сначала берут производную частного: а для производной знаменателя используют производную сложной функции (производную  умножают на )

 

Пример №421

Найдите все значения , при которых значение производной функции   1) равно нулю,   2) положительное,   3) отрицательное.
Решение.
Область определения заданной функции: то есть 

Область определения функции то есть производная  существует на всей области определения функции , кроме точки 
(не входит в область определения ).
На области определения  решим неравенство методом интервалов (рис. 4.1).

Ответ:  1) таких значений  , при которых не существует.
2)  
3)  

Комментарий. Производная функции может существовать только в тех точках, которые входят в ее область определения. Поэтому сначала целесообразно найти область определения заданной функции.
Производная функции сама является функцией от , и поэтому для решения неравенств можно использовать метод интервалов. После нахождения ОДЗ этого неравенства необходимо сравнить ее с область определения функции и продолжать решать неравенства на их общей части. Следовательно, неравенства всегда решаются на общей части области определения функции  и  Для решения соответствующих неравенств достаточно на общей области определения функции  и  отметить нули  и найти знак  на каждом из промежутков, на которые разбивается эта общая область определения.

 

Пример №422

Найдите уравнение касательной к графику функции 
в точке 

Решение.
Если то 

Тогда  Подставляя эти значения в уравнение касательной получим  то есть искомое уравнение касательной.

Комментарий.  Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде записывают так:    
Чтобы записать это уравнение для заданной функции, необходимо найти   производную  и значение  Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через  а для нахождения ее производной — использовать формулу производной произведения:
                                                           
 

Применение производной к исследованию функции

Применение производной для нахождению промежутков возрастания и убывания, а так же экстремумов функции



*Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называют также стационарными точками.


* Имеется в виду переход через точку  при движении слева направо.
** Знаком  обозначают возрастание функции, а знаком  — ее убывание на соответствующем промежутке.

Монотонность постоянной функции. Критические точки функции

Производная является важным инструментом исследования функции, в частности, на монотонность (то есть возрастание и убывание).
Напомним, что функцию  называют возрастающей на множестве  если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции, то есть для любых  и  из этого множества при условии  следует, что 
Функцию   называют убывающей на множестве  если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции, то есть для любых  и из этого множества при условии  следует, что 
Как видно на рис. 5.1, а, в каждой точке графика возрастающей функции, касательная образует с положительным направление оси  или острый угол (тогда  или угол, который равен нулю 
В каждой точке графика убывающей функции (рис. 5.1,б) касательная образует с положительным направление оси  или тупой угол или угол, который равен нулю 

Следовательно, если на каком-то интервале функция  дифференцируемая и возрастает, то  на этом интервале; если на каком-то интервале функция  дифференцируемая и убывает, то   на этом интервале.
Но для решения задач на исследование свойств функций важными являются обратные утверждения, которые позволяют по знаку производной определить характер монотонности функции.
Для обоснования соответствующих утверждений воспользуемся так называемой формулой Лагранжа. Ее строгое доказательство приводится в курсах математического анализа, мы ограничимся только ее геометрической иллюстрацией и формулировкой.
Пусть функция  непрерывная на отрезке  и дифференцируемая во всех точках интервала  Тогда на этом интервале найдется такая точка  такая, что касательная  к графику функции  в точке с абсциссой   будет параллельна секущей , которая проходит через точки 
(рис. 5.2).

Действительно, рассмотрим все возможные прямые, которые параллельны секущей  и имеют с графиком функции  на интервале  хотя бы одну общую точку. Прямая, которая лежит на наибольшем расстоянии от секущей , и будет касательной к графику функции  (это предельное положение секущей, параллельной ). Если обозначить абсциссу точки касания через  с, то, учитывая геометрический смысл производной, получим  где  — угол между прямой и положительным направлением оси  Но поэтому угол  равен углу наклона секущей  к оси  Этот угол, в свою очередь, равен углу А прямоугольного треугольника  с катетами:  Тогда 
Таким образом, можно сделать вывод: 
если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех точках интервала , то на интервале  найдется такая точка что
Эту формулу называют формулой Лагранжа. Применим ее для обоснования достаточных условий возрастания и убывания функции.

1. Если в каждой точке интервала  то функция возрастает на этом интервале.
2. Если  в каждой точке интервала  то функция убывает на этом интервале.

Возьмем две произвольные точки из заданного интервала. По формуле Лагранжа существует число  такое, что: 
Число с принадлежит заданному интервалу, поскольку ему принадлежат числа   Пусть  Тогда 
Если  в каждой точке заданного интервала, то и из равенства (1) получаем, что  то есть Это значит, что функция   возрастает на заданном интервале. 
Если  в каждой точке заданного интервала, то  и из равенства (1) имеем, что  то есть А это значит, что функция   убывает на заданном интервале.

Пример 1.  Функция  определена на всем множестве действительных чисел  и имеет производную  при всех значениях  Следовательно, эта функция возрастает на всей области определения.
 

Пример 2. Функция  определена на всем множестве действительных чисел  и имеет производную  Поскольку то  при всех значениях  Следовательно, эта функция убывает на всей области определения.
 

Рассматривая степенную функцию в классе, мы без доказательства определили, что при  функция   где  — не целое число, возрастает при  и убывает при  Обоснуем это. Действительно, Тогда при  и   значение  следовательно, функция  возрастает. При  и  значение  то есть функция убывает.
Достаточные признаки возрастания и убывания функции имеют наглядную физическую иллюстрацию. Пусть на оси ординат движется материальная точка, которая в момент времени  имеет ординату  Учитывая физический смысл производной, получим, что скорость этой точки в момент времени равна  Если  то точка движется в положительном направлении оси ординат, с увеличением времени ордината точки увеличивается, то есть функция возрастает. Если же  то точка движется в отрицательном направлении оси ординат,  и с увеличением времени ордината точки уменьшается: функция убывает.
В таком случае, когда  скорость точки равна нулю, то есть точка не двигается, и поэтому ее ордината остается постоянной. Получаем условие постоянства функции.

Функция — постоянная на интервале  тогда и только тогда, когда  во всех точка этого интервала.

Действительно, если , где постоянная), то 
Наоборот, если  во всех точках интервала  то зафиксируем некое число  из этого интервала и найдем значение функции в точке  (пусть). Для любого числа  из заданного интервала по формуле Лагранжа можно найти число с, которое находится между   и , такое, что: 
Тогда 
Поскольку  то по условию  Следовательно,  Таким образом, для всех  из заданного интервала  то есть функция  —постоянная.
В случае, когда функция  непрерывная на отрезке  и  во всех точках интервала то при приближении значения к точке , справа значение  Но тогда и  (аналогично, приближая значение  к точке  слева, объясняют, что  Следовательно, функция  — постоянная на отрезке .
Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо решить неравенство  на области определения функции 
Поскольку является функцией от переменной  то для решения этих неравенств можно использовать метод интервалов, точнее, его обобщение, которое отталкивается от теоремы Дарбу*:
точки, в которых производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции  на промежутки, в каждом из которых  сохраняет постоянный знак.
Внутренние** точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
Исходя из плана решения неравенств методом интервалов, получим, что промежутки возрастания и убывании функции   можно находить по схеме:

1. Найти область определения функции .
2. Найти производную .
3. Выяснить, в каких внутренних точках области определения функции производная  равна нулю или не существует (то есть найти критические точки этой функции).
4. Обозначить найденные точки на область определения функции  и найти знак  на каждом промежутке, на какие разбивается область определения функции (знак можно определить, вычислив значение  в любой точке промежутка).

Пример №423

Исследуйте функцию  на возрастание и убывание.
Решение.
1. Область определения функции — все действительные числа 
2. Производная 
3. Производная существует на всей области определения функции, и  если то есть при  или 
4. Решаем неравенство на области определения функции  методом интервалов. Для этого отмечаем точки 1 и  (–1) на области определения функции  и находим знак в каждом из полученных промежутков (рис. 5.3).
Учитывая достаточные условия возрастания и убывания функции, получаем, что в тех интервалах, где производная положительная, функция  возрастает, а в тех, где отрицательная,  убывает.

Следовательно, функция  возрастает на каждом из интервалов  и   и убывает на интервале 
График функции  изображен на рис. 5.4. При построении графика учтено, что  Из графика видно, что функция  возрастает не только на интервалах  и  но и на промежутках  и и убывает не только на интервале  но и на отрезке 

Оказывается, что всегда, когда функция  непрерывная в любом из концов промежутка возрастания (убывания), то его можно присоединить к этому промежутку (как точку –1 и 1 в предыдущем примере).
Принимаем это утверждение без доказательства.

* Жан Гастон Дарбу (1842-1917) — французский математик, который внес значительный вклад в развитие дифференциальной геометрии, интегрального исчисления и механики.
** Внутренней точкой множества называют такую точку, которая принадлежит этому множеству вместе со своей окрестностью.

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

На рис. 5.4 изображен график функции  Рассмотрим окрестность точки то есть произвольный интервал, который содержит точку –1 (например  окрестность этой точки). Как видно из рисунка, существует такая окрестность точки   что наибольшее значения для точек из этой окрестности функция приобретает в точке  Например, на интервале наибольшее значение, которое равно 2, функция достигает в точке  Эту точку называют точкой максимума этой функции и обозначают  а значение функции в этой точке  называют максимумом функции (от латинского  — максимум, что означает "наибольшее").
Аналогично, точку  называют точкой минимума функции , поскольку значение функции в этой точке меньше, чем любое ее значение в некой окрестности точки 1, например окрестности Обозначают точку минимума а значение функции в этой точке  называют минимумом функции (— минимум — в переводе с латинского означает "наименьший").
Точки максимум и минимум функции еще называют точками экстремума, а значит функции в этих точках называют экстремумами функции (от латинского слова — экстремум, что означает "крайний"). Приведем определение точек максимума и минимума.
 

Точку  области определения функции  называют точкой максимума этой функции, если найдется окрестность  точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство 
 

Точку области определения функции  называют точкой минимума этой функции, если найдется окрестность  точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство 
 

По определению, в точке максимума  значение функции  является наибольшим  среди значений функции в некоторой окрестности этой точки. Из-за этого предел функции  в окрестности чаще всего имеет вид гладкого "горба" (рис. 5.5, а), но может иметь вид и заостренной "пики" (рис. 5.5, б), или даже изолированной точки (очевидно, что в этом случае функция не будет непрерывной в точке) (рис. 5.5, в).


Аналогично, значение функции  в точке минимума является наименьшим среди значений функции в некоторой окрестности точки. График функции  в окрестности чаще всего имеет вид "впадины", так же гладкой (рис. 5.6, а), или заостренной (рис. 5.6, б), или даже изолированной точки (рис. 5.6, в).

Замечание.
По определению, точки экстремума — это такие точки, в которых функция приобретает наибольшее или наименьшее значение, в сравнении с значениями этой функции в точках некой окрестности экстремальной точки. Такой экстремум обычно называют локальным экстремумом (от латинского  означает "местный"). Например на рис. 5.4 изображен график функции у которой локальный максимум в точке  и локальный минимум в точке а на всей области определения нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

 

Необходимое и достаточное условие экстремума

При исследовании функции и построения ее графика важное значение имеет нахождение точек экстремумов функции. Покажем, что точками экстремумов могут быть только критические точки функции,  то есть внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.

 

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума).
Если  является точкой экстремума функции , и в точке существует производная  то она равна нулю: 
 

Докажем это утверждение методом от противного. Пусть  является точкой экстремума функции , и в точке существует производная  Допустим, что 
Рассмотрим случай, когда  По определению производной, при  (то есть при ) отношение стремится к положительному числу  следовательно, и само отношение будет положительным при всех  достаточно близких к . Для таких 
                                
Тогда при  получаем, что  и точка  не может быть точкой максимума.
При  и точка  не может быть точкой минимума, то есть точкой экстремума, что противоречит условию.
Аналогично рассматривается случай, когда  Следовательно, наше предположение неправильное, и 
Теорема Ферма дает лишь необходимое условие для экстремума: то, что  не обязательно означает, что в точке  функция имеет экстремум. Например, если  то  Но точка  не является точкой экстремума, поскольку функция   возрастает на всей числовой прямой (рис. 5.7).


Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции  в точке с абсциссой  (где  — точка экстремума функции) параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней) и поэтому её угловой коэффициент  равен нулю (рис. 5.8). В точке с абсциссой  к графику функции  также можно провести касательную: поскольку  то этой касательной является ось  Но графики функции, приведенные на рис. 5.7 и 5.8, по разному расположены относительно касательных. На рис. 5.8, где  и — точки экстремума, можно указать окрестности этих точек, для которых соответствующие точки графика располагаются по одну сторону от касательной, а на рис. 5.7 график функции  при переходе аргумента через точку   (в которой производная равна нулю,  но точка не является точкой экстремума) переходит с одной стороны касательной на другую. В этом случае точку  называют точкой перегиба* функции.
Функция может иметь экстремум и в той критической точке, в которой не существует производной заданной функции. Например, функция  не имеет производной в точке , но,  как видно из ее графика (рис. 5.9), именно в этой точке функция имеет минимум.
Однако не каждая критическая точка,  в которой не существует производной заданной функции, будет точкой экстремума этой функции. Например, рассматривая функцию  замечаем, что она не имеет производной в точке  график имеет перегиб при  (рис. 5.10). Действительно, если предположить, что функция  имеет производную в точке 0, то функция  также должна иметь производную в точке 0. Но  а функция  не имеет производной в точке 0, то есть мы пришли к противоречию. Следовательно, функция  в точке 0 производной не имеет. Но, как видно на рис. 5.10, функция возрастает на всей числовой прямой и экстремума не имеет.

Приведенные рассуждения и примеры показывают, что для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее критические точки. Но чтобы выяснить, является ли соответствующая критическая точка точкой экстремума, необходимо провести дополнительное исследование. При этом часто помогают достаточные условия существования экстремума в точке.

* В точках перегиба производная может приобретать разные значения — главное, чтобы в этой точке кривая переходила с одной стороны касательной на другую. 

Теорема 1. (признак максимума функции) 
Если функция   непрерывная в точке , и при переходе через точку  ее производная меняет знак с "плюса" на "минус" (то есть в некоторой
окрестности  точки  при  значение  а при  значение  то точка  является точкой максимума функции .
 

Рассмотрим заданную окрестность точки , то есть интервал 
По условию производная на интервале  (при ). Следовательно, функция  возрастает на этом интервале, а из-за того, что  непрерывная в точке , то она возрастает и на промежутке  Тогда для всех   интервала  имеем  таким образом, 
Аналогично по условию производная  на интервале  (при ). Отсюда вытекает, что функция  убывает на этом интервале, а поскольку  непрерывная в точке , то она убывает и на промежутке  Тогда для всех  интервала  имеем следовательно,  Таким образом,  для всех  с некоторой окрестности точки , а это значит, что точка  является точкой максимума функции .
 

Теорема 2. (признак минимума функции)
Если функция   непрерывная в точке , и при переходе через точку  ее производная меняет знак с "минуса" на "плюс" (то есть в некоторой
окрестности  точки  при  значение  а при  значение  то точка  является точкой минимума функции .

Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы 1. 

Теоремы 1 и 2 дают возможность сделать следующий вывод: если функция  непрерывная в точке , и производная  меняет знак при переходе через точке , то  — точка экстремума функции .
Если же функция  непрерывная в точке , а ее производная  не меняет знак при переходе через точку , то точка  не может быть точкой экстремума функции.

Действительно, если, например,  на интервале  и на интервале  то функция возрастает на каждом из этих интервалов. Учитывая ее непрерывность в точке  (см. доказательство теоремы 1), получаем, что для всех   верно неравенство  Это значит, что на всем промежутке  функция возрастает, и точка не является экстремумом. Аналогично рассматривается и случай, когда  на рассмотренных интервалах.

Замечание. Приведенные объяснения позволяют уточнить условия возрастания и убывания функции.
 

• Если  в каждой точке интервала  (причем уравнение  имеет только конечное множество корней), то функция   возрастает на этом интервале.
• Если  в каждой точке интервала  (причем уравнение  имеет только конечное множество корней), то функция   убывает на этом интервале.

Для практического исследования функции на экстремумы можно использовать уточненный вариант схемы:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную 
3. Найти критические точки (внутренние точки области определения, в которых  или не существует).
4. Обозначить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или минимума, и не есть ли она точкой экстремума.

Пример №424

Функция  определена на промежутке  На рис. 5.11 изображен график ее производной.

1. Укажите промежутки возрастания и убывания функции 
2. Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, какие — точками минимума, а какие — точками экстремума.

Решение.
1) По графику имеем, что  на промежутке и  следовательно,  возрастает на этих промежутках. Аналогично,  на промежутках и  следовательно  убывает на этих промежутках. Поскольку в точках –4, 2 и 6 существует производная  то функция  непрерывная в этих точках, и поэтому ее можно включить в промежутки возрастания и убывания функции.
Ответ:   возрастает на промежутках  и  и убывает на промежутках  и
2) Производная  существует на всей области определения функции  и равна нулю в точках –4, 2 и 6. Это внутренние точки области определения, следовательно, критическими точками будут только точки –4, 2 и 6.
Поскольку производная существует на всей области определения функции, то функция непрерывная в каждой точке области определения. В точках –4 и 6 производная меняет знак с "–" на "+", следовательно, это точка минимума.  В точке 2 производная меняет знак с "+" на "–", следовательно, это точка максимума.
Ответ:  

Комментарий.  
1) Как известно, на тех промежутках, где производная функции положительная, функция возрастает, а на тех, где производная отрицательная, — убывает. Поэтому по графику производной определим промежутки, в каких производная положительная,  а в каких — отрицательная. Это и будут промежутки возрастания и убывания функции.
2) Критические точки — это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. По графику видим, что производная  существует на всей заданной области определения. Следовательно критическим точками будут только те значения  при которых производная равна нулю. Для определения того, является ли критическая точка экстремумом, используем достаточное условие экстремума: если в критической точке функция непрерывная, и ее производная меняет знак с "+" на "–", то эта критическая точка является точкой максимума, а если с "–" на "+", то точка минимума.

 

Пример №425

Для функции  найти промежутки монотонности, точки экстремума и значения функции в точках экстремума.

Решение.
1) Область определения  то есть 
2)
3) Производная существует на всей области определения функции  Тогда следовательно,  то есть  и  —критические точки.
4) Отмечаем критические точки на области определения функции  и находим знак  на каждом из полученных промежутков (рис. 5.12). Получается, что функция  возрастает на промежутках  и , а убывает на промежутках  и 
В точке –5 производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума; в точке 5 производная меняет знак с минуса на плюс, – это точка минимума: Тогда

                           
Комментарий.
Исследовать функцию на монотонность и экстремумы можно при помощи схемы:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную 
3. Найти критические точки (внутренние точки области определения, в которых  равна нулю, или не существует).
4. Обозначить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или минимума, и не есть ли она точкой экстремума.

Функция непрерывная в каждой точке области определения (она дифференцируема в каждой точке области определения) и поэтому, при записи промежутков возрастания и убывания функции, критические точки можно включить в эти промежутки.  Чтобы выяснить, является ли критическая точка точкой экстремума, используем достаточные условия экстремума.

Замечание.
Результаты исследования функции на монотонность и экстремумы удобно фиксировать не только в виде схемы (как на рис. 5.12), а и в виде специальной таблицы:


 

Пример №426

Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции: 

Комментарий. 
В задании 1 используем определение модуля и найдем производную при  и при  Чтобы выяснить, существует ли производная  при попробуем найти значения  по обеим формулам (см. решение) и сравним их*. Чтобы найти точки, в которых приравняем к нулю значения производной  при  и при  и учтем соответствующие ограничения для  
В задании 2 учтем, что уравнение  — это тригонометрическое уравнение, которое имеет бесконечное множество корней, то есть функция  имеет бесконечное количество критических точек. Из-за этого обозначить все критические точки на области определения функции (как это предложено по схеме исследования функции) мы не можем. В таком случае можно использовать достаточные условия возрастания и убывания функции (решить неравенство  и  или если функция  — периодическая, провести исследование поведения функции  на одном периоде, а потом повторить результат через период. В случае, когда  определена на всем периоде, и мы знаем промежутки, где справедливо неравенство то в точках, где выполняется равенство для всех оставшихся точек периода обязательно будет справедливо неравенство 

Решение.  
1) Область определения:  Запишем данную функцию в виде:
                           

* Фактически мы будем сравнивать значение так называемых односторонних производных функции  в точке (–1). Эти производные означают то же самое, что и пределы функции.

Тогда 
Производная  не существует в точке  поскольку значениявычисленные по формулам (1) и (2), разные  следовательно, х = –1 —критическая точка функции . Значение , полученное по формуле (2), не может равняться нулю Для формулы (1) получим то есть  и но, учитывая условие получим, что только  — критическая точка. Следовательно, функция  имеет две критические точки: 2 и –1.
Отмечаем критические точки на области определения функции  и находим знак  на каждом из промежутков (рис. 5.13). Получаем, что функция  возрастает на промежутках  и  и убывает на промежутке  В точке производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, эта точка максимума. В точке 2 производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума. Тогда 

2) Область определения: Производная: 
Критические точки: производная  существует на всей области определения функции  следовательно, критическими точками будут все значения  для которых  Тогда  или  Следовательно,  или  (Значение дает также формула  (при , поэтому все критические точки можно задать формулой  Функция возрастает в тех точках ее области определения, где  Имеем:

Первая из этих систем не имеет решений (  не может быть больше 1), вторая — имеет решения (рис. 5.14): 
Производная  является периодической функцией (относительно переменной  с периодом  (это общий период для функции  и  На периоде неравенство  выполняется на промежутке  а равенство  в точках  то есть в точках 0,  и  Тогда неравенство  выполняется на промежутке  а из-за того, что производная  периодическая, то и на всех промежутках 

                                         
Учитывая условия возрастания и убывания функции  и то, что она непрерывная на всей числовой прямой (дифференцируемая во всех точках), получаем, что функция  возрастает на каждом из промежутков  и убывает на каждом из промежутков 
Поскольку производная  является периодической функцией с периодом  то через промежуток времени длинной  знаки производной  повторяются (рис. 5.15).
В точке 0 производная  меняет знак с плюса на минус, следовательно  точка максимума. Учитывая, что поведение  повторяется через  имеем  Тогда 
В точке  производная  меняет знак с минуса на плюс, следовательно,  точка минимума, а учитывая, что поведение  повторяется через  имеем  
Тогда 
                                 
 

Общая схема исследования функции для построения ее графика

* В этом случае говорят, что — вертикальная асимптота графика функции  
** В этом случае говорят, что — наклонная асимптота графика функции

Для построения графика функции (особенно если идет речь о построении графика неизвестных функций) целесообразно использовать схему исследования тех свойств функции, которые помогают составить определенное представление о виде ее графика. Если такое представление составлено, то можно строить график функции по найденным характерным точкам. Фактически мы будем использовать схему исследования функции только для исследования функции на возрастание и убывание, а также экстремумы функции, используем производную.
Следовательно, для построения графика функции, ее можно исследовать по схеме:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность или нечетность и на периодичность.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат.
4. Найти производную и критические точки функции.
5. Найти промежутки возрастания убывания и точки экстремума (и значения функции в этих точках).
6. Исследовать поведение функции на концах промежутков области определения.
7. Если необходимо, найти координаты дополнительных точек.
8. На основании проведенного исследования построить график функции.

Эта схема является приблизительной, поэтому не всегда её нужно полностью выполнять. Например, не всегда можно точно найти точки пересечения графика с осью даже если мы знаем, что такие точки существуют. Так же бывает сложно исследовать поведение функции на концах промежутках области определения. В таком случае поведение графика функций можно уточнить, найдя координаты точек, абсциссы которых выбирают так, чтобы они приближались к концам промежутков области определения. Охарактеризуем особенности выполнения каждого из указанных этапов исследования функции, и особенности, которые необходимо учитывать при получении результатов во время построения графика функции. 

1) Во-первых, нужно выяснить и записать область определения функции. Если нет специальных ограничений, то функцию считают заданной при всех значениях аргумента, при которых существуют все выражения, входящие в запись функции.  

После нахождения области определения функции, часто бывает полезным отметить её на оси абсцисс. Если область определения — вся числовая прямая, то никаких отметок можно не выполнять. Если эта область — промежуток числовой прямой, то полезно провести вертикальные прямые через его концы. Эти прямые ограничивают полосу, на которой будет размещен график функции. Если отдельные точки не входят в область определения функции, то целесообразно отметить их на оси абсцисс и провести через них вертикальные прямые (который не будут пересекать график функции).

 

Виды функций и ограничения, которые учитывают при нахождении области определения функции*:
1)  знаменатель дроби не равен нулю.

2) Под знаком корня четной степени может стоять только неотрицательное выражение.

3)   Под знаком тангенса может стоять только выражение, которое не равно , где  — целое число.
4)  Под знаком котангенса может стоять лишь выражение, которое не равно , где  — целое число.
5)  Под знаком арксинуса и арккосинуса может стоять лишь выражение, модуль которого меньше или равен единице.
6) 
 — целое натуральное число, тогда  — любое число.
 — целое отрицательное число или ноль, 
 — положительное нецелое число, 
 — отрицательное нецелое число

2) Если выяснится, что заданная функция является четной (или нечетной), то можно исследовать ее свойства и построить график только при  а потом отобразить его симметрично относительно оси (для нечетной функции — симметрично относительно начала координат). Если же функция периодичная, то достаточно построить ее график на одном отрезке длиной а потом повторить его на каждом из промежутков длиною   то есть параллельно перенести график вдоль оси  на где  — целое число.

* Записывая эти ограничения, принимаем, что функции  и  определены на рассмотренном множестве.
 

Для обоснования четности функции достаточно проверить, что для всех  из ее области определения верно равенство f(x) = f(–x),  для нечетности — проверить выполнение равенства а для периодичности — равенство  где 
 

3) Чтобы найти точки пересечения графика с осями координат, учтем, что на оси   значение  (тогда естественно, если это значение существует). На оси  значение  и поэтому, чтобы найти соответствующие значения  приравняем заданную функцию к нулю и найдем корни полученного уравнения (если это уравнение удастся решить).
 

4) Дальше полезно найти производную и критические точки функции —внутренние точки ее области определения, в которых производная заданной функции равно нулю или не существует. На всех промежутках, где существует производная заданной функции, эта функция является непрерывной, и ее график на каждом из промежутков будет неразрывной линией.
 

5) Используя производную и критические точки функции, найдем промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции (и значения функции в этих точка). Для этого целесообразно отметить критические точки функции на ее области определения и найти знаки производной в каждом из промежутков, на которые разбивается область определения. Вывод о возрастании или убывании функции на промежутке между критическими точками часто можно сделать, сравнив значения функции на концах этого промежутка (вместо нахождения знака производной). 

Результат этого исследования можно оформить в виде таблицы:
                                          

После нахождения значения функции в каждой критической точке , строим соответствующие точки на координатной плоскости, учитывая поведение графика функции в окрестности точки  .

При изображении графика функции в окрестности точки учтен геометрический смысл производной: если то в точке с абсциссой  к графику функции можно провести касательную, параллельную оси
Если же значение  не существует, то в точке с абсциссой  график будет иметь залом (или касательную к графику функции в этой точке нельзя провести, или касательная перпендикулярная 

 

6) Для того чтобы лучше представить вид графика функции, целесообразно исследовать поведение функции на концах области определения. При этом следует рассмотреть несколько случаев:

а) Возле точки которая ограничивает промежуток области определения, значение функции стремится к бесконечности. Например, в функции область определения — то есть  и если значение стремится к нулю, то значение стремится к бесконечности (рис. 5.19). Через точку  уже проведена вертикальная прямая. Возле точки  график функции стремится вверх или вниз, приближаясь к этой прямой. Ее называют вертикальной асимптотой графика функции. Чтобы определить, вверх или вниз стремится график функции, достаточно определить знак функции слева и справа от точки  Характерные случаи изображены на рис. 5.20, 5.21.



б) Если предельная точка входит в область определения функции, то необходимо найти значение функции в точке  и построить полученную точку. Типичный пример — точка для функции (рис. 5.22).


в) К области определения функции принадлежит бесконечный промежуток (или вся числовая прямая, или промежутки  или В этом случае полезно представить себе поведение графика функции при  или  Например, для функции при  значения остаются положительными (это можно записать так при  значения остаются отрицательными (нельзя записать так  В этом случае говорят, что прямая  — горизонтальная асимптота графика функции (рис. 5.19).
Иногда при  или при  можно выделить наклонную прямую, к которой неограниченно приближается график функции, — так называемую  наклонную асимптоту, которая также позволяет лучше представить поведение графика функции.

7) Если после указанного исследования еще нужно уточнять поведение графика функции (например, в том случае, если на каком-то бесконечном промежутке области определения функция возрастает от  до  то следует найти координаты дополнительных точек графика, взяв произвольное значение аргумента из нужного промежутка.

* Прямую,  к которой неограниченно приближается кривая при отдалении ее в бесконечность, называют асимптотой этой кривой.

 

Пример №427

Постройте график функции 
Решение.
1. Область определения: 
2. Функция не является четной или нечетной, поскольку
  и ()
3. Точка пересечения графика с осью 
4. Производная и критические точки,  Производная существует на всей области определения функции . Тогда следовательно, то есть  и  — критические точки.
5. Отмечаем критические точки на области определения функции  и находим знак  на каждом из полученных промежутков (рис. 5.23).
                                              
Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания и убывания, а также экстремумы функции:
                                   
6. Находим значение функции в нескольких точках:


7. Используя результаты исследования, строим график функции 
                                            
Комментарий.
Используем общую схему исследовании функции. При нахождении области определения учитываем, что никаких ограничений нет, следовательно, область определения — все множество действительных чисел (можно также использовать утверждение, что область определения многочлена — все действительные числа).
Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью  необходимо приравнять функцию к нулю и решить уравнение    Мы не может найти корни этого уравнения, поэтому в процесс решения включено только нахождение точек пересечения с осью
После нахождения производной функции, ее критических точек и знаков производной в каждом из промежутков, на которые критические точки делят область определения функции, нахождение промежутков возрастания и убывания и экстремумов функции удобно делать, используя таблицу. Заметим, что функция непрерывная на всей числовой прямой, поскольку она дифференцируема в каждой точке ее области определения, следовательно, ее график — неразрывная линия.
Для того чтобы уточнить вид графика, целесообразно найти координаты нескольких дополнительных точек.
После построение графика функции можно сделать вывод, что график имеет единственную точку пересечения с осью  Эта точка размещена между точками  и  поскольку функция  непрерывная, на промежутке  возрастает и в точке  приобретает отрицательное значение, а в точке  х = 3 положительное.
Других точек пересечения с осью  быть не может, так как на промежутке  функция  возрастает от  до –1, а на промежутке  убывает от –1 до –5, то есть значения функции на этих промежутках отрицательные.

Замечание.
Мы построили график функции, не выполняя исследования ее поведения на концах промежутков области определения. Рассмотрим, как это можно сделать. Область определения заданной функции — промежуток  Чтобы исследовать поведение функции на концах промежутков области определения, необходимо выяснить, куда стремится функция при  Для этого в многочлене достаточно вынести за скобки наивысшую степень переменной (это всегда можно сделать, потому что когда значение  большое по модулю, то ). Тогда при   имеем  Поскольку при  значения    и  то  Следовательно,  будет стремиться к тому же значению, что и . Но при  значение  тогда и  а при  значение  то есть и Учитывая непрерывность функции , получаем, что она может приобретать все значения из промежутка 
Приведенные рассуждения можно использовать для любой функции — многочлена нечетной степени. Тогда при построении графика многочленов четной степени полезно помнить, что многочлен нечетной степени принимает все значения из промежутка  и при больших по модулю значениях аргумента поведение многочлена аналогично поведению степенной функции — его старшего члена.

Пример №428

1) Постройте график функции 
2*) Сколько корней имеет уравнение , в зависимости от значения параметра   

Комментарий.
Для того чтобы решить задание 1, исследуем функцию  по общей схеме и по результатам исследования строим ее график. Для нахождения точек пересечения графика с осью  приравняем функцию к нулю и решим полученное биквадратное уравнение. При построении графика также учтем, что при  значение 
Как видим, при больших по модулю значениях аргумента, поведение многочлена четной степени также будет аналогично поведению степенной функции — его старшего члена.
При решении задания 2 можно пользоваться таким ориентиром:  если в задании с параметрами идет речь о количестве решений уравнения (неравенства или системы), то для анализа заданной ситуации удобно использовать графическую иллюстрацию решения.
Особенно легко это, когда заданное уравнение можно представить в виде поскольку график функции — это прямая, параллельная оси  (которая пересекает ось  в точке  а график функции  легко построить, исследовав функцию  при помощи производной. (Обратим внимание, что при замене заданного уравнения уравнением  необходимо следить за равносильностью преобразований, чтобы полученное уравнение имело те же корни, что и заданное, тогда и количество корней у них будет одинаковое.)
Для того чтобы определить, сколько корней имеет уравнение достаточно найти, сколько точек пересечения графика функции  с прямой  при разных значениях параметра  (Для этого на отдельном рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.)

Решение.
1) Исследуем функцию 
1. Область определения: 
2. Функция четная, поскольку для всех значений  из ее области определения 
Следовательно, график функции симметричен относительно оси 
3. Точка пересечения графика с осью 
    Точка пересечения графика с осью  Заменим , тогда
 Получаем:  (корней нет), или  Отсюда  и  — абсциссы точек пересечения графика с осью 
4. Производная и критические точки.  Производная существует на всей области определения функции  (следовательно, функция непрерывная на всей числовой прямой).
 Тогда следовательно,  и  — критические точки.
5. Отмечаем критические точки на области определения функции  и находим знак  на каждом из полученных промежутков (рис. 5.25). Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания и убывания, а также экстремумы функции:

                                            
6. Используя результаты исследования, строим график* функции (рис. 5.26).
                                        
2) Отмечаем, что заданное уравнение равносильно уравнению  Решим последнее уравнение графически. Для этого построим график функции  и график функции  (рис. 5.27). Как видим, при  уравнение не имеет корней (нет точек пересечения графиков), при  и при  уравнение имеет два корня (графики имеют две общие точки), при  уравнение имеет три корня (графики имеют три общие точки) и при  уравнение имеет четыре корня (графики пресекаются в четырех точках).
                                         

 

Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывность на отрезке

Свойства:

Если функция непрерывная на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она достигает наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке, или в критических точках, которые принадлежат этому отрезку или лежат на концах отрезка.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на интервале

Свойство 1. 
Если непрерывная функция  имеет на заданном интервале только одну точку экстремума , и это точка минимума, то на заданном интервале функция достигает своего наименьшего значения в точке 
                                                              

Свойство 2.
Если непрерывная функция  имеет на заданном интервале только одну точку экстремума , и это точка максимума, то на заданном интервале функция достигает своего наибольшего значения в точке 
                                                         

 

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

* В рассмотренной задаче можно исследовать функцию  и без применения производной.  — квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Тогда наибольшее значение эта функция достигает в вершине параболы, то есть при  Это значение принадлежит заданному интервалу  следовательно, на этом промежутке функция достигает наибольшего значения при 

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке

Человеку в жизни часто нужно искать наилучшее, или, как часто говорят, оптимальное решение поставленной задачи. Часть таких задач удается решить при помощи методов математического анализа — это задачи, которые можно привести к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции.
В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса:
непрерывная на отрезке  функция  имеет на этом отрезке наибольшее или наименьшее значение, то есть существуют точки отрезка , в которых достигает наибольшего и наименьшего значения.

Рассмотрим случай, когда непрерывная на отрезке  функция имеет на этом отрезке только конечное число критических точек. Тогда имеет место свойство:

• если функция непрерывная на отрезке и имеет на нем конечное количество критических точек, то она достигает своего наибольшего или наименьшего значения на этом отрезке: или в критических точках, которые лежат на этом отрезке, или на его концах.

Таким образом, чтобы найти наибольшее или наименьшее значение непрерывной функции, которая имеет на этом отрезке конечное количество критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем  из полученных чисел выбрать наибольшее или наименьшее.
 

Для использования этого ориентира необходимо убедиться, что заданный отрезок входит в область определения данной функции, и что функция непрерывна на этом отрезке (последнее выплывает, например, из того, что функция дифференцируема на заданном отрезке). Для нахождения критических точек функции необходимо найти ее производную и вычислить, где производная равна нулю или не существует. 
Утверждение, что наибольшее значение функции  на отрезке   достигается в точке  можно обозначить так:   а утверждение, что наименьшее значение функции   на отрезке   достигается в точке  можно обозначить так: 
При решении некоторых задач приходится находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции не на отрезке, а на интервале. Чаще всего в таких задачах функция имеет на заданном интервале только одну критическую точку: или точку максимума, или точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция  достигает наибольшего значения на данном интервале (рис. 5.29), а в точке минимума — наименьшего значения на данном интервале (рис. 5.30).


Действительно, если например, непрерывная функция  имеет на заданном интервале  только одну точку экстремума   , и это точка минимума, то в этой точке производная  меняет знак с минуса на плюс, то есть, если  то  Поскольку функция  непрерывная в точке , то она убывает при  и тогда при  имеем 
Также, если  то  Поскольку функция  непрерывная в точке то она возрастает при  и тогда при  имеем . Это и означает, что значение  — наименьшее значение функции на интервале 
Аналогично объясняют и случай, когда  — точка максимума.
Рассмотренные способы нахождения наибольшего и наименьшего значений функции используют для решения разнообразных прикладных задач. Решение практичных задач методами математики, как правило, содержит три основные этапа:

1. Формализацию, то есть создание математической модели задачи (перевод условия задачи на математический язык).
2. Решение составленной математический задачи.
3. Интерпретацию найденного решения (анализ полученных результатов, то есть перевод обратно с языка математики в термины начальной задачи)*.

Для задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений, реализацию этих этапов можно проводить по схеме:

1. Одну из величин, которую необходимо найти, обозначим через и по смыслу задачи введем ограничения на ).
2. Величину, о которой идет речь, что она наибольшая или наименьшая, выразить как функцию от .
3. Исследовать полученную функцию на наибольшее и наименьшее значение.
4. Убедиться, что полученный результат имеет смысл для исходной задачи.

При решении некоторых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции целесообразно использовать такое утверждение:

• если значения функции  неотрицательны на некотором промежутке, то эта функция и функция  где  — натуральное число, достигают наибольшего (наименьшего) значений в одной и той же точке.

Действительно, при  функция  где  натуральное число, является возрастающей , при  и  только при
 **. Тогда сложная функция  (то есть функция  где  будет возрастать там, где возрастает функция  и убывать там, где убывает функция  кроме того, в той же точке, что и  она будет достигать своего наибольшего (наименьшего) значения.

* Решение практических задач методами математики (методом математического моделирования) вам встречалось ранее: решение текстовых задач в курсе алгебры.
** Обычно, при  при  значение 

 

Пример №429

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке 
Решение.
1)  следовательно, отрезок  входит в область определения функции .
2) 
3)  существует на всей области определения функции  (следовательно, функция  непрерывная на заданном отрезке):

 или 
— критические точки.
4) На заданный отрезок попадают только критические точки:
5) 
 
6)        
Комментарий.
Используем схему нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции :
1). Убедимся, что заданный отрезок входит в область определения функции.
2) Найдем производную.
3) Найдем критические точки  или не существует).
4) Выбираем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
5) Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка.
6) Сравниваем полученные значения и выбираем из них наибольшее и наименьшее.
Чтобы убедиться, в непрерывности заданной функции, достаточно после нахождения ее производной выяснить, что производная существует в каждой точке области определения функции, или определить, что заданная функция непрерывная как сумма двух непрерывных функций  и 
Определить, какие критические точки принадлежат заданному отрезку, можно на соответствующем рисунке, отмечая критические точки на числовой прямой (рис. 5.31):
                                    

 

Пример №430

От круглого бревна отрезали брус с прямоугольным  сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения бруса, если радиус сечения бревна равен 25 см.

Решение.
1) Пусть из круга вырежут прямоугольник  (рис. 5.32) со стороной  Учитывая, что  диаметр круга, имеем (см). Поскольку длина отрезка, то  Кроме того,  (катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы), следовательно, 

                                                              
2) Из прямоугольного треугольника  Тогда площадь сечения  равна: 
Поскольку, при  значение рассмотрим функцию которая достигает наибольшего значения на промежутке   в той самой точке, что и
3) Производная   существует во всех точках заданного промежутка (следовательно, функция  непрерывная на заданном промежутке).  или  На промежуток  попадает только одна критическая точка  которая является точкой максимума: в этой точке производная меняет знак с плюса на минус (рис. 5.33).
                                   
Поскольку функция  непрерывная на заданном интервале, имеем только одну точку экстремума, и это точка максимума, то на этом интервале функция  достигает наибольшего значения в точке 
4) Тогда  Следовательно, площадь сечения бревна будет наибольшей в том случае, когда искомый прямоугольник будет квадратом со стороной 

Комментарий.
Используем общую схему решения задач на наибольшее и наименьшее значения:
1) Одну из величин, которые нужно найти, обозначим через  (и по смыслу задачи введем ограничения на ).
2) Величину, о которой идет речь, что она наибольшая или наименьшая, выразим как функцию от .
3) Исследуем полученную функцию на наибольшее и наименьшее значения.
4) Убедимся, что полученный результат имеет смысл для исходной задачи.
Получим функцию 
Ее можно исследовать на промежутке . Но важно учесть, что на этом промежутке  и исследуем функцию  запись которой не содержит корня и которая достигает наибольшего значения в той же точке, что и 
Вывод о том, что в найденной точке функция  достигает наибольшего значения, можно обосновать одним из трех способов:
1) Использовать свойство непрерывной на интервале функции, которая имеет на этом интервале только одну точку экстремума (именно так сделано в решении).
2) Опираясь на поведение непрерывной функции  (исследуемую при помощи производной, рис. 5.33),  обоснуем, что на промежутке , где  ,      а на промежутке следовательно, в точке  функция  достигает своего наибольшего значения.
3) Для нахождения наибольшего значения функции  на интервале  можно использовать то, что функция  непрерывная на всей числовой прямой, поэтому можно найти ее наибольшее значение на отрезке  а потом сделать вывод для данной задачи:     
То есть, наибольшее значение на отрезке  функция  достигает в точке  (которая лежит на середине отрезка). Тогда и для интервала эта функция достигает наибольшего значения в точке .

Пример №431

Точка А лежит на графике функции  точка В — на оси  и ее абсцисса в четыре раза больше, чем ордината точки А. Найдите наибольшее значение площади треугольника  где точка О — начало координат, а 

Комментарий.
Для функции  непросто найти область определения. Однако, оценив значение подкоренного выражения на заданном промежутке, можно убедиться, что оно полностью входит в область определения этой функции. Учитывая, что на единичной окружности заданный промежуток находится во 2-й и 3-й четвертях (рис. 5.34), где   и при всех значениях 
По определению графика функции, точка А имеет координаты Для того чтобы утверждать, что высота треугольника ОАВ равна ординате точки А (рис. 5.35), необходимо доказать, что на заданном промежутке график функции  лежит в первой четверти.

После записи площади треугольника  как функции  для нахождения ее наибольшего значения, обратим внимание на то, что достаточно сложно найти  Поэтому удобней выполнить исследования этой функции при помощи производной и доказать, что в точке экстремума из заданного промежутка функция достигает наибольшего значения на заданном промежутке.

Решение.
При    и  Тогда  на заданном промежутке. При всех значениях  имеем  Отсюда
 следовательно,  Таким образом, на заданном промежутке   следовательно, заданный промежуток полностью входит в область определения функции . В этом случае значение функции  будет положительным, то есть на заданном промежутке график функции  лежит в первой четверти.
Поскольку точка А лежит на графике функции , то когда ее абсцисса равна  ордината равна  (см. рис. 5.35). По условию  Точка А лежит в первой четверти, следовательно  и   Тогда  а высота треугольника  равна ординате точки А:  Отсюда, 
Дальше необходимо найти наибольшее значение функции

Тогда 
Производная  существует во всех точках заданного отрезка. Следовательно, функция   непрерывная на этом отрезке. Определим, где 
 или 
Из найденных точек принадлежит отрезку только критическая точка 
Обозначим критические точки на области определения и найдем знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения (рис. 5.36).
Учитывая непрерывность функции  на заданном промежутке, получаем, что эта функция возрастает на промежутке  (тогда при значение  и убывает на промежутке  (при  значение  Следовательно, на отрезке  функция  достигает наибольшего значения при  Тогда: (квадратных единиц).
Ответ: наибольшее значение площади треугольника равно  кв. ед.
                                            

Понятие и основные свойства предела функции и предела последовательности

Доказательство основных теорем о пределах:

1. Определение предела функции в точке.
 Число  называют пределом функции  в точке  (при , стремящемся к ), если для любого положительного числа  найдется такое положительное число , что при всех  которые удовлетворяют неравенство  выполняется другое  неравенство 

 

2. Основные теоремы о пределах
2.1.  — предел постоянной функции равен этой постоянной.
2.2.  — предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если пределы слагаемых существуют.
2.3. — предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.
2.4.  — постоянный множитель можно вынести за знак предела.
2.5.  — предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют, и предел знаменателя не равен нулю.

3. Понятие бесконечно малой функции при 

Функцию , определенную в некоторой окрестности точки , называют бесконечно малой функцией при , стремящемся к , если 

 

4. Свойства бесконечно малых функций. 
4.1. Если функции  и  — бесконечно малые при  то их сумма  и произведение , а также  — тоже являются бесконечно малыми функциями при 
4.2. Если функция  бесконечно малая при и для всех  которые удовлетворяют условие  (кроме ), выполняется неравенство  то функция  — также бесконечно малая при 

5. Связь определения предела функции в точке с бесконечно малыми функциями.
 где  — бесконечно малая функция при 

Определение предела функции в точке

Сформируем определение предела функции в точке, используя понятие  - окрестности точки. Обычно - окрестностью точки  называют промежуток  то есть все значения , которые удовлетворяют неравенство 

Из приведенной таблицы видно, что чем ближе  к числу 2, тем ближе к числу 7 значение , которое отвечает этому . Причем, выбирая все меньшую- окрестность точки 2, можно неограниченно приближать значение  к числу 7. Другими словами, можно выбирать такую -окрестность точки 2, чтобы расстояние от точки  к точке 7 на числовой прямой, то есть  стало меньше любого положительного числа  В этом случае говорят, что число 7 является пределом функции  в точке  (или при , стремящемся к 2) и записывают: 
 

Определение. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки , возможно, кроме самой очки . Число В называют пределом функции  в точке , если для любого числа  найдется такое число , что для всех   в   - окрестности точки   (при  и ) выполняется неравенство 

Проиллюстрируем применение этого определения для объяснения того, что предел функции  при , стремящемся к , равен В. В самых простых случаях такое объяснение проводят по схеме:
 

1. для произвольного положительного числа рассматривают неравенство:         
2. при всех значениях  из некоторой окрестности точки  из этого неравенства получаем неравенство 
3. объясняют (опираясь на равносильность выполненных преобразований неравенства или на свойства неравенств), что при полученном значении  (которое записывают через  ) из неравенства (при ) получаем неравенство 
4. используя определение предела функции в точке , делают вывод, что 

Пример №432

Используя определение предела функции, проверьте, что 
Решение.
Пусть  и  — некоторое положительное число   Рассмотрим неравенство                      
и найдем такое число  чтобы при условии  выполнялось неравенство (1). 
Поскольку 
то неравенство  равносильно неравенству  которое, в свою очередь, равносильно неравенству  Поэтому если выбрать  то по условию  будет выполнятся неравенство  а это и означает, что 
Замечание.  Как видим, выбор  зависит от заданного значения  Чтобы подчеркнуть этот факт, иногда записывают так 
Отметим, что точка , в которой рассматривают предел, может принадлежать области определения функции  (как в примере 1), а может и не принадлежать ей.

 

Пример №433

Докажите, что 
Решение.
Пусть  Тогда на области определения функции  (при ) имеем 
Если выбрать  то получим, что  как только  Поэтому согласно определению предела 

Пример №434

Докажите, что предел постоянной функции равен этой же постоянной.
Решение.
Пусть  для всех  из некоторой окрестности точки . Тогда для любого 
 для всех  из выбранной окрестности точки .
Поэтому 

 

Пример №435

Докажите, что 
Решение.
Пусть , и выбрано некоторое положительное число . Если взять  получим, что  как только  Следовательно, по определению предела 

 

Пример №436

Докажите, что 
Решение.
Пусть , и выбрано некоторое положительное число . Если взять  получим, что  как только  Поэтому по определению предела 

 

Основные теоремы о пределах функции

Понятие бесконечно малой функции при  

При помощи определения предела функции можно доказать также теорему о пределе суммы двух функций.
Предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если пределы слагаемых существуют:  
Задаем  Если  то найдется такое число  что при (кроме ) выполняется неравенство               (1)
Аналогично, если  то найдется такое число что при  (кроме ) выполняется неравенство             (2)
Если выбрать такое число , наименьшее из чисел  и  (это можно обозначить так: , то мы выберем общую часть обеих окрестностей точки , и при  (кроме )  будут выполнятся оба неравенства (1) и (2). Тогда, учитывая определения предела функции и объяснение в классе, неравенства 
 (модуль суммы превышает сумму модулей слагаемых), получаем: 
А это означает, что   то есть             
                           
Для доказательства свойств предела произведения и частного функции удобно ввести понятие бесконечно малой функции.

 

Функцию , определенную в некоторой окрестности точки , называют бесконечно малой функцией при , стремящемся к , если 

 

Учитывая определение предела функции в точке, это определение можно сформулировать так:

• Функцию  определенную  в некоторой окрестности точки , называют бесконечно малой функцией при , стремящемся к   если для произвольного  найдется такое число , что для всех , которые удовлетворяют условие  (кроме, возможно,  ), выполняется неравенство 

Например:
1)  (см. пример 4), следовательно, — бесконечно малая функция при 
2)  (см. пример 5), следовательно, — бесконечно малая функция при 

Замечание.
Если  то это эквивалентно тому, что  где  — бесконечно малая функция при 
Действительно, если рассмотреть функцию                             (3)
 то  А это и означает, что функция  является бесконечно малой при  Но тогда из равенства (3) получаем, что 
 где  — бесконечно малая функция при 

 

Свойства бесконечно малых функций

1. Если функции  и  бесконечно малые при то их сумма  и произведение  (где  также являются бесконечно малыми функциями при 
2. Если функция  бесконечно малая при , и для всех  , которые  удовлетворяют условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство , то функция  также бесконечно малая при
Докажем эти свойства.
1. По условию, функции   и  — бесконечно малые при  Это означает, что  и  Тогда, используя формулу предела суммы,  имеем 
А это означает, что сумма является бесконечно малой функцией.
С другой стороны, если функция  — бесконечно малая при , то для произвольного  можно указать такое  , что при всех , которые удовлетворяют условию  (кроме, возможно, ), выполняется неравенство:                                                                                            (4)
Аналогично, если функция  — бесконечно малая, при , то это означает, что, например, для  можно указать такое что при всех , которые удовлетворяют условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство:                                                                    (5)
Если выбрать наименьшее число  из чисел  и  , то это будет общая, совместная часть обеих окрестностей точки  и при  
(кроме, возможно, ), будут выполнятся оба неравенства (4) и (5). Тогда  А это означает, что  является бесконечной малой функцией при .
Для объяснения того, что функция  (где с — постоянная) является бесконечно малой, достаточно заметить, что при  это утверждение выполняется  а при  для произвольного   можно указать такое  что для всех , которые удовлетворяют условию (кроме, возможно, ), выполняется неравенство 
Тогда  а это означает, что функция   (где с — постоянная) является бесконечно малой при .
2. По условию функция — бесконечно малая при . Тогда для произвольного  можно указать такое  ,  что для всех , которые удовлетворяют условию (кроме, возможно, )  выполняется неравенство:                                                                                                                 (6)
Кроме того, по условию для всех , которые удовлетворяют условию (кроме, возможно, )  выполняется неравенство:                     (7)
Если выбрать наименьшее число  из чисел  и  , то это будет общая, совместная часть обеих окрестностей точки  и при  
(кроме, возможно, ), будут выполнятся оба неравенства (6) и (7). Тогда  а это означает, что функция  также является бесконечно малой при .

Докажем теорему о пределе произведения.
Если  то это эквивалентно тому, что  где  — бесконечно малая функция, при.
Аналогично, если  то это эквивалентно тому, что  где  — бесконечно малая функция при .
Тогда 
Учитывая свойства бесконечно малых функций, получаем, что функция  — бесконечно малая.
Следовательно,  — бесконечно малая функция, а это значит, что  то есть:
                                              
Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы множителей существуют.

Используя метод математической индукции, правила вычисления предела суммы и произведения можно обобщить для произвольного количества слагаемых или множителей.
По правилу вычисления предела произведения получаем:
                                     
Следовательно, 
то есть постоянный множитель можно вынести за знак предела.

Для доказательства теоремы о пределе частного  сначала рассмотрим случай, когда  то есть докажем утверждение:         
                                         
По условию, , где . Это эквивалентно тому, что  где  — бесконечно малая функция при . Тогда для  можно указать такое , что при всех , удовлетворяющих условию  (кроме, возможно, ), выполняется неравенство:                    (8)
Используя неравенство  и неравенство (8), получаем:
                       
Следовательно, для выбранных значений                               (9)
Рассмотрим для выбранных значений  выражение  и учтем неравенство (9):

Поскольку функция  — бесконечно малая (при ), то функция  также бесконечно малая ,  — постоянная. Тогда по свойству 2 бесконечно малых функций получаем, что функция  является бесконечно малой при , а это и означает, что 
Тогда, если , где , то используя формулу предела произведения и полученную формулу, будем иметь:
                 
Следовательно,  (где )
Предел частного двух функций равен частному их пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют, и предел знаменателя не равен нулю.

Пример №437

Найдите 
Решение.
Применяя теорему о пределе суммы, разности и произведения, получим: 


Ответ: 4.

 

Пример №438

Найдите 
Решение.
Тут предел знаменателя равен нулю, поэтому воспользоваться теоремой о пределе частного нельзя.
Разложим числитель на множители: 
Поскольку при нахождении предела в точке 3 рассматриваются только значения   то дробь можно сократить на 
                       
Ответ: 1. 

 

Теорема об единственности пределов

Если функция  в точке имеет предел, то этот предел единственный.
Доказательство (методом от противного). Пусть в точке  функция  имеет два разных предела А и В. По определению предела функции, для любого  существуют  и  такие, что для всех , которые удовлетворяют условие , выполняется неравенство:
                                                                                                                                 (10)
а для всех , которые удовлетворяют условие , выполняется неравенство:                                                                                                     (11)
Из  чисел  и  можно выбрать наименьшее. Обозначим его буквой   Если взять некоторое  которое удовлетворяет неравенство  то для него выполняются оба неравенства (10) и (11). Из-за того, что модуль суммы двух слагаемых не превышает суммы модулей этих слагаемых, имеем:

Поскольку  произвольное положительное число, то возьмем  Тогда получим  то есть  Однако, это неравенство не может выполняться. Следовательно наше предположение о существовании двух пределов неправильное, и поэтому 
При изучении пределов иногда нам приходится выполнять предельный переход в неравенствах, который можно осуществлять при помощи следующей теоремы:

• Если  причем в некоторой окрестности точки  (кроме, возможно, самой точки ) справедливо неравенство  то 

Доказательство. (от противного). Допустим противоположное утверждение, то есть Выберем  так, чтобы две -окрестности точек А и В:  и  не пересекались, то есть                  (12)
Поскольку  то найдется -окрестность точки  в которой  то есть                                                                      (13)
Также существует -окрестность точки  в которой то есть   
                                                                                                                    (14)
Из чисел  и  выберем наименьшее и обозначим его через . Тогда в -окрестности точки имеем (учитывая неравенства (12), (13), (14)):
                                           
и поэтому  но это противоречит условию. Следовательно, 

• Следствие (предел промежуточной функции). Если ,  и в некоторой окрестности точки  (кроме, возможно, самой точки ) справедливо неравенство:               (15)  то 

Доказательство.
Поскольку все условия последней теоремы выполняются, то выполним предельный переход в неравенствах (15). Получаем:  Но эти неравенства могут выполняться только в том случае, когда  что и требовалось доказать.

 

Односторонние пределы

В определении предела функции в точке аргумент  принимает все значения из -окрестности точки  (кроме, возможно, ) как слева, так и справа от .
Если при нахождении предела функции рассматривать значение только слева от точки , то такой предел называют левым, или левосторонним, и обозначают  или  Если рассматривать значение только справа от точки , то такой предел называют правым, или правосторонним, и обозначают  или 
Левосторонние и правосторонние пределы называют односторонними. Когда рассматривают односторонние пределы в точке  (при ), запись упрощают и записывают для для левостороннего предела  или , а для правостороннего предела —  или 
 

Определение. Число  называют правосторонним пределом функции  в точке , если для произвольного числа  найдется такое число , что для всех  из области определения функции, которые удовлетворяют условию  , выполняется неравенство:                                          (1)

Аналогично дают определение числа   , как левостороннего предела функции  в точки                             (2)

Тут неравенство должно выполнятся для всех    из левой части  - окрестности точки , то есть при 
Подчеркнем связь между односторонними пределами и пределом функции в некоторой точке .
Если число В — предел функции  при то неравенство  (3)
справедливо для всех значений  из -окрестности точки . Тогда это неравенство справедливо для всех значений  из левой половины указанной
 -окрестности и для всех  из ее правой половины, то есть, существуют левосторонний и правосторонний пределы в точке , и эти пределы равны В.
Поэтому если  то  то есть   Справедливо и обратное утверждение: если выполняется равенство  то 
Действительно, если  то неравенство (1), которое определяет существование правостороннего предела функции, выполняется и слева от точки  (согласно неравенству (2)). Но тогда неравенство (1) фактически превращается в неравенство (3), и поэтому 
В связи с этим можно сформулировать такой критерий.
 

Критерий существования предела

Для того чтобы в точке  существовал предел В функции , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовал левосторонний предел функции  то есть  и правосторонний предел функции  то есть , и чтобы они были равны между собой:  при этом 

 

Пример №439

Выяснить существование предела функции  в точке 0.
Решение.
Функция  определена на всей числовой прямой. Поскольку (см. рис. 2.8), то при  поэтому  Аналогично 
Таким образом,  Поскольку, односторонние пределы в точке 0 совпадают, то предел функции  существует и равен их общему значению, то есть 

 

Пример №440

Выяснить существование предела в точке 2 для функции 
                                                          
Решение.
Заданная функция определена на всей числовой прямой. Найдем односторонние пределы этой функции в точке 


Следовательно,  и поэтому заданная функция не имеет пределов в точке  И кроме того, не является непрерывной в этой точке. (График функции изображен на рис.6.1).
                                     

 

Непрерывные функции

Вспомним, что функция  называется непрерывной в точке , если 

Доказанные свойства предела функции позволяют объяснить свойства непрерывных функций: если функции  и  непрерывные в точке , то сумма, произведение и частное непрерывных функций в точке  — функции непрерывные в точке  (частное в случае, когда делитель ).
Действительно, если функции  и  непрерывные в точке , то  и 
Тогда  а это и означает ,что функция  +  непрерывная в точке  . Аналогично объясняют непрерывность произведения и частного двух непрерывных функций.
Согласно определению, непрерывность функции  в точке  означает выполнение следующих условий:

1. Функция  должна быть определена в точке .
2. У функции  должен существовать предел в точке .
3. Предел функции в точке  совпадает со значением функции в этой точке.

Например, функция  определена на всей числовой прямой и  Поскольку  то значение  в точке 1 совпадает с пределом функции при  поэтому по определению функция  непрерывная в точке 

Если воспользоваться определением левостороннего и правостороннего пределов, то можно определить левостороннюю и правостороннюю непрерывности функции. Так, функцию называют непрерывной слева в точке , если , и непрерывной справа в точке , если 
Например, функция  — дробная часть аргумента , непрерывная в любой точке, кроме целочисленных значений аргумента , в которых она непрерывная справа (рис. 6.2).

Функцию называют непрерывной на интервале  если она непрерывная в каждой его точке. Функцию называют непрерывной на отрезке , если она непрерывная на интервале  непрерывная справа в точке  и непрерывная слева в точке .
Если в точке  равенство не выполняется, то функцию  называют разрывной в точке , а точку  — точкой разрыва функции .

Например, функция из примера 2 является разрывной в точке 2.
Если рассмотреть функцию ,  — целая часть ), то есть наибольшее целое число, которое не превышает ), то эта функция является разрывной в каждой целочисленной точке (рис. 6.3).
Аналогично, для функции — дробная часть  то есть разность ) точками разрыва являются все целочисленные значения аргумента  (рис.6.2).

                                               

Понятие непрерывности функции можно связать с понятием приращения функции и приращения аргумента. Пусть задана функция  с областью определения  и  — некоторое значение аргумента из интервала  Если  — другое фиксированное значение аргумента, то разность  называют приращением аргумента и обозначают  то есть  Тогда  Разность  называют приращением функции  в точке  и обозначают  Очевидно, что когда  стремится к , приращение аргумента стремится к нулю:  Если функция  непрерывная в точке , то по определению   и поэтому  а это означает, что 
Из последнего соотношения вытекает: если функция  непрерывная в точке , то малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. Учитывая это свойство, строим график непрерывной функции в виде сплошной линии.
Представление о непрерывной функции как функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в курсах математического анализа.

Приведем примеры таких свойств:

1. Если непрерывная  на отрезке  функция достигает на концах отрезка значений разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она достигает нуля.

 

2. Функция , непрерывная на отрезке , достигает всех промежуточных значений между значениями  и  на концах отрезка.

 

3. Если на интервале  функция  непрерывная и не превращается в ноль, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак.


Известные вам элементарные функции непрерывные в любой точке своей области определения. Графики таких функций изображают сплошными кривыми на любом интервале, который целиком входит в область определения. Например, функция  непрерывная на любом интервале, который не содержит точку 0 (см. рис. 5.19).

Свойства непрерывных функций позволяют конкретно обосновать метод интервалов для решения неравенств, и поэтому этот метод можно использовать при решении любого неравенства вида  где  — непрерывная в любой точке своей области определения функция.

Предел функции на бесконечности. Бесконечный предел функции. Предел последовательности

При изучении функции часто возникает необходимость найти предел функции на бесконечности, то есть такое число В (если оно существует), к которому стремится функция  при неограниченном возрастании аргумента, или когда , увеличиваясь по абсолютной величине, остается отрицательным.
Рассмотрим функцию  Очевидно, что при увеличении  знаменатель дроби увеличивается, и поэтому значение дроби становится сколь угодно малым по абсолютной величине. Таким образом, значение функции  при очень больших значениях аргумента  мало отличается от числа 2. В этом случае говорят, что функция  имеет своим пределом число 2, при  и пишут: 

Определение. Пусть функция  определена на всей числовой прямой (или при всех достаточно больших по модулю значений ). Число  называют пределом  при  если для произвольного числа  найдется такое число , что для всех , которые удовлетворяют условию  выполняется неравенство 

В этом случае пишут: 

Поведение функции  может быть разным при  и при  Поэтому при исследовании свойств функции иногда рассматривают отдельно  и  Эти пределы означают аналогично только условие  меняют соответственно на  
Кроме рассмотренных конечных пределов функции  при  (или при ), используют также понятие бесконечного предела. Например, функция  которая определена на всех  (рис. 6.4), достигает сколь угодно больших значений при  Тогда говорят, что функция в точке  имеет бесконечный предел, и пишут: 
                                               

Определение. Будем считать, что , если для произвольного числа  существует такое число , что для всех значений , которые удовлетворяют условию , выполняется неравенство 
 

Записи  и  означают аналогично определению  только условие  заменяют соответственно на неравенства  и 
В математике используют также понятие бесконечности предела при  то есть предел вида , который определяют так:
если для произвольного числа   выполняется условие  то говорят, что функция  имеет бесконечный предел функции  на бесконечности.
Аналогичные определения имеют записи  и 
Например, запись  выражает известное свойство функции  которая неограниченно возрастает при увеличении значения 

 

Пример №441

Найдите предел функции 
Решение.
Вынесем за скобки в числителе и знаменателе наивысшую степень переменной и сократим числитель и знаменатель на . Тогда 

Ответ: -2.

 

Пример №442

Найдите предел 

Умножим и разделим разность, которая стоит под знаком предела, на сумму  Получим: 

Ответ: 0.

Напомним, что в случае, когда  функцию называют бесконечно малой, при  если же  то бесконечно большой, при  Аналогичные определения имеют бесконечно малые и бесконечно большие функции при 
Когда функция  — бесконечно малая при  и  для  некоторой окрестности точки , то функция  будет бесконечно большой при  И наоборот, если функция  — бесконечно большая при  то функция  является бесконечно малой при
Например, функция  — бесконечно малая при  и бесконечно большая при  (а также при  и ). Тогда функция является бесконечно малой при   (а также при  и ), и бесконечно большой при  (аналогично при  и )

 

Предел последовательности

Достаточно распространенными в курсе математики являются бесконечные последовательности, то есть функции , заданные на множестве натуральных чисел . Чтобы подчеркнуть, что аргумент такой функции достигает значений только на множестве натуральных чисел, его обозначают не , а . Для последовательности  часто возникает необходимость найти ее предел при неограниченном возрастании аргумента   Определение этого предела в основном аналогично определению предела функции на бесконечности.

Определение. Число  называют пределом последовательности , если для произвольного числа  существует такое число , что для всех  выполняется неравенство 

Для предела последовательности выполняются все известные теоремы о пределах ( только в их формулировке слово "функция" заменяется на слово "последовательность").

 

Пример №443

Найдите предел последовательности 
Решение.
Как и в примере 1, вынесем в числителе и знаменателе за скобки наивысшую степень переменной, сократим числитель и знаменатель на , а потом используем теоремы о пределах. Тогда 

Ответ: 1. 


 

Предел последовательности  при 

Этот предел также называют первым замечательным пределом,  его часто приходится использовать при нахождении предела тригонометрических функций.
Теорема. 
Доказательство. Можно считать, что  приобретает только положительные значения. Это вытекает из того, что функция  — четная, поскольку  Так как  то, начиная с некоторого значения,  попадает в первую четверть. Поэтому можно считать, что  На рис. 6.5 изображена единичная окружность, на которой отложен угол в  радиан и проведена линия тангенсов . Учитывая определение синуса и тангенса через единичную окружность, получаем 
                                                        
Сравним площади треугольников  и сектора  Эти площади удовлетворяют неравенство:                                                     (1)
Поскольку  а площадь кругового сектора 
 то подставляя эти значения в неравенство (1) получим:
                                                                                                                              (2)
Поскольку   то  и . Поэтому, разделив неравенство (2) на  получим:  Отсюда (учитывая четность функции  и , получим, что это неравенство выполняется и при ). Но  (функция  — непрерывная). Тогда по теореме о пределах промежуточной функции имеем 
Кроме предела  часто используют некоторые его вариации.

 

Пример №444

Докажите ,что 
Решение.

 

Пример №445

Докажите ,что 
Решение.
Очевидно, что 
Действительно, 
Поскольку то, начиная с некоторого значения,  попадает в отрезок  Обозначим , тогда  Если  то  В этих обозначениях предел  превращается в предел 

 

Пример №446

Докажите ,что 
Решение.
Сначала рассмотрим предел 

Поскольку  то, начиная с некоторого значения,  попадает в отрезок  Обозначим  тогда  Если  то  В этих обозначениях из предела  получаем 

Практическое вычисление предела функции

При вычислении предела функции обычно применяют не определение предела, а теоремы о пределах и приемы, которые мы использовали при нахождении пределов в приведенных выше примерах. Обобщим эти приемы.

Асимптоты графика функции

Определение и иллюстрация

Асимптота кривой — это прямая, к которой неограниченно близко приближается  кривая (график функции), при удалении ее переменной точки в бесконечность.


 

Вертикальные асимптоты  графика функции 
 — вертикальная асимптота, если при 
Вертикальная асимптота  может быть в точке , если точка  ограничивает открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения данной функции, и возле точки  функция стремится к бесконечности.

Примеры вертикальных асимптот графиков функции.


 

Наклонные и горизонтальные асимптоты 
I. Если  — дробно-рациональная функция, у которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна ему), то выделяем целую часть дроби и используем определение асимптоты.


II.  В общем случае уравнение наклонной и горизонтальной асимптот  можно получить, используя формулы:  

Определение асимптоты

Если кривая  имеет бесконечную ветвь и существует прямая, к которой эта ветвь безгранично близко приближается, то эту прямую называют асимптотой кривой, то есть
 

Асимптота кривой — это прямая, к которой бесконечно близко приближается кривая  (график функции) при ее удалении к бесконечности.

Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными, или наклонными.
Например, для графика функции  (рис. 7.1) асимптотами будут оси координат, поскольку  и , график функции приближается к прямой  ось  — горизонтальная асимптота. Когда функция стремится к  (или к ), то кривая стремится к прямой  ось — вертикальная асимптота.
                                  
Если рассмотреть функцию  то при  выражение  Поэтому график функции  при приближается к прямой 
Эта прямая является наклонной асимптотой графика функции (рис. 7.2).
График этой функции имеет также вертикальную асимптоту 

                                               
 

Вертикальные асимптоты

Если прямая  — вертикальная асимптота, то по определению возле точки  кривая должна иметь бесконечную ветвь, то есть предел заданной функции при  (слева или справа) должен равняться бесконечности. Ввиду непрерывности элементарных функций, которые рассматриваются в школьном курсе математики, такими точками могут быть только точки, которые ограничивают открытые (или полуоткрытые) промежутки области определения заданной функции.
Например, у функции  область определения  имеет разрыв в точке  (область определения: ) и точка 1 ограничивает открытые промежутки области определения). Поэтому прямая  может быть вертикальной асимптотой. Чтобы убедиться в этом, необходимо проверить, стремится ли функция к бесконечности возле точки 1 (слева или справа). Для этого рассмотрим  аналогично Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой, поскольку когда функция стремится к бесконечности, ее график неограниченно приближается к прямой  (рис. 7.3).

                                   

Заметим, что не всегда в точке разрыва области определения функция будет иметь вертикальную асимптоту. Например, функция  имеет область определения  Поэтому прямая  может быть вертикальной асимптотой. Но,  Аналогично, 
Следовательно, возле прямой  функция  не стремится к бесконечности, и поэтому прямая  не является асимптотой графика заданной функции (рис. 7.4).
                                          

 

Наклонные и горизонтальные асимптоты

Достаточно легко найти наклонные и горизонтальные асимптоты для графиков дробно-рациональных функций, в которых степень числителя на единицу больше степени знаменателя (или равна степени знаменателя). Для этого необходимо выделить целую часть заданной дроби и использовать определение асимптоты.
Например, рассмотрим функцию 
Выделим целую часть: 
При  выражение  то есть график нашей функции неограниченно приближается к прямой  при . А это значит, что наклонной асимптотой графика заданной функции будет прямая  (рис. 7.3).

Рассмотрим, как располагаются наклонные и горизонтальные асимптоты в общем виде.
Пусть наклонной (или горизонтальной) асимптотой графика функции  является прямая  По определению асимптоты при  график  функции  неограниченно приближается к прямой  Другими словами, при  с любой точностью будет выполнятся равенство:
                                                                                                                                  (1)
Это равенство не нарушается, если обе части его разделить на 
Получим:  
При  отношение  поэтому отношение  при , то есть
                                                                                 (2)
Из формулы (1) получаем, что при ,  то есть
                                                                            (3)
Формулы (2) и (3) дают возможность находить наклонные и горизонтальные асимптоты для графика любой функции  (если они существуют).

Замечание.
Если у графика функции  есть горизонтальная асимптота, то ее уравнение будет  (в этом случае ). Но при  из формулы (3) получаем, что Следовательно, если существует число  то график функции  имеет горизонтальную асимптоту 

 

Пример №447

Используя общие формулы, найдите наклонную асимптоту графика функции 
Решение.
Будем искать наклонную асимптоту в виде  где  и  находят по формулам (2) и (3):


Асимптотой графика заданной функции будет прямая , то есть прямая 

 

Пример №448

Найдите асимптоты графика функции 
Решение.
Область определения этой функции:  — любое действительное число, то есть  или  На всей области определения эта функция непрерывная, поэтому вертикальной асимптоты у этого графика нет. Ищем наклонную и горизонтальную асимптоты в виде  Тогда:

Поэтому заданная функция имеет только горизонтальную асимптоту (рис. 7.5).
Иногда график функции  может иметь разные асимптоты при  и при  Поэтому при использовании формул (2) и (3) приходится отдельно находить значения и  при  и при

Производные обратных тригонометрических функций

Формулы производной обратных тригонометрических функций докажем, используя определение этих функций (существования их производных примем без доказательства).
Например, если  то по определению арксинуса  и Продифференцируем обе части этого равенства, рассматривая производную  как производную сложной функции. Получим  то есть  Отсюда Но 
Учитывая, что  где  получим Тогда при 
(в этом случае  и  имеем  Поэтому при 

Аналогично, если , то по определению арккосинуса  и  Продифференцируем обе части этого равенства, рассматривая производную , как производную сложной функции. Получим  то есть Отсюда Но 
Учитывая, что  где  получаем  Тогда, при  (в этом случае  и  имеем  Поэтому при 
               

Найдем производную функции  По определению арктангенса  и  После дифференцирования последнего равенства получаем то есть Отсюда  Но  Тогда 
Следовательно, при любых значениях 


Аналогично, если  то по определению арккотангенса  и  После дифференцирования последнего равенства получаем  то есть  Отсюда  Но  Тогда 
Следовательно, при любых значениях 


 

Доказательство тождеств при помощи производных

Условия постоянства функции: если на некотором интервале  во всех точках этого интервала, то функция  постоянная на этом интервале. Если же нам известно также, что функция  — непрерывная на отрезке  то функция  является постоянной на отрезке 
Это условие можно использовать для доказательства некоторых тождеств.

Пример. Докажите тождество 
Решение.
Рассмотрим вспомогательную функцию  и найдем ее производную при 

По условию постоянства функции получаем, что  при всех значениях из интервала   а учитывая, что функция  непрерывная на своей области определения, и при всех  из отрезка  Чтобы найти С, отметим, что равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении . Подставляя в это равенство  получим:               
                                
Поэтому   а следовательно,  то есть  и 

Приведенное решение позволяет выделить следующую схему доказательства тождеств вида  при помощи производной.

1. Рассмотреть дополнительную функцию  (на ее области определения, или на заданном интервале).
2. Проверить, что  на этом интервале.
3. Используя признак постоянства функции, сделать вывод, что  на рассмотренном интервале (если функция  непрерывная также на отрезке, что включает концы рассмотренного интервала, то на этом отрезке).
4. Чтобы найти С, нужно подставить вместо любое значение  из рассмотренного промежутка и доказать, что 
5. Сделать вывод: поскольку то 
    

Вторая производная и производная высших порядков

Если функция  имеет производную  во всех точках некоторого промежутка, то эту производную можно рассматривать как функцию от аргумента . Если функция   — дифференцируемая, то ее производную называют второй производной от  и обозначают  (или 
Например, если  то  тогда 
По аналогии со второй производной определяют и производные высших порядков. Производную от второй производной функции  называют третьей производной или производной третьего порядка этой функции и т. д., то есть производной n-го порядка функции  называют производную от производной (n–1)-го порядка этой функции. Производную  n-го порядка функции  называют 
Например, если  то* 

* Четвертую, пятую и шестую производные функции  часто обозначают  соответственно так: 

 

Выпуклость функции

Пусть функция  определена на интервале  а в точке  имеет конечную производную. Тогда к графику этой функции в точке  можно провести касательную. В зависимости от расположения графика относительно касательной, функцию называют выпуклой вниз, если график расположен выше касательной (рис. 9.1), или выпуклой вверх, если график расположен ниже касательной (рис. 9.2). Соответственно и сам график в первом случае называют выпуклым вниз, а во втором — выпуклым вверх. Приведем соответственные определения и свойства для функции , определенной и дифференцируемой дважды на интервале 

Функцию  называют выпуклой вниз на интервале  если для любой точки  из этого интервала при всех  и график функции лежит выше касательной к этому графику в точке 

Функцию  называют выпуклой вверх на интервале  если для любой точки  из этого интервала при всех  и график функции лежит ниже касательной к этому графику в точке 
                                              
 

Отметим ,что на интервале, где функция  выпуклая вниз, ее производная  возрастает. Действительно, как видно из рис. 9.1, при возрастании аргумента  величина угла  что образует касательную к графику функции  с положительным направлением оси  возрастает, приобретая значение между  и  Но тогда  также возрастает.

На интервале, где функция  выпуклая вверх, ее производная  убывает. Действительно, как видно на рис. 9.2, при возрастании аргумента величина угла что образует касательную к графику функции  с положительным направлением оси  убывает, приобретая значение между  и  Но тогда,  также убывает.
     Можно доказать, что справедливы и обратные утверждения.

1. Если производная  функции  возрастает на интервале  то функция  — выпуклая вниз на этом интервале.
2. Если производная  функции  убывает на интервале  то функция  — выпуклая вверх на этом интервале.

Эти свойства позволяют сформулировать достаточные условия выпуклости функции (и графика функции).

1. Если на интервале  дважды дифференцируемая функция  имеет положительную вторую производную  при всех  то ее график на интервале  направлен выпуклостью вниз.
2. Если на интервале  дважды дифференцируемая функция  имеет отрицательную  вторую производную  при всех  то ее график на интервале  направлен выпуклостью вверх.

Действительно, пусть  при всех  Если рассматривать  как функцию от , то  является производной этой функции  Но тогда, имея положительную производную, функция  возрастает на интервале  Следовательно, по свойству 1 функция  — выпуклая вниз на этом интервале,  и ее график соответственно выпуклый вниз на интервале 
Аналогично поясним и второе достаточное условие.
Эти условия являются только достаточными, но не необходимыми. Например, функция  — выпуклая вниз на всей числовой прямой (рис. 9.3), хотя в точке  ее вторая производная  равна нулю.
В случае, когда функция  — выпуклая вниз на интервале  и  и  —точки ее графика на этом интервале (рис. 9.4), то на интервале  где  график функции  лежит ниже отрезка  Этот отрезок по аналогии с отрезком, что соединяет две точки дуги окружности, часто называют хордой кривой. Следовательно, в этом случае на интервале  график лежит ниже хорды.
Если функция  выпуклая вверх на интервале   и  и  — точки ее графика на этом интервале (рис. 9.5), то на интервале  где  график функции  лежит выше отрезка  То есть график лежит выше хорды.

Точки перегиба

Точку М графика непрерывной функции , в которой существует касательная и при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называют точкой перегиба графика функции.

Учитывая определение выпуклости функции вверх и выпуклости функции вниз, получим, что касательная расположена выше одной части графика и ниже другой (рис. 9.6). Иначе говоря, в точке перегиба касательная пересекает кривую, а сам график функции переходит с одной стороны касательной на другую.
                                                 
Абсциссу  точки перегиба графика функции  называют точкой перегиба функции. Тогда  является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз функции .
Точки перегиба дважды дифференцируемой функции можно найти при помощи ее второй производной. Приведем достаточные условия существования точки перегиба.
 

Пусть функция  имеет на интервале  вторую производную. Если  меняет знак при переходе через , где  то  — точка перегиба функции .

Действительно, если функция  имеет на интервале  вторую производную, то она имеет на этом интервале и первую производную. Следовательно, функция  — непрерывная на заданном интервале и существует  касательная к графику функции в точке с абсциссой . Пусть при  и  при  (на заданном интервале). Тогда, пользуясь достаточными условиями выпуклости функции, получим, что при  график функции  направлен выпуклостью вверх,  а при  —выпуклостью вниз. Таким образом, точка  — точка перегиба функции .
Аналогично рассматривается и случай, когда  при  и  при : точка  — является так же точкой перегиба функции .
Для нахождения промежутков выпуклости функции и точек ее перегиба необходимо учесть такое.
Пусть функция  задана на интервале  и в каждой точке этого интервала имеет вторую производную , которая является на этом интервале непрерывной функцией. Если для точки  из этого интервала  то в некоторой  - окрестности этой точки вторая производная также будет положительной, то есть для всех  значение  Но тогда в интервале  функция  направлена выпуклостью вниз, и точка не может быть точкой перегиба функции . Следовательно, точкой перегиба может быть только такая точка , в которой вторая производная равна нулю. Из этого вытекает необходимое условие существования точек перегиба:
если функция  задана на интервале , и в каждой точке этого интервала имеет вторую производную  которая является непрерывной функцией на заданном интервале,  имеет точку перегиба ,  то 

Например, функция  (рис. 9.7) имеет перегиб в точке 0,  в которой ее вторая производная равна нулю. Действительно, При  значение  и график направлен выпуклостью вниз, а при  значение   и график направлен выпуклостью вверх. Следовательно,   — точка перегиба функции.
                                             

Точка перегиба функции  может быть и в той точке ,  в которой  не существует (но ) существует).
Например, функция  (рис. 9.8) определена на всей числовой прямой, имеет перегиб в точке 0,  в которой существует ее первая производная  но не существует вторая производная 
  не существует).
При  значение  и график направлен выпуклостью вниз, а при  значение  и график направлен выпуклостью вверх. Следовательно, 0 — точка перегиба функции.
Чтобы найти промежутки выпуклости функции , необходимо решить неравенства  и  на области определения функции . Поскольку  так же функция от переменной , то в случае, когда функция  — непрерывная в каждой точке своей области определения, для решения этих неравенств можно использовать метод интервалов, точнее, его обобщение, которое опирается на свойство: точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции  на промежутки, в каждом из которых  сохраняет свой знак.
                                               
Учитывая это свойство и условие выпуклости функции и  существование ее точек перегиба, можно предложить такую схему исследования функции  на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти область определения функции.
2. Найти вторую производную.
3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
4. Обозначить полученные точки на области определения функции, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом из  интервалов, на которые разбивается область определения.
5. Записать результат исследования (интервалы и характер выпуклости и точки перегиба).

Использование второй производной позволяет более детально исследовать свойства функции для построения ее графика. 
 

Применение производной для решения уравнений и неравенств

Иногда для определения необходимых свойств функции целесообразно использовать производную. Это в первую очередь исследование промежутков возрастания и убывания функции и оценка области значений функции.

1. Оценка значений левой и правой частей уравнения.

Если необходимо решить уравнение вида  и выяснить, что  то равенство между левой и правой частями уравнения возможно тогда и только тогда, когда одновременно  и  равны .
                                                
Пример.
Решить уравнение 
Оценим значение левой и правой частей уравнения: Исследуем функцию  на наибольшее и наименьшее значения при помощи производной.
 то есть  Производная не существует в точках 1 и 3 из области определения функции , но эти точки не являются внутренними для  следовательно, они не критические точки.

 — критическая точка 
Непрерывная функция*  задана на отрезке  поэтому она достигает наибольшего и наименьшего значений или на концах отрезка, или в критической точке этого отрезка. Поскольку  а  то  то есть** Кроме того,  следовательно, заданное уравнение равносильно системе:
Ответ: 2.

* Обычно, в точке  функция  непрерывная справа, а в точке  — слева.
** Мы могли бы выполнить более точную оценку области значений функции: поскольку  и но для приведенного решения достаточно оценки 

2. Использование возрастания и убывания функции. Схема решения уравнений.

• Подбираем один или несколько корней уравнения.

Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения, или оценку значений левой и правой частей уравнения, или такое свойство функции: возрастающая или убывающая функция достигает каждого своего значения только в одной точке ее области определения).

 

Теоремы о корнях уравнения

1. Если в уравнении  функция  возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение не может иметь больше чем один корень на этом промежутке.

                            
Пример.
Уравнение  имеет корень* , 
Других корней это уравнение не имеет, поскольку функция  возрастает (ее производная  при всех значениях  из области определения: 
Ответ: 

2. Если  функция   в уравнении возрастает на некотором промежутке, а функция— убывает (или наоборот), то это уравнение может иметь не больше чем один корень на этом промежутке.
                                           

Пример. 
Уравнение    имеет корень     то есть  Других корней это уравнение не имеет, поскольку его ОДЗ  и на этой ОДЗ функция  возрастает  при  а функция  убывает при при 
Ответ: 1.

*Корни в примерах 1 и 2 получены методом подбора. Как правило, подбор начинают с целых значений:  которые подставляют в заданные уравнения,  а для тригонометрических уравнений проверяют также "табличные" значения 

 

Объяснение.

Используя производную при решения некоторых уравнений, можно рассуждать по такой схеме.
Допустим, мы смогли подобрать два корня заданного уравнения вида  Чтобы доказать, что уравнение не имеет других корней, достаточно убедиться, что функция  имеет только два промежутка возрастания или убывания (на каждом из них уравнение  может иметь только один корень). Если функция  дифференцируемая на каком-то промежутке, то возрастание функции  на этом промежутке может измениться на убывание только в ее критических точках.
Например, если в точке  возрастание дифференцируемой (следовательно, и непрерывной) функции изменилось на убывание, то это означает, что в точке  функция имеет максимум, но тогда  — критическая точка. Таким образом, для того чтобы дифференцируемая на интервале функция имела на этом интервале не более двух промежутков возрастания и убывания, достаточно, чтобы на этом интервале она имела только одну критическую точку.

 

Пример №449

Решить при помощи указанной выше схемы уравнение

Решение.
Заданное уравнение имеет корни  и  Докажем, что других корней уравнение не имеет. Для этого достаточно доказать, что функция  имеет не больше двух промежутков возрастания или убывания. Действительно,  существует на всей области определения функции  Если  то   — единственная критическая точка функции  Если отметить эту критическую точку на области определения функции  (на множестве  то область определения разбивается на два промежутка: на промежутке  функция  убывает,  а на промежутке  возрастает. Тогда на каждом из этих двух промежутков уравнение  может иметь не больше одного корня, а всего будет не больше двух корней, которые мы уже подобрали. Следовательно, заданное уравнение имеет только эти два корня:  и 
Ответ: 1; 2.

При решении неравенств вида  методом интервалов часто приходится применять описанные выше приемы решения уравнений с использованием производной для нахождения нулей функции .

Пример №450

Решите уравнение                                                      (1)
Комментарий. 
Поскольку у нас нет формул, которые бы позволяли преобразовывать одновременно иррациональные и тригонометрические выражения, то попробуем решить заданное уравнение, используя свойства соответствующих функций. Оценим область значения функции: для функции, которая стоит в правой части уравнения это легко сделать без производной,  а для функции, которая стоит в левой части уравнения, удобней использовать производную.

Решение.
ОДЗ заданного уравнения  Оценим значения левой и правой частей уравнения. Поскольку    принимает все значения от (-1) до (1), то выражение  принимает все значения от 0 до 2, а функция
 принимает все значения от 0 до 4.
Следовательно, 
Функцию  исследуем при помощи производной.

 — существует на всей области определения функции 
— критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции  и находим знаки производной в каждом из полученных промежутков (рис. 10.1).
Непрерывная функция  имеет на интервале  только одну критическую точку — точку минимума (в ней производная меняет знак с "-" на "+"). Тогда в этой точке функция принимает свое наименьшее значение:  Следовательно, 
Учитывая, что заданное уравнение  равносильно системе  Но значение 4 функция  принимает только  что удовлетворяет второе уравнение  Следовательно, полученная система (и заданное уравнение) имеют единственное решение — 
Ответ: 4.

Уравнение (1) можно решить также при помощи способа "ищи квадратный трехчлен", в котором предлагается попробовать рассмотреть заданное уравнение как квадратное относительно какой-то переменной (или относительно какой-то функции).
Заданное уравнение можно записать так: 
Замена  где  дает уравнение  которое при  равносильно уравнению                               (2)
Если уравнение (2) рассмотреть как квадратное относительно переменной  то для существования корней его дискриминант должен быть неотрицательным. Следовательно,  Тогда  а учитывая, что  всегда,  получим  то есть  Однако в последнем неравенстве знак "больше" не может выполнятся (значение косинуса не бывает больше 1), следовательно, 
                                                                                                   (3)
Тогда уравнение (2) превращается в уравнение  откуда  Обратная замена дает:  следовательно,  что удовлетворяет уравнению (3).
Ответ: 4.

 

Пример №451

Решите уравнение.
                                                                                                            (1)
Учитывая громоздкость заданного уравнения, попробуем применить свойства соответствующих функций. Но и в этом случае нам не удастся использовать конечность ОДЗ (ОДЗ — бесконечная), оценку значений левой части уравнения (они находятся в пределах от  до ). Остается использовать монотонность функции, хотя и тут мы не можем непосредственно применять теоремы о корнях уравнения.
Тогда попробуем подобрать корни заданного уравнения  и доказать, что других корней нет. Последовательно подставляя  выясняем, что  то есть уравнение  имеет три корня.
Докажем, что других корней нет. Для этого достаточно доказать, что у функции  не больше трех промежутков возрастания или убывания,  а учитывая непрерывность  на всей числовой прямой, можно сказать, что у нее не более двух критических точек, то есть доказать, что уравнение  имеет не более двух корней.
Рассматривая теперь уравнение  после его преобразования, мы можем провести аналогичные умозаключения, но уже для двух корней.

Решение.
Обозначим  Поскольку 

то уравнение  имеет три корня:  Докажем, что других корней уравнение (1) не имеет.
Для этого достаточно доказать, что у функции  не больше трех промежутков возрастания или убывания,  а учитывая непрерывность функции  на всей числовой прямой, можно смело сказать, что функция имеет не более двух критических точек. 
Область определения 
Производная  существует при всех значениях  Следовательно, критическими точками могут быть только те значения  при которых  Получаем уравнение:                                    (2)
Чтобы доказать, что уравнение (2) имеет не более двух корней, достаточно доказать, что функция которая стоит в левой части уравнения, имеет не более двух промежутков возрастания или убывания, а учитывая непрерывность этой функции на всей числовой прямой, она имеет только одну критическую точку.
Действительно,  существует при всех значениях  Следовательно, критическими точками будут только те значения  при которых 
Получаем уравнение  Откуда  Последнее уравнение имеет единственный корень. Поэтому функция  имеет одну критическую точку и поэтому уравнение (2) имеет не более двух корней. Это означает, что функция  имеет не более двух критических точек. Тогда уравнение (1) имеет не более трех корней. Эти три корня мы уже знаем: Следовательно, других корней заданное уравнение не имеет.
Ответ: 

 

Пример №452

Решите систему уравнений: 
Заданная система равносильна системе:                           (1)
Рассмотрим функцию  Поскольку  всегда, то на своей области определения  функция  возрастает. Тогда первое уравнение системы (1), которое имеет вид  равносильно уравнению  Следовательно, система (1) равносильна системе
Подставляя  во второе уравнение системы, получим:
 Тогда 
Ответ: 

Комментарий.
Решить заданную систему при помощи равносильных преобразований не получится. Поэтому попробуем использовать свойства функций. Если в первом уравнении системы члены с переменной  перенести в одну сторону, а с  — в другую, то получим в правой и левой частях уравнения значение одной и той же функции. При помощи производной легко проверить, что эта функция возрастает. Но равенство  для возрастающей функции возможно только тогда, когда каждого своего значения возрастающая (или убывающая) функция может принимать только при одном значении аргумента. Коротко этот результат можно сформулировать так: если функция  возрастает (или убывает) на определенном множестве, то на это множестве 

 

Пример №453

Решите неравенство 
Решение.
Заданное неравенство равносильно следующему: 
Функция  непрерывная в каждой точке своей области определения, поэтому для решения неравенства можно использовать метод интервалов.

1. ОДЗ: 
2. Нули функции:  Найдем производную функции  Если обозначить  то  Но квадратичный трехчлен  имеет отрицательный дискриминант, тогда для всех - 
   Следовательно, для всех  значение Тогда функция  возрастает на всей числовой прямой,  и уравнение  может иметь только один корень. Поскольку  то  — единственный ноль функции .
3. Отмечаем нули на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (рис. 10.2).
                                          
   Ответ: 

Комментарий.
Заданное неравенство не получится решить при помощи равносильных преобразований, поэтому используем метод интервалов. Для этого неравенство необходимо привести к виду где  — непрерывная в каждой точке своей области определения функция, поскольку это многочлен.
Напомним схему решения неравенств методом интервалов.

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти нули функции: 
3. Обозначить нули на ОДЗ и найти знак функции  на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение  Поскольку его не удается решить при помощи равносильных преобразований, то целесообразно использовать свойства функции ,  в частности ее монотонность, которую можно объяснить при помощи производной.

Пример №454

Решите неравенство 
Комментарий.
Попробуем решить заданное неравенство методом интервалов. Для этого его необходимо привести к виду  (где функция  — непрерывная в каждой точке своей области определения).
При нахождении нулей функции для решения уравнения  целесообразно использовать свойства соответствующих функций, в частности оценку значений левой и правой частей уравнения вида  Значение функции  легко оценить без применения производной, а для исследования функции  используем производную. В данном случае внутри ОДЗ мы не найдем нулей функции . Но метод интервалов работает и в этом случае, только мы получаем единственный интервал, в котором функция сохраняет свой знак.

Решение.
Заданное неравенство равносильно неравенству:
                                                                                  (1)
Функция  непрерывная в каждой точке* своей области определения, поэтому для решения неравенства (1) можно использовать метод интервалов.

*Обычно, если учитывать, что в точке 3 функция  непрерывная справа, а в точке 4 — слева.

1.  ОДЗ: 
2. Нули:  Это уравнение равносильно следующему:                             (2)

Оценим значение функции  и которые стоят соответственно в левой и правой частях уравнения (2).
Поскольку 
Тогда 
Исследуем функцию  на ОДЗ неравенства (1), то есть при  Функция  непрерывная на отрезке поэтому она принимает наибольшее и наименьшее значения или на концах, или в критических точках этого отрезка.
не существует в точке 3 отрезка но эта точка не является внутренней точкой отрезка, следовательно не является и критической.
Выясним, когда 


Сравнивая значения  и  получим, что Следовательно,  Тогда уравнение (2) равносильно системе  Поскольку 2 — наибольшее значение функции  которое достигается при то уравнение имеет только один корень  который удовлетворяет и уравнение  (действительно, . Следовательно, функция  имеет только один ноль: 
Отметим нули функции на ОДЗ и найдем знак функции в полученном промежутке (рис. 10.3).
                                                         
Как видим, функция  не принимает положительных значений,  и в неравенстве (1) знак "больше" не может выполняться. Следовательно, будет выполнятся только знак "равно", но только при 
Ответ: 4.

Замечание.
Используя введенные обозначения, заданное неравенство запишем так:  После оценивания значений функций  и  и без метода интервалов делаем вывод, что неравенство  не может выполняться. Следовательно, заданное неравенство равносильно уравнению  которое равносильно системе: 
которая имеет единственное решение Но такое рассуждения можно применять только для решения этого конкретного неравенства, а метод интервалов — для произвольного неравенства вида  (где функция  непрерывная в каждой точке своей области определения). Из-за этого основным способом решения таких неравенства мы выбрали метод интервалов.

Применение производной для доказательства неравенств

Производную иногда применяют для доказательства неравенств c одной переменной. 
Приведем примерную схему доказательства неравенств вида  
(или ) при помощи производной.

1. Рассмотреть вспомогательную функцию  (на ее области определения или на заданном промежутке).
2. Исследовать при помощи производной поведение функции  (возрастание или убывание, а также ее наибольшее и наименьшее значения) на рассмотренном промежутке.
3. Подтвердить (опираясь на поведение функции  что  
   (или  на рассмотренном промежутке, и сделать вывод, что  (или  на этом промежутке.

Заметим, что при доказательстве некоторых неравенств эту схему приходится использовать несколько раз, а иногда удобно использовать вторую производную и выпуклость соответствующих функций.
 

Пример №455

Докажите неравенство  при 
Решение.
Для доказательства данного неравенства достаточно доказать неравенство при Рассмотрим функцию  при(Ее область определения  содержит заданный промежуток).
Производная  при  Следовательно, функция  возрастает на интервале  а учитывая непрерывность функции  в точке 1 (она непрерывная на всей области определения), получим, что функция  возрастает и на промежутке  Но  Тогда при значение  Следовательно,  то есть  при  что и нужно было доказать. (Отметим ,что при  значение  а при  заданное неравенство превращается в равенство.)
 

Пример №456

Докажите неравенство при 
Решение.
Заданное неравенство равносильно неравенству  Рассмотрим функцию Эта функция непрерывная на всей числовой прямой и имеет производную Теперь рассмотрим функцию  и докажем, что  на промежутке  Функция  непрерывная на всей числовой прямой, и ее производная  Учитывая, что  получим,  Следовательно, функция  возрастает на всей числовой прямой, в частности на промежутке  Тогда по определению возрастающей функции при  получим, что  
Но  то есть при  Это означает, что функция  возрастает на интервале  а поскольку она непрерывная,  то и на промежутке Тогда из неравенства  получаем неравенство  Но  следовательно,  при всех  Таким образом, на этом интервале выполняется неравенство а значит, и неравенство 

 

Пример №457

Докажите, что при всех выполняется неравенство 
Решение.
Если  то При   следовательно, на интервале  функция  выпуклая вверх. Тогда на этом интервале ее график лежит выше хорды ОА (рис. 10.4). 
                                     
Прямая ОА имеет уравнение  и проходит через точку 
Следовательно,  или  Тогда уравнение прямой 
Таким образом, при всех  выполняется неравенство 

Комментарий.
На таких интервалах, где функция  выпуклая вверх, график функции  лежит выше соответствующей хорды (рис. 10.5, а),  а на тех интервалах, где эта функция выпуклая вниз, — ниже хорды (рис. 10.5, б).
Попробуем использовать это при доказательстве заданного неравенства: при помощи второй производной исследуем функцию  на выпуклость, рассмотрим уравнение соответствующей хорды АВ и сравним его с уравнением прямой  (где  — функция из правой части неравенства).
                                     

 

Применение производной для решения задач с параметрами

При решении задач с параметрами можно использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы для исследования функции и построения ее графика, для записи уравнения касательных к графику функции, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. Следует также помнить те ориентиры, которые использовались для решения задач с параметрами  в классе. В частности, если в задании с параметрами идет речь о нескольких решений уравнения (неравенства или системы), то для анализа заданной ситуации удобно использовать графическую иллюстрацию решения.
 

Пример №458

Найдите все значения параметра а, при которых функция  убывает для всех 

Решение.
Область определения функции 
Функция дифференцируемая на всей числовой прямой: 
Заданная функция убывает для всех  если  на всей числовой прямой (причем, уравнение имеет конечное множество корней).
Если  то , и неравенство не выполняется на всей числовой прямой  только при 
Если то производная является квадратичной функцией относительно переменной , которая принимает значения  на всей числовой прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие                                         (1)
(при этом уравнение  может иметь только один корень).
Из неравенства  получаем 
Из неравенства  имеем:
 
                                                                                                                             (2)
Учитывая полученное условие  получаем, что  Тогда из неравенства (2) имеем  то есть  Следовательно, система (1) равносильна системе 
Отсюда получаем 
Ответ: 

Комментарий.
Используем уточненный вариант условия убывания функции.
Если  в каждой точке интервала  (причем уравнение  имеет только конечное множество корней), то функция  убывает на этом интервале.
Это условие не только достаточное, но и необходимое для дифференцируемой на интервале функции  (если на каком-то интервале функция  дифференцируемая и убывает, то  на этом интервале). 
Следовательно, условие задачи могут удовлетворить те и только те значения параметра, которые мы найдем по этому условию.
Анализируя производную заданной функции, учтем, что она является квадратичной функцией только в случае, когда  (то есть ).
поэтому случай  необходимо рассмотреть отдельно.
Для квадратичной функции вспомним все возможные варианты расположения параболы относительно оси абсцисс (см. таблицу ниже) и выясним, когда неравенство  выполняется для всех 

Заметим, что неравенство  (при ), которое свелось к неравенству (2), можно было решить отдельно методом интервалов, или при помощи графика квадратичной функции (исключая точку с абсциссой  ), и уже потом найти специальное решение системы (1).
 

Пример №459

Найдите наименьшее значение  при котором график функции  касается оси абсцисс.

Решение.
По условию ось абсцисс (которая содержит уравнение и угловой коэффициент 0) должна быть касательной к графику функции.

Если  — абсцисса точки касания, то, учитывая геометрический смысл производной, получаем  Касательной будет именно ось абсцисс (а не параллельная ей прямая, которая имеет такой же угловой коэффициент), если Поскольку 
  то                                                                                            (1)
При уравнение (1) не имеет решения (получаем уравнение 
При  получаем:  
Тогда, 
Выясним, при каких  значение  Учитывая ,что  получим:
                                                                   
Следовательно, при этих значениях  график функции  касается оси абсцисс. Наименьшее из этих значений 
Ответ: 0,5.

Комментарий.
Для того чтобы график функции касался оси абсцисс, необходимо, чтобы ось абсцисс была касательной к этому графику. Учитывая, что уравнение оси абсцисс полученную ситуацию можно исследовать двумя способами.

1. Если касательная к графику функции  в точке с абсциссой  имеет уравнение то угловой коэффициент касательной равен 0. Тогда по геометрическому смыслу производной 
Но угловой коэффициент 0 имеет не только ось абсцисс, но и все прямые, которые параллельны оси  (рис. 11.1, а, б). Касательной будет именно ось абсцисс, если точка касания М расположена на оси (рис. 11.1, а), то есть ордината равна 0, следовательно 
                        

2.  Можно также записать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой   и сравнить полученное уравнение с уравнением оси абсцисс:  (снова получим те же самые условия  и 

Применяя каждый из указанных способов решения, при исследовании уравнения , случай  необходимо исследовать отдельно.

 

Пример №460

Найдите все значения а, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Решение.
ОДЗ: На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно следующему: 
Замена  (где  и  по ОДЗ) дает равносильное уравнение:                                                                                                                                          (1)
Для заданного уравнения условие задачи будет выполняться тогда и только тогда, когда уравнение (1) будет иметь хотя бы один ненулевой корень на промежутке Для этого достаточно обеспечить, чтобы число а входило в область определения функции  при  и Найдем область значений. Производная  существует на всей числовой прямой, и   при   (критические точки не входят в отрезок  поскольку  Следовательно, на всем заданном отрезке  сохраняет свой знак. Поскольку  то  при то есть функция  убывает на  Тогда ее наибольшее значение на этом отрезке равно а наименьшее 
Учитывая, что получаем, что при  и  непрерывная функция  принимает все значения из промежутков 
Именно при этих значениях а и будет выполняться требование задания.
Ответ: 

Комментарий.
Начнем решать заданное уравнение по схеме решения тригонометрических уравнение:  пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу, если удалось привести к одному аргументу, дальше пробуем привести все тригонометрические выражения  к одной функции.
Указанные два этапа можно выполнить одновременно, используя формулы:
                                                    
После замены  для исследования существования корней в полученном кубическом уравнении удобно использовать графическую иллюстрацию решений (сведя уравнение к виду  Можно также найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции заданной на отрезке, или воспользоваться свойствами функции на промежутке исследованных при помощи производной. Напомним, что после замены переменной требование задачи в заданиях с параметрами чаще всего изменяется, поэтому необходимо выяснить новые требования для уравнения (1).
Отметим, что достаточно наглядной является графическая иллюстрация решения (рис. 11.2), но исследование функции  для построения графика оказывается более громоздким, чем в приведенном решении.
                                         

Дифференциал функции

Пусть функция  в точке  имеет производную 
Дифференциалом функции  в точке  называют произведение производной   на приращение аргумента  в точке .

Дифференциал функции обозначают символом  
Тогда                                                                                                              (1)

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала. На рис. 12.1 МВ — касательная в точке М к графику функции  длина отрезка МА =
Поскольку по геометрическому смыслу производной из прямоугольного треугольника АМВ получаем,  то есть  Поэтому длина отрезка АВ равна величине дифференциала функции  в точке 
Учитывая, что  можно сформулировать геометрический смысл понятия дифференциала: 
 

С геометрической точки зрения,  является приращением ординаты касательной, проведенной к графику функции  в точке  которому соответствует приращение аргумента 

При нахождении дифференциала функции  в любой точке  на основании формулы (1) получим:
                             (2)
Это равенство справедливо для любой функции. В частности, для функции  равенство (2) превращается на такое: Отсюда получаем, что дифференциал аргумента равен приращению аргумента 
Подставляя вместо  в формулу (2), получим:
             (3)
На равенстве (3) основывается нахождение дифференциала функции.
                                          

 

Пример №461

Найти  для функции 

Решение.
Поскольку  то Равенство (3) показывает, что между понятиями производной и дифференциала существует тесная связь. Поэтому и правила нахождения дифференциалов аналогичны правилам дифференцирования функции: 

Поясним, например, правило 2:
По определению производной Используя понятие бесконечно малой функции, это равенство можно записать так:  где  при  Тогда приращение дифференцируемой в точке  функции  равно:  где  при 
Первое слагаемое правой части неравенства — дифференциал функции, следовательно:        (4)
Учитывая, что  при    получаем, что второе слагаемое при  стремится к нулю быстрее, чем  В этом случае говорят, что  является величиной более высокого порядка малости, чем  то есть второе слагаемое значительно меньше чем первое. Это позволяет сделать следующий вывод:

• дифференциал функции  является главной частью приращения функции.

С геометрической точки зрения, при  расстояние ВС становится значительно меньше, чем расстояние  поэтому  главная часть отрезка 
Если в равенстве (4) пренебречь вторым слагаемым (которое при малых значениях  значительно меньше, чем первое слагаемое), то получим приблизительное равенство  
то есть  Тогда                   (5)
Последнее равенство используют при приблизительных вычислениях значения функции, если  и  не сложно вычислить.

Пример №462

Используя формулу (5), найдите ближайшее значение 

Решение.
Если рассмотреть функцию то  Возьмем  Тогда и 
По формуле (5) имеем: При и  получаем   
Значение  посчитанное на калькуляторе, равно 

Комментарий.
При вычислении значения по формуле (5) рассматриваем функцию и берем за  число 9, поскольку 9,06 ближе к 9. Тогда  и значение   легко найти при   = 9.

Показательная функция, ее свойства и график

1. Понятие показательной функции и ее график.
Определение. Показательной функцией называют функцию вида  где  и 
График показательной функции (экспонента)


2. Свойства показательной функции.

1. Область определения: 
2. Область значений: 
3. Функция ни четная ни нечетная.
4. Точки пересечения с осями координат:  
5. Промежутки возрастания и убывания:
   — функция возрастает на всей области определения.
   — функция  убывает на всей области определения.
6. Промежутки знакопостоянства:  при всех значениях 
7. Наибольшего и наименьшего значения функции нет.
8. Для любых действительных значений  и   выполняется равенство:
    

Понятие показательной функции и ее график

Показательной функцией называют функцию вида  где  и 
Например,  показательные функции.
Обратим внимание, что функция вида существует и при   
Тогда  то есть  при всех значениях  Но в этом случае функция — прямая, изображенная на рис. 13.1.
                                                     
Поскольку при выражение  определено при всех действительных значениях  то областью определения показательной функции  являются все действительные числа.
Попробуем сначала построить график некоторых показательных функций, например  и "по точкам", а потом перейдем к характеристике общих свойств показательной функции. Составим таблицу некоторых значений функции 

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 13.2, а) и соединим их плавной линией, и будем считать ее графиком функции 
Как видим из графика, функция  является возрастающей функцией, которая принимает все значения из промежутка 
Аналогично составим таблицу некоторых значений функции 


Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 13.3, а) и соединим их плавной линией, которую принято называть графиком функции  (рис. 13.3, б). Как видим из графика, функция — убывающая функция, которая принимает все значения из промежутка 
Заметим, что график функции  можно получить из графика функции  при помощи геометрических преобразований. Действительно,  Следовательно, график функции  симметричный  графику функции   относительно оси , и поэтому, если функция  — возрастающая, то функция — обязательно убывающая.


Оказывается, всегда при  график функции  похож на график функции  а при — на график функции (рис. 13.4).
График показательной функции называют экспонентой.


 

Свойства показательной функции

Как сказано выше, областью определения показательной функции  являются все действительные числа: 
Область значений функции  — множество всех положительных чисел, то есть функция  принимает только положительные значения, причем любое положительное число является значением функции, или 
Это означает, что график показательной функции  всегда расположен выше оси , и любая прямая, которая параллельна оси  и находится выше нее, пересекает этот график.
При  функция  возрастает на всей области определения,  а при  функция  убывает на всей области определения.

Объяснение области значений и промежутков возрастания и убывания показательной функции проводится так: эти свойства проверяются последовательно для натуральных, целых, рациональных показателях, а потом уже переносятся на произвольные действительные показатели. Но необходимо учитывать, что при введении понятия степени с иррациональным показателем мы уже пользовались возрастанием функции, когда рассматривали такие примеры:  
Функция — ни четная, ни нечетная, поскольку  ( по определению ). Так же  поскольку , а 
Точки пересечения с осями координат. График функции пересекает ось  в точке  Действительно, на оси  значение тогда 
График показательной функции не пересекает ось  поскольку на оси  а значение  не входит в область значения показательной функции только при но по определению  
Промежутки знакопостоянства.    при всех действительных значениях  поскольку  при 
Отметим еще одно свойство показательной функции. Поскольку график функции пересекает ось  в точке  то, учитывая возрастание функции при   и убывание при получаем такие соотношения между значениями функции и соответствующими значениями аргумента:

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений, поскольку ее область значений — промежуток  который не содержит ни наименьшего, ни наибольшего числа.
Свойства показательной функции:

Отметим еще одно свойство показательной функции, которое выделяет ее среди других функций:
Действительно, В курсе высшей математики это свойство (вместе со строгой монотонностью) является основой аксиоматического определения показательной функции. В этом случае дается определение, что показательная функция  это строго монотонная функция, определена на всей числовой оси, которая удовлетворяет функциональное уравнение   а потом оговаривается, что функция  совпадает с функцией 
Кроме общих свойств показательной функции при  и при  отметим некоторые особенности поведения графиков показательных функций при конкретных значениях  Так на рис. 13.5 приведены графики показательных функций  при значениях основания 
                                          
Сравнивая эти графики, можно сделать вывод: чем больше основание  тем круче поднимается график функции   при движении точки вправо, и тем быстрее график приближается к оси  при движении точки влево. Аналогично, чем меньше основание тем круче поднимается график функции   при движении точки влево,  и тем быстрее график приближается к оси , при движении точки вправо.
Рассмотрим причины, которые мешают рассматривать показательную функцию с отрицательным или нулевым основанием.
Ясное дело, что выражение  можно рассматривать и при и при  но в этих случаях выражение уже будет определено не при всех действительных значениях как показательная функция  В частности, выражение  определено при всех  (и тогда а выражение — при всех целых значениях (например, ).  По этой причине и не берут за основание показательной функции (получаем постоянную функцию при  и (получаем функцию, определенную только при достаточно "редких" значениях Однако приведенные рассуждения относительно допустимых значений выражения (например, как мы видели выше, пара значений входит в его ОДЗ, и это приходится учитывать при решении некоторых заданий).

 

Пример №463

Сравните значения выражений.


Решение.
1) Функция убывающая поэтому из неравенства  получим 
2) Функция  возрастающая поэтому из неравенства 
получим 
Комментарий.
Учитывая, что функция  при  возрастает,  а при убывает. Следовательно, сначала проверяем заданное основание а с единицей,  а потом, сравнивая аргументы, сделаем вывод о соотношении между заданными значениями функции. 

Пример №464

Сравните с единицей положительное основание а, если известно, что выполняется неравенство: 
Решение.
1) Поскольку  и по условию  то функция  — убывающая, следовательно 
2) Поскольку  и по условию то функция  — возрастающая, следовательно, 

Комментарий.
Заданные в каждом задании выражения — это два значения функции  Проанализируем, какое значение функции соответствует большему значению аргумента (для этого сначала сравним аргументы). Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция — возрастающаяесли соответствует меньшее значение функции, то функция  — убывающая, и 

 

Пример №465

Постройте график функции: 
Комментарий.
При  значение  следовательно, график функции всегда расположен выше оси  Этот график пересекает ось  в точке 
При  показательная функция  возрастает,  следовательно, ее графиком будет кривая (экспонента), точки которой при увеличении аргумента поднимаются вверх.
При показательная функция    убывает,  следовательно, графиком функции  будет кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются вниз. (Напомним, что, опускаясь вниз, график приближается к оси  но никогда ее не пересекает.)
Чтобы уточнить поведение графиков заданных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение.


 

Пример №466

Изобразите схематически график функции 
Комментарий.
Составим план построения графика заданных функций при помощи последовательных геометрических преобразований.

1. Мы можем построить график функции  (основание — показательная функция убывает).
2. Затем можно построить график функции  справа от оси  (и на самой оси) график функции  остается без изменений, и именно эта часть графика — симметрия относительно оси 
3. После этого можно построить график функции  параллельно перенести график  вдоль оси  на (–3) единицы.
4. Дальше можно построить график заданной функции выше оси   (и на самой оси) график функции  должен остаться без изменений, но таких точек у графика функции нет,  а ниже оси  (то есть весь график функции  необходимо отразить симметрично относительно оси ).

Решение.
Построим графики функций:


 

Решение показательных уравнений и неравенств 

Простейшие показательные уравнения:

Показательными обычно называют уравнения, в которых переменная входит в показатель степени (а основание этой степени не содержит переменной). Рассмотрим простейшее показательное уравнение:                                          (1)
где  и  Поскольку при этих значениях  а   функция строго монотонная (возрастает при  и убывает при  то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Это означает, что уравнение  при имеет единственный корень. Чтобы его найти, достаточно подать в виде  Очевидно, что — корень уравнения Графически это показано на рис. 14.1.


Например, чтобы решить уравнение достаточно подать его в виде  и записать единственный корень 
Если  то уравнение (при  корней не имеет, поскольку  — всегда больше нуля. (На графиках, приведенных на рис. 14.2, прямая не пересекает график функции при 
Например, уравнение не имеет корней.
Обобщая приведенные выше соображения относительно решения простейших показательных уравнений, отметим, что при  и  уравнение 
                                                                                    (2)
равносильно уравнению                                (3)

Кратко это утверждение можно записать так: при  и 


Чтобы объяснить эту равносильность, достаточно заметить, что равенства (2) и (3) могут быть правильными только одновременно, поскольку функция  — строго монотонная и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента t (то есть из равенства степени (2) обязательно вытекает равенство показателей (3)). Следовательно, все корни уравнения (2) (которые превращают это уравнение в правильное равенство) будут и корнями равенства (3), и наоборот, все корни уравнения (3) будут корнями уравнения (2). А это и означает, что уравнения (2) и (3) — равносильные.
В простейших случаях при решении показательных уравнений необходимо при помощи основных формул, действий над степенями привести (если это возможно) заданное уравнение к виду Для решения более сложных показательных уравнений чаще всего используют замену переменных или свойства соответствующих функций.
Как известно, все равносильные преобразования уравнения всегда выполняются на его области допустимых значений (ОДЗ), то есть на общей области определения для всех функций, которые входят в запись этого уравнения. Однако в показательных уравнениях чаще всего областью допустимых значений является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ не находят и не записывают для решения уравнения (примеры 1-3). Если же в процессе решения показательных уравнений равносильные преобразования выполняются на всем множестве действительных чисел, то приходится учитывать ОДЗ (пример 4).
 

Пример №467

Решите уравнения: 
Решение.
1)  
2)  — корней нет, поскольку  всегда.
3) 

Комментарий.
При  всегда  поэтому уравнение  не имеет корней. Другие уравнения приведем к виду  (где  и ) и перейдем к равносильному уравнению 

 

Пример №468

Решите уравнения: 
Решение.
1) Заданное уравнение равносильно уравнению:  
Ответ: 5.

2) Заданное уравнение равносильно уравнению:  
Ответ: 1.

Комментарий.
Левая и правая части заданных уравнений содержат только произведение, частное, корни или степени. В этом случае для приведения уравнения к виду попробуем использовать основные формулы действий над степенями, чтобы записать обе части уравнения, как степени с одинаковым основанием.
В уравнении 1, необходимо обратить внимание на то, что а и  Следовательно, левую и правую части этого уравнения можно записать как степень числа 5. Для преобразования уравнения 2 вспомним, что все формулы можно использовать как слева направо, так и справа налево, например, для левой части этого уравнения воспользуемся формулой  то есть 

 

Пример №469

Решите уравнение 
Решение.
Заданное уравнение равносильно уравнению 
Ответ: 1.

Комментарий.
В левой части уравнения все члены содержат выражение вида   (показатели степеней отличаются только свободными членами). В этом случае удобно вынести за скобки в левой части уравнения наименьшую степень числа 3, то есть 

Пример №470

Решите уравнение 
Решение.
ОДЗ: 
Рассмотрим два случая:
1) При  получим уравнение   корни которого — все действительные числа с ОДЗ, то есть 
2) При  значение и тогда заданное уравнение равносильно уравнению 
Отсюда  тогда 
Ответ: 1) при  2) при 

Комментарий.
Это уравнение относительно переменной  которое содержит параметр  Проанализировав основание степеней в этом уравнении, делаем вывод, что при любых значениях  основание Функция  при  возрастает, а при  — постоянная. Основание  при  а при всех других значениях  основание Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно, то есть  и 

 

Решение более сложных показательных уравнений и систем

Пояснения и обоснования.
Для решения более сложных показательных уравнений чаще всего используют замену переменных. Чтобы сориентироваться, можно ли ввести замену переменных в данном показательном уравнении, часто бывает полезно сначала избавиться от численных слагаемых в показателях степени, используя формулу  
Например, в уравнении                                                                    (1)
вместо  записываем произведение 
и получаем уравнение                                                                       (2) равносильное заданному.
Затем пробуем все степени (с переменной в показателе) привести к одному основанию и выполнить замену переменной. Например, в уравнении (2) степень с основанием 4 можно записать как степень с основанием 2:  и получим уравнение:                                                                        (3)
Вспомним общий ориентир: если в уравнения, неравенства или тождества переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной). Обратим внимание на то, что  Следовательно, в уравнении (3) переменная фактически входит в одном виде  поэтому в него удобно ввести переменную  и получить квадратное уравнение               (4)
Находим корни для этого уравнения, а затем выполняем обратную замену.
Отметим, что использование как основных формул действий над степенями, так и замены, или обратной замены всегда приводит к уравнению, равносильному данному на его ОДЗ, из-за того что все указанные преобразования мы можем выполнить и в прямом, и в обратном направлениях. 
В тех случаях, когда все степени (с переменной в показателе) в показательном уравнении, которое не сводится непосредственно к простейшему, не удается привести к одному основанию, необходимо попробовать привести все степени к двум таким основаниям, чтобы получить однородное уравнение.
Например, рассмотрим уравнение                                          (5) Все степени в этом уравнении можно записать через основания 2 и 3, поскольку 
                                                             
Получаем уравнение                                                                 (6)
Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень  (степень одночлена  так же равна 
Напомним общее правило: если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень*, то уравнение называется однородным.
Решается однородное уравнение делением обеих частей на наивысшую степень одной из переменных.
Следовательно, уравнение (6) — однородное, и его можно решить делением обеих частей или на  или на  Отметим, что при всех значениях может случиться потеря корней и в результате деления обеих частей уравнения на любое из этих выражений всегда получаем уравнение, равносильное заданному. Например, если разделить обе части уравнения (6) на получим  или после сокращения  
В последнем уравнении все члены можно представить как степени с одним основанием:  и выполнить замену   Дальнейшее решение полученного уравнения полностью аналогично решению уравнения (2).
Когда мы ищем план решения показательных уравнений, необходимо учитывать, что при решении некоторых из них целесообразно перенести все члены уравнения в одну сторону и попробовать разложить полученное выражение на множители, например, использовать метод группировки. Для решения некоторых показательных уравнений можно использовать свойства соответствующих функций.

*Обычно, если уравнение имеет вид  (где  — многочлен), то говорится только про степень членов многочлена , поскольку нулевой многочлен степени не имеет. Как уже отмечалось, замена и обратная замена — это равносильные преобразования заданного уравнения, но при решении полученного дробного уравнения необходимо учитывать возможность появления посторонних корней (для этого, например, достаточно учесть, что тогда ОДЗ полученного уравнения:  и ).

Пример №471

Решите уравнение 

Решение.
Замена  Получим  Тогда  Откуда 
Обратная замена  — корней нет, или тогда 
Ответ:  1.

Комментарий.
В заданном уравнении замена возможна только такая  поэтому удобно ввести замену и получить дробное уравнение. Находим его корни, и потом выполняем обратную замену.

 

Пример №472

Решите уравнение 

Решение.
 
Замена  дает уравнение 
Обратная замена:  тогда  или — нет корней.
Ответ: 0.

Комментарий.

1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степени.
2. Приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию 5.
3. Выполняем замену  решаем полученное уравнение, выполняем обратную замену и решаем полученное простейшее показательное уравнение (а также учитываем, что все преобразования были равносильными).

Пример №473

Решите уравнение 

Решение.
    


Ответ: 2.

Комментарий.

1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степени, переносим все члены уравнения в одну сторону и приводим подобные.
2. Замечаем, что степени всех членов полученного уравнения — одинаковые —  следовательно уравнение однородное. Его можно решить делением обеих частей на наивысшую степень одного из видов выражения с переменной — или на  или на  Учитывая, что  при всех значениях  в результате деления на  получаем уравнение, равносильное предыдущему (а соответственно и заданному).

При решении системы уравнений, содержащих показательные функции, чаще всего используют традиционные методы решения систем уравнений: метод подстановки и метод замены переменных.

Пример №474

Решите систему уравнений 
Решение.
Из первого уравнения системы 
Тогда из второго уравнения получаем  то есть  Замена  дает уравнение  из которого получаем уравнение  которое имеет корни:   Обратная замена дает  тогда  или   Находим соответствующие значения 
если 
если 
Ответ: 

Комментарий.
Если из первого уравнения выразить  через  и подставить во второе уравнение, то получим показательное уравнение, которое мы умеем решать (аналогично примеру 2). Выполняя замену, учитываем, что  Тогда в полученном дробном уравнении  знаменатель  Следовательно, это дробное уравнение равносильно уравнению 
 

Пример №461

Решите систему уравнений 
Решение.
Замена  и  дает систему 
Из второго уравнения этой системы имеем Тогда из первого уравнения получаем  Откуда  тогда  Обратная замена дает  тогда  следовательно, 
 тогда  следовательно, 
Ответ: 

Комментарий.
Если обозначить   и , то  и 
Тогда заданная система будет равносильна алгебраической системе, которую легко решить. После обратной замены получаем систему простейших показательных уравнений.

 

Решение показательных неравенств

1. График показательной функции  




2. Схема равносильных преобразований простейших показательных неравенств.
   знак неравенства сохраняется.
 знак меняется на противоположный.

Примеры:

1.  функция  возрастает, следовательно 
   Ответ: 
    
2. функция  убывает, следовательно: 
   Ответ: 

Решение более сложных показательных неравенств

1. При помощи равносильных преобразований заданное неравенство сводится к неравенству известного вида (квадратного,  дробного и так далее). После решения полученного неравенства получаем простейшие показательные неравенства.
   Пример.  
   
   Замена  дает неравенство решения которого  или    

Обратная замена дает  (решений нет) или   то есть  

Ответ: 

2. Применим общий метод интервалов. Приведем заданное неравенство к виду  и используем схему:
1) Найти ОДЗ.
2) Найти нули функции 
3) Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак  в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4) Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Пример.

​​​​​Решим неравенство методом интервалов. Заданное неравенство равносильно неравенству  Обозначим 
1)    ОДЗ: 
2)   Нули функции:   Поскольку функция — возрастающая (как сумма двух возрастающих функций), то значение, равное нулю, она принимает только в одной точке области определения:    
3)   Отметим нули функции на ОДЗ, найдем знак  на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и запишем решения неравенства     
Ответ:   

Решение простейших показательных неравенства вида (или  где  и  основывается на свойствах функции  которая возрастает при  и убывает при  Например, чтобы найти решение неравенства при достаточно представить  в виде  Получаем неравенство                                         (1)
При  функция  возрастает, следовательно, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем  (знак этого неравенства совпадает со знаком неравенства (1)).

При функция  убывает, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем  (знак этого неравенства противоположный  знаку неравенства (1)).
Графически это продемонстрировано на рис. 14.3.

Например, чтобы решить неравенство  достаточно записать это неравенство в виде учитывая, что (функция  возрастает, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства не меняется), и решение записывается так: 
Заметим, что решение данного неравенства можно записать в виде или в виде промежутка 
Аналогично, чтобы решить неравенство достаточно записать его в виде  учитывая, что  (функция  убывает, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный), и записать решение можно так: 
Учитывая, что при любых положительных значениях   значение  всегда больше нуля, получим, что при  неравенство  решений не имеет, а неравенство  выполняется при всех действительных значениях 

Например, неравенство  не имеет решений, а решениями неравенства  являются все действительные числа.
Обобщая приведенные выше соображения относительно решения простейших показательных неравенств, отметим, что:
при  неравенство  равносильно неравенству  
а при  — неравенству 

при  — знак неравенства сохраняется.
при — знак меняется на противоположный.

Чтобы объяснить равносильность соответствующих неравенств, достаточно отметить, что при  неравенства:
                      (2)
                     (3)
могут быть верными только одновременно, поскольку функция  при  является  возрастающей и большему значению функции соответствует большее значение аргумента (и наоборот: большему значению аргумента соответствует большее значение функции). Следовательно, все решения неравенства (2) (которые превращают его в верное числовое равенство) будут и решениями неравенства (3), и наоборот: все решения неравенства (3) будут решениями неравенства (2). А это означает, что неравенства (2) и (3) — равносильные.
Аналогично объясняется равносильность неравенств 
  и  при 
В простых случаях при решении показательных неравенств, как и при решении показательных уравнений, необходимо при помощи основных формул действий над степенями привести (если это возможно) заданное неравенство к виду  Для решения более сложных показательных неравенств чаще всего используют замену переменных или свойства соответствующих функций.
Аналогично к решению показательных уравнений, все равносильные преобразования неравенств всегда выполняются на их области допустимых значений (ОДЗ), то есть на общей области определения для всех функций, которые входят в запись этого неравенства. Для показательных неравенств достаточно часто ОДЗ — множество всех действительных чисел, тогда ОДЗ вообще не находят и не записывают в решение неравенства (смотреть пример 1). Если же в процессе решения показательного неравенства равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то приходится вспоминать об ОДЗ (пример 2).

Пример №476

Решите неравенство 

Решение.

 Поскольку функция  убывает, то  
Отсюда 
Ответ: 

Комментарий.
Запишем правую часть неравенства как степень числа  Поскольку,  то при переходе от степени к показателю знак неравенства меняется на противоположный (получаем неравенство, равносильное заданному). Для решения полученного квадратичного неравенства используем графическую иллюстрацию.

Пример №477

Решите неравенство  

Решение.
ОДЗ:  Замена  дает неравенство которое равносильно неравенству 
Поскольку  получаем Отсюда Учитывая, что  получаем Выполняя обратную замену, получаем 
Тогда Функция  возрастает, следовательно  Учитывая ОДЗ, получаем 
Ответ: 

Комментарий.
Поскольку равносильные преобразования неравенств выполняются на ОДЗ начального неравенства, то зафиксируем эту ОДЗ. Используя формулу  избавимся от числового слагаемого в показателе степени и получим степени с одинаковыми основаниями 3,  что позволяет ввести замену переменной, где 
После выполнения обратной замены необходимо учесть не только возрастание функции но и ОДЗ начального неравенства.
 

Пример №478

Решите неравенство 
Решение.
Решим неравенство методом интервалов. Обозначим 
1.  ОДЗ: 
2.  Нули функции:  

Замена Получаем Обратная замена дает  Откуда  или х = –1.

3.  Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак в каждом из полученных промежутков и записываем решения неравенства 

Ответ: 

Комментарий.
Заданное неравенство можно решать или приведением к алгебраическому неравенству или методом интервалов.
При нахождении нулей функции приведем все степени к двум основаниям, чтобы получить однородное уравнение. Это уравнение решается при помощи деления обеих частей на наивысшую степень одного из вида переменных — на  Учитывая,  что при всех значениях в результате деления на  получим уравнение, равносильно предыдущему.
Конечно, для решения заданного неравенства можно учесть, что всегда, и после деления заданного неравенства на и замены  получим алгебраическое неравенство.

Пример №479

Решите неравенство 
Комментарий.
Заданное нестрогое неравенство удобно также решить методом интервалов. Записывая ответ, необходимо учесть, что в случае, когда мы решаем нестрогое неравенство  все нули функции  должны войти в ответ.

Решение.
Обозначим  
1.  ОДЗ:  Тогда  или 
                    
2. Нули функции:  
Тогда  или 
Из первого уравнения:  — не входит в ОДЗ, из второго: 
3.  Обозначаем нули  на ОДЗ, находим знак  на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решения неравенства 
                    
Ответ:  или 

Логарифм числа

Определение. Логарифмом положительного числа   по основанию  называется показатель степени, в которую необходимо возвести , чтобы получить Обозначение:

Примеры.
 поскольку 
 поскольку 
 

Определение. Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Обозначение: 
Пример.
1)  поскольку 
 

Определение. Натуральный логарифм — это логарифм по основанию е (е — иррациональное число, приближенное значение которого равно 
Обозначение: 
Пример.
1) поскольку 

2. Основное логарифмическое тождество.
             
Примеры.



3. Свойства логарифмов и формулы логарифмирования. 
                                  
— логарифм единицы при любом основании равен нулю.
     — логарифм числа по основанию того же самого числа равен 1.
— логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
 — логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
— логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.


4. Формула перехода к логарифму с другим основанием.

Следствие:    
 

Пояснение:

Если рассмотреть равенство то зная любых два числа из этого равенства можно найти третье.

Первые две операции, представленные в таблице (возведение в степень и извлечение -й степени), нам уже известны,  а с третьей — логарифмированием, то есть нахождением логарифма заданного числа, — мы познакомимся в этой лекции.
В общем виде операция логарифмирования позволяет в равенстве  (где  найти показатель  Результат выполнения этой операции обозначается  Следовательно,
логарифмом положительного числа  по основанию называют показатель степени, в какую нужно возвести , чтобы получить .
Например:
 поскольку 
 поскольку 
 поскольку 
Отметим, что при положительных  и  уравнение  всегда имеет единственное решение, поскольку функция  принимает все значения из промежутка  и при — возрастающая, а при  — убывающая (рис. 15.1). Следовательно, каждое свое значения  функция принимает только при одном значении  Таким образом, для любого положительного числа   и    уравнение  имеет единственный корень 


При  уравнение  не имеет корней, следовательно, при  значение выражения  не существует.
Например, не существует значение выражения 
Не так давно десятичные логарифмы были более частые в использовании, чем обычные.  Для них составлялись подробные таблицы, которые использовали для разных вычислений. В эпоху общей компьютеризации десятичные логарифмы потеряли свою актуальность. В современной науке и технике широко используют логарифмы, основой которой является число е (такое же знаменитое, как и число  Число е, как и число  — иррациональное, Логарифм по основанию е называют натуральным логарифмом и обозначают 
Например:  

Основное логарифмическое тождество

По определению логарифма, если  то  Подставляя в последнее неравенство вместо  его значение, получаем равенство, которое называется 

основным логарифмическим тождеством:

Например: 

 

Свойства логарифмов и формулы логарифмирования

Во всех приведенных ниже формулах  и 

1.  Из определения логарифма получаем, что поскольку  (при  Следовательно, логарифм единицы по любому основанию  будет равен нулю.
2. Поскольку   то 
3. Чтобы получить формулу логарифма произведения  обозначим  и  Тогда по определению логарифма  и                                                                                                                           (1)
   После почленного умножения двух последних равенств, получим  По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего неравенства получаем:  
   Следовательно,                                                        (2)
   Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
4. Аналогично, чтобы получить формулу логарифма частного   достаточно разделить почленно равенство (1). Тогда  По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего неравенства получаем: 
   Следовательно:                                          (3)
   Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
5.  Чтобы получить формулу логарифма степени   (где  обозначим  По определению логарифма  тогда  По определению логарифма и с учетом обозначения для    имеем Следовательно:                              (4)
   Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Учитывая, что при  по формуле (4) имеем  Таким образом, при  можно пользоваться формулой 
Эту формулу можно не запоминать, а каждый раз записывать корень из положительного числа как соответствующую степень.

Замечание. Иногда приходится находить логарифм произведения  , и в том случае, когда числа   и    — отрицательные  Тогда  и  существует, но  формулу (2) применить мы не можем — она подходит только для положительных значений    и   . В случае  имеем  и теперь    и     следовательно, для логарифма произведения можно использовать формулу (2). Поэтому при  и можем записать 
Полученная формула справедлива и при    и     поскольку в этом случае     Следовательно,
при                                    (2')
при                                         (3')
при                                                        (4')

Формулы перехода от одного основания логарифма к другому

Пусть  Тогда по определению логарифма  Прологарифмируем обе части последнего равенства по основанию  Получим 
Используя в левой части этого неравенства формулу логарифма степени, имеем  Тогда Учитывая, что  получаем:
где 
Следовательно,  логарифм положительного числа    по старому основанию    равен логарифму этого самого   по новому основанию  , деленному на логарифм старого основания по новому основанию .
На основании последней формулы получаем такие следствия:

1. Учитывая, что  имеем  где 
2. аналогично, учитывая формулу перехода от одного основания логарифма к другому и формулы логарифма степени, получаем (при  
   Записав полученную формулу справа налево получим: где 

Пример №480

Вычислите:     

Решение.
 поскольку 
 поскольку 
Комментарий.
Учитывая определение логарифма, необходимо подобрать такой показатель степени, чтобы при возведении основания логарифма в эту степень, получали число, которое стоит под знаком логарифма.

Пример №481

Запишите решение простейших показательных уравнений:


Решение.

  

Комментарий.
Для любых положительных чисел   и  уравнение  имеет единственное решение. Показатель степени  в который нужно возвести основание  чтобы получить  называют логарифмом b по основанию  поэтому 

 

Пример №482

Выразить логарифм по основанию 3 выражения  (где  и  через логарифмы с основанием 3 чисел и  (Коротко говорят, "прологарифмировать выражение по основанию 3").

Решение.

Комментарий.
Сначала запишем выражение в числителе и знаменателе как степень чисел и букв. Затем учтем, что логарифм частного  положительных чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя, также учтем, что логарифм произведения  равен сумме логарифмов множителей.

Пример №483

Известно, что Выразите через  и 

Решение.


Комментарий.
Сначала запишем число 700 как произведение степеней заданных чисел 5 и 7 и основания логарифма 2, а затем используем свойство логарифмов и подставим в полученное выражение значение  и 
 

Пример №484

Прологарифмируйте по основанию 10 выражение 
Решение.
Если  то

Комментарий.
Поскольку логарифмы существуют только для положительных чисел, то мы можем прологарифмировать заданное выражение только в том случае, если  Из условия не вытекает, что в заданном выражении значения  — положительные. Поэтому будем пользоваться обобщенными формулами логарифмирования (2'–4'),
а также учтем, что 

Иногда приходится искать выражение, зная его логарифм. Такую операцию называют потенцирование. 
 

Пример №485

Найдите по его логарифму:


Решение.

Комментарий.
Используя формулы логарифмирования справа налево, запишем правые части заданных равенств в виде логарифма от какого-то выражения. Из заданного равенства   (1)                              получаем 

Пример №486

Вычислить значение выражения 
Решение.
Поскольку  то
 
Кроме того 
Тогда 
Следовательно, 
Комментарий.
Попробуем привести показатели степени заданного выражения к виду чтобы можно было воспользоваться основным логарифмическим тождеством: Для этого перейдем в показателе степени к одному основанию логарифма (к основанию 5).

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Определение: Логарифмической функцией называется функция вида где 
 

1. График логарифмической функции.
Функции  и  — взаимообратные функции, поэтому их графики симметричны относительно прямой 


 

2. Свойства логарифмической функции.

1. Область определения:      
2. Область значений: 
3. Функция ни четная, ни нечетная.
4. Точки пересечения с осями координат: с осью — нет, с осью 
5. Промежутки возрастания и убывания:
   при  — функция  возрастает на всей области определения.
   при  — функция убывает на всей области определения.
6. Промежутки знакопостоянства:
   при  
   
   при 
7. Наибольшего и наименьшего  значений у функции нет.
8. 
   

Понятие логарифмической функции и ее графика

Логарифмической функцией называется функция вида  где  Покажем, что эта функция является обратной к функции 
Действительно, показательная функция  при  возрастает на множестве а при — убывает на множестве  Область значений функции — промежуток  Следовательно, функция  — обратимая и имеет обратную функцию с областью определения  и областью значений  Напомним, что для записи формулы обратной функции достаточно из равенства  выразить через  и в полученной формуле  — аргумент обозначить через  а функцию — через 
Тогда из уравнения  по определению логарифма получаем — формулу обратной функции, у которой аргумент обозначается уже через  а функция — через   Меняя обозначения на традиционные, получаем формулу  функции, обратной к функции 
Как известно, графики взаимообратных функций симметричны относительно прямой  На рис. 16.1 приведены графики логарифмических функций при  и при График логарифмической функции называют логарифмической кривой.

Свойства логарифмической функции

Поскольку область определения прямой функции является область значений обратной, а область значений прямой функции — областью определения обратной, то зная эти характеристики для функции   получаем соответствующие характеристики функции  

1.  Область определения функции  — множество  всех положительных чисел 
2. Область значений функции множество всех действительных чисел (то есть функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений).
3. Функция не может быть ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0.
4. График функции не пересекает ось  поскольку на оси   а это значение не входит в область определения функции 
   График функции  пересекает ось в точке  поскольку  при всех значения 
5. Из графиков функции , приведенных на рис. 16.1, видно, что при  функция  возрастает на всей области определения, а при  — убывает на всей области определения.
   Это свойство можно обосновать, опираясь не на вид графика, а только на свойства функции   
   Например, при   возьмем   По основному логарифмическому тождеству можно записать:  Тогда, учитывая, что имеем  Поскольку при  функция  возрастает, то из последнего неравенства получаем А это и означает, что при функция возрастает на всей области определения. Аналогично можно объяснить, что при  функция убывает на всей области определения.
6. Промежутки знакопостоянства. Поскольку график функции пересекает ось  в точке и учитывая возрастание функции при  и убывание при имеем:
   

Пример №487

Найдите область определения функции:


Решение.
Область определения задается неравенством  Отсюда то есть 
 Область определения задается неравенством  Это неравенство выполняется при всех действительных значениях  Следовательно 
Область определения задается неравенством Решая это квадратное неравенство, получаем  или  (см. рисунок). Следовательно, 
                                       
Комментарий.
Поскольку выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, то для нахождения области определения заданной функции необходимо найти те значения аргумента   при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, будет положительным.

Пример №488

Изобразите схематически график функции:

Комментарий.
Область определения функции — значения  следовательно, график этой функции всегда расположен справа от оси  Этот график пересекает ось  в точке При логарифмическая функция возрастает, следовательно, графиком функции  будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента поднимаются вверх. При  логарифмическая функция убывает, следовательно, графиком функции  будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются вниз.
Чтобы уточнить поведение графика заданных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение.


 

Пример №489

Изобразите схематически график функции 

Решение.
Последовательно построим графики функции:




Комментарий.
Составим план последовательного построения графика заданной функции при помощи геометрических преобразований.

1. Мы можем построить график функции  (основание логарифма — логарифмическая функция возрастает).
2. Затем можно построить график функции (справа от оси  график  остается без изменений, и именно эта часть графика симметрично отображается относительно оси 
3. После этого можно построить график заданной функции параллельным переносом графика функции  вдоль оси  на 2 единицы.

Пример №490

Сравните положительные числа   и  зная, что: 

Решение.
1) Поскольку функция  возрастает, то для положительных чисел    и из неравенства  получаем, что 
2) Поскольку функция  — убывает, то для положительных чисел    и из неравенства  получаем, что 

Комментарий.
В каждом задании заданы выражения — значения логарифмической функции в точках    и  дальше используем возрастание или убывание соответствующих функций:
1) при  функция  возрастает, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента;
2)  при  функция убывает, поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Пример №491

Сравните с единицей положительное число    зная, что 

Решение.
Поскольку  а по условию получаем ,что  (то есть  то функция  убывает, следовательно, 

Комментарий.
Числа  и 0 — это два значения функции  Учитывая заданное неравенство, выясним, является ли эта функция возрастающей или убывающей, и вспомним, что она возрастает при  и убывает при 

Решение логарифмических уравнений

1. Основные определения и соотношения.

Определение. Логарифмом положительного числа   по основанию  называют показатель степени, в который нужно возвести число   чтобы получить число 
График функции .
                                 

 

2. Решение простейших логарифмических уравнений.

Если  число  и  то  используем определение логарифма.
Пример.

Ответ: 10.

 

3. Свойства уравнения–следствия.

Если из предположения, что первое равенство верное, следует верность каждого последующего, то получаем уравнения–следствия.
При использовании следствий не происходит потеря корней начального уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в первоначальное уравнение является неотъемлемой частью решения.

Пример.
 По определению логарифма получаем:
                                             
Проверка.
 — посторонний корень (в основании логарифма получаем отрицательное число)
— корень   
Ответ: 2.
 

4. Равносильные преобразования логарифмических уравнений

1. Замена переменных.
Если в уравнение (неравенство или тождество)  переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример.

Замена: 
 Следовательно,  или  Тогда  или 
Ответ: 0,1; 1000.

2. Уравнение вида 

Учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, которые стоят под знаками логарифмов.

Пример.

На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям  
 посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ)
 корень (удовлетворяет условиям ОДЗ)
Ответ: 3.

3. Равносильны преобразования уравнений в других случаях.

1. Учтем ОДЗ заданного уравнения (и избегаем преобразований, которые бы сужали ОДЗ).
2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнять как в прямом так и в обратном направлениях с сохранением верности равенства.

Пример.

На данной ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям: 

 — корень (удовлетворяет ОДЗ).
— посторонний корень (не удовлетворяет ОДЗ).
Ответ: 1.

 

Решение простейших логарифмических уравнений

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид: Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на всей своей области определения, то есть при , и поэтому каждое свое значение принимает только при одном заданном аргументе. Учитывая, что логарифмическая функция принимает все действительные значения, уравнение         (1)
всегда имеет единственный корень, который можно записать, воспользовавшись определением логарифма:
Если рассмотрим уравнение                                                                   (2) и выполним замену переменной то получим простейшее логарифмическое уравнение  которое имеет единственный корень   Выполняя обратную замену, получим, что решения уравнения (2)  совпадают с решениями уравнения                                                                 (3)
Следовательно, уравнения (2) и (3) — равносильные. Таким образом, мы объяснили, что для равносильного преобразования простейшего логарифмического уравнения (1) или уравнения (2)  достаточно использовать определение логарифма.
Если обозначить равносильность уравнений значком то кратко этот результат можно записать так: 
Напомним, что все равносильные преобразования уравнений выполняются на его ОДЗ. Для уравнения (2) ОДЗ задается условием  Для всех корней уравнения (3) это условие выполняется автоматически, из-за того что  Поэтому для простейших логарифмических уравнений ОДЗ можно не записывать (поскольку она учитывается автоматически при переходе от уравнения (2) к уравнению (3)).
Например, уравнение  равносильно уравнению  корень которого  и является корнем заданного уравнения. Аналогично записывается и решение простейшего уравнения 

Использование уравнения–следствия при решении логарифмических уравнений

При решении уравнения главное — не потерять его корни, поэтому важно следить за тем, чтобы каждый корень первого уравнения оставался корнем следующего — в этом случае получим уравнение–следствие. Напомним, что каждый корень заданного уравнения не превращает его в верное числовое равенство.
Используя это определение, можно объяснить так: если после допущения о верности первого равенства следует верность каждого последующего равенства, мы получаем уравнения–следствия, поскольку каждый корень первого уравнения будет корнем следующего уравнения. Напомним, что хоть при использовании следствий не происходит потеря корней первоначальных уравнений, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней методом подстановки в первоначальное уравнение является неотъемлемой частью решения при использовании уравнений–следствий. 

 

Равносильные преобразования логарифмических уравнений

Одним из самых частых способов равносильных преобразований уравнений является замена переменной. Напомним правило:  если в уравнение (неравенство или тождество ) переменная входит в одном и том же виде, удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной)
Например, в уравнение переменная входит только в виде  поэтому для его решения целесообразно использовать замену  и получить квадратное уравнение  которое имеет корни  и  а затем выполнить обратную замену и получить простейшие логарифмические уравнения:  и  Тогда по определению логарифма корнями заданного уравнения будут и Учитывая, что замена переменной (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием уравнения на любом множестве, для выполнения замены не обязательно находить ОДЗ заданного уравнения. После выполнения обратной замены мы получили простейшие логарифмические уравнения, для которых ОДЗ учитывается автоматически. Следовательно, в приведённом решение ОДЗ заданного уравнения учтена автоматически, и поэтому ОДЗ можно не записывать при решении.
Рассмотрим также равносильные преобразования уравнения вида:
  (1)
Как уже отмечалось, все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений. Для уравнения (4) ОДЗ задается системой неравенств Поскольку логарифмическая функция  возрастает (при или убывает (при  на всей своей области определения и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то равенство (4) может выполняться (на ОДЗ) тогда и только тогда, когда Учитывая ОДЗ, получаем, что уравнение (4) равносильно системе:

Чтобы решить уравнение  при помощи равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, которые стоят под знаками логарифмов.

Замечание 1. Систему (5)-(7) можно упростить. Если в этой системе выполняется равенство (5), то значения и равные, поэтому когда одно из этих значений будет положительным, то второе также будет положительным. Следовательно, уравнение (4) равносильно системе, которая состоит из уравнения (5) и одного из неравенств (6) или (7) (выбирают то, что попроще).
Например, уравнение равносильное системе Однако, учитывая, что ограничения по ОДЗ этого уравнения

мы не решали, а только проверяли, удовлетворяют ли найденные корни эти ограничения, дает ли приведенное упрощение желаемый результат.

Замечание 2. Как было сказано выше, когда выполняется равенство (4), то обязательно выполняется и равенство (5). Следовательно, уравнение (5) — следствие уравнения (4), и поэтому для нахождения корней уравнения (4) достаточно найти корни уравнения–следствия (5) и выполнить проверку найденных корней подстановкой в заданное уравнение. (При таком способе решения ОДЗ уравнение (4) будет учтено опосредованно, в момент проверки полученных корней, поэтому ее не приходится записывать).
Выполняя равносильные преобразования логарифмических уравнений в более сложных случаях, можно придерживаться следующих правил:

1. Учитываем ОДЗ заданного уравнения.
2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях,  с сохранением верного равенства.

Например, решим уравнение: (8)
при помощи равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ОДЗ уравнения а затем, выполняя каждое преобразование, все время следить за тем, можно ли на ОДЗ выполнить это преобразование и в обратном направлении. Когда ответ утвердительный, то выполненные преобразования равносильные. Если же какое-то преобразование для всех значений переменной из ОДЗ можно выполнить только в одном направлении (от начального уравнения к следующему), а для обратного его выполнения необходимы какие-то дополнительные ограничения, то мы получим только уравнение–следствие, и полученные корни придется проверять подстановкой в заданное уравнение.
Применим этот план для решения уравнения (8).
Чтобы привести это уравнение к простейшему, перенесем все члены уравнения с логарифмами влево. Получим равносильное уравнение:                (9)
(Равносильность уравнений (8) и (9) выплывает из теоремы: если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное заданному на любом множестве. Равносильность этих уравнений выплывает также из того, что мы можем перейти не только от равенства (8) к равенству (9),  но и выполнить обратное преобразование, используя свойства числовых равенств.)
Учитывая, что сумма логарифмов положительных (на ОДЗ) чисел равна логарифму произведения, получаем уравнение:       (10)
На ОДЗ заданного уравнения можно выполнить обратное преобразование: поскольку  и  то логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Следовательно, от равенства (10) можно вернуться к равенству (9), то есть этот переход также приводит  к равносильности  уравнений. Уравнение (10) — простейшее логарифмическое уравнение. Оно равносильно уравнению, которое получаем по определению логарифма:  Выполняя равносильные преобразования полученного уравнения, имеем: 
Поскольку, все равносильные преобразования выполнялись на ОДЗ заданного уравнения, учтем ее, подставляя полученные корни в ограничения ОДЗ: 
 — корень, поскольку удовлетворяет условия ОДЗ.
 — не является корнем (посторонний корень), потому что не удовлетворяет условия ОДЗ. Следовательно, заданное уравнение имеет только один корень .

Замечание. Естественно, решаемое уравнение может быть решено с использованием уравнения–следствия, без явного учета ОДЗ, но с проверкой полученных решений при помощи подстановки в начальное уравнение.
Поэтому каждый имеет право самостоятельно выбирать способ решения уравнения: использовать уравнение–следствие или равносильные преобразования заданного уравнения. Однако для многих уравнений проверку полученных корней выполнить достаточно сложно, а для неравенств вообще нельзя использовать уравнение–следствие. Это связано с тем, что не удастся проверить все решения – их количество в неравенствах, как правило, бесконечно.  Поэтому для неравенств приходится выполнять только лишь равносильные преобразования.

Пример №492

Решите уравнение.                                         (1)
Решение.
                                                                                           

Проверка,  — посторонний корень (под знаком логарифма получаем 0),
 — корень, поскольку: 

              
Ответ: 14.

Комментарий.
Решим заданное уравнение при помощи следствий. Вспомним, что при использовании следствий главное — гарантировать, что в случае, когда первое равенство будет верное, все последующие также будут верными.
Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения (1) и (2) (если равенство (1) верное, то и равенство (2) также верное). Если равенство (1) или (2) верные (при значениях  ,  являющихся корнями этих уравнений), то при таких значениях    существуют все записанные логарифмы, тогда выражения и  —положительные. Однако для положительных   можно воспользоваться формулами  следовательно, равенства (3) и (4) также будут верными. Учитывая, что функция — возрастающая, следовательно, каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, из равенства логарифмов (4) получаем равенство соответствующих аргументов (5).
Если равенство (5) верное, то знаменатель дроби не равен нулю, и после умножения обеих его частей на  получаем верное равенство (6) (а следовательно, и верное равенство (7)). Поскольку мы использовали уравнения–следствия, то в конце необходимо выполнить проверку.

Пример №493

Решите уравнение                                          (1)

Решение.
 тогда 
На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям:

                                                                                                
Учитывая ОДЗ, получаем, что  входит в ОДЗ, следовательно, является корнем.
— не входит в ОДЗ, не является корнем.
Ответ: 1.

Комментарий.
Решим заданное уравнение при помощи равносильных преобразований. Вспомним, что для этого достаточно учесть ОДЗ заданного уравнения и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.
Заметим, что на ОДЗ выражение  может быть как положительным, так и отрицательным, и поэтому мы не имеем права применять к выражению формулу  (можем потерять корень). Применение обобщенной формулы логарифмирования приведет к уравнению с модулем. Используем другой способ преобразований, учитывая, что  Поскольку на ОДЗ все выражения, которые стоят под знаком логарифмов, положительные, то все преобразования  от уравнения (1) к уравнению (2) будут равносильными. Также равносильность уравнений (2) и (3) могут быть объяснены через возрастание функции  которая каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

 

Пример №494

Решите уравнение 

Решение.
 На ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнению 
Замена:  Получим: 

                                                                                             
  или  
 или 
(оба корня входят в ОДЗ).
Ответ: 16, 64.

Комментарий.
Выполним равносильные преобразования заданного уравнения. Для этого найдем его  ОДЗ  Поскольку в уравнение входят логарифмы с разными основаниями, приведем их к одному основанию (желательно числовому, иначе можно потерять корни уравнения) — в данном случае к основанию 4, по формуле  
После приведения логарифмов к одному основанию, переменная входит в уравнение только в одном виде  Выполним замену  Поскольку по ограничениям ОДЗ  то  Тогда получим дробное уравнение (1) равносильное квадратному уравнению (2).
Поскольку замена и обратная замена — равносильные преобразования на ОДЗ, то для полученных решений достаточно  проверить, входят ли они в ОДЗ.

 

Пример №495

Решите уравнение 

Решение.

На ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям: 
                                                                                                
Замена:  Получим    
Обратная замена даст: или 
Отсюда  или 
Ответ: 0,1,  1000.

Комментарий.
Выполним равносильные преобразования заданного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ и используем правило: если переменная входит и в основание, и в показатель степени, то для решения такого уравнения можно попробовать прологарифмировать обе части уравнения (с учетом, что они обе положительные). В запись уравнения уже входит десятичный логарифм, поэтому прологарифмируем обе части по основанию 10 (на ОДЗ обе части заданного уравнения положительные). Поскольку функция  возрастает, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, если выполняется равенство (1), то выполняется и равенство (2), и наоборот: если выполняется равенство (2), то выполняется и равенство (1). Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильные на ОДЗ. При  применение формулы  —равносильное преобразование, следовательно, уравнения (2) и (3) — также равносильные.

 

Пример №496

Решите уравнение 
Решение.
                                                                                                        
Замена: 
Получаем: 
                                                                                            
Обратная замена дает  или  — корней нет.
Ответ: 2.

Комментарий.
Если посмотреть на заданное уравнение как на простейшее логарифмическое, то по определению логарифма оно равносильно уравнению  ОДЗ заданного уравнения  для всех корней уравнения (1) учитывается автоматически, поскольку  всегда. После этого уравнение (1) решается по схеме решения показательного уравнения.
Поскольку  то  поэтому уравнение (2) равносильно уравнению (3).
 

Пример №497

Решите систему уравнений 

Решение.

По определению логарифма имеем:

Из второго уравнения последней системы получаем и подставляем в первое уравнение:    
Тогда 
Проверка:  — решение заданной системы.

 — постороннее решение (под знаком логарифма получаем отрицательное число).
Ответ: 

Комментарий.
Как и логарифмические уравнения, системы логарифмических уравнений можно решить при помощи как системы–следствия (каждое решение первой системы является решением второй), так и равносильными преобразованиями систем (все решения каждой из них являются решениями другой).
Кроме того, при решении логарифмических систем можно использовать те же методы, что и при решении других видов систем (метод алгебраической сумму, подстановка некоторого выражения из одного уравнения в другое, замена переменных).
Например, решим заданную систему при помощи системы–следствия. Для этого достаточно гарантировать, что в случае, когда заданная система состоит из верных равенств, каждая последующая система также будет содержать верные равенства. Как и для уравнений, при использовании систем–следствий обязательно необходимо выполнить проверку полученных решений подстановкой в первоначальную систему.

Замечание.
Заданную систему можно было решить и при помощи равносильных преобразований. При этом пришлось бы учитывать ОДЗ заданной системы:  и следить за равносильностью выполненных преобразований (в нашем случае все выполненные преобразования являются равносильными на ОДЗ), а в конце  проверять, удовлетворяют ли полученные решения условиям ОДЗ (пара чисел  удовлетворяет ОДЗ, а пара  — не удовлетворяет ОДЗ).


 

Пример №498

Решите систему уравнений 
Решение.

Тогда из первого уравнения имеем:
Замена  дает уравнение 
Обратная замена дает  то есть 
Тогда из второго уравнения системы имеем 
 (не входит  в ОДЗ),
 (входит в ОДЗ).
Следовательно решением заданной системы будет:
Ответ: 
 

Комментарий.
Решим заданную систему при помощи равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ее ОДЗ и гарантировать, что на каждом шаге было выполнено именно равносильное преобразование уравнения или всей системы. В первом уравнении системы все логарифмы приведем к одному основанию    На ОДЗ  Следовательно,  Тогда после замены имеем и поэтому переход в решении от дробного уравнения к квадратичному —равносильный.
Поскольку замена (вместе с обратной заменой) — равносильные преобразования, то, заменив первое уравнение системы равносильным ему (на ОДЗ) уравнением получим систему, равносильную заданной (на ее ОДЗ).


 

Решение логарифмических неравенств

1. График функции   
 возрастает
убывает
 

2. Равносильные преобразования простейших логарифмических неравенств.
   
знак неравенства не меняется, нужно учитывать ОДЗ.
Пример.

ОДЗ:   то есть 

Функция  - возрастает, следовательно 
учитывая ОДЗ: 
Ответ:   



знак неравенства меняется, нужно учитывать ОДЗ.
Пример.
 
ОДЗ:  то есть 

Функция  — убывает, следовательно, 
Учитывая ОДЗ: 
Ответ: 

 

3. Решение более сложных логарифмических неравенств.

I.  При помощи равносильных преобразований заданное неравенство приводится к неравенству известного вида.
Схема равносильных преобразований неравенства:

1. Учитываем ОДЗ заданного неравенства (и избегаем преобразований, которые приводят к сужению ОДЗ).
2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном порядках с сохранением правильного равенства.

Пример.

ОДЗ:  На это ОДЗ задано неравенство, равносильное неравенствам 

Замена:дает неравенство вида то есть  решение которого  или  (см. рисунок)
Обратная замена дает или 
Тогда или  Учитывая, что функция возрастает, получим  или 
Учитываем ОДЗ и делаем вывод:
или 
Ответ: 

II. Применение метода интервалов.
(заданное неравенство сводится к неравенству вида  
и используем схему:

1. Найти ОДЗ.
2. Найти нули 
3. Обозначить нули функции на ОДЗ и найти знак  на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Пример.

Решим неравенство методом интервалов. Оно равносильно неравенству: Обозначим 

1. ОДЗ:  то есть 
2. Нули функции: 
   Тогда  На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению  (которое получаем по определению логарифма). Тогда В ОДЗ входит только следовательно  имеет единственный ноль 
3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак  на каждом из промежутков на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства 
   

Ответ: 

Решение простейших логарифмических неравенств

Самыми простыми логарифмическими неравенствами считают неравенства вида:                                           (1)
Для решения такого неравенства можно использовать равносильные преобразования. Для этого необходимо учесть его ОДЗ:и рассмотреть два случая: основание логарифма больше единицы или основание логарифма меньше единицы (но больше нуля).
I. При  логарифмическая функция  возрастает на всей своей области определения (то есть при ), и поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Следовательно, переходя в неравенстве (1) от значения функции к значению аргумента (в данном случае, когда переходим к выражениям, которые стоят под знаком логарифма), мы должны оставить тот же самый знак неравенства, то есть:  (2)
Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (большему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что на ОДЗ неравенство (1) равносильно неравенству (2). Кратко это можно записать так:
при                               

II. При  логарифмическая функция  убывает на всей своей области определения (то есть при ), и поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, переходя в неравенстве (1) от значения функции  к значению аргумента, мы должны знак неравенства поменять на противоположный, то есть:                          (5)
Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (меньшему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получим, что при  неравенство (1) на его ОДЗ равносильно неравенству (5). Кратко можно записать так:
при                              

Подытожив полученные результаты, отметим, что:
для решения неравенств при помощи равносильных преобразований необходимо учесть его ОДЗ, а при переходе от значений функции к значению аргумента (то есть к выражениям, которые стоят под знаком логарифма) учитывать значение 
при  — знак неравенства не меняется.
при  знак неравенства меняется на противоположный.

Замечание. В системах неравенств, которые получены для случаев (I)  и (II), можно кое-что упростить. Например, если в системе из случая I выполняется неравенство (2):  и неравенство (4):  то из этих неравенств следует, что  Следовательно, неравенство (3) этой системы автоматически выполняется, когда выполняются неравенства (2) и (4), поэтому его можно не записывать в эту систему.
Аналогично объясняется, что в системе из случая II неравенство (4) является следствием неравенств (3) и (5), его так же можно не записывать в систему.

Например, решим неравенство 

(ОДЗ заданного неравенства  учтено автоматически, поскольку если выполняется неравенство то выполняется и неравенство Решаем неравенство  Тогда  следовательно (см. рисунок),  или  — решение заданной системы. Его можно записать так: 

Решение более сложных логарифмических неравенств выполняется при помощи равносильных преобразований заданного неравенства (и приведение его к известному виду неравенств), или методом интервалов.
Схема равносильных преобразований логарифмических неравенств полностью аналогична схеме равносильных преобразований логарифмических уравнений:

1. Учитываем ОДЗ заданного неравенства.
2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

В этом случае на ОДЗ каждое решение заданного неравенства будет решением второго и, наоборот, каждое решение второго неравенства будет решением первого, то есть эти неравенства будут равносильными на ОДЗ.
Рассмотрим несколько примеров:

Пример №499

Решите неравенство 
Комментарий.
Решим заданное неравенство при помощи равносильных преобразований. Как и для уравнений, для этого достаточно учесть ОДЗ заданного неравенства и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением правильности неравенства. Поскольку на ОДЗ выражения, которые стоят под знаком логарифмов, — положительные, то формулу  для положительных  и  можно использовать как в прямом, так и в обратном направлениях. Следовательно, выполняя преобразования неравенства по этой формуле, получим неравенство, равносильное заданному (на его ОДЗ).
Чтобы использовать свойства логарифмической функции, запишем число (–1) как значение логарифмической функции  (понятно, что эту формулу можно использовать как в прямом, так и в обратном направлениях), и учтем, что 
Решение.
ОДЗ:  тогда 
На этой ОДЗ заданное неравенство равносильно неравенству 
Функция  убывает, следовательно 
получаем 
Последнее неравенство имеет решения:  (см. рисунок).
                                               
Учитывая ОДЗ, получим 
Ответ: 

 

Пример №500

Решить неравенство 

Решение.
                                                                                                    (1)
Учитывая ОДЗ заданного неравенства и то, что функция  убывает, получаем                                                                                             (2)
то есть  Тогда Учитывая, что функция  возрастает, получаем                                               (3)
Это неравенство равносильно системе  которая равносильна другой системе                                                                                                                       
Решаем неравенства (4) и (5) методом интервалов и находим их общее решение (см. рисунок). Для неравенства (4)
 ОДЗ: 
Нули функции
Для неравенства (5)
ОДЗ: 
Нули функции 
        
          
Ответ: 

Комментарий.
ОДЗ неравенства задается системой:                                                       
При выполнении равносильных преобразований главное — не записать ОДЗ, а учесть ее в процессе решения. При переходе от неравенства (1) к неравенству (2) в записи последнего неравенства остается выражение для которого ОДЗ  Следовательно, при таком переходе ограничение (7) будет неявно учтено, и поэтому достаточно учесть только ограничение (6) (что и сделано в левой части неравенства (2)). Чтобы использовать свойства соответствующих логарифмических функций, записываем вначале: (и учитываем, что а затем  и При переходе от неравенства (2) к неравенству (3) получаем, что  следовательно и в этом случае неравенство (7) учтено автоматически. Для нахождения общих решений неравенств (4) и (5) удобно их расположить друг над другом так, чтобы одинаковые точки находились друг под другом так же. Тогда по рисункам сразу видно, где общее решение этой системы неравенств.


 

Производные показательной и логарифмической функций

Чтобы объяснить формулы производных показательной и логарифмической функций, используем без доказательства свойства функции  которая доказывается в курсе высшей математики:
производная функции  равна этой самой производной , то есть
При  по основному логарифмическому тождеству имеем:  
Тогда по правилу нахождения производной сложной функции, получаем:
 или 
По полученной формуле мы можем найти значение производной показательной функции для любого значения  Следовательно, показательная функция дифференцируемая в каждой точке области определения,  а соответственно, и непрерывная в каждой точке своей области определения (то есть при всех действительных значениях х).
Для логарифмической функции сначала найдем производную функции принимая без доказательств существование производной. Область определения этой функции  то есть При  по основному логарифмическому тождеству имеем:  Это равенство означает, что при функции  и    совпадают (это одна и та же функция, заданная на множестве  а следовательно, совпадают и их производные. Используя для левой части равенства правило нахождения производной сложной функции, получаем  то есть  Откуда  (где  Поскольку то
 Следовательно,(где  постоянная).

Замечание. Формула  выполняется, при любых действительных значениях 
Если  произвольное нецелое число, то функция определена только при  Тогда по основному логарифмическому тождеству  По правилу вычисления производной сложной функции получаем

Следовательно, в дальнейшем формулой можно пользоваться при любых действительных значениях  (напомним, что в этом случае ее можно использовать только при таких значениях  при которых определена ее правая часть).
Опираясь на полученный результат, объясним также формулу 
                 (1) которую можно использовать при тех значениях  при которых определена ее правая часть.
Если  четное число, то ОДЗ правой части формулы (1): Но при этом условии 
                   (2)

Если  нечетное число, то ОДЗ правой части формулы (1):   При  остается справедливым равенство (2), при  учитываем, что  а также то, что при нечетном  число 1–будет четным (поэтому  Тогда 


Следовательно, для нечетного  при всех  формула (1) так же выполняется . В последнем случае такие громоздкие преобразования выполнялись из-за того, что при  выражение — не определенно, а выражение  существует, поскольку  при  

Пример №501

Найдите производную функции:
Решение



Комментарий.
Последовательно определяем, от какого выражения берется производная (ориентируемся на результат последнего действия).
В задании 1 сначала берется производная суммы: Затем для каждого из слагаемых используется производная сложной функции: берется производная от   и  и умножается на  Полученный результат желательно упростить по формуле: 
В задании 2 сначала берется производная частного:  а для производной знаменателя используется производная сложной функции (производная и умножается на 
 

Пример №502

Найдите уравнение касательной к графику функции  в точке 

Решение.
Если  то    
Тогда  Подставляя эти значения в уравнение касательной  получаем  То есть уравнение  — искомое уравнение касательной.

Комментарий.
Уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой в общем виде записывается так: 
Чтобы записать это уравнение для заданной функции, необходимо найти  производную  и значение  Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через  а для нахождения ее производной использовать формулу производной произведения 
 

Пример №503

1) Постройте график функции  
2*) Найдите наибольшее значение параметра  при котором уравнение  имеет единственный корень. 

Комментарий.
Для решения задания 1 исследуем функцию  при помощи общей схемы и по результатам исследования строим ее график. При исследовании функции на четность или нечетность в область определения входят точки  и  Следовательно, для таких функций область определения должна быть симметричной относительно точки 0. Если же это условие не выполняется, то функция не может быть ни четной, ни нечетной.
Для лучшего представления о виде графика целесообразно уточнить поведение функции на концах области определения При (справа, то при  значение  Тогда  (рис. 18.2). Но при  мы не можем провести такое оценивание (получаем неопределенность вида  В таком случае поведение функции при  можно уточнить при помощи дополнительных контрольных точек.
При решении задания 2 целесообразно использовать графическую иллюстрацию решения. Это возможно сделать двумя способами.
I. При помощи равносильных преобразований привести заданное уравнение к виду  и,  используя график, построенный в задании 1, выяснить, сколько корней имеет уравнение  при разных значениях параметра 
II. Применить графическое решение непосредственно к уравнению (графики  функций  и известны), а для исследования единственности корня использовать геометрический смысл производной.

Решение.
1) Исследуем функция 

1. Область определения:  то есть 
2. Функция ни четная, ни нечетная, поскольку ее область определения не симметричная относительно точки 0.
3. Точки пересечения графика с осями координат. График не пересекает ось На оси  то есть  Тогда при получаем:  — абсцисса точки пересечения графика с осью 
4. Производная и критические точки. 
   
   Производная существует на всей области определения функции ( то есть, при  следовательно, функция непрерывная на всей области определения. 
   Тогда  Отсюда, при  получаем  следовательно,  критическая точка.
5. Отмечаем критические точки на области определения функции и находим знак в каждом из полученных промежутков (рис. 18.1).
         
   Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания и убывания,  а также экстремумы функции:
   
6. Найдем еще несколько точек графика функции:
   
7. Используя результаты исследований, строим график функции  (рис. 18.2).
   

I способ решения задания 2.
Область допустимых значений уравнения задается неравенством  Однако тогда , и заданное уравнение на его ОДЗ равносильно уравнению  Решим последнее уравнение графически. Для этого построим график функции (см. задание 1) и  (рис. 18.3). Как видим, уравнение  имеет единственный корень только при  и при  (при  уравнение имеет два корня, а при   уравнение не имеет корней). Следовательно, наибольшее значение параметра  при котором уравнение  имеет единственный корень, — это  


II способ решения задания 2.
Рассмотрим графическую иллюстрацию (рис. 18.4) решения заданного уравнения                     (1) Функция   возрастает и принимает все значения от  Графиком функции  является прямая, которая проходит через начало координат.
При  прямая  пересекает график функции  только в одной точке (прямая 1 на рис. 14.4). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень (действительно, функция  возрастает, а функция  убывает, и поэтому уравнение (1) может иметь только один корень.
При уравнение (1) имеет вид и у него  тоже один корень 
При  прямая  может касаться графика функции  (прямая 2 на рис. 18.4). Тогда уравнение (1) будет иметь единственный корень. Прямая может проходить в первой четверти ниже касательной (прямая 3 на рис. 18.4). Тогда уравнение (1) будет иметь два корня. Также прямая может проходить в первой четверти выше касательной (прямая 4 на рис. 18.4), тогда уравнение (1) не будет иметь корней.
                                      
Выясним, когда прямая будет касательной к графику функции  Пусть точка М  имеет абсциссу   Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что (значение производной в точке  равно угловому коэффициенту касательной, проведенной через точку М). Поскольку  то  Тогда из равенства  имеем  Откуда  Тогда В то же время, поскольку точка касания М лежит и на касательной , то ее координаты удовлетворяют уравнение касательной. Получаем то есть  Тогда  и как следствие 
Таким образом, заданное уравнение будет иметь единственный корень только при  и при Тогда наибольшее значение параметра  при котором уравнение имеет единственный корень, — это 

 

Пример №504

Докажите, что при всех действительных значениях   выполняется неравенство 

Решение.
Рассмотрим функцию 
Область определения: 
Производная  существует на всей области определения. Следовательно, функция непрерывная на всей числовой прямой,    — критическая точка.
Отметим критическую точку на области определения  и найдем знаки производной и поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 18.5).

Как видим, непрерывная функция  имеет на интервале  только одну критическую точку, и это точка минимума. Следовательно, в этой точке, функция принимает свое наименьшее значение на этом интервале. Тогда при всех действительных значениях значение  то есть  Следовательно при всех действительных .

Комментарий.
Используем производную для доказательства заданного неравенства. Для этого исследуем функцию  которая является разностью левой и правой частей неравенства.
Попробуем в результате исследования найти наибольшее или наименьшее значение функции  на всей числовой прямой. Для этого можно использовать такое свойство: если непрерывная функция имеет на заданном интервале только одну точку экстремума , и это точка минимума, то на заданном интервале функция принимает свое наименьшее значение в точке . Дальше пользуемся тем, что когда в точке  функция принимает наименьшее значение на заданном интервале, то для всех значений  из этого интервала  (если необходимо, то можно уточнить, что знак равенства достигается только в точке ).

При доказательстве числовых неравенств или при сравнении двух чисел часто бывает удобней перейти к более общему функциональному неравенству.
 

Пример №505

Сравните числа  и  

Комментарий.
Чтобы найти план решения, можно размышлять так. Мы не знаем, какое из заданных чисел больше:  или  поэтому для анализа поставим между ними  — знак неравенства, направленный острым углом вниз. Это говорит о том, что мы не знаем, в какую сторону необходимо его направить. Будем выполнять преобразование неравенства до тех пор, пока не выясним, какое число больше. Затем знак  заменим соответствующим знаком неравенства или  который и запишем в решении. (В процессе анализа,  если на каком-то из этапов преобразования необходимо поменять знак неравенства, то знак меняют на знак  а в записи решения в соответствующем месте меняют знак неравенства.) При анализе запись вида  также будем называть неравенством (однако, естественно, не в решении). Рассмотрим неравенство . Это неравенство с положительными членами  и  следовательно, обе его части можно прологарифмировать. Функция  возрастающая, поэтому после логарифмирования обеих частей по основанию   знак неравенства не изменится, и мы получим неравенство  то есть неравенство  Поскольку,  то после деления обеих частей последнего неравенства на  знак неравенства не меняется, и мы получим неравенство  Замечаем, что в левой и правой частях последнего неравенства стоят значения одной и той же функции  Исследуем эту функцию при помощи производной на возрастание и убывание. Дальше, учитывая, что сравним полученные выражения, а затем и заданные выражения (выполняя те же самые преобразования, что и в процессе анализа, только в обратном порядке).

Решение.
Рассмотрим функцию Ее область определения:  Производная существует на всей области определения. Выясним, когда  Тогда на области определения получаем равносильное уравнение  то есть  критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции  и находим знак производной и поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 18.6).
                          
Следовательно,  на интервале функция  убывает, а ее непрерывность на всей области определения свидетельствует о том, что она убывает на промежутке 
Поскольку  то  то есть  Умножив обе части этого неравенства на положительное число    (знак неравенства не меняется), получим неравенство  Тогда  Поскольку функция  возрастает то 
Ответ: 


 

Пример №506

Решите уравнение 

Комментарий.
Если попробовать применить к заданному уравнению схему решения показательных уравнений, то удастся реализовать только первый ее пункт —избавиться от числовых слагаемых в показателях степеней. А вот привести все степени к одному основанию (с удобными показателями), или к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение, или перенести все члены в одну сторону и разложить выражение на множители — не удастся. Попробуем применить свойства соответствующих функций. Но и на этом пути нам не удастся использовать конечность ОДЗ (она бесконечная), оценку левой и правой частей уравнения (они обе в пределах от 0 до  Если надеяться на возможность использования монотонности функции, то и тут мы не сможем применить теоремы о корнях (в обеих частях заданного уравнения стоят восходящие функции).
Тогда попробуем подобрать корни этого уравнения и доказать, что других корней нет (удобно предварительно привести уравнение к виду  Последовательно подставляя выясняем, что  то есть уравнение имеет три корня. Чтобы доказать ,что других корней нет, достаточно доказать, что у функции  есть не более трех промежутков возрастания или убывания, учитывая же непрерывность  на всей числовой прямой, достаточно доказать, что на ней не более двух критических точек, то есть уравнение имеет не более двух корней. Рассматривая теперь уравнение , после его преобразования мы можем провести аналогичные соображения, однако уже для двух корней.
Выполняя преобразования уравнения  учтем, что все его члены имеют одинаковую степень —(то есть оно является однородным относительно трех функций от переменной , а именно:  При помощи деления обеих частей уравнения  на степень с основанием 2, 3 или 4 удается уменьшить количество выражений с переменной на один.

Решение.
Заданное уравнение равносильно уравнению: то есть                                          (1)
Обозначим  
Поскольку   то уравнение  имеет три корня: 0, 1, 3. Докажем, что других корней у уравнения (1) нет. Для этого достаточно доказать, что у функции  есть не более трех промежутков возрастания или убывания, поскольку функция  на всей числовой прямой непрерывная, достаточно доказать, что функция имеет не более двух критических точек.
Область определения: 
Производная  существует при всех значениях  Поэтому критическими точками могут быть только те значения х, при которых Получаем уравнение  Поскольку то после деления обеих частей последнего уравнения на  получаем равносильное уравнение                  (2) Чтобы доказать, что уравнение (2) имеет не более чем два корня, достаточно доказать, что функция которая стоит в левой части уравнения, имеет не более двух промежутков возрастания или убывания. Учитывая непрерывность этой функции на всей числовой прямой, достаточно доказать, что она имеет только одну критическую точку. Действительно,   существует при всех значениях . Следовательно,  критическими точками могут быть только те значения , при которых  Получаем однородное уравнение:

Поскольку  то после деления обеих частей уравнения на это выражение получим равносильное уравнение Отсюда  Учитывая, что  получим 
Следовательно, последнее уравнение имеет единственный корень. Тогда функция  имеет единственную критическую точку, и уравнение (2) имеет не более двух корней. Это означает, что функция  имеет не более двух критических точек. Тогда уравнение (1) (и заданное уравнение) имеет не более трех корней. Но три корня заданного уравнения мы уже нашли: 0, 1, 3. Вывод —других корней заданное уравнение не имеет.
Ответ: 0; 1; 3.
 

Решение показательно-степенных уравнений

Показательно-степенное уравнение — уравнение, которое содержит выражение вида  то есть уравнение вида  (основанием степеней, которые стоят в левой и правой частях показательно-степенного уравнения, является  — выражение с переменной).

Основные способы решения уравнения .
I. 
1. Если можно, используем основное логарифмическое тождество в виде:  
Пример.


Ответ: 2.

2. Если можно, логарифмируем обе части уравнения по числовому основанию, или представляем все степени как степени с одним и тем же числовым основанием по формуле: 

Пример.

На ОДЗ  обе части уравнения положительные, поэтому после логарифмирования по основанию 10 получаем уравнение, равносильное данному: Откуда  
Замена:   Тогда  или то есть  (оба корня входят в ОДЗ).
Ответ: 10; 0,1.

II.  произвольное выражение.
Две степени с одинаковыми основаниями  могут быть равными в одном из четырех случаев:

1. и для корней этого уравнения  и — целые числа одинаковой четности.
2. и для корней этого уравнения  и 
3.  и для корней этого уравнения   и  существуют.
4.  и для корней этого уравнения существуют  и 

Пример.

Если считать основание числом, то сначала рассмотрим три особенных случая (основание степени равно –1, 0, 1), а затем приравняем показатели степеней.

1. при  — верное равенство,
2. при   верное равенство,
3. при  верное равенство,
4. при  то есть   — верное равенство.

Ответ: –1; 0; 1; 8.

Замечание.
Если считать основание переменной, то функция  считается определенной только при  С этой точки зрения данное уравнение имеет только два корня 1 и 8.
Ответ: 1; 8.
То есть ответ к такому уравнению нельзя записать однозначно.
 

Показательно-степенные уравнения

Показательно-степенными уравнениями и неравенствами обычно называют уравнения и неравенства, которые содержат выражение вида  (то есть переменная входит и в основание, и в показатель степени).

Анализируя показательно-степенные уравнения, необходимо помнить, что в школьном курсе математики понятие уравнения на разных этапах вводятся по-разному. А именно: в 4-5 классах уравнением называется числовое равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой.  Значение неизвестного, при котором уравнение превращается в правильное числовое равенство, называлось корнем или решением уравнения.  Например для уравнения корнем является значение
С точки зрения приведенного определения, в уравнении буквой обозначено хоть и неизвестное нам, но конкретное число, поэтому может принимать только единственное значение Однако такое определение затрудняет в дальнейшем работу с уравнениями. Когда принимает только единственное значение, мы не можем использовать, например графическое решение уравнения (имея только одно значение невозможно получить график как прямую линию на плоскости). Поэтому начиная с 6-7 класса уравнение определяется как равенство с переменной (корнем или решением уравнения соответственно называется такое значение переменной, при котором это уравнение превращается в верное числовое равенство). Теперь  в том самом уравнение — это переменная, для которой нет никаких ограничений, из-за этого может быть любым числом (ОДЗ уравнения: При таком подходе каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной Следовательно, это уравнение можно решить графически, построив график функции и Кроме того, при таком подходе можно записать уравнение в общем виде как равенство и обосновано использовать свойства функций для решения уравнения.
Для всех видов уравнения, которые рассматриваются в курсе алгебры или алгебры и начала анализа, приведенные два определения уравнения приводят к одному и тому же результату при решении уравнения. Однако в случае показательно-степенного уравнения иногда можно получить разные ответы, используя разные подходы к определению уравнения.
Например, рассмотрим уравнение Если рассматривать такое уравнение как числовое равенство, то две степени с одинаковым основанием могут быть равными только в одном из четырех случаем. А именно: если основанием степени являются значения –1, 0, 1 то степени могут быть равными даже тогда, когда их показатели будут разными (естественно, если эти степени существуют). Во всех других случаях степени с одинаковыми основаниями будут равными только тогда, когда показатели этих степеней будут равными то есть Следовательно, для получения всех корней заданного уравнения достаточно проверить значение (–1; 0; 1; 2). Все эти числа являются корнями, поскольку при подстановке каждого из них в заданное уравнение оно превращается в верное числовое равенство. Если же рассматривать это уравнение как равенство с переменной, с функциональной точки зрения, то функция  как правило считается определенной только при и заданное уравнение имеет только два корня: 1 и 2.
Как видим к рассмотренному уравнению ответ нельзя записать однозначно (поскольку каждый из указанных подходов к определению уравнения имеет право на существование, и реально используется в математике). Поэтому в подобных ситуациях приходится указывать оба варианта ответа.

Обобщая приведенные выше соображения, отметим, что когда при решении уравнения вида  из условия не вытекает, что основание степени  приходится рассматривать три особенных случая: основание  равно –1, 0, 1 (ясно, что в этих случаях степени  и  могут быть равными даже тогда, когда показатели  и  разные),  а затем приравнять показатели  Если же по условию  то рассматриваем только один особенный случай — основание степени равно 1  и приравниваем показатели степеней 
Например, рассмотрим уравнение 
Из условия не вытекает, что основание степени следовательно, приходится рассматривать все случаи.

1. Если  то следовательно Подставляя это значение в заданное уравнение, имеем  то есть  (неверное равенство), следовательно  не является корнем заданного уравнения.
2. Если  то есть  то при этих значениях  заданное уравнение превращается в неверное числовое равенство (поскольку значения выражений  и  не существуют). Следовательно, числа 1 и –1 не являются корнями данного уравнения.
3. Если  то есть  то заданное уравнение превращается в верное равенство  следовательно,  — корень данного уравнения.
4. Приравниваем показатели степеней заданного уравнения (основания степеней в левой и правой частях уравнения одинаковые): тогда  (при подстановке получаем верное равенство  Следовательно,  — корень данного уравнения.
   Объединив полученные результаты, получаем ответ.

Ответ: 
Замечание. При для решения уравнения  можно прологарифмировать обе его части по любому числовому основанию, получить равносильное уравнение,  в котором уже нет необходимости рассматривать особенный случай — он будет учтен автоматически. Это связано с тем, что функция  при  имеет особенный случай,  если  (см. график функции  при  а функция  особенных случаев не имеет.
Также заметим, что при решении неравенств вида  как правило используют функциональный подход и считают, что 
Отметим, что в таких случаях, когда в показательно-степенное уравнение входят выражения вида  для решения такого уравнения может использоваться основное логарифмическое тождество. В этом случае необходимо учитывать ОДЗ заданного уравнения.
Достаточно часто для решения показательно-степенных уравнений используют логарифмирование обеих частей. Конечно, это можно сделать только тогда, когда на ОДЗ заданного уравнения обе части уравнения положительные. Приведем еще несколько примеров решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Пример №507

Решите уравнение. 
Решение.
Отметим ,что  не является корнем заданного уравнения  не существует). При  обе части уравнения положительные. После логарифмирования (по основанию 10) обеих частей заданного уравнения получаем равносильные ему уравнения:

 или 
Из первого полученного уравнения имеем  (не являются корнями), а из второго  то есть  или  То есть  или 
Ответ: 

Комментарий.
Поскольку  то из  особых случаев можно рассмотреть только один — основание равно 0   то есть  Чтобы не рассматривать случай, когда основание равно 1, достаточно при  прологарифмировать обе части уравнения по основанию, например 10.
При обе части заданного уравнения положительные, поэтому после логарифмирования получаем уравнение, равносильное заданному. Поскольку все дальнейшие преобразования — равносильные (при ), то все полученные решения (которые не равны 3) являются корнями заданного уравнения.

Пример №508

Решите уравнение 

Комментарий.
Прологарифмировать обе части заданного уравнения не получится (в левой части стоит сумма), поэтому попробуем все степени записать как степени с одним и тем же основанием. Учитывая, что в заданном уравнении есть логарифм с основанием 2, запишем все заданные степени как степень с основанием 2 по формуле  где  Тогда
               (1)
(то есть слагаемые, которые стоят в левой части заданного уравнения, одинаковые). После получения уравнения (2) (см. решение) можно воспользоваться равенством (1) справа налево. Можно также записать правую часть уравнения (2) как степень числа 2, или прологарифмировать обе его части по основанию 2.

Решение.
ОДЗ:  На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям 

             (2)
 (входит в ОДЗ)
Ответ: 2.

 

Пример №509

Решите систему уравнений 
Комментарий.
Используем равносильные преобразования системы. Для этого учтем ОДЗ и проследим за тем, чтобы на этой ОДЗ все преобразования уравнения как в прямом, так и в обратном направлениях сохраняли верные равенства. 
В первом уравнении заданной системы запишем все степени, как степени по основанию 3. После равносильных (на ОДЗ) преобразований первого уравнения получим систему (1) (см. решение),  в которую переменные входят только в виде  и  поэтому удобно использовать замену переменных. После обратной замены применим определение логарифма.

Решение.
ОДЗ:  На этой ОДЗ первое уравнение заданной системы равносильно уравнениям 
Тогда заданная система равносильна системе:
                       (1)
Замена  дает систему 
Из второго уравнения основной системы  тогда из первого уравнения  то есть  Отсюда  Тогда 
Обратная замена:  или 
Тогда  или  (найденные решения входят в ОДЗ).
Ответ: 

Пример №510

Решите неравенство 

I способ.

Комментарий.
Попробуем выполнить равносильные преобразования заданного неравенства, используя соображения, аналогично тем, что применяются при решении показательно-степенных уравнений. Поскольку  то из особенных случаев необходимо рассмотреть только два: основание равно 0 (то есть ) и основание равно 1 (то есть  При других значениях  основание — положительное число, которое не равно 1. Рассмотрим два случая: 1) основание больше 1 (при переходе к показателям в заданном неравенстве знак последнего не меняется), 2) основание меньше 1, но больше 0 (при переходе от степени к показателям в заданном неравенств знак неравенства меняется на противоположный). При таких преобразованиях получаем неравенства, равносильные заданному (на его ОДЗ), поскольку можем гарантировать правильность не только прямых, но и обратных переходов.
При решении полученных простейших логарифмических неравенств учитываем, что функция — возрастающая.
В ответ необходимо включить все решения полученных систем неравенств и все особенные значения, которые являются решениями заданного неравенства.

Решение.
ОДЗ:  то есть 
При  заданное неравенство выполняется  — верное неравенство), следовательно — одно из решений этого неравенства.
Если  (то есть  или  поэтому  или — эти значения входят в ОДЗ), то заданное неравенство также выполняется. При  и  получаем верное неравенство  Следовательно, эти числа также являются решениями заданного неравенства.

При  и  на ОДЗ задано неравенство, равносильное такой совокупности систем:
 или 

То есть  или  или 

То есть  или  или 
Следовательно,  или  Учитывая особые значения, которые являются решениями, получаем:  или 
Ответ: 

II способ.
Комментарий.
Решим заданное неравенство методом интервалов, для этого приведем его к виду 
Для нахождения нулей  необходимо решить показательно-степенное уравнение (2). Поскольку то из особенных случаев необходимо рассмотреть только два — основание равно 0 (то есть , или основание равно 1 ( то есть  При других значениях  из ОДЗ в уравнении (3) основание — положительное число, которое не равно 1. Тогда можно приравнять показатели степеней (получаем уравнение, равносильное заданному).

Для нахождения знаков  удобно использовать графики функции  при  и при 

Решение.
1. ОДЗ:  то есть 
На этой ОДЗ заданное неравенство равносильно неравенству
                        (1)
2. Пусть 
Нули                          (2)
На ОДЗ уравнение (2) равносильно уравнению
                    (3)
При  равенство (3) выполняется  — верное равенство), следовательно,  — корень уравнения (3).
Если  (то есть  или  поэтому  или ), равенство (3) также выполняется. При и  получаем верное равенство 1 = 1. Следовательно, эти числа также являются корнями уравнения (3).
При  и  на ОДЗ уравнение (3) равносильно уравнению  Тогда  следовательно, — не удовлетворяет условию  То есть на последнем множестве уравнения (3) корней нет.
3. Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак  на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (см. рисунок).
                                         
Ответ: 

 

Пример №511

Решите неравенство 
Комментарий.
На ОДЗ обе части неравенства — положительные, поэтому попробуем прологарифмировать обе части неравенства. Поскольку в заданное неравенство уже входит  то удобно прологарифмировать по основанию  Но при логарифмировании по основанию, большему чем 1, знак неравенства не меняется, а при логарифмировании по основанию, меньшему 1, знак неравенства меняется. Приходится рассматривать два случая (в каждом из которых получаем неравенство, равносильное заданному на его ОДЗ).

Решение.
ОДЗ: 
Прологарифмируем обе части неравенства.
1. При  заданное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенствам 


Следовательно,  или 
То есть или 
Учитывая ОДЗ  и то, что  получаем или 
2. При  заданное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенствам


Следовательно, 
То есть 
Учитывая ОДЗ и то, что получаем 
Ответ: 
             

 

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Некоторые показательные и логарифмические уравнения можно решить, применяя свойства соответствующих функций. Напомним последние приемы, которые используют при решении уравнений при помощи свойств функций, и приведем примеры решения уравнений и неравенств, которые содержат показательные, логарифмические и другие функции.

1. Конечная ОДЗ.
Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

Пример.

ОДЗ:  тогда 
Следовательно, ОДЗ: 
Проверка:  корень 
Других корней нет, поскольку в ОДЗ входит только одно число.
Ответ: 1.

2. Оценка левой и правой частей уравнения.

Если необходимо решить уравнение вида  и  то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда  и  одновременно равны 

Пример.

Оценим значения левой и правой частей заданного уравнения:
(поскольку 
Если  то 
Следовательно,  Тогда заданное уравнение равносильно системе:

Из первого уравнения получаем то есть  что удовлетворяет второе уравнение.
Ответ: 0.

3. Использование монотонности функции.
Схема решения уравнения:

1. Подбираем один или несколько корней уравнения.
2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения, или оценку значений левой и правой частей уравнения).

Теоремы о корнях уравнения.
1. Если в уравнении  функция  возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более одного корня на этом промежутке.
                             
Пример.
Уравнение  имеет один корень  то есть  поскольку функция  возрастает (на всей области определения  как сумма двух возрастающих функций.
                                      

2. Если в уравнении  функция  возрастает на некотором промежутке, а функция  убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.
                             
Пример.
Уравнение имеет единственный корень то есть  поскольку  возрастает, а   убывает (при всех 

4. "Ищи квадратный трехчлен"
Попробуйте рассмотреть заданное уравнение как квадратное относительно какой-то переменной (или относительно какой-то функции).

Пример.

Запишем, что и введем замену  
Получим 
Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно  Его дискриминант 
 Тогда  то есть  Обратная замена дает  (отсюда  или  Последнее уравнение дает единственный корень  поскольку  возрастает, а   убывает (при всех 
Ответ: 1; 2.

 

Пример №512

Решите уравнение. 
Решение.
Если  то  Получаем 
Следовательно,  Тогда 
Обратная замена дает  (отсюда  или  (отсюда 
Ответ: –2; 2.

Комментарий.
Замечаем, что 
Следовательно, если  то То есть заданное уравнение имеет вид , и его можно решить при помощи замены     Однако теперь эту замену можно непосредственно использовать для заданного уравнения, не вводя промежуточные обозначения. После обратной замены учтем, что 

Пример №513

Решите уравнение 
Комментарий.
Если привести все степени к одному основанию 2 и обозначить  то получим уравнение (1) (см. решение, в котором можно ввести замену 
(тогда  следовательно  На ОДЗ заданного уравнения  все замены и обратные замены являются равносильными преобразованиями этого уравнения. Следовательно, решив уравнения, полученные в результате замен, и выполним обратные замены, мы получим корни заданного уравнения.

Решение.

Замена дает уравнение
                        (1)
Обозначим  тогда  следовательно, из уравнения (1) получаем уравнение  которое имеет два корня: 
Обратная замена дает или Тогда  или 
Получаем или 
Тогда  (отсюда  или  (корней нет, поскольку или (отсюда  или  (корней нет, поскольку 
Ответ: 

 

Пример №514

Решите уравнение 
I способ.
Комментарий.
Учитывая, что  получаем,  что в левой части уравнения стоит сумма взаимообратных положительных чисел, которая всегда больше или равна 2. (Действительно, если  то  поэтому, при всех 
Для оценки  значений правой части достаточно вспомнить, что областью значения функции  является промежуток  следовательно, 
Решение.
Оценим значение левой и правой частей уравнения.
  — как сумма двух взаимообратных положительных чисел. Если то  Следовательно,  заданное уравнение равносильно системе
               
Из первого уравнения, используя замену  получим то есть  Отсюда Тогда  следовательно удовлетворяет и второе уравнение.
Ответ: 0.

II способ.
Комментарий.
Если обозначить  то заданное уравнение удовлетворяет равенство (2) (см. решение), которое можно рассмотреть как квадратное относительно переменной  Заметим, что  следовательно, при таких значениях уравнение (1) и (2) — равносильные. Дальше используем условие существования корней квадратного уравнения.

Решение.
После замены  из заданного уравнения получаем равносильное уравнение                               (1)
которое в свою очередь равносильно уравнению           (2)
Рассмотрим уравнение (2) как квадратное относительно переменной 
Тогда его дискриминант Уравнение (2) может иметь корни только тогда, когда то есть, когда  тогда 
                    (3)
В этом неравенстве знак "больше" не может выполняться всегда), следовательно, неравенство (3) равносильно уравнению  Тогда или Подставляя эти значения в уравнение (2), получим две системы:
 или 
Во второй системе, втором уравнении имеем, что — не удовлетворяет условию Следовательно, заданное уравнение равносильно только в первой системе. Из второго уравнения первой системы имеем тогда  то есть что удовлетворяет и первое уравнение этой системы.
Ответ: 0.

 

Пример №515

Решите уравнение 
Комментарий.
Для решения уравнения с несколькими модулями можем использовать общую схему:

1. Найти ОДЗ.
2. Найти нули всех функций, которые стоят под модулем.
3. Обозначить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки.
4. Найти решения уравнения в каждом из промежутков.

Решение.
ОДЗ: 
Нули функций под модулем:  и 
Этот ноль  разбивает ОДЗ на два промежутка, в каждом из которых функция под модулем имеет постоянный знак (рис. 20.1).
                                 

Промежуток I. При имеем уравнение  Тогда  следовательно, 
Промежуток II. При  Но  следовательно во II промежутке заданное уравнение корней не имеет.
Ответ: –1.

Пример №516

Решите уравнение 
Решение.
ОДЗ:  то есть 
Поскольку  не является корнем заданного уравнения, то при делении обеих частей уравнения на  получаем равносильное уравнение (на ОДЗ).

После замены  имеем уравнение  корни которого:  Выполнив обратную замену, получаем:  или  Тогда на ОДЗ имеем равносильные уравнения: или 
 или 
 или 
 или  или   или  или 
Учитывая ОДЗ, получаем или 
Ответ: 

Комментарий.
Если выполнить замену    то получим уравнение  все члены которого имеют одинаковую суммарную степень — два.
Напомним, что такое уравнение называют однородным и решают делением обеих частей на наивысшую степень одной из переменных. 
Разделим, например, обе части на  (то есть на 
Чтобы не потерять корни уравнения при делении на выражение с переменной, необходимо те значения переменной, при каких это выражение равно нулю, рассмотреть отдельно. Значение  при котором  (тогда  то есть  подставляем в заданное уравнение.
Для реализации полученного плана решения не обязательно вводить переменные и  достаточно заметить, что заданное уравнение однородное, разделить обе части на и уже затем ввести новую переменную  В конце учитываем, что все преобразования были равносильными на ОДЗ, следовательно, необходимо выбрать только те из найденных решений, которые входят в ОДЗ.

Пример №517

Решите уравнение. 
Комментарий.
Логарифмические функции, которые стоят в левой части заданного уравнения, принимают только неотрицательные значения.
Действительно, на всей области определения следовательно аналогично, поскольку  то на своей области определения  В этом случае сумма двух неотрицательных функций может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждая из этих функций равна нулю.

Заметим, что при переходе от заданного уравнения к системе уравнений ОДЗ не меняется, следовательно ее можно не записывать в явном виде. При решении полученных простейших логарифмических уравнений ОДЗ также учитывается автоматически, поэтому ее можно вообще не записывать в решение.

Решение.
Поскольку на всей области определения   и  то заданное уравнение равносильно системе:
Из первого уравнения получаем  Тогда  то есть  что удовлетворяет и второе уравнение системы.
Ответ: 2.
 

Пример №518

При каких значениях параметра неравенство  выполняется при любых значениях ?

Комментарий.
Сначала воспользуемся формулой 
Затем запишем правую часть неравенства как значение логарифмической функции и, переходя к аргументам, учтем, что в случае, когда основание этой функции больше чем 1, функция возрастает, а когда меньше чем 1 (но больше чем 0) — убывает. Также учтем ОДЗ заданного неравенства.
При дальнейшем анализе полученных неравенств учтем, что неравенство выполняется для любых значений  тогда и только тогда, когда  а неравенство  — когда 

Решение.
Заданное неравенство равносильно неравенству:      
        
Это неравенство, в свою очередь, равносильно совокупности неравенств:
 или 
Тогда  или 
Неравенства с переменной в последней совокупности системы будут выполняться для любых значений  при условии:
 или  То есть  или 
Тогда  или 
Ответ: 

Пример №519

При каких значения параметра  уравнение  имеет единственный корень?

Комментарий.
Выполняя равносильные преобразования заданного уравнения, как всегда, учтем, что при использовании определения логарифма для решения этого простейшего логарифмического уравнения, его ОДЗ учитывается автоматически.
При выполнении замены переменной в задании с параметрами учитываем, что после замены требование задачи может измениться.
Исследуя расположение корней квадратного трехчлена  используем формулу, где — дискриминант,  — абсцисса вершины параболы). Как известно, для того чтобы корни квадратного трехчлена  (с положительным коэффициентом при  были расположены по разные стороны от числа А, необходимо и достаточно выполнить условия 

Решение.
Заданное уравнение равносильно уравнению:                                    (1)
То есть Замена  дает уравнение              (2)
Требование задачи будет выполняться тогда и только тогда, когда уравнение (2) будет иметь единственный положительный корень. Это будет в одном из двух случаев:

1. уравнение (2) имеет единственный корень, и он положительный,
2. уравнение (2) имеет два корня, из которых только один положительный, а второй — отрицательный или равен нулю.

Для первого случая получаем  то есть  
следовательно 
Для второго случая значение   исследуется отдельно. 
При из уравнения (2) получаем  При  уравнение (2) имеет корни  Следовательно, условие задачи при  выполняется.
Остается еще один случай — корни уравнения (2) имеют разные знаки (расположены по разные стороны от нуля). Это будет тогда и только тогда, когда будет выполняться условие  (где то есть условие  следовательно, Объединяя все полученные результаты, получаем ответ.
Ответ: при  или  заданное уравнение имеет один корень.

Элементы комбинаторики

Комбинаторика — раздел математики, в котором изучают способы выбора и расположения элементов некоторого конечного множества на основании каких-то условий. Выбранные (или выбранные и расположенные) группы элементов называют соединениями.  Если все элементы в соединениях разные, то получают соединения без повторений.

Перестановками из n  элементов называют любое упорядоченное множество из  n  элементов (то есть такое множество, для которого указанно, какой элемент находится на первом месте, какой — на втором,... какой — на n-м).
Формула числа перестановок    где  (эн факториал)
Пример.
Количество разных чисел (состоящих из шести цифр), которые можно сложить с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6,  не повторяя эти цифры в одном числе, равно: 

Размещение.
Размещение из   элементов по  называют любое упорядоченное множество из  элементов, состоящее из элементов заданного  - элементного множества.
Формула для размещения   
Пример. 
Количество разных трех цифровых чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры не могут повторяться, равно: 

Сочетания без повторения из  элементов по  называют любое -элементное подмножество заданного -элементного множества.
Формула числа сочетаний  ,  по определению
Пример.
Из класса, который состоит из 25 учеников, можно выделить 5 учеников для дежурства по школе  способами, то есть  способами.

Некоторые свойства числа сочетаний без повторений.
 (в частности )


Схема поиска плана решения комбинаторных задач.
Правило суммы — если элемент А  можно выбрать m способами, а элемент В — n  способами (при этом А исключает выбор одновременно и элемента В), то А или В  можно выбрать (m+n) способами.
Правило произведения — если элемент А можно выбрать m способами, а после этого элемент В — n  способами, то А и В можно выбрать (m*m) способами.

Правило суммы и произведения

При решении многих практических задач приходится выбирать из определенной совокупности объектов элементы, которые имеют те или иные свойства, располагать эти элементы в том или ином порядке. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, то такие задачи называют комбинаторными. Раздел математики, в котором рассматривают методы решения комбинаторных задач, называют комбинаторикой. В комбинаторике рассматривают выбор и размещение элементов некоторого конечного множества на основании каких-то условий.
Выбранные (или выбранные и размещенные) группы элементов называют соединениями. Если все элементы соединения разные, то получаем соединение без повторений, а если элементы могут повторяться, то получаем соединение с повторением. В этой лекции мы рассмотрим соединения без повторений. Решение многих комбинаторных задач основывается на двух основных правилах — правиле суммы и правиле произведения.
 

Правило суммы

Если на тарелке лежат 5 груш и 4 яблока, то выбрать один фрукт (то есть грушу или яблоко) можно 9 способами (5+4=9). В общем виде справедливо такое утверждение:

• если элемент можно выбрать способами, а элемент  способами (при этом выбор элемента исключает одновременные выбор и элемента ), то или  можно выбрать  способами.

Уточним содержание этого правила, используя понятия множеств и операций над ними.

Пусть множество А состоит из  элементов, а множество В — из  элементов. Если множества А и В не пересекаются (то есть  то множество  состоит из  элементов.
 

Правило произведения

Если в киоске продают ручки — 5 видов, и тетради — 4 вида, то выбрать набор из ручки и тетради (то есть пару "ручка и тетрадь") можно способами (поскольку к каждой из 5 ручек можно взять любую из 4 тетрадей). В общем виде имеет место такое утверждение:
если элемент можно выбрать  способами,  а после элемент  способами, то   и  можно выбрать  способами.

Это утверждение означает, что поскольку для каждого из элементов  можно взять в пару любой из  элементов, то количество пар равно произведению 
В определениях множеств полученный результат можно сформулировать так: если множество  состоит из элементов, а множество  — из  элементов, то множество всех упорядоченных пар  где первый элемент принадлежит множеству  (то есть а второй — множеству  (то есть  состоит из  элементов.
Повторяя приведенные соображения несколько раз (более строго — используя метод математической индукции), получаем, что правила суммы и произведения можно использовать при выборе произвольного конечного количества элементов.

 

Упорядоченные множества

При решении комбинаторных задач приходится рассматривать не только множества, в которых элементы можно записать в любом порядке, но и так называемые упорядоченные множества. Для упорядоченных множеств существенным является порядок следования их элементов, то есть то, какой элемент записан на первом месте, какой — на втором и т. д. В частности, если одни и те же элементы записать в разном порядке, то получим разные упорядоченные множества. Чтобы отличить запись упорядоченного множества от неупорядоченного, элементы упорядоченного множества часто записывают в круглых скобках, например 
Рассматривая упорядоченные множества, необходимо учитывать, что одно и то же множество можно по разному упорядочить. Например, множество из трех чисел можно упорядочить по возрастанию: или по убыванию: по возрастанию абсолютной величины числа: .
Будем понимать, что
для того, чтобы задать конечное упорядоченное множество из  элементов, достаточно указать, какой элемент находится на первом месте, какой на втором, .... какой на -м.

 

Размещение

Размещением из  элементов по  называют любое упорядоченное множество из  элементов, составленное их элементов заданного - элементного множества.
Например, из множества из трех цифр  можно составить такие размещения из двух элементов без повторений.

Количество размещений из  элементов по   обозначают (читают: из  по — первая буква французского слова  размещение).
Как видим 
Выясним, сколько можно составить размещений из  элементов по   (без повторений). Составление размещений представим как последовательное заполнение  мест, которые будем изображать в виде клеточек (рис. 21.1). На первое место мы можем выбрать один из  элементов заданного множества (то есть элемент для первой клеточки можно выбрать способами). Если элемент не может повторяться, то на второе место можно выбрать только один элемент из тех, что остались, то есть из  Теперь уже два элемента использованы, и на третье место можно выбрать только один из  элементов и т. д. На -тое место можно выбрать только один из  элементов (см. рис. 21.1). Поскольку нам необходимо выбрать элементы и на первое, и на второе..., и на -тое место, то используем правило произведения и получим формулу числа размещений из   элементов по 

                                        
Например,  (что совпадает с соответствующим значением, полученным выше).
Аналогично можно объяснить формулу для нахождения числа размещений с повторениями.
При решении простейших комбинаторных задач важно правильно выбрать формулу, по которой будут проводиться вычисления количества соединений. Для этого достаточно выяснить:
- Учтен ли порядок последовательности элементов в соединении?
- Все ли заданные элементы входят в соединение?

Если, например, порядок последовательности элементов учитывают и из  заданных элементов в соединении используют только элементов, то по определению это размещение из элементов по . После определения вида соединения необходимо также выяснить, могут ли элементы в соединении повторяться, чтобы понять, какую формулу необходимо использовать — для количества соединений без повторений или с повторениями.
 

Пример №520

На соревнования по легкой атлетике приехали 12 спортсменок. Сколько способов есть у тренера, чтобы определить, кто из них побежит в эстафете 4 по 100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?
Решение.
Количество способов выбрать из 12 спортсменок четырех для участия в эстафете равно количеству размещений из 12 элементов по 4 (без повторений), то есть


Комментарий.
Для выбора формулы отвечаем на вопросы, приведенные выше. Поскольку для спортсменок важно, в каком порядке они будут бежать, то порядок последовательности при выборе элементов учитывается. В полученное соединение входят не все 12 заданных элементов. Следовательно, соответствующее соединение — размещение из 12 элементов по 4 (без повторений, поэтому что каждая спортсменка может бежать только на одном этапе эстафеты).

 

Пример №521

Найдите количество чисел из трех цифр, которые можно сложить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе не повторяются.
Решение.
Количество чисел из трех цифр, которые можно сложить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, равно числу размещений из 7 элементов по 3, то есть 
Комментарий.
Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок последовательности учитывается и не все элементы выбираются  (только 3 из заданных семи). Следовательно, соответствующее соединение — размещение из 7 элементов по 3 (без повторений).

 

Пример №522

Найти количество чисел из трех цифр, которые можно сложить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, если цифры в числе не повторяются.
Комментарий.
Выбор формулы проводят так же, как и в примере 2. Нужно учесть, что когда число, состоящее из трех цифр, начинается на 0, то его считают состоящим из двух цифр. Следовательно, для ответа на вопрос задачи, можно вначале из заданных 7 цифр образовать все числа, которые состоят из 3 цифр (см. пример 2), а затем от количества полученных чисел отнять количество тех чисел, которые составлены из трех цифр, но начинаются цифрой 0. В последнем случае мы фактически будем из всех цифр без нуля (их 6) составлять числа из двух цифр. Тогда их количество равно числу размещений из 6 элементов по 2 (см. решение). Также можно выполнить непосредственное вычисление, последовательно заполняя три места в числе из трех цифр,  и использовать правило произведения. В этом случае удобно изобразить соображения, то есть нарисовать таблицу следующего вида:

Решение.
Количество чисел из трех цифр, которые можно составить из 7 цифр (среди которых нет цифры 0), равно числу размещений из 7 элементов по 3, то есть  Но среди данных цифр есть число 0, с которого не может начинаться число из трех цифр. Поэтому из размещения из 7 элементов по 3 необходимо изъять те размещения, в которых первым элементом является цифра 0. Их количество равно числу размещений из 6 элементов по 2, то есть Следовательно, искомое количество чисел из трех цифр равно: 

 

Пример №523

Решите уравнение 
Решение.
ОДЗ:  Тогда получаем 
На ОДЗ это уравнение равносильно уравнениям

Тогда  или Но в ОДЗ входит только 
Ответ: 5.

Комментарий.
Уравнение, в запись которого входят выражения, которые обозначают количество соответствующих соединений из   элементов, считают определенными только при натуральных значениях переменной . В  данном случае для существования  необходимо выбрать натуральное значение  (в этом случае  также существует и, естественно  Для преобразования уравнения используем соответствующие формулы:

 

Перестановки

Перестановкой из элементов называют любое упорядоченное множество из заданных элементов.

Напомним, что упорядоченное множество — это такое множество, для которого указанно, какой элемент находится на первом месте, какой на втором и так далее.
Например, переставляя цифры в числе 236 (там множество цифр уже упорядоченное), можно составить такие перестановки без повторений: — всего 6 перестановок. Количество перестановок без повторений из  элементов обозначают  — первая буква французского слова  — перестановка). Как видим,
Фактически перестановки без повторений из  элементов — это размещения из  элементов по  без повторений, поэтому 
Произведение обозначают  Поэтому полученная формула числа перестановок без повторений из элементов может быть записана так:
Например, (что совпадает с соответствующим значением, полученным выше).
При помощи факториалов формулу числа размещений без повторений 
                                                                                             (1)
можно записать в другом виде. Для этого умножим и поделим выражение в формуле (1) на произведение  Получим:


Следовательно, формула для числа размещений без повторений из по  элементов может быть записана так:
                (2)
Для того чтобы этой формулой можно было пользоваться при всех значениях  в том числе и при  и при  договорились считать, что                                                                                        
Например, по формуле (2)    
Заметим, что в таких случаях, когда  оказывается очень большим, ответы остаются записанными при помощи факториалов.
Например, 

Для выбора формулы при решении простейших комбинаторных задач достаточно выяснить ответы на вопросы:

1. Учитывается ли порядок последовательности элементов в соединении?
2. Все ли заданные элементы входят в полученное соединение?

Если, например, порядок последовательности элементов учитывается и все  заданных элементов используются в соединении, то по определению это перестановки из  элементов.

Пример №524

Найдите, сколько способов есть для того, чтобы выстроить 8 учеников в колону по одному.

Решение.
Количество способов равно числу перестановок из 8 элементов. То есть: 

Комментарий.
Для выбора соответствующей формулы выясним ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку порядок последовательности элементов учитывается, и все 8 заданных элементов выбираются, то соответствующие соединения — это перестановки из 8 элементов (без повторений). Их количество можно вычислить по формуле 

Пример №525

Найдите количество разных чисел, состоящих из четырех цифр,  которые можно составить из цифр 0, 3, 7, 9 (цифры в числе не повторяются).

Решение.
Из четырех цифр 0, 3, 7, 9 можно получить  перестановок. Но те перестановки, которые начинаются на 0, не будут записью из четырех цифр — их количество . Тогда искомое количество чисел из четырех цифр равно: 


Комментарий.
Поскольку порядок последовательности элементов учитывается, и для получения числа из четырех цифр необходимо использовать все элементы, то необходимое соединение — это перестановка из 4 элементов. Их количество — . Но еще необходимо учесть, что в числе из четырех цифр на первом месте не может стоять 0. Таких чисел будет столько, сколько раз мы можем выполнить перестановки из 3 цифр, которые остались, то есть .

 

Пример №526

Из 10 книжек, 4 — учебники. Сколько способов есть, чтобы расставить эти книги на полку так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение.
Сначала будем рассматривать учебники, которые стоят рядом, как одну книжку. Тогда на полочке необходимо  расставить не 10, а 7 книг. Это можно сделать  способами. В каждом из полученных наборов книг еще можно выполнить перестановок учебников. По правилу произведения искомое количество способов равно: 

Комментарий.
Задачу можно решить в два этапа. На первом этапе условно будем считать все учебники за 1 книгу. Тогда получим 7 книг (6 не учебники + 1 условная книга — учебник). Порядок последовательности элементов учитывается, и используются все элементы (поставить на полку необходимо все книги). Следовательно, соответствующее соединение — это перестановки из 7 элементов. Их количество —  На втором этапе решения будем переставлять между собой только учебники. Это можно сделать способами. Поскольку нам необходимо переставить и учебники, и другие книги, то используем правило произведения.

 

Сочетания

Сочетанием без повторений из  по  элементов называется любое -элементное подмножество заданного - элементного множества.

Например, из множества можно составить такие сочетания без повторений из трех элементов:  Количество сочетаний без повторений из  по  элементов обозначают символом  (читают: "число сочетаний из   по ") С — первая буква французского слова  комбинация). Как видим, 
Выясним, сколько всего можно составить сочетаний без повторений из   по  элементов. Для этого используем известные нам формулы числа размещений и перестановок.
Составление размещений без повторов из  по  элементов проведем в два этапа. Сначала выберем   разных элементов из заданного  -элементного множества, не учитывая порядок выбора этих элементов (то есть выберем -элементное подмножество из  -элементного множества — сочетание без повторений из   по  элементов). По нашему обозначению это можно сделать способами. После этого полученное множество из  разных элементов упорядочим. Его можно упорядочить  способами. Получим размещение без повторений из    по  элементов в  раз больше чем число сочетаний без повторений из  по  элементов, то есть  Откуда Учитывая, что по формуле (2)  получим                      (3)
Например,  что совпадает со значениями, полученными выше.
Используя формулу (3), легко объяснить свойство 1 числа сочетаний без повторений.

1) Поскольку  то 
                      (4)
Для того чтобы формулу (4) можно было использовать и при  договорились считать, что Тогда по формуле (4) 
Заметим, что формулу (4) можно получить без вычислений при помощи достаточно простых комбинаторных соображений.
Когда мы выбираем  предметов из  то  предметов мы оставляем. Если же, наоборот, выбранные предметы оставим, а другие  выберем, то получим способ выбора  предметов из  Заметим, что мы получили взаимно-однозначное соответствие способов выбора  и  предметов из  Значит количество одних и и других способов одинаковое. Но количество одних а других поэтому 
Если в формуле (3) сократить числитель и знаменатель на то получим формулу по которой удобно вычислять  при малых значениях 
              (5)
Например, 

 

Вычисление числа сочетаний без повторений при помощи треугольника Паскаля

Для вычисления числа сочетаний без повторений можно использовать формулу (3): а можно организовать последовательное вычисление соответствующих значений, пользуясь таким свойством:                   (6)
Для пояснения равенство (6) можно записать сумму  используя формулу (3), и после приведения полученных дробей к общему знаменателю, получить формулу для правой части равенства (6). Также формулу (6) можно получить без вычислений, при помощи комбинаторных соображений.  — это количество способов выбрать предметов из  Посчитаем это количество, зафиксировав один предмет (назовем его "фиксированным"). Если мы не берем фиксированный предмет, то нам нужно выбрать  предмет из  тех, что остались,  а если мы его берем, нужно выбрать из  тех, что остались еще  предметов. Первое можно сделать способами, второе —  способами. Всего как раз следовательно Это равенство позволяет последовательно вычислить значение  при помощи специальной таблицы, которую называют треугольником Паскаля. Если считать, что   то эта таблица будет иметь вид:
               
Каждый ряд этой таблицы начинается с единицы и заканчивается единицей Если какой-то ряд уже записан, например, третий, то в четвертом ряду необходимо записать на первом месте единицу. На втором месте записываем число, которое равно сумме двух чисел третьего ряда, которые стоят над ним слева и справа (поскольку по формуле (6)  На третьем месте записываем число, которое равно сумме двух следующих чисел третьего ряда, которые стоят над ним слева и справа  и так далее (а на последнем месте снова записываем единицу).

Заметим, что, как и раньше, для выбора формулы при решении простейших комбинаторных заданий достаточно выяснить ответы на вопросы:

1. Учитывается ли порядок последовательности элементов в соединении?
2. Все ли заданные элементы входят в полученное соединение?

Но для выяснения того, что заданное соединение  является сочетанием, достаточно ответить только на первый вопрос. Если порядок последовательности элементов не учитывается, то по определению это сочетание из по  элементов.

Пример №527

Из 12 членов туристической группы необходимо выбрать трех дежурных. Сколько способов есть, чтобы выполнить это задание?

Решение.
Количество способов выбрать из 12 туристов трех дежурных равно количеству сочетаний из 12 элементов по 3 (без повторений), то есть


Комментарий.
Для выбора соответствующей формулы выясним ответы на вопросы, приведенные выше. Поскольку порядок последовательности элементов не учитывается (для дежурных не важно, в каком порядке их выберут), то соответствующее соединение  является комбинацией из 12 элементов по 3 (без повторений). Для вычисления можно воспользоваться формулой (3) ил (5),  в данном случае применили формулу (3): 

Пример №528

Из вазы с фруктами, в которой лежало 10 разных яблок и 5 разных груш, нужно выбрать 2 яблока и 3 груши. Сколько способов есть, чтобы сделать такой выбор?

Решение.
Выбрать 2 яблока из 10 можно  способами. Во время каждого выбора яблок, груши можно выбрать  способами. Тогда по правилу произведения выбор необходимых фруктов можно выполнить  способами.
Получаем: 
Комментарий.
Сначала отдельно выберем 2 яблока из 10 и 3 груши из 5. Поскольку при выборе яблок или груш порядок последовательности элементов не учитывается, то соответствующие соединения — сочетания без повторений.
Учитывая, что необходимо выбрать и 2 яблока, и 3 груши, используем правило произведения и перемножим полученные возможности выбора яблок  и груш 

Бином Ньютона

Поскольку  (при и  то формулу бинома Ньютона можно записать еще и так:

Общий член имеет вид:  (где 
Коэффициенты  называют биномиальными коэффициентами.

Свойства биномиальных коэффициентов:

1. Число биномиальных коэффициентов (а следовательно, и число слагаемых в разложении -й степени бинома) равен 
2. Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца разложения, равны между собой (поскольку ).
3. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 
4. Сумма  биномиальных коэффициентов, которые стоят на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, которые стоят на нечетных местах.
5. Для вычисления биномиальных коэффициентов можно воспользоваться треугольником Паскаля, в котором вычисления коэффициентов основываются на формуле:

Бином Ньютона: Двучлен вида  также называют биномом. Из курса алгебры, известно, что:

Можно заметить, что коэффициент разложения степени бинома  при  совпадает с соответствующим рядом треугольника Паскаля. Оказывается, что это свойство выполняется и для произвольного натурального  то есть:
           (7)
Формула (7) называется биномом Ньютона. Правую часть этого равенства называют разложением степени бинома  а числа  (при — биномиальными коэффициентами. Общий член разложения степени бинома имеет вид: (где 
Объяснить формулу (7) можно, например, при помощи метода математической индукции.  Приведем также комбинаторные соображения для обоснования формулы бинома Ньютона.
По определению степени с натуральным показателем
  (всего скобок). Раскрывая скобки, получаем в каждом слагаемом произведение  букв, каждая из которых или  Если, например, в каком-то из слагаемых количество букв  равно то количество букв в нем равно  то есть каждое слагаемое имеет вид при каком-то  от 0 до  Докажем, что для каждого такого число слагаемых  равно , откуда, приведя подобные члены, и получаем формулу бинома.
Произведение  получаем, взяв букву  из скобок и букву  из  тех скобок, что остались. Разные такие слагаемые получаем путем разного выбора первых скобок, а скобок из  можно выбрать именно  способами. Следовательно, общий член разложения бинома  действительно имеет вид: 
Именно из-за бинома Ньютона числа  часто называют биномиальными коэффициентами. Записывая степень двучлена по формуле Ньютона для небольших значений , биномиальные коэффициенты можно вычислять при помощи треугольника Паскаля.
Например,  
Учитывая, что  формулу бинома Ньютона можно записать так:
             (8)
Если в формуле бинома Ньютона (8) заменить  то получим формулу возведения в степень разности 

Например,  (знаки членов разложения чередуются).

 

Свойства биномиальных коэффициентов

1. Часто биномиальный коэффициент (а следовательно, и число слагаемых)  в разложении -й степени бинома равен  поскольку разложение содержит все степени   от 0 до  (других слагаемых не содержит).
2. Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца разложения, равны между собой, поскольку 
3. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 
   Для объяснения примера в равенстве (7), что тогда:
   
   Например, 
4. Сумма биномиальных коэффициентов, которые стоят на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, которые стоят на нечетных местах. Если в равенстве (7) принять, что  то получим: 
   Тогда 

Пример №529

По формуле бинома Ньютона найти разложение степени 
Комментарий.
Для нахождения коэффициентов разложения можно использовать треугольник Паскаля, или вычислить их по общей формуле. По треугольнику Паскаля коэффициенты равны:  Учтем, что возводим в степень разность, следовательно, знаки чередуются.
Тогда 
Для упрощения записи ответов, можно избавиться в полученных выражениях от иррациональности в знаменателе (как это сделано в решении) или с самого начала учесть, что ОДЗ заданного выражения  и тогда  Следовательно, заданное выражение можно записать так:  и выполнять возведение в степень последнего выражения.

Решение.

Пример №530

В разложении найдите член, который содержит 
Решение.
ОДЗ:  Тогда 
 Общий член разложения: 
По условию член должен содержать  следовательно  Откуда  Тогда членом, который содержит  будет 

Комментарий.
На ОДЗ  каждое слагаемое в заданном двучлене можно записать как степень с дробным показателем. Это позволит проще записать общий член разложения степени  (где  выяснить, какой из членов будет содержать  и записать такой член.
Для упрощения записи общего члена удобно отметить, что 
 

Понятие случайного события

Под экспериментами со случайным результатом (или более кратко, случайными экспериментами) понимают разные эксперименты, опыты, испытания, измерения, результаты которых зависят от случая и которые можно повторить много раз при одинаковых условиях.
Например, эксперименты с рулеткой, подбрасывание игрального кубика, подбрасывание монетки, серия выстрелов одного и того-же стрелка по одной и той же мишени, участие в лотерее и так далее.

Любой результат случайного эксперимента называют случайным событием. Вследствие такого эксперимента это событие может случиться или не случиться. Случайные события обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита:  
Например, выпадение "орла", выпадение "решки" во время подбрасывания монеты, выигрыш в лотерею, выпадение определенного количества очков при подбрасывание игральных костей и так далее.

 

Понятия, связанные со случайными событиями в некотором эксперименте

События  называют равновозможными, если в данном эксперименте нет никаких оснований считать, что одно из них может происходить чаще, чем любое другое.
Например, в эксперименте по одному разу подбрасывают однородные монеты правильной формы, равновозможными являются события: А — выпал "орел", В — выпала "решка".

События А и В называют несовместимыми, если они не могут произойти одновременно в данном эксперименте.
Например, в эксперименте по подбрасыванию монеты события А — выпал "орел",  и В — выпала "решка" — несовместимы.

События  называют несовместимыми, если каждая пара из них несовместима в данном эксперименте.
Например, для эксперимента по подбрасыванию игральных костей события — выпадение 1 очка, — выпадение 3 очков,  — выпадение 5 очков,  —выпадение четного количества очков — несовместимы.

Событие  называют вероятным, если в результате данного эксперимента оно обязательно происходит.
Например, выпадение меньше семи очков при подбрасывании обычной игральной кости.

Событие  называют невозможным, если оно не может произойти в данном эксперименте.
Например, выпадение 7 очков при подбрасывании игральной кости, где максимум 6 очков.

Пространство элементарных событий

Пусть результатом некоторого случайного события может быть только одно из попарно несовместимых событий  Назовем эти события элементарными событиями, а множество всех этих событий  пространством элементарных событий.
Случайным событием А назовем любое подмножество пространства элементарных событий 
Например:
1. Для эксперимента по подбрасыванию монеты элементарными будут события: — выпал "орел",  — выпала "решка".
Тогда пространство элементарных событий будет состоять из двух событий: (Эти события попарно несовместимые, в результате эксперимента обязательно произойдет одно из этих событий.)
2. Для эксперимента по подбрасыванию игральных костей элементарными могут быть события  — выпадение  очков,  В этом случае пространство элементарных событий будет состоять из шести событий: 

Классическое определение вероятности (для равновозможных элементарных событий)

Пусть задано пространство элементарных событий, все элементы событий которого — равновозможные. Вероятность события А — это отношение числа благоприятных для нее элементарных событий  к числу всех равновозможных элементарных событий в данном эксперименте 
Например, найдите вероятность выпадения больше четырех очков при подбрасывании игральной кости.
Рассмотрим пример элементарных событий. Шесть разнообразных результатов подбрасывания кубика — выпало 1, 2, 3, 4, 5, или 6 очков (следовательно  Событие А — выпало больше 4 очков. Благоприятными для события А есть только два элементарных события — выпало 5 или 6 очков (то есть 
 Тогда 
Вероятность вероятного  и невозможного  событий
       


 

Случайные эксперименты и случайные события

Нам часто приходится проводить разные наблюдения, исследования, принимать участие в экспериментах или испытания. Часто такие эксперименты завершаются результатом, который заранее предугадать невозможно. Например,  мы покупаем лотерейный билет и не  знаем, выиграем или нет, подбрасываем монетку и не знаем, что выпадет,  "орёл" или "решка".  Можем ли мы каким-то образом оценить шансы появления результата, который нас интересует?  Ответ на эти вопросы дает раздел математики,  который называется теория вероятностей.  Мы познакомимся только с основами этой теории.  Одним из основных понятий, которые рассматриваются в теории вероятностей,  является понятие эксперимента со случайными результатами. Примером такого эксперимента может быть подбрасывание монеты судьёй футбольного матча перед его началом, чтобы определить, какая из команд начнёт играть в центре поля. Под экспериментами со случайными результатами понимают разные эксперименты, исследования, испытания, наблюдения, измерения, результаты которых зависят от случая, и которые можно повторить много раз при одинаковых условиях. Например, серия выстрелов стрелка по одной и той же мишени, участие в лотерее, вытаскивание пронумерованных шаров из коробки, эксперименты с рулеткой, подбрасывание игральных костей, подбрасывание монетки. Любой результат случайного эксперимента называют случайным событием. Вследствие рассматриваемого эксперимента это событие может произойти или не произойти. Известно, что для каждого случайного эксперимента обычно заранее договариваются, какие его результаты рассматриваются как элементарные события, а затем случайное событие рассматривается как подмножество полученного множества. В дальнейшем, как правило, будем обозначать случайные события большими буквами латинского алфавита:  Говоря о случайных событиях, будем считать, что они связаны с одним вполне определенным случайным экспериментом.
Заметим, что много важных и нужных фактов теории вероятностей сначала были получены при помощи очень простых экспериментов. Большую роль в развитии теории вероятностей как науки сыграли обычные монеты и игральные кости. Однако те монеты и кости, которые рассматриваются в теории вероятностей, являются математическими образами настоящих монет и кубиков (поэтому про них иногда говорят, что это математическая монета и математические игральные кости).
Например, математическая монета, которую используют в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. В математической монете нет цвета, размера, веса и цены. Она не сделана ни из какого материала и не может служить средством оплаты. Монета, с точки зрения теории вероятностей, имеет только "орел" и "решку". Монету бросают, и она выпадает одной из сторон вверх. Никаких других свойств у математической монеты нет. Математическая монета считается симметричной. Это означает, что брошенная на стол монета имеет равные шансы упасть как "орлом" так и "решкой" вверх. При этом считается, что никакой другой результат подбрасывания монеты невозможен — она не может потеряться, закатиться в уголок и тем более "стать ребром". Настоящая металлическая монета (рис. 22.1) служит только иллюстрацией для математической монеты. Настоящая монета может быть чуть вогнутой, может иметь другие дефекты, которые будут влиять на результат. Однако чтобы проверить на практике исследования с подбрасыванием математической монеты, мы бросаем обычную монету.
 
Игральные кости также служат прекрасным способом для получения случайных событий. Игральные кости имеют удивительную историю. Игра с костями — одна из древнейших. Она была известна еще в давней Индии, Китае, Лидии, Египте, Греции и Риме. Игральные кости находили в Египте (датированные веком до н.э.) и в Китае ( век до н.э.) при раскопках древних захоронений. Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Для этого все грани должны быть одинаковой площади, быть плоскими и одинаково гладкими. Кубик должен быть кубической формы, а его центр тяжести должен совпадать с геометрическим центром. Вершины и ребра кубиков должны иметь правильную форму. Если они закругленные, то все должны быть округленные одинаково. Отверстия, которые маркируются количеством очков на гранях, должны быть просверленные на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях правильного кубика равна 7 (рис. 22.2).
Математический игральный кубик (кости) — это математический образ правильного кубика. Выпадение всех граней равновозможное. Как и в математической монете, математический кубик не имеет ни цвета, ни размера, ни массы, ни других материальных свойств.


 

Некоторые понятия, связанные со случайными событиями

Пусть проведен какой-то случайный эксперимент. Как отмечалось выше, его результатами являются некоторые случайные события. Вследствие такого эксперимента каждое событие может произойти или не произойти. Эти события связаны с одним вполне определенным случайным экспериментом.

События называются равновозможными, если в данном эксперименте нет никаких оснований считать, что одно из них может происходить чаще, чем другое. Например, в эксперименте по единоразовому подбрасыванию однородной монеты правильной формы равновозможными являются события: А — выпал "орел", В — выпала "решка".
События А и В называются несовместимыми, если они не могут произойти одновременно в данном эксперименте. Так, в эксперименте по единоразовому подбрасыванию монеты событие А — выпал "орел" и В — выпала "решка" — несовместимые.
События  несовместимые, если каждая пара из них несовместима в данном эксперименте. Для эксперимента по подбрасыванию игральных костей события: — выпадение 1 очка, — выпадение 2 очков, — выпадение 3 очков, — выпадение 4 очков, — выпадение 5 очков, выпадение 6 очков — несовместимые (и равновозможные).
Событие называют вероятным, если в результате данного эксперимента оно обязательно происходит. Например, выпадение менее чем 7 очков при подбрасывании игрального кубика (на гранях которого от 1 до 6 очков) является вероятным событием.
Событие  называют невозможным, если оно не может произойти в данном эксперименте. Например, выпадение 7 очков при подбрасывании игрального кубика — невозможное событие.

Пространство элементарных событий

Пусть результатом некоторого случайного эксперимента может быть только одно из попарно несовместимых событий  Назовем их элементарными событиями, а множество всех этих событий  — пространством элементарных событий.
Например, для эксперимента о подбрасывании монеты элементарными событиями будут: — выпадение "орла", — выпадение "решки". Тогда пространство элементарных событий будет состоять из двух событий:  (Эти события несовместимы, и в результате эксперимента обязательно произойдет одно из них.)
Для эксперимента по подбрасыванию игрального кубика элементарными событиями могут быть:  — выпадет 1 очко,  — выпадет 2 очка,   — выпадет 3 очка,  — выпадет 4 очка,  — выпадет 5 очков,  — выпадет 6 очков. В этом случае пространство элементарных событий будет состоять из шести событий: 
Случайным событием А называем любое подмножество пространства элементарных событий  Например, для эксперимента с подбрасыванием игральных костей случайным является событие А — выпадение четного количества очков, поскольку  — подмножество 

Классическое определение вероятности

Пусть результатом некоторого случайного эксперимента может быть одно и только одно из  попарно несовместимых и равновозможных элементарных событий  (то есть пространство  элементарных событий данного случайного эксперимента состоит из элементарных событий ). И пусть в данном эксперименте событие А состоит в том ,что происходит одно из наперед выделенных элементарных событий , то есть  (в этом случае говорят, что элементарные события содействуют событию А).
Вероятность события А определим как отношение числа элементарных событий, которые содействуют событию А, к общему числу  элементарных событий в данном эксперименте, то есть как отношение 
Вероятность события А обычно обозначают  (буква — первая буква французского слова или латинского слова  что в переводе означает "вероятность"). Тогда  Этим равенством выражается классическое определение вероятности, которое можно сформулировать так:

• если рассматривается пространство равновозможных элементарных событий, то вероятность события А — это отношение числа благоприятных для нее элементарных событий к числу всех равновозможных элементарных событий в данном эксперименте.

Например, в эксперименте по подбрасыванию монеты равновозможными элементарными  событиями являются два события:  А — выпал "орел" и В — выпала "решка". Событию А способствует только один случай  поэтому  Очевидно, что вероятность события В также равна  Следовательно, в эксперименте по единоразовому подбрасыванию монетки вероятность выпадения "орла" (или "решки") равна 
Аналогично описывается эксперимент с подбрасыванием игральных костей
(1 кубик), вероятность события — выпало  очков равно .
Отметим, что когда в любом эксперименте рассмотреть невозможное событие то нет элементарных событий, которые способствуют  данному событию, то есть число элементарных событий, благоприятных для него, равно нулю  и тогда  Следовательно, вероятность невозможного события равна 0.
Например, в эксперименте с подбрасыванием игральных костей (1 кубика) вероятность невозможного события А — выпало 7 очков — равна нулю.
Если в любом эксперименте рассмотреть вероятное событие  то ему сопутствуют все элементарные события в этом эксперименте  и тогда  Следовательно, вероятность вероятного события равна 1.
Например, в эксперименте по подбрасыванию игральных костей (1 кубика) событие А — выпадет 1 очко, или 2 очка, или 3 очка, или 4 очка, или 5 очков, или 6 очков — вероятно и его вероятность равна 1.

 

Пример №531

Используя классическое определение вероятности, найдем вероятность события А — выпадение числа очков, кратного 3, во время подбрасывания игрального кубика.
Как отмечалось выше, в эксперименте по подбрасыванию кубика существует шесть попарно несовместимых, равновозможных элементарных событий — выпадет 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков (также можно сказать, что пространство элементарных событий состоит из шести указанных попарно несовместимых равновозможных событий).
Благоприятными для события А есть только два элементарных события: выпадет 3 или 6 очков. Следовательно, вероятность события А равно: 

 

Пример №532

Петя и Паша бросают желтую и синюю игральные кости (рис. 22.3) и каждый раз подсчитывают сумму очков, которая выпадает. Они договорились, что в случае, если в очередной попытке в сумме выпадет 8 очков, выиграет Паша, а если выпадет 7 очков — выиграет Петя. Справедлива ли эта игра?
                                             
При бросании костей на каждом из них может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому числу очков, которые выпали на желтом кубике (1, 2, 3, 4, 5 или 6), соответствует  шесть вариантов чисел очков, которые выпали на синем кубике. Следовательно всего получим 36 попарно несовместимых, равновозможных элементарных событий — результаты этого эксперимента, запишем в виде таблицы:

(В каждой паре чисел на первом месте записано число очков, которое выпало на желтом кубике, а на втором месте — на синем кубике).
Пусть событие А означает, что при подбрасывании кубиков в сумме выпадает 8 очков, а событие В — что выпадает 7 очков.
Для события А благоприятными являются следующие комбинации (их 5) 
Для события В благоприятными будут 6 комбинаций:
Тогда 
Следовательно, шансов выиграть у Паши больше, чем у Пети. То есть такая игра будет не справедливой.
Отметим, что результаты эксперимента по подбрасыванию игральных костей, приведенные в примере, позволяют вычислить вероятность появления той или иной комбинации (суммы очков), которая выпадет при подбрасывании.


 

Пример №533

Из 15 изготовленных велосипедов 3 оказались с дефектами. Какая вероятность того, что 2 велосипеда, выбранные наугад из этих 15, будут без дефектов?
Пусть событие А состоит в том, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов. Из 15 велосипедов выбрать 2 можно способами (число комбинаций из 15 по 2). Все эти случаи являются попарно несовместимыми и равновозможными. Следовательно, общее количество равновозможных результатов (то есть общее количество элементарных событий) равно  Благоприятным результатом для события А является выбор 2 бездефектных велосипедов из 12 бездефектных (15-3=12). Следовательно, число благоприятных результатов (событий) для события А равно  Отсюда получаем 

 

Пример №534

Группа туристов, в которой 6 юношей и 4 девушки выбирает по жребию 4 дежурных. Какова вероятность того, что будет выбрано 2 юноши и 2 девушки?
Число результатов (элементарных событий) при выборе 4 дежурных из 10 туристов равно  Все эти события равновозможные и попарно несовместимые. Пусть событие А состоит в том, что среди 4 дежурных есть 2 юноши и 2 девушки. Выбрать двух юношей из 6 можно  способами, а выбрать двух девушек из 4 можно  способами. По правилу произведения выбор и двух юношей и двоих девушек можно выполнить способами — это и есть количество благоприятных событий для события А. Тогда 

 
Заметим, что в зависимости от задачи, которая рассматривается, для одного и того же эксперимента пространство элементарных событий подбираем так, чтобы событие, вероятность которого необходимо найти, само было элементарным или выражалось через сумму элементарных событий. Но для того чтобы использовать классическое определение вероятности, необходимо быть уверенным, что все выделенные элементарные события — равновозможные.
Например, как уже отмечалось в задаче с подбрасыванием игровых костей (1 кубика), пространство элементарных событий можно составить из 6 независимых, равновозможных событий — выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Но если в задаче просят найти вероятность выпадения четного числа очков, то пространством элементарных событий для этого эксперимента может быть множество только для двух событий: — выпадение четного количества очков,   — выпадение нечетного количества очков (поскольку эти события попарно несовместимы, и в результате эксперимента обязательно произойдет одно из этих событий). Эти события равновозможные (поскольку среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 ровно половина четных и нечетных). Следовательно, по классическому определению, вероятность каждого из них равна  Естественно, если бы мы рассматривали первое из указанных пространств элементарных событий, то тоже могли бы решить эту задачу: всего событий — 6, благоприятных — 3 (выпадение четного числа очков: 2, 4, 6). Тогда вероятность выпадения четного числа очков равна  или 
Попробуем ввести для решения этой задачи такое пространство элементарных событий:  — выпадение четного количества очков,   — выпадение 1 очка, — выпадение 3 очков,  — выпадение 5 очков. Эти события действительно образуют пространство элементарных событий эксперимента по подбрасыванию игрального кубика, поскольку они попарно несовместимые и в результате эксперимента обязательно произойдет одно из них. Но, пользуясь таким пространством элементарных событий, мы не можем применить классическое определение вероятности, так как мы уже видели, что указанные элементарные события не являются равновозможными:  

 

Операции над событиями. Свойства вероятности событий

1) Противоположное событие.
Событие  называется противоположным к событию если оно состоит в том, что в рассмотренном случайном эксперименте не происходит событие 
Событие А — выпал "орел" при подбрасывании монеты, тогда событие  — не выпал "орел" при подбрасывании монеты (то есть выпала "решка").
                                   
Вероятность противоположного события: 
Если вероятность купить исправный прибор равна 0,95, то вероятность купить неисправный прибор равна 1-0,95=0,05

2) Сумма событий.
Суммой (или объединением) событий А и В называется событие А + В (), которое состоит в том, что происходит событие А или событие В (или А, или В, или оба одновременно).
Из колоды карт наугад вытягивают 1 карту. Рассмотрим события: А — вытянули бубновую карту, В — вытянули червовую карту. Тогда событие А + В — вытянули или бубновую, или червовую карту (то есть карту красной масти).
                                 

3. Произведение событий.
Произведением (или пересечением) событий А и В называют событие  
(), которое состоит в том, что происходят оба события А и В.
При подбрасывании игрального кубика рассматривают события: А — выпало четное число очков, В — выпало число очков, кратное 3. Тогда событие — выпало число очков, которое одновременно и четное, и кратное 3 (то есть выпало 6 очков).
                                 

4. Несовместимые события.
Два случайных события А и В — несовместимые тогда и только тогда, когда их произведение является невозможным событием, то есть ().
При подбрасывании игрального кубика рассматривают события: А — выпало четное число очков, В — выпало 1 очко, С — выпало число очков, кратное 3. События А и В и события В и С — несовместимые (не могут произойти одновременно). События А и С — совместимые (могут произойти одновременно, если выпадет 6 очков, то есть 
                           


5. Вероятность суммы двух несовместимых событий.
Если события А и В несовместимы, то   то есть вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Простейшие операции над случайными событиями

Иногда приходится, зная вероятность одних случайных событий, вычислять вероятность других, которые получаются из заданных при помощи определенных операций. Рассмотрим простейшие операции над случайными событиями, которые в дальнейшем будем называть просто событиями.

1. Нахождение противоположного события. Пусть задано случайное событие А.
   Событие называется противоположным событию А, если оно состоит в том, что в рассматриваемом случайном эксперименте не происходит событие 
   Например, если событие А состоит в том, что выпадет "орел" во время подбрасывания монетки, то событие (читается "не А") означает, что "орел" не выпал,  а следовательно, выпала "решка" при подбрасывании монетки. Если событие В состоит в том, что выпало 1 очко при подбрасывании игрального кубика, то событие  означает, что 1 очко не выпало, а следовательно, выпало 2, или 3, или 4, или 5, или 6 очков во время подбрасывания игрального кубика. Учитывая, что в каждом эксперименте происходит одно и только одно событие — А или , получаем, что в пространстве равновозможных элементарных событий сумма количества элементарных событий, которые способствуют событию А, и количество  элементарных событий, которые способствуют событию, равна количеству  всех элементарных событий: 
   Тогда 
   Следовательно  Отсюда 
   Например, рассмотрим событие А — выпало 1 очко во время подбрасывания игрального кубика. Тогда, как отмечалось выше, событие — 1 очко не выпало (то есть выпало или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 очков). Вероятность события А равна  то есть  тогда вероятность  равна 
   При определении операции суммы и произведения событий рассматриваем события, которые относятся к одному эксперименту.
2. Нахождение суммы событий.
   Пусть заданы два случайных события А и В.
   Суммой (или объединением) событий А и В называется событие А + В (), которое заключается в том, что происходит событие А или событие В (или А, или В, или оба одновременно).
   Например, пусть во время подбрасывания игрального кубика события А и В означают: А — выпадет четное количество очков, В — выпадет число очков, которое делится на 3. Тогда событие А + В означает, что выпадет или четное количество очков, или число очков, которое делится на 3, то есть выпадет 2, 3, 4 или 6 очков. Аналогично вводится понятие нескольких  событий. Суммой (или объединением) событий  называется событие  (другое обозначение  которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий.
3. Нахождение произведения событий. Пусть заданы два случайных события А и В. Произведением  (или пересечением) событий А и В называется событие  (), которое состоит в том, что происходят оба события А и В.
   В приведенном выше примере событие означает, что выпадет и четное количество очков,  и число очков, которое делится на 3, то есть выпадет 6 очков. Аналогично вводится понятие произведения нескольких событий.
   Произведением (пересечением) событий  называется событие  (), которое состоит в том, что происходят все заданные события: 
   
   Замечание. Определение операций над событиями аналогично соответствующим определениям операций над множествами (поэтому и обозначение операций над событиями совпадает с обозначениями операций над множествами). Операции над событиями (как и операции над множествами) удобно иллюстрировать при помощи кругов Эйлера-Венна (см. рис. 22.6-22.8).
   
   Например, учитывая ,что всегда выполняется или событие А, или событие  получаем, что  (вероятное событие). Учитывая, что события  и  не могут выполняться одновременно, имеем (невозможное событие). Тогда событие  можно проиллюстрировать дополнением множества А (к множеству ) (рис. 22.6).
   Аналогично, сумму двух событий А и В (напомним, что событие А + В состоит в том, что происходит событие А, или событие В, или оба события вместе) можно проиллюстрировать в виде объединения множеств А и В (рис. 22.7), а произведение событий А и В (событие  состоит в том, что происходят оба события А и В) — в виде пересечения множеств А и В (рис. 22.8).
4. Свойства вероятности событий. Вероятность событий имеет такие свойства:
   1) Вероятность любого события А удовлетворяет неравенство 
   2) Вероятность вероятного события  равна 1: 
   3) Вероятность суммы несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: 

Действительно, вероятность  то есть дробь , неотрицательная и не больше 1. Она равна нулю для невозможного события и единице для вероятного события.
Два случайных события А и В несовместимые тогда и только тогда, когда их произведение — невозможное событие, то есть  (). 
Например, при подбрасывании игрального кубика могут произойти события: А — выпало четное число очков, В — выпало 5 очков. Эти события несовместимые, поскольку 5 — нечетное число, поэтому событие которое состоит в том, что выпадет четное число очков и это 5 очков — невозможно.
Рассмотрим несовместимые события А и В в пространстве из равновозможных элементарных событий. Пусть — количество элементарных событий, которые содействуют событию А, и — количество элементарных событий, которые содействуют событию В, и следовательно, события А + В содействуют  элементарных событий. Но, тогда 
Таким образом, для несовместимых событий А и В выполняется равенство:                       (1)
То есть вероятность суммы двух несовместимых событий равно сумме вероятностей этих событий.
Свойство (1) можно обобщить.
Назовем события  несовместимыми, если любые два из этих событий  и  (при ) несовместимые, то есть их произведение является невозможным событием: 
Если события  попарно несовместимые, то из равенства (1) выплывает, что 
то есть вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.
Отметим, что для несовместимых событий А и В вероятность   (поскольку  Опираясь на рассмотренные основные свойства, можно доказать другие свойства вероятностей событий.
Покажем, что для произвольных событий А и В справедливо равенство 
                     (2)
Обозначим через событие, которое состоит в том ,что событие А происходит, а событие В не происходит.
Поскольку событие и  несовместимые и  то                     (3)
Аналогично, поскольку события  несовместимые и очевидно, что  то 
                    (4)
Выражая из равенства (4) значение  и подставляя его в равенство (3), получаем равенство (2).

Пример №535

Из колоды, которая содержит 36 карт, наугад вытаскивают одну карту. Какая вероятность, что вытащат козырную карту или даму?
Пусть событие А состоит в том, что вытащат козырную карту, событие  В — вытащат даму. Тогда событие А + В — вытащат козырную карту или даму, а событие  — вытащат козырную даму.
Учитывая, что  по формуле (2) получаем: 

Относительная частота случайного события

1. Частота и относительная частота случайного события.
Если случайный эксперимент проведен  раз и в   случаев произошло событие А, то число  называется частотой события А.

Относительная частота случайного события — отношение числа появления этого события к общему числу проведенных экспериментов, то есть отношение 
Событие А — выпадение "орла" при подбрасывании монетки.
                                 

2. Статистическое определение вероятности.
Если при проведении большого количества случайных экспериментов, в каждом из которых происходит или не происходит событие А, значения относительной частоты события А близкие к какому-то определенному числу (которое зависит от серии экспериментов), то это число называют вероятностью случайного события А и обозначают 
Событие А — выпал "орел" при подбрасывании монетки. 
 

Частота и относительная частота случайного события

Пусть в результате случайного эксперимента может произойти событие А, которое имеет вероятность  где  Повторим эксперимент  раз, и пусть при этом событие А происходит  раз. Число  — частота события А (ее часто обозначают  а число  — относительная частота события А. Тогда относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов.
Рассмотрим результаты экспериментов по подбрасыванию монеты, которые были проведены математиками Ж. Бюффоном и К. Пирсоном. Как видно из таблицы, относительная частота выпадения "орла", полученная в экспериментах математиков, мало отличается от вероятности выпадения  "орла" в указанном эксперименте, равной 0,5.
Тот факт, что вероятность появления "орла" равна 0,5, естественно, не означает, что в любой серии экспериментов "орел" будет появляться в половине случаев. Но если число экспериментов достаточно большое, мы можем дать прогноз, что "орел" выпадет приблизительно в половине случаев. Таким образом, зная вероятность события, мы можем прогнозировать частоту его появления в будущем при большом количестве соответствующих экспериментов.
Полученный результат отображает замечательный факт: при большом количестве экспериментов относительная частота события, как правило, мало отличается от вероятности события. Эту закономерность называют статической устойчивостью относительной частоты.
Не всегда удается определить вероятность  события априори (от лат.  — независимо от опыта), как это имеет место при подбрасывании монетки или игральных костей. Но если возможно повторить эксперимент  раз, то при большем  относительная частота событий  может рассматриваться как приближенное значение вероятности этого события . Получим так называемое статистическое определение вероятности. Более точно его можно сформулировать так:

• если при проведении большого количества случайных экспериментов, в каждом из которых может происходить или не происходить событие А, значения относительной частоты события А близкие к некоторому определенному числу (которое зависит только от вида события А, и не зависит от серии экспериментов), то это число называют вероятностью случайного события А.

Статистическая оценка вероятности события с использованием относительной частоты события широко используется в физике, биологии, социологии, экономике и в повседневной жизни каждого человека. Приведем пример использования такой оценки. Согласно закона РФ "Про обязательное социальное страхование гражданско-правовой ответственности собственников наземных транспортных средств" каждый собственник автомобиля должен заключить договор со страховой компанией. По этому договору собственник машины платит компании определенную сумму, а компания в свою очередь обязуется компенсировать (до определенной суммы) тот ущерб, который может быть нанесен автовладельцем другому автовладельцу, городской власти или пешеходам. Чтобы по справедливости определить, кто и сколько должен платить, нужно учесть два обстоятельства: 1) с какой вероятностью автомобиль (на протяжении срока страхования) может попасть в аварию, 2) какой в среднем ущерб окружающим наносит одна авария. Зная это, можно вычислить страховые взносы. В частности, вероятность случайного события  " на протяжении года автомобиль попадает в аварию" была вычислена по статистическим данным, которые имели в своем распоряжении страховые компании, государственная автомобильная инспекции и другие органы и организации. Эта вероятность оказалась приблизительно 0,015.

Существует еще и аксиоматическое определение вероятности, в котором определение вероятности задается перечнем ее свойств. При аксиоматическом определении вероятность задается как функция  определенная на множестве всех событий,  которые определяются данным экспериментом, удовлетворяющая (для экспериментов с конечным числом результатов) такие аксиомы:

1.  для любого события А из М.
2.  если А — вероятное событие.
3.  если события А и В несовместимые.

Теорию, которая изучает вероятность событий только для экспериментов с конечным числом результатов, называют элементарной теорией вероятностей. Обычно существуют и эксперименты с бесконечным числом результатов. Теорию, изучающую вероятность таких событий, называют общей теорией вероятностей. 
В общем виде теории вероятностей свойство 3 понимают в расширенном смысле: 
Свойства 1-3 называют аксиомами Колмогорова теории вероятностей. Именно А. Н. Колмогоров в 1933 году впервые дал аксиоматическое построение теории вероятностей.


 

Геометрическое определение вероятности

1. Основные понятия.
— некоторая фигура на плоскости,
 — площадь фигуры .
Эксперимент — это случайный выбор какой-то точки  из фигуры  (можно также считать, что эту точку  случайно бросили на фигуру ).
Элементарные события  — точки фигуры.
А — часть фигуры 
 — площадь фигуры А.
Событие А — попадание точек в фигуру А. Тогда благоприятными элементарными событиями для события А будут все точки фигуры А.
                              

2. Определение геометрической вероятности.
 Геометрической вероятностью события А называют отношение площади фигуры, благоприятной для события А,  к площади всей заданной фигуры.
(Допустим, что вероятность попадания точки в часть фигуры  пропорциональна площади этой части и не зависит от ее конфигурации и расположения в фигуре .)

3. Общее определение.
Если  — пространственная фигура (тело), то под записями   и  понимают объемы тела  и его части — тела А.
Если  — отрезок, то под записями   и  понимают длину отрезка  и его части — отрезка А.
(Объем тела  в пространстве, площадь плоской фигуры  на плоскости, длину отрезка  на прямой назовем мерой фигуры .)
 Геометрической вероятностью события А называют отношение  меры фигуры, благоприятной для события А, к мере всей заданной фигуры.
                                       

Приведенное определение вероятности нельзя применять для случайных экспериментов с бесконечным количеством результатов (то есть  в случае, когда множество  бесконечно).
Рассмотрим случай задания вероятностей при помощи так называемых геометрических вероятностей. Пусть  — некоторая фигура на плоскости, — ее площадь, А — часть фигур  с площадью , В — часть фигуры  с площадью  (рис. 22.10). Элементарным событием  будем считать некоторую точку фигуры  или брошенную на фигуру . Событием А будем считать попадание точки  в фигуру А. Также будем считать такой случайный выбор точкой равномерным (или как говорят, равномерным распределением вероятностей). Другими словами, вероятности попадания точки в фигуры А и В, которые имеют одинаковые площади, одинаковые и не зависят от положения этих фигур (если  и  то  То есть мы допускам, что вероятность попадания точки в часть фигуры  пропорциональна только площади этой части и не зависит от ее расположения в фигуре . Тогда вероятность попадания точки  в фигуру А определяется как отношение площадей: 
              (5)
Поскольку благоприятными элементарными событиями для рассматриваемого события является попадание выбранной точки в фигуру А, то фигуру А можно назвать благоприятной для этого события, и тогда определение геометрической вероятности можно сформулировать так:

• геометрической вероятностью события А называют отношение площади фигуры, благоприятной для события А, к площади всей заданной фигуры.

Пример №536

Пусть круглая мишень радиусом 20 см поделена концентрическими кольцами с радиусами   на 10 колец.  Внутренний круг радиуса  также назовем кольцом и будем считать, что а  (рис. 22.11). Стрелок попал в мишень. Будем считать, что стрелок выбил   очков, если он попал в -е кольцо, то есть в кольцо между кругами радиусами  и  (или попал в круг радиусом  Обозначим событие  "стрелок выбил  очков" и определим вероятность каждого из таких событий при 
Если считать, что у стрелка точки попадания пуль равномерно распределены на кругу мишени, то можно использовать метрическое определение вероятности. Получим  Учитывая, что  и  имеем 

                                        

Замечание 1. Назовем события А и В несовместимыми (событие А — точка попала в фигуру А, событие В — точка попала в фигуру В), если фигуры А и В не имеют общих точек (то есть множество точек фигур А и В не имеет общих элементов). Сумму событий А + В и произведение определим как объединение  и пересечение  множеств точек фигур А и В.
Событие  противоположное событию А, определим как дополнение  множества точек фигуры А к множеству (то есть как множество всех точек фигуры , которые не входят в А).
Тогда приведенное определение геометрической вероятности удовлетворяет аксиомы 1-3.
Действительно,  следовательно, аксиома 2 выполняется.
По свойствам площадей следовательно,  Учитывая, что  (рис. 22.15), получаем, что  Следовательно, (то есть аксиома 1 выполняется).
Если события А и В несовместимые, то фигуры А и В не имеют общих точек. Тогда  Следовательно, 
 то есть выполняется и 3 аксиома.
Поскольку разные определения вероятности удовлетворяют одним и тем же основным свойствам (аксиомам), то следствия, которые могут быть получены при использовании этих аксиом, не зависят от способа определения вероятности. Поэтому в дальнейшем для объяснения общих свойств вероятности мы будем проводить для одного определения — или, как говорят в математике, для одной модели вероятности, — и иметь в виду, что аналогичное объяснение можно провести и для других моделей. Хотя обычно в каждой модели можно указать и свои специфические свойства, которых нет в других моделях.

Замечание 2. Определение геометрической вероятности (8) можно использовать не только в том случае, когда  — плоская фигура. Если, например,  — пространственная фигура (тело), то в случае равномерного распределения вероятностей (в том понимании, что вероятности попадания точки  в части данного тела, которые имеют одинаковые объемы, одинаковые и не зависят от положения этих частей в заданном теле), в формуле (8) под записями  и  нужно понимать длину отрезка  и его части — отрезка А.
Заметим, что объем тела в пространстве, площадь плоской фигуры  на плоскости, длину отрезка  на прямой можно назвать мерой фигуры . Тогда в общем виде формулу (8) можно записать так: то есть в общем случае: геометрической вероятностью события А называют отношение меры фигуры, благоприятной для события А, к мере всей заданной фигуры.

Пример №537

Оля пообещала подруге Кате позвонить в промежутке времени между 9 и 10 часами. Найдите вероятность того, что их разговор начнется в промежутке между  9 час. 20 мин. и 9 час. 25 мин.
В этой задаче эксперимент — это фиксирование времени телефонного звонка. Изобразим все результаты в виде отрезка АВ (рис. 22.12). 
                                
Элементарные события — это точки отрезка АВ (Оля может позвонить подруге в любое время с 9.00 до 10.00). Если событие А — вызов произойдет в промежутке между 9.20 и 9.25, то благоприятные для события А элементарные результаты можно изобразить точками отрезка  Если считать, что время вызова по договоренному промежутку распределяется равномерно, то 
                            
(При вычислении учтено, что в минутах мера  равна 5 минут, а мера  равна 60 (1 час = 60 минут).)

Пример №538

На сигнализатор поступают сигналы с двух приборов, причем поступление каждого из сигналов равновозможное в любой момент промежутка времени длительностью  мин. Моменты поступления сигналов независимые друг от друга. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1 минуты. Найдите вероятность того, что сигнализатор сработает за время , если каждый из приборов пошлет по одному сигналу.
Выберем промежуток времени, длительностью , например  Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго приборов соответственно через  и . Из условия задачи вытекает, что должны выполняться двойные неравенства: 
Введем прямоугольную систему координат  В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, которая принадлежит квадрату  Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру  координаты точек которой удовлетворяют все возможные значения моментов поступления сигналов.
Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1 минуты, то есть если , что равносильно неравенствам:
           
Неравенство (6) выполняется для координат тех точек фигуры  которые лежат выше прямой  и ниже прямой  неравенства (7) имеют место для координат точек, расположенных ниже прямой  и выше прямой 
Как видно на рис. 22.13, все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (6) и (7), принадлежат штрихованному шестиугольнику  Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру  координаты точек которой являются благоприятными моментами времени   и  для срабатывания сигнализатора.
                                         
Учитывая, что площадь  получаем, что искомая вероятность равна 


 

Независимые события

1. Понятие независимости двух событий.
Событие В называется независимым от события А, если событие А не изменяет вероятность события В.
События А и В называются независимыми, если выполняется равенство  (вероятность их произведения — то есть совместного появления — равно произведению вероятностей этих событий).

2. Независимость нескольких событий.
Несколько событий называются независимыми, если для любого подмножества этих событий (которое содержит два или больше событий) вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.
В частности, если события  независимые, то      
                          

3. Свойства независимых событий.
Если мы имеем совокупность независимых событий, то заменив некоторые из этих событий на противоположные им события, опять получим совокупность независимых событий. Например, если события А и В независимые, то независимыми будут так же события  и ,  и   и .

4. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из независимых событий 

 

Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет событие В. В целом определение независимости событий чаще формулируют так:

• события А и В называются независимыми, если выполняется равенство 

                   (8)
то есть два события называются независимыми, если вероятность их произведения (то есть совместного появления) равна произведению вероятностей этих событий.
Равенство (8) обязательно выполняется, если одно из событий невозможно или вероятно. Например, если событие В  —невозможно, то есть то  Следовательно,  и  то есть равенство (8) выполняется. Если событие В —вероятное, то есть  то  Тогда,   следовательно, равенство (8) выполняется и в этом случае. Таким образом, если хотя бы одно из двух событий невозможно, или вероятно, то такие события независимые.
Обратим внимание, что в случае, когда события А и В независимые, так же независимыми будут событие и ,  и   и .
Докажем, например, что будут независимыми события  и . Если события А и В независимые, то по определению  Когда происходит событие А, то в это время событие В может происходить или не происходить. Следовательно, можно утверждать, что событие А происходит только тогда, когда происходят или события А и В, или события   и , то есть  Учитывая, что события   и  несовместимые (поскольку события  и  — несовместимые) и что  получаем:
 Тогда

А это и означает, что события А и В независимые.
Аналогично объясняется независимость событий и   и .
Понятие независимости событий может быть распространено на любое конечное количество событий.
Несколько событий называются независимыми (еще говорят — независимыми в совокупности), если для любого подмножества этих событий (которое содержит два или больше событий) вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.
Например, три события А, В, С будут независимыми, если выполняется условие:
                 
                                           
Из определения выплывает, что в случае, когда события  независимые, то 
(но выполнение этого равенства при  еще не означает, что события независимые).
Как и в случае двух событий, можно доказать, что когда в некоторой совокупности независимых событий заменить какие-то события противоположными им событиями, то выйдет так же совокупность независимых событий.
Отметим, что приведенные определения независимости событий в теоретико-вероятностном понимании соответствуют обычному пониманию независимости событий, как отсутствие влияния одних событий на другие. Поэтому при решении задач можно пользоваться таким принципом: причинно-независимые события являются независимыми и в теоретико-вероятностном понимании.

Пример №539

Прибор состоит из тех узлов, каждый из которых на протяжении суток может выйти из строя независимо от других. Прибор не работает, если не работает хотя бы один из узлов. Вероятность работы без ошибок на протяжении суток первого узла равна 0,95, второго — 0,9, третьего — 0,85. Найдите вероятность того, что на протяжении суток прибор будет работать без ошибок.
Пусть событие  — первый узел исправный, событие — второй узел исправный, событие  — третий узел исправный, событие А — на протяжении суток прибор работает без ошибок. Поскольку прибор работает без ошибок тогда и только тогда, когда исправны все три узла, то  По условию события  — независимые, следовательно 

Пример №540

Два стрелка сделали по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попасть в мишень для первого стрелка равна 0,9, для второго — 0,8. Найдите вероятность того, что в мишень точно попадут.
Рассмотрим такие события: А — первый стрелок попал в мишень, В — второй стрелок попал в мишень, С — в мишень попали. События А и В независимые, но непосредственно использовать в данном случае умножение вероятностей нельзя, поскольку событие С происходит не только тогда, когда оба стрелка попали в мишень, но и тогда, когда в мишень попал хотя бы один из них. 
Рассуждаем иначе. Рассмотрим события  противоположные соответственно событиям  Поскольку события А и В независимые, то события  и  — также независимые.
Если  то 
Если  то 
Учитывая, что мишень не  будет пустая тогда и только тогда, когда в нее не попадет ни первый, ни второй стрелки, получим, что  Тогда 

Поскольку события и  противоположные, то 

Замечание. Соображения, приведенные в задаче, можно обобщить.
Если события противоположные, то события  также независимые (и  где  Для нахождения вероятности появления хотя бы одного из независимых событий , то есть события  можно найти вероятность противоположного события  События  произойдет тогда и только тогда, когда не произойдет ни событие  ни событие  ни событие  то есть   Тогда,
Учитывая, что  получаем, что вероятность появления хотя бы  одного из независимых событий можно вычислить по формуле:

Эту формулу не обязательно запоминать, достаточно при решении задач на нахождение вероятности появления хотя бы одного из независимых событий провести вышеуказанные соображения.

 

Понятие случайной величины и ее распределения

Под случайной величиной в теории вероятностей понимают переменную величину, которая в данном случайном эксперименте может принимать те или иные числовые значения с определенной вероятностью. Обозначают случайные величины большими латинскими буквами:  а их значения — соответствующими малыми буквами:  Тот факт, что случайная величина  принимает значения  записывают так:  Например, в п. 22.1 была найдена вероятность появления той или иной суммы очков при подбрасывании двух игральных костей. Сумма очков, которые выпадут, —случайная величина. Обозначим ее через .
Тогда  — значения случайной величины . Значение случайной величины  и соответствующие вероятности их появления  приведены в таблице:
* Таким образом, через  обозначим вероятность события " случайная величина  принимает значения "
Это можно записать так: 

При помощи этой таблицы легко увидеть, какие значения величина  принимает с одинаковыми вероятностями, какое значение величины  появится с большей вероятностью. Такую таблицу называют таблицей распределения случайной величины по ее вероятностям, и говорят, что эта таблица задает закон распределения рассмотренной случайной величины.
Приведем определение рассматриваемых понятий. Отметим, что случайную величину можно задать в любом случайном эксперименте. Для этого достаточно каждому элементарному событию в пространстве элементарных событий эксперимента поставить в соответствие какое-то число (в этом случае говорят, что задано числовую функцию, областью определения которой является пространство элементарных событий).

• Случайной величиной называется числовая функция, областью определения которой является пространство элементарных событий.

Например, в эксперименте по подбрасыванию монетки пространство элементарных событий состоит из двух событий:   — выпал "орел",— выпала "решка". Эти события несовместимые, и в результате эксперимента обязательно произойдет одно из этих событий. Поставим в соответствие событию  число 1, а событию  — число 0 (то есть фактически будем считать, что в случае появления "орла" выпадет число 1,  а в случае выпадения "решки" — число 0. Тогда получим случайную величину , которая приобретает только два значения:  (то есть  Рассмотренную функцию — случайную величину  — можно задать также при помощи таблицы.

Закон распределения этой случайной величины задается таблицей: 

Заметим, что закон распределения каждой случайной величины устанавливает соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями, то есть является функцией, область определения которой — все значения случайной величины. Поэтому,

• законом распределения случайной величины  называется функция, которая каждому своему значению  случайной величины  ставит в соответствие число  (вероятность событий "случайная величина приняла значение ").

В общем виде закон распределения случайной величины, которая принимает только  значения, можно записать в виде таблицы:

Тут  разные значения случайной величины а  (где  — вероятности, с которыми принимает целые значения.
События   попарно несовместимые, а их сумма — вероятное событие. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна 1, следовательно, 
Это равенство часто используют для проверки правильности задания закона распределения случайной величины, особенно в тех случаях, когда он с использованием классического определения вероятности, а в результате использования статистического определения вероятности.
Например, в экспериментах по подбрасыванию пуговицы с ушком для пришивания падение пуговицы на ушко или на лицевую сторону может быть рассмотрено, как случайное событие  с условными значениями  (падение на ушко) и  (падение на лицевую сторону). Результаты серии экспериментов для некоторой пуговицы приведены в таблице,  которая задает закон распределения случайной величины.

Замечание. В том случае, когда приходится находить сумму всех значений некоторой величины, можно использовать знак (сигма, читается: "сумма"), введенный Л. Эйлером (1717-1783). Например, если вероятность  принимает значения введем обозначение*:

Используя это обозначение, проверку правильности составления последней таблицы можно записать так: 
Рассмотренные в этом пункте случайные величины принимают изолированные один от другого значения. Такие величины называют дискретными (от латинского  — раздельный,  прерывистый),  а распределение вероятностей такой величины — дискретным распределением вероятности.
Если случайная величина может принимать любое значение на некотором промежутке, то такая величина называется непрерывной. Например, время  ожидания автобуса на остановке является непрерывным вероятным событием.

*Более детально указанная сумма записывается так:   

Математическое ожидание случайной величины

Дадим определение этого понятия для дискретной случайной величины.
Пусть случайная величина  принимает значения  соответственно к вероятностям  то есть закон распределения:

Сумма произведений всех значений случайной величины на соответствующие вероятности называется  математическим ожиданием величины  (и обозначается  или ): 
                     (9)
Если значения случайных величин имеют одну и ту же вероятность  то учитывая, что  получаем  и  Тогда,

то есть в этом случае математическое ожидание случайной величины равно среднему арифметическому всех ее значений.
Говорят, что математическое ожидание случайной величины является средневзвешенным (вероятностями) ее значений.
Математическое ожидание также называют средним значением случайной величины. Иногда говорят, что математическое ожидание случайной величины — это ее среднее значение.
Математическое ожидание показывает, на какое среднее значение случайной величины  можно рассчитывать в результате длительной серии экспериментов (при значительном количестве повторений эксперимента). При помощи математического ожидания можно сравнивать случайные величины, которые заданы законом распределения.
Например, пусть количество очков, которые выбиваются при одном выстреле каждым из двух стрелков, имеют такие законы распределения:

Чтобы выяснить, какой стрелок стреляет лучше, находят математическое ожидание для каждой случайной величины:

Следовательно, среднее количество очков, которые выбивает второй стрелок во время одного выстрела, выше, чем у первого. Это дает основания сделать вывод, что второй стрелок стреляет лучше, чем первый.
Понятие математического ожидания возникло в связи с изучением азартных игр. Приведем примеры.

Пример №541

Игрок вносит в банк игрального заведения 1000 руб. Бросают игральные кости. По правилам игры победитель может получить 1800 руб., если произойдет событие  — выпадет 6 очков, 1200 руб., если произойдет событие — выпадет или 4, или 5 очков, 0 рублей, если произойдет событие  — выпадет 1, или 2, или 3 очка. Будем считать, что игрок получает  рублей, то есть  —случайная величина, которая может принимать значения в соответствии к вероятностью.
где 
Математическое ожидание случайной величины  равно

Математическое ожидание — очень важный показатель игры. Многочисленные исследования показывают, что число  в нашем случае — это та сумма, которую в среднем игровое заведение выплачивает каждому игроку. Но это означает, что каждый игрок в среднем теряет 300 руб. со взносов в банк игрального заведения 1000 руб.

Пример №542

Игрок вынимает из колоды (36 карт) одну карту. Он получает (выигрывает) 10 руб., если достанет бубнового туза, 5 руб. — бубнового короля,  кладет на стол 1 руб. (то есть проигрывает, но скажем, что выигрывает –1 руб. (минус 1) в остальных случаях.
Будем считать, что игрок получает  рублей, где — случайная величина, которая может принимать значения  в соответствии с вероятностями.
 где 
Математическое ожидание случайной величины  равно:

М(Х) = 10/36 + 5/36 – 34/36 = –19/36.
 Это означает, что каждый игрок в среднем теряет рублей.

Пример №543

Задача Паскаля. Два игрока А и В согласились, что в их игре вся ставка достанется тому, кто первый выиграет 5 партий. Но игра прервалась, когда игрок А имел 4 выигрыша, а игрок В — 3 выигрыша. В каком соотношении игроки должны разделить ставку в этой прерванной игре (в каждой партии выигрывает один из игроков — ничьих не бывает, вероятность выигрыша каждого игрока в одной партии считается равным 0,5)?
Рассмотрим, какие случаи могли бы произойти, если бы игроки сыграли еще две партии (не зависимо от их начальных договоренностей):

1. Игрок В выиграл обе партии.
2. Игрок В выиграл 1 партию, а вторую проиграл.
3. Игрок В проигрывает первую партию, но выигрывает вторую.
4. Игрок В проигрывает обе партии.

По начальному условию всю игру выигрывает первый игрок в трех из четырех случаях, второй только в одном. Следовательно, вероятность события А (игрок А выигрывает всю игру) равна  а вероятность события В (игрок В выиграл всю игру) равно 
Если ставка равна  рублей, то игрок А получил бы  рублей, где — случайная величина, которая принимает значения  с вероятностью  и значения 0 с вероятностью  а игрок В получил бы  рублей, где  — случайная величина, которая принимает значения  с вероятностью  и значение 0 с вероятностью 
Найдем математическое ожидание величин  и , то есть найдем, сколько в среднем получил бы каждый игрок:

Следовательно, в среднем игроки разделили бы ставку в соотношении 3:1, поэтому ставку нужно разделить в соотношении  то есть 3:1.

Понятие о статистике 

"Статистика знает все", — утверждают Ильф и Петров в своем знаменитом романе "Двенадцать стульев" и продолжают: "Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики... Известно, сколько в стране охотников, балерин... станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок... Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..»

Это ироническое описание дает достаточно точное представление о статистике (с латинского — состояние) — науке, которая изучает, обрабатывает и анализирует количественные данные о самых разных массовых явлениях в жизни. Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует возрастание и упадок производства и потребления. Медицинская статистика изучает эффективность разных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемии. Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный). А есть еще статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая...
Статистика имеет многовековую историю. Еще в древнем мире вели статистический учет населения.  Но произвольные определения статистических данных, отсутствие строгой научной базы статистических прогнозов даже в  середине  века еще не позволяли говорить о статистике как науке.  Только в  веке, появилась математическая статистика — наука, которая опирается на законы теории вероятностей. Оказалось, что статистические методы обработки данных из самых различных областей жизни имеют много общего. Это позволило создать универсальные научно обоснованные методы статистических исследований и проверки статистических гипотез. Следовательно,  

• математическая статистика — это раздел математики, который изучает математические методы обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

В математической статистике рассматривают методы, которые дают возможность по результатам экспериментов (статистическим данным) делать определенные выводы вероятностного характера.
Математическая статистика разделяется на две обширные области:

1. Описательная статистика, которая рассматривает методы описания статистических данных, их табличное и графическое представление и т. д.
2. Аналитическая статистика (теория статистических выводов), которая рассматривает обработку данных, полученных в ходе эксперимента, и формулирует выводы, которые имеют прикладное значение для конкретной области человеческой деятельности. Теория статистических выводов тесно связана с теорией вероятностей и основывается на ее математическом аппарате.

Среди основных задач математической статистики можно выделить такие:

1. Оценку вероятности. Пусть некоторое случайное событие имеет вероятность  но ее значение нам не известно. Необходимо оценить эту вероятность по результатам экспериментов, то есть решить задачу об оценке вероятности через частоту.
2. Оценка закона распределения. Исследуется некая случайная величина, точное выражение для закона распределения которой нам не известно. Необходимо по результатам экспериментов найти приблизительное выражение для функции, которая задает закон распределения.
3. Оценка числовых характеристик случайной величины (математическое ожидание, смотреть пункт 22.6).
4. Проверка статистических гипотез (допущений). Исследуется некоторая случайная величина. Исходя из определенных соображений, выдвигается гипотеза, например, о распределении этой случайной величины. Необходимо по результатам экспериментов принять или отклонить эту гипотезу.

Результаты исследований, которые представляются методами математической статистики, применяются для принятия решений. В частности, при планировании и организации производства, при контроле качества продукции, при выборе оптимального времени наладки или замены действующей аппаратуры (например, при определении времени замены двигателя самолета, отдельных частей станков,  и т. д.).
Как и в каждой науке, в статистике используют свои специфические определения и понятия. Некоторые из них приведены в таблице.

Генеральная совокупность и выборка

Для изучения разных массовых явлений проводятся специальные статистические исследования. Любое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации про явление или процесс, который изучается. Этот этап называют этапом статистических наблюдений. Для получения статистических данных в результате наблюдений похожие элементы некоторой совокупности сравнивают по разным признакам. Например, учеников 11 классов можно сравнить по росту, размеру одежды, успеваемости и т. д. Болты можно сравнить по длине, диаметру, весу, материалу и тому подобное. Практически любое свойство или поддается непосредственному измерению, или может получить условную числовую характеристику. Таким образом, некоторые признаки  элементов совокупности можно рассматривать как случайную величину, которая принимает те или иные числовые значения.
При изучении реальных явлений часто бывает невозможно исследовать все элементы совокупности. Например, практически невозможно  определить размеры обуви всех людей на планете. А проверить, например, наличие листов некачественной фотобумаги в большой партии хоть и реально, но глупо, потому что полная проверка приведет к уничтожению всей партии бумаги. В подобных случаях вместо изучения всех элементов совокупности, которую называют генеральной совокупностью, исследуют ее значительную часть, выбранную случайным образом. Эту часть называют выборкой, а число элементов в выборке — объемом выборки.

Если в выборке все основные признаки генеральной совокупности представлены в той же пропорции и с той же относительной частотой, с которой данный признак выступает в генеральной совокупности, то эту выборку называют репрезентативной (от французского  представительный). Другими словами, репрезентативная выборка является меньшей по размеру, но точной моделью той генеральной совокупности, которую она отображает. В той степени, в какой выборка является репрезентативной, выводы, что основываются на изучении этой выборки, можно с высокой уверенностью считать применяемыми ко всей генеральной совокупности.
Понятие репрезентативности отобранной совокупности не означает, что она полностью по всем признакам представляет генеральную совокупность,  поскольку это практически невозможно обеспечить. Отобранная выборка должна быть репрезентативной относительно тех признаков, которые изучаются.
Чтобы выборка была репрезентативной, она должна быть выделена из  генеральной совокупности случайный образом. Чаще всего используют такие виды выборок:

1. Случайную.
2. Механическую.
3. Типичную.
4. Серийную.

Коротко охарактеризуем их.

1. Члены генеральной совокупности можно заранее пронумеровать и каждый номер записать на отдельной карточке. После тщательного перемешивания отбираем наугад из пачки таких карточек по одной карточке и получаем выборочную совокупность любого необходимого объема, которая называется собственно-случайной выборкой. Номера на отобранных карточках укажут, какие члены генеральной совокупности попали в выборку. (Отметим, что при этом возможны два принципиально разные способы отбора карточек в зависимости от того, возвращается или не возвращается обратно карточка, которую только что выбрали.) Собственно-случайную выборку заданного объема  можно образовать и при помощи так называемых таблиц случайных чисел или генератора случайных чисел на компьютере. При образовании собственно-случайной выборки каждый член генеральной совокупности с одинаковой вероятностью может попасть в выборку.
2. Выборка, у которой члены генеральной совокупности выбираются через определенный интервал, называется механической. Например, если объем выборки должен быть 5% объема генеральной совокупности (5%-я выборка), то отбирается ее каждый 20-й член, при 10%-й выборке — каждый 10-й член генеральной совокупности и т. д. Механическую выборку можно образовать, если есть определенный порядок расположения членов генеральной совокупности, например, если они следуют друг за другом в определенной последовательности по времени. Именно так появляются изготовленные на станке детали, приборы, которые сошли с конвейера, и т. д. При этом необходимо убедиться, что в членах генеральной совокупности, которые следуют один за другим, значение признаков не меняется с той же (или кратной ей) периодичностью, как и  периодичность отбора элементов выборки. Например, пусть из продукции металлообрабатывающего станка в выборку попадает каждая 5-я деталь, а после каждой десятой детали рабочий выполняет замену (или заточку) режущего инструмента и наладку станка. Эти операции работник направлены на улучшение качества деталей (стачивание режущего инструмента происходит более мене равномерно). Следовательно, в выборочную совокупность попадают детали, на качество которых работа станка влияет в одну и туже сторону,  и значение признаков выборочной совокупности могут неправильно отразить соответствующие значения признака генеральной совокупности.
3. Если из генеральной совокупности, заранее разбитой на группы, которые не пересекаются, образовать собственно-случайные выборки из каждой группы (с повторным или без повторного отбора членов), то отобранные элементы образуют выборочную совокупность, которая называется типичной.
4. Если генеральную совокупность заранее разбить на серии (группы), которые не пересекаются, а затем, рассматривать серии как элементы, и образовать собственно-случайную выборку (с повторным или без повторного отбора серий), то все члены отобранных серый составят выборочную совокупность, которая называется серийной.

Например, пусть на заводе 150 станков (10 цехов, по 15 станков) выпускают одинаковые изделия. Если в выборку отобрать изделия из тщательно перемешанной продукции всех 150 станков, то образуется собственно-случайная выборка. Но можно отобрать изделия отдельно из продукции 1-го станка, 2-го станка и т. д. Тогда будет образована типичная выборка. Если же членами генеральной совокупности считать цеха, а потом в каждом из выбранных цехов взять все выпущенные изделия, то все отобранные изделия (из всех отобранных цехов) составят серийную выборку.
Как уже отмечалось, практически любой признак , который изучается или непосредственно измеряется, может получить числовую характеристику. Поэтому первичные экспериментальные данные, которые характеризуют выделенную выборку, обычно представлены в виде набора чисел, записанных исследователем в порядке их нахождения. Количество  членов в этом наборе называют объемом выборки, а количество  — частотой варианты. Отношение  — относительная частота варианты.
Используя эти понятия, запишем соотношение между ними в репрезентативной выборке.
Пусть  — объем генеральной совокупности,   — объем репрезентативной выборки, в которой  значений исследуемого признака распределено по частотам  где  Тогда в генеральной совокупности частотам  будут соответствовать частоты  тех самых значений признаков, что и в выборке  По определению репрезентативной выборки получаем  где — порядковый номер значения признака  Из этого соотношения находим 
                                                       (1)

Пример №544

Обувной цех должен выпустить 1000 пар кроссовок молодежного фасона. Для определения того, сколько кроссовок и какого размера необходимо выпустить, были определены размеры обуви у 50-ти случайно выбранных подростков. Распределение размеров обуви по частоте приведено в таблице:
  
Сколько кроссовок разного размера будет изготавливать фабрика?
Решение.
Будем считать рассмотренную выборку объемом подростков репрезентативной. Тогда в генеральной совокупности (объем  количество кроссовок каждого размера пропорционально количеству кроссовок соответствующего размера в выборке (и для каждого размера находится по формуле (1)).
Результаты расчетов будем записывать в таблицу:

Ответ:

В сельском хозяйстве для определения количественного соотношения изделий разного сорта пользуются выборочным методом.  Суть этого метода будет понятна из описания такого исследования.
В коробке тщательно перемешанный горох двух сортов: зеленый и желтый. Ложкой вынимают из разных мест коробки порции гороха. В каждой порции подсчитывают число желтых горошин  и число всех горошин  Для каждой порции находят относительную частоту появления желтой горошины Так делают  раз (на практике обычно берут  и каждый раз вычисляют относительную частоту.  Статистической вероятностью изъятия желтой горошины из коробки принимают среднее арифметическое полученных относительных частот 

 

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных

1. Ранжирование данных.
Под ранжированием данных понимают расположение элементов ряда в порядке возрастания (имеется в виду, что каждое последующее число или больше, или не меньше предыдущего).
Пример.
Если ряд данных выборки имеет вид  то после ранжирования он превращается в ряд *

2. Размах выборки 
Размах выборки – разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки.
Пример.
Для рада (*) размах выборки: 
 

3. Мода 
Мода — наиболее частое значение, которое встречается в выборке.
Пример.
В ряде (*) значение 4 встречается чаще всего, следовательно, 

4. Медиана 
Медиана — среднее значение упорядоченного ряда значений случайной величины:
- если количество чисел в ряду нечетное, то медиана — это число, написанное посредине,
- если количество чисел в ряду четное, то медиана — это среднее арифметическое двух чисел, которые стоят посредине.
Пример.
Для рядя (*), в котором 9 членов, медиана — это среднее (то есть пятое) число
Если рассматривать ряд в котором 10 членов, то медиана — это среднее арифметическое пятого и шестого членов:
5. Среднее значение  выборки
Средним значением выборки называют среднее арифметическое всех чисел ряда данных выборки.
Если в ряду данных записаны значения (среди которых могут быть и одинаковые), то  (**)
Если известно, что в ряде данных разные значения  встречаются соответственно с частотой  (тогда  то среднее арифметическое можно вычислять по формуле:


Пример.
Пусть ряд данных задан таблицей распределения по частоте М:
  
Тогда по формуле (**) , или по другой формуле: 

Табличное и графическое представление данных. Полигон частот

Как уже отмечалось, практически любой признак который определяется или непосредственно измеряется, может получить числовую характеристику. Поэтому начальные экспериментальные данные, которые характеризуют выделенную выборку, обычно представляют в виде набора чисел, записанного исследователем в порядке их нахождения. Если данных много, то полученный набор чисел тяжело постичь и сделать на нем какие-то выводы очень сложно. Поэтому первичные данные требуют обработки, которая обычно начинается с их группировки. Группировка выполняется разными методами в зависимости от целей, вида признака, который изучается, и количества экспериментальных данных (объем выборки), но чаще всего группирование заключается в представлении данных в виде таблиц, в которых разные значения элементов выборки упорядочены по возрастанию и указаны их частоты (то есть количество каждого элемента в выборке). При необходимости в этих таблицах указывают также относительные частоты для каждого элемента, записанного в первом ряду. Такую таблицу часто называют рядом распределения (или вариационным рядом).

Например, пусть в результате изучения размера обуви 30 мальчиков 11 класса был получен набор чисел (результаты записаны в порядке опроса): 

Чтобы удобней было анализировать информацию, в подобных ситуациях числовые данные сначала ранжируются, затем располагаем их в порядке возрастания (когда каждое последующее число или больше, или не меньше, чем предыдущее). В результате ранжирования получаем такой ряд:

Затем составляем таблицу, в первом ряде которой указываем все разные значения полученного ряда данных ( — размер обуви выбранных 30 мальчиков 11 класса), а во втором ряде — их частоты 

Получаем ряд распределения признака , который рассматривается по частоте. Иногда удобно проводить анализ ряда распределения на основании его графического изображения.
Отметим на координатной плоскости точки с координатами  и соединим их последовательно отрезками (рис. 23.1). Полученную ломаную линию называют полигоном частот. То есть 
полигон частот — ломаная, отрезки которой последовательно соединяют точки с координатами  где  значение разных элементов ряда данных, а  — соответствующие им частоты.

Аналогично определяется и строится полигон относительных частот для признака  , который рассматривается (строятся точки с координатами где — значение разных элементов ряда данных, а  соответствующие им относительные частоты.
Если посчитать относительные частоты для каждого из значений ряда данных, рассмотренного в начале этого пункта, то распределение значений признака , который рассматривается, по относительным частотам можно задать таблицей:


Также распределение значений признаков , которое рассматривается по относительным частотам, можно представить в виде полигона относительных частот (рис. 23.2), в виде линейной диаграммы (рис. 23.3) или в виде круговой диаграммы, предварительно записав значения относительной частоты в процентах (рис. 23.4).

Напомним, что для круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, вычисленным для каждого из значений ряда данных. Заметим, что круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность только при небольшом количестве полученных секторов. В других случаях ее применение малоэффективно.
Если признак, который рассматривается принимает много разных значений, то их распределение можно лучше представить после разбития всех значений ряда данных классов. Количество классов может быть любым, удобным для исследования (обычно берут от 4 до 12). При этом величины (объемы) классов должны быть одинаковыми.
Например, в таблице даны ведомости по зарплате сотрудников одного предприятия (в некоторых условных единицах). При этом значения оплаты (округленное до целого числа условных единиц) сгруппированы в 7 классов, объем каждого — 100 условных единиц.

(проверка: 
Наглядно частотное распределение заплаты по классам можно подать в виде полигона частот (рис 23.5) или столбиковой диаграммы (рис. 23.6).

 

Числовые характеристики рядов данных. Размах выборки, мода и медиана ряда данных

Иногда выборку случайных величин или всю генеральную совокупность этих величин приходится характеризовать одним числом. На практике это необходимо, например, для быстрого сравнения двух или более совокупностей по общему признаку.
Рассмотрим конкретный пример.
Пусть после летних каникул проводился опрос 10 девочек и 9 мальчиков из  одного класса относительно количества книг, которые они прочитали на каникулах.
Результаты были записаны в порядке опрашивания. Получили такие ряды данных:
Девочки:
Мальчики:
Как уже отмечалось, чтобы удобней было анализировать информацию в такого рода случаях, числовые данные ранжируют, располагают их в порядке возрастания. В результате ранжирования получаем такие ряды:
Девочки:                        (1)
Мальчики:                              (2)
Тогда распределение по частотам  величин  — число прочитанных за каникулы книжек девочками и — число прочитанных за каникулы книжек мальчиками можно задать в виде таблиц:

Эти распределения можно также представить графически при помощи полигона частот (рис. 23.7, а, б).

Для сравнения рядов (1) и (2) используют разные характеристики. Приведем несколько из них.
Размах ряда чисел (обозначается ) — разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Поскольку мы анализируем выборку некоторых величин, то

• размах выборки — это разность между наибольшим и наименьшим значениями величин в выборке.

Для ряда (1) размах  а для ряда (2) размах  На графике размах — это длина области определения полигона частот (рис. 23.7).
Одной из статистических характеристик ряда данных является его мода (обозначают  с латыни  мера, правило).

• Мода — это то значение элемента выборки, которое встречается чаще всего.

Так в ряду (1) две моды — числа 3 и 5:  а в ряду (2) одна мода — число 4: На графике мода — это значение абсциссы точки, в которой достигается максимум полигона частот (рис. 23.7). Отметим, что моды может и не быть, если все значения признака, которые рассматриваются, встречаются одинаково часто.
Моду ряда данных обычно находят тогда, когда хотят выяснить некоторый типичный показатель. Например, когда изучаются данные про модель мужских рубашек, которые продали в определенный день в торговом центре,  то удобно использовать такой показатель, как мода, который характеризует модель, которая пользуется наибольшим спросом (собственно, этим и объясняется название "мода"). 
Еще одной статистической характеристикой ряда данных является его медиана.
Медиана — это среднее значение упорядоченного ряда значений, обозначается.
Медиана делит упорядоченный ряд данных на две части, равные по количеству элементов. 

• Если количество чисел в ряду нечетное, то медиана — это число, записанное посередине.

Например, в ряде (2) нечетное количество элементов  Тогда его медиана равна 

Следовательно, о мальчиках можно сказать, что одна половина из них прочитала не более 4-х книжек, а вторая половина — не менее 4-х книжек. (Отметим, что в случае нечетного  номер среднего члена ряда равен: 
Если количество чисел в ряду четное, то медиана — это среднее арифметическое двух чисел, которые находятся посередине.
Например, в ряде (1) четное количество элементов  Тогда его медианой является число, которое равно среднему арифметическому чисел, которые стоят посередине, то есть на пятом и шестом местах: 

Следовательно, о девочках можно сказать, что одна половина из них прочитала меньше 4,5 книг,  а вторая половина — более 4,5 книг. (Отметим, что в случае четного номера средних членов ряда равны  и 

3. Среднее значение выборки.
Средним значением выборки (обозначают ) называют среднее арифметическое всех чисел ряда данных выборки.
Если в ряде данных записаны значения  (среди которых могут быть и одинаковые), то 

Если известно, что в ряде данных разные значения встречаются соответственно с частотами  (тогда ), то, заменив одинаковые слагаемые в числителе на соответствующие произведения, получаем, что среднее арифметическое можно вычислить по формуле:
                  (4)
Последнюю формулу удобно использовать в тех случаях, когда в выборке распределение величин по частотам задано в виде таблицы. Напомним, что распределение по частотам   величин  — число прочитанных за каникулы книг девочками и  — число прочитанных за каникулы книг мальчиками было задано такими таблицами:

Тогда средние значения заданных выборок равны:

Поскольку  , то можно сказать, что за один и тот же промежуток времени девочки читают больше книг, чем мальчики.
Заметим, что в пособиях по статистической моде, медиану и среднее значение выборки объединяют одним определением — мера центральной тенденции, подчеркивая тем самым возможность охарактеризовать ряд выборки одним числом. 
Не для каждого ряда данных имеет смысл формально находить центральные тенденции. Например, если исследовать ряд 
                  (5)
годовых доходов 4-х людей (в тысячах у.е.), то очевидно, что ни мода (5), ни медиана (6,5), ни среднее значение (32) не могут выступать  в качестве единственной характеристики всех значений ряда данных. Это объясняется тем, что размах ряда (105) соизмеримый с наибольшим его значением.
В данном случае можно искать центральные тенденции, например, для частоты ряда (5): 
условно назвав его выборкой годового дохода низкооплачиваемой части населения.
Если в выборке среднее значение существенно отличается от моды, то его неуместно выбирать как типичную характеристику рассматриваемой совокупности данных (чем больше значение моды отличается от среднего значения, тем "больше несимметричный"  будет полигон частот совокупности).

Первообразная и ее свойства

1. Первообразная.
Функцию  называют первообразной для функции  на данном промежутке, если при любом  из этого промежутка
Пример.
Для функции на интервале первообразной есть функция поскольку 

2. Основные свойства первообразной.
Если функция — первообразная для функции  на данном промежутке, а — постоянная, то функция  также будет первообразной для функции  , при этом любую первообразную для функции  на данном промежутке можно записать в виде  где — постоянная.
Пример.
Поскольку  функция  является первообразной для функции  на интервале  (см. выше), то общий вид всех первообразных для функции  можно записать так:  где — постоянная.
Геометрический смысл.
Графики любых первообразных для данной функции получают один из другого при помощи параллельного переноса вдоль оси 


3. Неопределенный интеграл.
Совокупность всех первообразных для данной функции  называют неопределенным интегралом и обозначают символом,  то есть  где  — одна из первообразных для функции , а — постоянная.
Пример.
 поскольку для функции  на интервале  все первообразные можно записать так 

4. Правила нахождения первообразных (привила интегрирования).
1. Если — первообразная для  а  — первообразная для  то  — первообразная для  Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
 — интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых.
2. Если — первообразная для  а — постоянная, то — первообразная для функции 
 где с — постоянная. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
3. Если — первообразная для  а  и  — постоянные (причем ), то  — первообразная для функции 


5. Таблица первообразных (неопределенных интегралов).




 

Понятие первообразной

В предыдущих разделах мы находили производную от функции и применяли операцию дифференцирования к решению разнообразных задач. Одной из таких задач было нахождение скорости и ускорения прямолинейного движения по известному закону изменения координаты  материальной точки:

Например, если в начальный момент времени скорость тела равна нулю, то есть то во время свободного падения тело на момент времени пройдет путь 
Тогда скорость и ускорение находятся при помощи дифференцирования: 

Но важно уметь не только находить производную заданной функции, но и решать обратную задачу: находить функцию  по ее заданной производной. Например,  в механике часто приходится определять координату  зная закон скорости  а также определять скорость  зная закон изменения ускорения  Нахождение функции  по ее заданной производной  называют операцией интегрирования.
Таким образом, операция интегрирования позволяет по заданной производной  найти функцию  (латинское слово  — восстановить).

Приведем определение понятий, связанных с операцией интегрирования.

• Функцию  называют первообразной для функции  на данном промежутке, если для любого  из этого промежутка 

Например, для функции  на интервале  первообразной является функция  поскольку 
Отметим, что функция имеет такую же производную  Следовательно, функция также является первообразной для функции  на множестве  Понятно, что вместо числа 5 можно поставить любое другое число. Поэтому задача нахождения первообразной имеет множество решений. Найти все эти решения позволяет основное свойство первообразной.

• Если функция  — первообразная функции  на данном промежутке, а — постоянная, то функция   также является постоянной для функции , при этом любая первообразная для функции  на данном промежутке может быть записанная в виде где   — постоянная.

Выражение  называют общим видом первообразных для функции 
1) По условию функция  — первообразная для функции  на некотором промежутке   Следовательно  для любого   из этого промежутка Тогда     то есть  также является первообразной для функции .
2) Пусть функция  — другая первообразная для функции  на этом же промежутке  то есть  для всех  Тогда 

По условию постоянной функции, если производная функции  равна нулю на промежутке  то эта функция принимает некоторое постоянное значение С на этом промежутке. Следовательно,  для всех  функция Откуда  Таким образом любая первообразная для функции  на данном промежутке может быть записана в виде  где — постоянная.
Например, поскольку для  функции  на интервале  одной из первообразных является функция  (действительно,  то общий вид всех первообразных функций  можно записать так: где С — постоянная.

Замечание. Для краткости формулировки о нахождении первообразной функции  промежуток, на котором задана функция , чаще всего не указывают. При этом имеют в виду промежутки наибольшей длинны. 
Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых первообразных функции , получают друг с друга при помощи параллельного переноса вдоль оси  (рис. 24.1). Действительно, график произвольной первообразной  можно получить из графика первообразной  при помощи параллельного переноса вдоль оси  на С единиц.
                     

Неопределенный интеграл

Пусть функция  имеет на некотором промежутке первообразную  Тогда по основному свойству первообразной совокупность всех первообразных функции  на заданном промежутке задается формулой  где С —постоянная.
Совокупность всех первообразных данной функции  называют неопределенным интегралом и обозначают символом  то есть

где — одна из первообразных для функции  а — постоянная.
В приведенном равенстве знак называют знаком интеграла,  функцию — подынтегральной функцией, выражение  — подынтегральным выражением, переменную — переменной интегрирования и слагаемое   — постоянной интегрирования.
Например, как указывалось выше, общий вид первообразных для функции  записывают так:  следовательно 
 

Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

Эти правила подобные правилам дифференцирования.
Правило 1. Если — первообразная для  а  — первообразная для  то — первообразная для 
Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
Действительно, если  — первообразная для , то  Аналогично, если  — первообразная для  то  Тогда по правилу вычисления производной суммы имеем: а это и означает, что — первообразная для 
При помощи неопределенного интеграла это правило можно записать так:

то есть интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых.
Правило 1 можно распространить на любое количество слагаемых (поскольку производная от любого количества слагаемых равна сумме производных этих слагаемых).

Правило 2. Если — первообразная для  а  — постоянная, то —первообразная для функции 
Действительно, если   — первообразная для , то Учитывая, что постоянный множитель можно вынести за знак производной, имеем  а это и означает, что  — первообразная для 
При помощи неопределенного интеграла это правило можно записать так:
где — постоянная, то есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Правило 3. Если — первообразная для  а   и  — постоянные (причем ), то  — первообразная для функции 
Действительно, если   — первообразная для , то Учитывая правило вычисления производной сложной функции, имеем:

а это и означает, что  первообразная для функции 
При помощи неопределенного интеграла это правило можно записать так:

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

Для вычисления первообразных (или неопределенных интегралов) кроме правил нахождения первообразных полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций. Чтобы доказать правильность заполнения таких таблиц, достаточно проверить, что производная от указанной первообразной (без постоянного слагаемого с) равна заданной функции. Это означает, что рассматриваемая функция действительно является первообразной для заданной функции. Поскольку в записи всех первообразных во второй колонке присутствует постоянное слагаемое С, по основному свойству первообразных можно сделать вывод, что это общий вид всех первообразных заданной функции.
Приведем обоснование формул, по которым находят первообразные для функций  и 
Для всех  из области определения функции  при  производная Следовательно, функция  при является первообразной для функции . Тогда по основному свойству первообразных общий вид всех первообразных для функции  при  

При помощи неопределенного интеграла это утверждение записывают так:

В функции область определения  Рассмотрим функцию отдельно при  и при 
При Тогда 
При  Тогда 
Следовательно, на каждом из промежутков  и функция является первообразной для функции  Тогда 
общий вид всех первообразных для функции  будет

При помощи неопределенного интеграла это утверждение записывают так:



 

Пример №545

Проверьте, является ли функция первообразной для функции  на промежутке 
Решение.
 это и означает, что  — первообразная для функции 

Комментарий.
По определению функция  — первообразная функции  если 

Пример №546

1. Найдите одну из первообразных для функции  на 
2. Найдите все первообразные для функции 
3. Найдите 

Решение.
1. Одной из первообразных функции  на множестве является функция поскольку 
2. По основному свойству первообразных все первообразные для функции можно записать в виде где — постоянная.
3.*  где — постоянная.

Комментарий.
1. Первообразную для попробуем найти подбором. При этом можно рассуждать так: чтобы после нахождения производной получить  нужно брать производную от  Но  Чтобы производная была  достаточно поставить перед  функцией  коэффициент .
Или по формуле общего вида 
2. Если мы знаем первообразную  для функции то по основному свойству первообразных любую первообразную для функции можно записать в виде  где — постоянная.
3. По определению  то есть неопределенный интеграл  — это специальное обозначение общего вида всех первообразных для данной функции 

Пример №547

Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку 
Решение.

Общий вид всех первообразных для функции  такой:

По условию график первообразной проходит через точку  следовательно, при получим 
Отсюда  Тогда искомая первообразная 
Комментарий.
Сначала запишем общий вид первообразных для заданной функции  Затем, используем то, что график полученной функции проходит через точку следовательно при  значение функции  равно 10.
Чтобы найти первообразную для функции учтем, что ее область определения  Тогда эту функцию можно записать так:  и использовать формулу нахождения первообразной для функции  а именно 

 

Пример №548

Найдите общий вид первообразной для функции 
Решение.
Запишем одну из первообразных для каждого слагаемого.
Для функции  первообразной является функция 
Второе слагаемое запишем так:  Тогда первообразной этой функции будет функция: 
Первообразной для функции является функция  Тогда общий вид первообразной для заданной функции будет: 

Комментарий.
Используем правило нахождения первообразных. Поскольку заданная функция является алгебраической суммой трех слагаемых, то ее первообразная равна алгебраической сумме первообразных для этих слагаемых. Затем учтем, что все функции-слагаемые — сложные функции от аргументов вида  Следовательно, по правилу 3 мы должны перед каждой функцией-первообразной  (от аргумента  которую мы получим из таблицы первообразных, поставить множитель 
Для каждого из слагаемых удобно сначала записать одну из первообразных (без постоянной С), а затем — общий вид первообразной для заданной функции. 
Для третьего слагаемого постоянный множитель 2 можно поставить перед соответствующей первообразной (правило 2).
Учитываем, что первообразной для первого слагаемого  является  Для второго слагаемого применим формулу  для  имеем  Чтобы найти первообразную для третьего слагаемого, учтем, что первообразной для   является  (преобразование второго слагаемого выполняют на области определения этой функции, то есть при 

Определенный интеграл и его применение

1. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница)
Если функция определена и непрерывная на отрезке  и — ее произвольная первообразная на этом отрезке  то 

Пример.
Поскольку для функции одной из первообразных является  то 

2. Криволинейная трапеция.
Пусть на отрезке  оси задана непрерывная функция  которая принимает на нем только неотрицательные значения.
Фигура, ограниченная графиком функции отрезком , осью  и прямыми  и   называется криволинейной трапецией.


3. Площадь криволинейной трапеции.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 

Изображая эти линии, видим,  что заданная фигура — криволинейная трапеция.


4. Свойства определенных интегралов.

   


Если функция  непрерывная на  и то 


5. Определение определенного интеграла через интегральные суммы.

Пусть функция  непрерывна на отрезке 
Выполним такие операции.

1. Разбиваем отрезок  на  отрезков точками  (считаем, что 
2. Обозначим длину первого отрезка через  второго — через   и так далее (то есть 
3. На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку  где 
4. Составим сумму 
   Эту сумму называют интегральной суммой функции  на отрезке  Если и длина отрезков стремится к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называется определенным интегралом функции  на отрезке  и обозначают 

Геометрический смысл и определение определенного интеграла

Интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Оно позволяет по заданной производной функции найти (восстановить) эту функцию. Покажем, что эта операция тесно связана с задачей на вычисление площади фигуры.
Например, в механике часто приходится определять координату  материальной точки при прямолинейном движении, зная закон изменения ее скорости  (
Рассмотрим сначала случай, когда точка движется с постоянной скоростью  Графиком скорости в системе координат  является прямая  параллельная оси времени  (рис. 25.1). Если считать, что в начальный момент времени  точка находилась в начале координат, то ее путь   пройденный за время  вычисляется по формуле  Величина  равна площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости,  осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, то есть путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости.
                  
Рассмотрим случай неравномерного движения. Теперь скорость можно считать постоянной только на маленьком промежутке времени  Если скорость  изменяется по закону  то путь, пройденный за промежуток времени  приближенно выражается произведением  На графике это произведение равно площади прямоугольника со сторонами   и  (рис. 25.2). 
Точное значение пути за отрезок времени  равно площади криволинейной трапеции, выделенной на этом рисунке. Тогда весь путь, пройденный материальной точкой за отрезок времени  можно вычислить сложением площадей таких криволинейных трапеций, то есть путь будет равен площади заштрихованной фигуры под графиком скорости (рис. 25.3).

Приведем более строгие определения и соображения.

• Пусть на отрезке  оси  задана непрерывная функция  которая принимает на этом отрезке только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции  на отрезке  оси и прямыми  и называют криволинейной трапецией (рис. 25.4).

Отрезок  — основание криволинейной трапеции.
Выясним, как можно вычислить площадь криволинейной трапеции при помощи первообразной функции 
Обозначим через  площадь криволинейной трапеции с основанием  (рис. 25.5, а), где — любая точка отрезка . При  отрезок  вырождается в точку, и поэтому  при имеем где — площадь криволинейной трапеции с основанием  (рис. 25.4).
Покажем, что  — первообразная для функции  то есть 
По определению производной необходимо доказать, что  при Для упрощения рассмотрим случай  (случай  рассматривается аналогично). Поскольку  то геометрически — площадь фигуры, выделенной на рис. 25.5, б.

Рассмотрим теперь прямоугольник с такой же площадью  одной из сторон которого является отрезок  (рис. 25.5, в). Поскольку функция непрерывная, то верхняя сторона этого прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой  (иначе рассматриваемый прямоугольник или содержит криволинейную трапецию, выделенную на рис. 25.5, в, или сам находится в ней,  и соответственно его площадь будет больше или меньше площади  Высота прямоугольника равна  По формуле площади прямоугольника имеем Тогда (Эта формула будет верной и при 
Поскольку точка с  лежит между  и то  с  стремится к  , если  Учитывая непрерывность функции  получаем также, что  при  Следовательно  при  Это означает, что  то есть  — первообразная функции 
Поскольку  — первообразная для функции  то по основному свойству первообразных, любая другая первообразная  для функции  для всех  отличается от  на постоянную С, то есть                (1)
Чтобы найти С, поставим  Получим Поскольку то  и равенство (1) можно записать так:
                 (2)
Учитывая, что площадь криволинейной трапеции равна  подставляем в формулу и получаем  Следовательно, площадь криволинейной трапеции (рис. 25.4) можно вычислить по формуле 
               (3)
где  — произвольная функция для  
Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной для функции то есть до интегрирования функции
Разность  называют определенным интегралом функции  на отрезке и обозначают следующим образом 
Запись  читают: "интеграл от   до эф от икс де икс". Числа    и  называют пределами интегрирования:    — нижний предел,   — верхний предел. Следовательно, по приведенному определению 
                (4)
Формулу (4) называют формулой Ньютона-Лейбница.

Выполняя вычисления определенного интеграла, разность  удобно обозначить так:  то есть  Используя эти обозначения, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в таком виде:

Например, поскольку для функции  одной из первообразных будет  то 

В том случае, когда для функции  на отрезке  существует определенный интеграл  функцию  называют интегрированной на отрезке .
Из формул (3) и (4) выплывает, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции и неотрицательной на отрезке  функции  отрезком  оси  и прямыми  и  (рис. 25.4), можно вычислить по формуле

Например, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции  отрезком  оси и прямыми и  (рис. 25.6), можно вычислить по формуле

(При вычислении определенного интеграла учтено, что для функции  одной из первообразных является функция 

Замечание. В задачах их курса алгебры и начала анализа на вычисление площадей в качестве ответа чаще всего приводятся числовые значения площадей. Поскольку на координатной плоскости,  где изображена фигура, всегда указывают единицу измерения по осям, то мы имеем и единицы измерения площади — квадрат со стороной 1.


Иногда, чтобы подчеркнуть, что полученное число выражает именно площадь, ответ к последнему примеру записывают так:  (кв. ед.), то есть квадратных единиц. Отметим, что таким образом записывают только числовые отношения. Если в результате вычисления площади мы получили, например,  то никаких обозначений про квадратные единицы не записывают, поскольку отрезок    был измеренный в каких-то линейных единицах, и тогда выражение  содержит информацию о квадратных единицах, в которых измеряют площадь в этом случае.
 

Свойства определенных интегралов

Формулируя определение определенного интеграла, мы считали что  Удобно расширить понятие определенного интеграла и для случая  принять за определение, что 
              (5)
Для случая  также по определению будем считать, что 
                  (6)
Формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в формулах (5) и (6) дает такой же результат. Действительно, если функция  является первообразной для функции  то 

Так же 
при помощи формулы Ньютона-Лейбница легко обосновать и другие свойства определенных интегралов.
Если  — первообразная для функции  то для функции  первообразной будет функция Тогда 

Следовательно, 
                     (7)
Если  — первообразная для функции  а — первообразная для функции  то для функции  первообразной будет функция  Тогда 

Следовательно, 
                                 (8)
Если  — первообразная для функции  и  то 
      

Если  функция  непрерывная на отрезке и  то 


 

Определение определенного интеграла через интегральные суммы

Исторически интеграл возник в связи с необходимостью вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим криволинейную трапецию, изображенную на рис 25.7 (функция  непрерывная на отрезке  Основание трапеции — отрезок  разбито на  отрезков (не обязательно одинаковых) точками  (для удобства, будем считать, что  Через эти точки проведем вертикальные прямые. На первом отрезке выбрана произвольная точка  и на нем, как на основании, построен прямоугольник с высотой  Аналогично, на втором отрезке выбрана произвольная точка  и на нем как на основании построен прямоугольник с высотой  и так далее.
Площадь  заданной криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников. Обозначим эту сумму через  длину первого отрезка через  второго — через  и т. д. (то есть  Тогда             (9)
                                         
Следовательно, площадь  криволинейной трапеции можно приближенно вычислить по формуле (9),  то есть 
Сумму (9) называют интегральной суммой функции на отрезке  При этом считается, что функция  непрерывная на отрезке  и может принимать любые значения: положительные, отрицательные и равные нулю (а не только положительные, как в случае криволинейной трапеции).
Если и длина отрезков, на которые разбивается промежуток, стремится к нулю, то интегральная сумма  стремится к некоторому числу, которое и называют определенным интегралом от функции на отрезке  и обозначают 
Можно доказать, что при этом также выполняется формула Ньютона-Лейбница, и все рассмотренные свойства определенного интеграла.
Замечание. Изменяя способ разбития отрезка на  частей (то есть фиксируя другие точки  и выбирая на каждом из отрезков другие точки (где  мы получим для функции другие интегральные суммы. В курсе математического анализа доказывается ,что для любой непрерывной на отрезке  функции  независимо от способа разбития этого отрезка и выбора точек  если  и длины отрезков, на которые разбили , стремятся к нулю, то интегральные суммы  стремятся к одному и тому же числу.
Определение через интегральные суммы позволяет приблизительно вычислять определенные интегралы по формуле (9). Но такой способ требует громоздких вычислений, и его используют в тех случаях, когда для функции  не удается найти первообразную (тогда такого рода приблизительные вычисления проводят на компьютере, при помощи специальных программ). Если же первообразная для функции известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Пример №549

Вычислить 
Решение.

Ответ: 1

Комментарий.
Поскольку для функции мы знаем первообразную , то заданный интеграл можно вычислить непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница.  

 

Пример №550

Вычислить 
Решение.
I способ.
Для функции  одной из первообразных будет 
Тогда,  

II способ.



Комментарий.
Возможны два пути вычисления заданного интеграла.
1. Сначала найти первообразную для функции , используя таблицу первообразных и правила нахождения первообразных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.  
2. Использовать формулу (8)  и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в примере 1 (для первого слагаемого использовать формулу (7) и вынести постоянный множитель 4 за знак интеграла).

Замечание.
Заданный интеграл рассматривают на отрезке где  Но при  одной из первообразных для функции  является функция  Поэтому, учитывая,  что , можно, например, записать, что  Хотя обычно приведенная выше запись первообразной также является верной (поскольку при       

 

Пример №551

Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми  осью  и графиком функции 
Решение.
Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция (рис. 25.8).

Тогда ее площадь 

Ответ: 

Комментарий.
Заданная фигура — криволинейная трапеция, и поэтому ее площадь можно вычислить по формуле  где   Также необходимо учитывать, что на заданном отрезке значение  и при этом условии можно записать 

Вычисление площади и объема при помощи определенных интегралов

1. Площадь криволинейной трапеции.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке  функции осью и прямыми  и  вычисляется по формуле 
          

2. Площадь фигуры, ограниченной графиком двух функций и прямыми и .
Если на заданном отрезке  непрерывные функции   и  имеют следующее свойство  для всех  то
                                                                                             (1)


Пример.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 

Изобразим заданные линии и абсциссы их точек пересечения.
Абсциссы точек пересечения:   
Тогда по формуле (1)
 

3. Объемы тел.
3.1.

Если тело расположено между двумя перпендикулярными к оси  плоскостями, которые проходят через точки  и то  где — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку  и перпендикулярная оси .


3.2.


Если тело получено при помощи вращения вокруг оси криволинейной трапеции, которая ограничена графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции  и прямыми  и  то 

Вычисление площади фигур

Выясним, как можно вычислить площадь фигуры на рис. 25.9. Эта фигура ограничена сверху графиком функции  снизу — графиком функции  а также вертикальными прямыми  и  функции  и  непрерывные и неотрицательные на отрезке  и  для всех 
Площадь этой фигуры равна разности площадей  и криволинейных трапеций  площадь криволинейной трапеции  а — площадь криволинейной трапеции  Но

                                                    
Следовательно, 
Таким образом, площадь заданной фигуры можно вычислить по формуле
            (1)
Эта формула будет правильной и в том случае, когда заданные функции не являются неотрицательными на отрезке  — достаточно выполнения условий, что функции  и  непрерывные на отрезке и  для всех  (рис. 25.10, а). Для пояснения достаточно перенести заданную фигуру параллельно вдоль оси  (рис. 25.10, б). Такое преобразование означает, что заданные функции  и  мы заменили соответственно на функции  и Площадь фигуры, ограниченная этими графиками и прямыми  и равна площади заданной фигуры. Следовательно, искомая площадь 

Например, площадь фигуры, изображенной на рис. 25.11, равна 


 

Вычисление объемов тел

Задача на вычисление объема тела при помощи определенного интеграла аналогична задаче на нахождение площади криволинейной трапеции. Пусть задано тело объемом  причем, есть такая прямая (ось  на рис. 25.12), и какую бы не взяли плоскость, перпендикулярную этой прямой, нам известна площадь  сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная к оси , пересекает ее в некоторой точке  Следовательно, каждому числу  ( из отрезка (см. рисунок 25.12) сопоставлено единственное число — площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым, на отрезке  дана функция . Если функция  непрерывная на отрезке , то справедлива формула 
               (2)
Полное доказательство ее представлено в курсе математического анализа, а мы остановимся на наглядных рассуждениях, из которых выплывает эта формула.

Поделим отрезок  на отрезков одинаковой длины точками и допустим, что 
Через каждую точку проведем плоскость  перпендикулярную оси  Эти плоскости разрезают данное тело на слои (рис. 25.13, а). Объем слоя между плоскостями  и (рис. 25.13, б) при достаточно больших  приблизительно равен площади  сечения, умноженной на "толщину шара" и поэтому
Точность такого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезается тело, то есть чем больше .
Поэтому  если  По определению определенного интеграла через интегральные суммы получаем, что  если 
Следовательно, 

Используем полученный результат для обоснования формулы объема тел вращения.
Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок  оси и ограничена сверху графиком функции  которая неотрицательная и непрерывная на отрезке . Вследствие вращения этой криволинейной трапеции вокруг оси образуется тело (рис. 25.14, а), объем которого можно найти по формуле
              (3)
Действительно, каждая плоскость, которая перпендикулярная к оси и пересекает отрезок  этой оси в точке  дает в разрезе с телом круг радиусом  и площадью  (рис. 25.14, б). Отсюда по формуле (2) получим формулу (3).

 

Пример №552

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и 
Решение.
Изобразим заданные линии (рис. 25.15) и найдем абсциссы точки их пересечения:
                                                                                              (1)
тогда     или  (оба корня удовлетворяют уравнение (1)).
Площадь заданной фигуры

                  
Комментарий.
Изображая заданные линии (рис. 25.15), видим, что искомая фигура расположена между графиками двух функций. Сверху она ограничена графиком функции а снизу — графиком функции  Следовательно, ее площадь можно найти по формуле:  
Чтобы найти пределы интегрирования, найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Поскольку, ординаты обеих кривых в точках пересечения одинаковые, то достаточно решить уравнение  Для решения полученного иррационального уравнения можно использовать уравнение–следствие (в конце выполнить проверку), или равносильные преобразования (на ОДЗ, то есть при  Отметим также, что на полученном промежутке  значение  Тогда 

 

Пример №553

Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями  и 
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий.

Поскольку заданная фигура — криволинейная трапеция, то объем тела вращения 

                              

Комментарий.
Изобразим заданную фигуру (рис. 25.16) и убедимся, что она является криволинейной трапецией. В этом случае объем тела вращения можно вычислить по формуле: 
Чтобы найти пределы интегрирования, достаточно найти абсциссы точек пересечения заданных линий. Как и в задаче на вычисление площади, в ответ записывается числовое значение объема, но можно подчеркнуть, что мы получили именно величину объема, и записать 
Ответ:   (куб. ед.).

Замечание. Можно было бы обратить внимание на то, что заданная фигура симметрична оси , и поэтому объем тела, образованного вращением всей фигуры вокруг оси абсцисс, будет вдвое больше, чем объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, которая опирается на отрезок 
 

Простейшие дифференциальные уравнения

Понятие дифференциального уравнения и его решения

До этого мы рассматривали уравнения, в которых неизвестными были числа. В математике часто приходится рассматривать уравнения,  в которых неизвестными являются функции. Так задача о нахождении пути  по заданной скорости  сводится к решению уравнения где  — заданная функция, а  — искомая функция.
Например, если  то для нахождение  необходимо решить уравнение
Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, которая удовлетворяет это уравнение (то есть функцию,  в результате подстановки которой в заданное уравнение, получаем тождество).

Пример №554

Решите дифференциальное уравнение 
Решение.
Необходимо найти функцию  производная которой равна  то есть найти первообразную для функции х + 3. По правилу нахождения первообразных получаем  где — постоянная.
При решении, следует учитывать, что решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Такое решение называют общим решение заданного уравнения. Обычно к дифференциальному уравнению идет условие, по которому можно вычислить эту постоянную. Решение, полученное с использованием такого условия, называют частным решение заданного дифференциального уравнения.

 

Пример №555

Найдите решение дифференциального уравнения  которое удовлетворяет условию 
Решение.
Все решения данного уравнения записываются формулой По условию находим  Тогда 
Ответ: 

Решение многих физических, биологических, технических и других практических зада сводится к решению дифференциального уравнения                 (1)
где — заданное число.
Решением этого уравнения являются функции:
                 (2)
где  — постоянная, которая определяется условиями конкретной задачи.
Например,  опытным путем установлено, что скорость  размножения бактерий (для которых достаточно еды) связана с массой  бактерий в момент времени  уравнением 

где — положительное число, которое зависит от вида бактерий и внешних условий.
Решением такого уравнение являются функции 
Постоянную  можно найти, например,  из условия, что в момент времени  масса   бактерии известна. Тогда  и поэтому       
                                                            
Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распаде вещества. Если — скорость радиоактивного распада в момент времени  то  где — постоянная, которая зависит от радиоактивности вещества.
Решениями этого уравнения будут функции: 
Если в момент времени  масса вещества равна  то  поэтому
                      (3)
Отметим, что на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуют скоростью полураспада, то есть промежутком времени, на протяжении которого распадается половина массы исходного вещества.
Пусть — период полураспада, тогда из равенства (3) при  получаем  Откуда  В этом случае формула (3) запишется так:

то есть 


 

Гармонические колебания

На практике существуют процессы, которые периодически повторяются, например, колебания движения маятника, струны, пружины и так далее. Процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения 
                 (4)
где — заданное положительно число,  Решениями уравнения (4) являются функции:
               (5)
где  и  — постоянные, которые определяются условиями конкретной задачи.
Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.
Например, если  — отклонение точки струны, которая свободно колеблется, от положения равновесия в момент времени то 

где — амплитуда колебаний,  — угловая частота,  — начальная фаза колебания.
График гармонически колебаний — синусоида.

 

Примеры применения первообразной и интеграла к решению практических задач

Пример №556

Цилиндрический бак, высота которого м, а радиус основания —  м, заполнен водой. За какое время вытечет вся вода из бака через круглое отверстие в дне, если радиус отверстия — м?
Решение.
Обозначим высоту бака   радиус его основания — радиус отверстия —  (длину измеряем в метрах, время — в секундах) (рис. 26.1). Скорость вытекания жидкости  зависит от высоты столба жидкости  ее вычисляют по формуле Бернулли                                                  (6) где — коэффициент, который зависит от свойств жидкости, для воды С уменьшением уровня воды в баке скорость вытекания уменьшается (не постоянна).
Пусть — время, за которое из бака высотой  и радиусом основания  вытекает вода через отверстие радиусом  (рис. 26.1).
Найдем приближенное отношение учитывая, что за время  скорость вытекания воды — постоянная и выражается формулой (6).
                                         
За время  объем воды, который вытек из бака, равен объему цилиндра высотой  с радиусом основания (рис. 26.1), то есть равен  
С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого является отверстие в дне бака,  а высота — произведение скорости вытекания  на время  то есть объем равен  Таким образом, 
Учитывая формулу (6), получаем Тогда при  получаем равенство

Откуда 

Если (в баке нет воды), то  поэтому  При находим искомое время:

Используя данные задачи, получаем:

Ответ: 639 с.

 

Пример №557

Вычислите работу силы  во время сжатия пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м необходима сила 5Н.
Решение.
По закону Гука, сила пропорциональна растяжению или сжатию пружины, то есть  где — величина растяжения или сжатия (в метрах), — постоянная. Из условия задачи найдем . Поскольку при м сила  то  Следовательно, 
Найдем формулу для вычисления работы при перемещении тела (которое рассматривается как материальная точка), движущегося под действием переменной силы  направленной вдоль оси  Пусть тело переместилось из точки в точку 
Обозначим через  выполненную работу при перемещении тела из точки  в точку  Дадим  приращение  
Тогда  — работа, которая выполняется силой  при перемещении тела из точки в точку  Если  то силу   на отрезке  будем считать постоянной и равной  Тогда  Откуда  При  получаем  Последнее равенство означает, что  является первообразной для функции  Учитывая, что по формуле Ньютона-Лейбница получаем:

Таким образом,
работа переменной силы  при перемещении тела из точки в точку  равна:

Используя данные задачи, получаем:


 

Уравнения, неравенства и их системы

Область допустимых значений (ОДЗ)

Областью допустимых значений (или областью определения) уравнения (неравенства) называют общую область определения для функций, которые стоят в левой и правой частях уравнения (неравенства).

Для уравнения  ОДЗ:  то есть  поскольку область определения функции  определена условием а областью определения функции  является множество всех действительных чисел.

Уравнение–следствие.

Если каждый корень первого уравнения является корнем и второго уравнения, то второе уравнение называют следствием первого.
Если из верности первого равенства вытекает верность каждого последующего равенства, получаем уравнение–следствие.
При этом возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании уравнений–следствий проверка полученных корней подстановкой в начальное уравнение — составляющая решения.

Решите уравнение 
Решение: 
Возведем обе части уравнения в квадрат:
   
Проверка:
 — корень
— посторонний корень.
Ответ: 2.

Равносильные уравнения и неравенства

Два уравнения (неравенства) называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения.
То есть каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго, и наоборот, каждое решение второго уравнения (неравенства) является решением первого.
Простейшие теоремы:

1. Если из одной части уравнения (неравенства) перенести во вторую часть слагаемые с противоположным знаком, получим уравнение (неравенство), равносильное заданному (на любом множестве).
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, которое не равно нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), получим уравнение,  равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Схема поиска плана решения уравнений

Замена переменных.
Если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример.
Решите уравнение 
Решение.
Замена:  

1. При имеем  — корней нет, поскольку 
2. При имеем   тогда 
Ответ: 

 

Схема поиска плана решения неравенств

Метод интервалов (решение неравенств вида 
План:

1. Найти ОДЗ.
2. Найти нули функции: 
3. Обозначить нули на ОДЗ и найти знак  на каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства.

Пример.
Решите неравенство: 
Решение.
Пусть 
1. ОДЗ:  следовательно, 
2. Нули функции:  
(входят в ОДЗ).
3. 
Ответ: 

 

Теоремы о равносильности неравенств:

1. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же  положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительная на ОДЗ заданного неравенства), не меняя знак неравенства, получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательная на ОДЗ заданного неравенства), и изменить знак неравенства на противоположный, получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Уравнения и неравенства, которые содержат знак модуля

Использование геометрического смысла модуля (при 


Обобщение.


Использование специальных соотношений. 

знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности их квадратов.

Системы уравнений и неравенств

Понятие системы и ее решений
Если ставится задание найти все общие решения двух (или больше) уравнений (или неравенств) с одной или несколькими переменными, то говорят, что необходимо решить систему уравнений (или неравенств). Записывают систему уравнений, объединяя их фигурной скобкой.

• Решением системы называется такое значение переменной или такой упорядоченный набор значений переменных (если переменных несколько), который удовлетворяет все уравнения (или неравенства) системы.

Решить систему уравнений (или неравенств) — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Если система не имеет решений, то ее называют несовместимой.

Примеры.
 система двух уравнений с двумя переменными.
Пара чисел то есть — решение системы.
 система трех уравнений с тремя переменными.
Тройка  то есть  одно из решений системы.

Системы–следствия 
Если каждое решение первой системы уравнения является решением для второй системы, то вторую систему называют следствием первой.
При использовании систем–следствий возможно появление посторонних решений, поэтому проверка методом подстановки решений в первоначальную систему является неотъемлемой составляющей при решении системы.
Пример.
Решите систему: 
Решение.
Из первого уравнения системы  Подставляем во второе уравнение системы и получаем  Тогда 
Проверка. Пара чисел  удовлетворяет оба уравнения системы и является ее решением. Пара чисел  не удовлетворяет первое уравнение и не является решением системы.
Ответ: 

Равносильность систем уравнений и неравенств
Две системы уравнений (или неравенств) называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одинаковые решения (то есть каждое решение первой системы на этом множестве является решением второй системы, и наоборот, каждое решение второй системы является решением первой).
Областью допустимых значений (ОДЗ) системы называют общую область определения всех функций, которые входят в запись этой системы.
Все равносильные преобразования систем выполняются на ОДЗ первоначальной системы.

Простейшие свойства равносильных систем:

1. Если изменить порядок записи уравнений (или неравенств) заданной системы, получим систему, равносильную заданной.
2.  Если одно уравнение (или неравенство) системы заменить на равносильное ему уравнение (неравенство), то получим систему, равносильную заданной.
3. Если в системе уравнений из одного уравнения выразить одну переменную через другие и полученное выражение подставить вместо этой переменной во все остальные уравнения системы, то получим систему, равносильную заданной (на ее ОДЗ).
4. Если любое уравнение системы заменить суммой этого уравнения, умноженного на число  и какого-то другого уравнения системы, умноженного на число (а все остальные уравнения оставить без изменений), то получим систему, равносильную заданной.

Основные способы решения систем уравнений

Способ подстановки:

Выражаем из одного уравнения системы одну переменную через другую или через другие) и подставляем полученное выражение вместо соответствующей переменной во все другие уравнения системы (затем решаем полученное уравнение или систему и подставляем результат в выражение для первой системы).
Пример. Решите систему уравнений 
Решение.
Из первого уравнения системы  Подставляем во  второе уравнение системы и получаем  Откуда  Тогда 
Ответ: 

Способ сложения
Если первое уравнение системы заменить суммой первого уравнения, умноженного на число  и второго, умноженного на число (а все остальные уравнения оставить без изменений), получим систему, равносильную заданной.

Пример.

Решите систему уравнений 
Решение.
Умножим обе части первого уравнения на 2, а второго на 3 (чтобы получить коэффициенты при переменных — противоположные числа) и сложим почленно полученные уравнения. Из последнего полученного уравнения находим значение  подставляем результат в любое уравнение системы и находим значение 

                                            Тогда 
Ответ: 

 

Графическое решение систем уравнений с двумя переменными

Выполняем равносильные преобразования заданной системы так, чтобы было удобно строить графики всех уравнений, которые входят в систему. Затем строим соответствующие графики и находим координаты точек пересечения построенных линий: эти координаты и будут решением системы.

Пример №558

Решите графически систему 
Решение. 
Заданная система равносильна системе  График каждого из уравнений — прямая. Для построения прямой достаточно построить две ее точки.
Например,
для   
для         
                         
Графики пересекаются в точке Следовательно, пара чисел  — единственное решение заданной системы.
Ответ: 

 

Пример №559

Решите графически систему 
Решение.
Заданная система равносильная системе 
График первого уравнения системы — окружность радиусом  с центром в начале координат,  а график второго уравнения — кубическая парабола  
Эти графики пересекаются в двух точках с координатами 
                                            
Ответ: 

Общие методы решения уравнений и неравенств

План решения уравнений и неравенств.

1. Сначала выбрать общий способ решения уравнения или неравенства и вспомнить ориентир для его реализации (см. п. 4 и 6). Например, если для решения уравнения вы решили использовать уравнение–следствие, то в конце обязательно придется выполнить проверку полученных корней (и, оформляя решение, записать или саму проверку, или предложение типа "Проверка показывает ,что — корень, а — посторонний корень", которое говорит о том, что проверку вы выполнили устно).
2. Для выполнения преобразований заданного уравнения (неравенства) использовать соответствующие формулы (в зависимости от вида уравнения или неравенства) или свойства соответствующих функций, или специальные ориентиры, или теоремы, которые рассматривали во время решения уравнений и неравенств определенного вида (целые, дробные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические).

Напомним, что из определения уравнения–следствия (если каждый корень первого уравнения является также корнем второго, то второе уравнение называют следствием первого) получаем ориентир: для того чтобы получить уравнение–следствие, достаточно рассмотреть заданное уравнение как верное числовое равенство и гарантировать (то есть иметь возможность объяснить), что каждое следующее уравнение будет верным числовым равенством.
Действительно, если придерживаться этого правила, то, рассмотрев заданное уравнение как верное числовое равенство, мы фактически подставим в первое уравнение вместо переменной его корень. Второе уравнение также является верным числовым равенством, тогда рассмотренный корень первого уравнения является корнем второго уравнения. Это означает, что второе уравнение — следствие первого. Поскольку в результате использования уравнения–следствия возможно появление посторонних корней, то проверка подстановкой корней в первоначальное уравнение является неотъемлемой частью решения. 

Аналогичный ориентир для равносильных преобразований уравнений и неравенств был получен в курсе 10 класса:

1. Учесть ОДЗ заданного уравнения (неравенства).
2. Следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верности равенства (неравенства).

Рассуждая как и в случае для уравнения–следствия, получаем такое. Если придерживаться приведенного ориентира, то на ОДЗ каждое решение первого уравнения (неравенства) будет решением второго уравнения (неравенства), и наоборот, то есть на ОДЗ рассмотренные уравнения (неравенства) будут равносильными. 
Иногда удобно выполнять равносильные преобразования не на всей ОДЗ, а только на той ее части, где находятся корни заданного уравнения (или решения неравенства).

Например, для решения уравнения
                    (1)
выбираем равносильные преобразования. ОДЗ уравнения (1)  то есть  На этой ОДЗ правая часть уравнения (1) может быть и положительной, и отрицательной. Поэтому при возведении обеих частей в квадрат, мы можем гарантировать только правильность прямых преобразований (если числа равны, то и квадраты их будут так же равны),  а обратных — нет (если  то не обязательно выполняется равенство   например,  но  Попробуем рассмотреть не всю ОДЗ, а только ту ее часть, где находятся корни заданного уравнения.
Для всех корней уравнения (1) должно выполняться условие  (поскольку при подстановке корня уравнение (1) превращается в верное равенство, в котором левая часть неотрицательная, следовательно,  для всех корней и правая часть будет неотрицательная).
По условие (*) обе части уравнения (1) неотрицательные, и при возведении в квадрат мы получаем равносильное уравнение (поскольку для неотрицательных значений аргумента функция  — возрастающая, и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то при  если  обязательно выполняется равенство   
                     (2)
Для всех корней уравнения (2) его правая часть  тогда и левая часть будет неотрицательная:  Это означает, что для всех корней уравнения (2) ОДЗ уравнения  (1) выполняется автоматически и ее можно не записывать в решение (однако нужно уметь объяснить, почему не записали), а записывать и учитывать только ограничения (*).
Тогда  корень (удовлетворяет условие (*)),  — посторонний корень (не удовлетворяет условию (*)).
Ответ: 2.

Замечание 1. Приведенное решение можно записать также при помощью знака равносильности  так:

Замечание 2. В приведенных выше рассуждениях по поводу решения уравнения (1) мы фактически объяснили теорему (приведенную в 10 классе):
             (3)
которую можно использовать при решении иррациональных уравнений вида 

Системы уравнений и неравенств

С понятием системы уравнений и неравенств, их решениями и с основными методами решения систем уравнений вы познакомились еще в 7-9 классах. Напомним, что аналогично соответствующим понятиям, связанным с уравнениями или неравенствами, вводят понятия области допустимых значений системы уравнений или неравенств,  понятие систем–следствий для уравнений и равносильных систем уравнений и неравенств.
Все приведенные определения относятся не только к системам уравнений или неравенств, но и к смешанным системам,  в которые входят и уравнения и неравенства.

Из определения системы–следствия для системы уравнений (если каждое решение первой системы уравнений является решением второй, то вторую систему называют следствием первой) вытекает такой ориентир:
для того чтобы получить систему–следствие, достаточно рассмотреть заданную систему уравнений как систему верных числовых равенств и гарантировать (то есть иметь возможность обосновать), что каждую последующую систему уравнений можно получить как систему верных числовых равенств.

Действительно, если придерживаться этого ориентира, то каждое решение первой системы превращает все уравнения системы в верные числовые равенства. Но тогда вторая система тоже содержит все верные числовые равенства, то есть рассматриваемые значения переменной (или упорядоченные наборы нескольких переменных) являются решением и второй системы так же,  а это и означает, что вторая система является следствием первой. Также нужно учесть, что при использовании систем–следствий возможно появление посторонних решений,  и поэтому проверка подстановкой решений в первоначальную систему — составляющая решения.

Аналогично поясняется, что при равносильных преобразованиях систем уравнений или неравенств необходимо учитывать ОДЗ заданной системы и гарантировать для всех уравнений сохранение верности равенств, на каждом из этапов решения (а для систем неравенств — сохранение верных неравенств), как при прямых преобразованиях, так и при обратных.

Для решения некоторых систем иногда удается использовать свойства функций. Следует помнить, что для решения некоторых уравнений, неравенств и их систем бывает удобно ввести замену переменных.

Иногда, при решении уравнений и неравенств приходится переходить не только к равносильным системам уравнений или неравенств, но и к совокупности уравнений или неравенств (или их систем).
Решить совокупность уравнений (неравенств) или их систем — значит найти такие значения переменной или такие наборы значений переменных (если переменных несколько), каждое из которых  является решением хотя бы одного уравнения (неравенства), которое входит в совокупность, и при этом остальные уравнения (неравенства) определены, или доказать, что таких наборов чисел не существует.
Из этого определения выплывает, что область допустимых значений (ОДЗ) совокупности — совместная область определения для всех функций, которые входят в запись совокупности.
Как и для уравнений, неравенств или их систем, две совокупности уравнений (неравенств или их систем) называют равносильными на некотором множестве, если они на этом множестве имеют одинаковые решения. Иначе говоря, каждое решение первой совокупности на этом множестве является решением второй, и наоборот, каждое решение второй есть решением первой.

Совокупность уравнений, неравенств или их систем записывают, используя союз "или". Можно также использовать специальный знак совокупности  
Например, уравнение на его ОДЗ:  равносильно совокупности 
                (4)
или 
              (5)
Уравнение (4) имеет корень который входит в ОДЗ заданного уравнения (тогда уравнение (5) определенно). А уравнение (5) имеет корень: входит в ОДЗ заданного уравнения (тогда уравнение (4) определенно) и не входит в ОДЗ заданного уравнения (тогда уравнение (4) не определенно).  Таким образом, решением рассмотренной совокупности (как следствие, и корнями заданного уравнения) являются только  и 
Рассмотренное уравнение можно записывать, используя значки равносильности, совокупности и системы. Приведем несколько возможных способов такой записи, но такое оформление записи решения не является обязательным.
I способ.

II способ.

III способ.


 

Уравнения и неравенства с параметрами

Для решения таких заданий часто приходится разбивать область допустимых значений параметра на такие промежутки, когда при смене параметра в середине промежутка, получаем уравнения, которые можно решить одним и тем же  методом (и решения через параметры записывают одинаково). Методы решения заданий с параметрами такие же, как и методы решения аналогичных уравнений, неравенств или их систем без параметров. Напомним ориентир, который мы использовали для разбиения области допустимых значений параметра на промежутки.
Любое уравнение (неравенство) с параметрами решают как обычное уравнение (неравенство), до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Если какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, то решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответы через параметры можно было записать однозначно.

 

Пример №560

Решите уравнение где  — переменная.
Решение.
ОДЗ: 

1. При получаем линейное уравнение Откуда 
2. При решаем квадратное уравнение 

Тогда, 
Учитывая ОДЗ: — корень (входит в ОДЗ) при любых значениях 
Поскольку при то при этом значении параметра  не является корнем данного уравнения (однако его корнем является 
При значение — корень уравнения.
Ответ:
1) при или    
2) при  и   
Комментарий.
Выражения, которые стоят в обеих частях уравнения, существуют тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю.
Умножим обе части данного уравнения на выражение   — общий знаменатель дроби — и получим целое уравнение,  которое по условию  (то есть на ОДЗ данного уравнения) равносильно данному.
При  данное уравнение не является квадратным. Подставляем  в данное уравнение и решаем полученное уравнение (с учетом ОДЗ).
При  получаем квадратное  уравнение. Находим его дискриминант. Для вычисления целесообразно записать общую формулу для двух корней (в этом случае знак модуля можно опустить).
Перед тем как давать ответ, следует обязательно выяснить, входят ли полученные корни в ОДЗ данного уравнения.
Для корня  сначала нужно определить, при каких значениях параметра  его значение попадают в запрещенные  Затем можно дать ответ для найденного и для всех других значений (учитывая, что при  получили такой же результат, как и при 

В исследовательских заданиях с параметрами решение заданных уравнений или неравенств часто бывает очень сложным или невозможным. В таких случаях полезно помнить некоторые специальные приемы исследования заданий с параметрами (см. ниже).
 

Исследование количества решений уравнений с параметрами

Если в задании с параметрами идет речь о количестве решений уравнения (неравенства или системы), то часто для анализа данной ситуации бывает удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Особенности использования такого метода.
Исследование является простым в том случае, когда данное уравнение можно представить в виде  поскольку график функции — прямая, параллельная оси  и пересекает ось  в точке 
Заменяя данное уравнение на уравнение  необходимо следить за равносильностью выполненных преобразований,  чтобы полученное уравнение имело те же самые корни, что и данное. Тогда и количество корней у них будет одинаковое.
Для того чтобы определить, сколько корней имеет уравнение  достаточно найти, сколько точек пересечения имеет график функции  с прямой , при разных значениях параметра  (Для этого на соответствующем рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.)

 

Пример №561

Сколько корней имеет уравнение  в зависимости от значения параметра ?
План.
1. Строим график функции (учитывая, что ), например, так: 
2. Строим график функции 
3. Анализируем взаимное расположение полученных графиков: количество корней уравнения  , пересечение графика функции  с прямой 
4. Записываем ответ.

Решение.
     
Ответ:  1) при  — корней нет,
              2) при  — три корня,
              3)  — два корня,
              4) при — четыре корня,
              5) при  — шесть корней.

Использование четности функций, которые входят в запись уравнения

Если в уравнении функция  — четная или нечетная, то вместе с любым корнем  можно записать еще одни корень этого уравнения 

Пример №562

Найдите все значения параметра  при котором уравнение имеет единственный корень.
                  (1)
Решение.
Функция  — четная  Следовательно, единственным корнем этого уравнения может быть 
Если  то из уравнения (1) получаем то есть  Отсюда   или 
При  уравнение (1) превращается в уравнение  которое имеет единственный корень Следовательно,   удовлетворяет условию задачи.
При , уравнение имеет вид  то есть
                                                                                                          (2)
Поскольку  то уравнение (2) равносильно системе:
                      
Из второго уравнения системы получаем  Это удовлетворяет и первое уравнение. Следовательно, эта система, а значит и уравнение (2), имеют единственный корень  Таким образом,  также удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 

Комментарий.
Замечаем, что в левой части уравнения (1) стоит четная функция, и используем правило. Действительно, если — корень уравнения то — верное числовое равенство.
Учитывая четность функции  получаем  Следовательно, — также корень уравнения Единственный корень в этом уравнении может быть только тогда, когда корни  и  совпадают. Тогда 
Выясним, существуют ли такие значения параметра  при которых  является корнем уравнения (1). (Это  и  Поскольку значения  и  мы получаем при условии, что — корень уравнения (1), то необходимо проверить, действительно ли при этих значениях  данное уравнение будет иметь единственный корень.
Чтобы решить уравнение (2), оценим значение его левой и правой частей:

 


 

Комплексные числа

Понятие комплексного числа:

Комплексными числами называют выражения вида  где  и  — действительные числа    — некоторое (мнимое) число, квадрат которого равен –1      

Обозначения и термины.
— комплексное число,
 — действительная часть комплексного числа,
 — мнимая часть комплексного числа,
 — коэффициент при мнимой части,
 — мнимая единица.
Действительное число  считают равным комплексному числу  то есть  где  в частности 
Числа  и  называют сопряженными комплексными числами.

Равенство комплексных чисел
Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные части и равны коэффициенты при мнимых единицах.

Пример.

Если  то 

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) над комплексными числами выполняются, как действия над обычными буквенными выражениями (одночленами и двучленами), но с учетом того, что 
Сложение

Вычитание

Умножение

Деление

Выполняя деление комплексных чисел, удобно сначала умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное делителю.

Свойства сопряженных чисел:

Если  где  то 

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел — действительное число.
 

Нахождение степеней числа :

 

Геометрическое изображение комплексного числа:
6.1. В виде точек координатной плоскости

Геометрическое изображение комплексных чисел устанавливает взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости (которую называют комплексной плоскостью) 

6.2. В виде векторов на координатной плоскости.
             
                                                      
Геометрическое изображение комплексных чисел устанавливает взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и радиус-векторами (векторами, которые отложены от начала координат) 

Понятие комплексного числа

Рассмотрим, как можно расширить понятие числа. Простейшим числовым множеством является множество натуральных чисел. В этом множестве всегда выполняются действия сложения и умножения (то есть сумма двух натуральных чисел — число натуральное и произведение двух натуральных чисел — натуральное число). Вычитание можно выполнить не всегда (5-3=2, а разность 3-5 не выражается натуральным числом).
Чтобы действие вычитания можно было выполнить всегда, необходимо расширить множество натуральных чисел, дополнив его отрицательными числами и нулем. В результате такого расширения получили множество  — целых чисел. Но на множестве целых чисел не всегда можно выполнить деление. Чтобы деление (на число, не равное нулю) всегда можно было выполнить, необходимо расширить множество целых чисел, дополнив их множеством всех обычных дробей (числами вида  где  и  — целые числа, и   В результате такого расширения мы получили множество  рациональных  чисел. В этом множестве всегда можно выполнить действия сложения, вычитания,  умножения и деления (кроме деления на ноль).
Но в множестве рациональных чисел не всегда можно выполнить действие извлечение корня из положительного числа (например,  не является рациональным числом). Чтобы действие извлечения корня из положительного числа всегда можно было извлечь, необходимо расширить множество рациональных чисел, дополнив его иррациональными числами. В результате такого расширения мы получили множество  действительных чисел. В этом множестве, за  исключением действий сложения, вычитания, умножения и деления (кроме как на ноль), также всегда можно выполнить действие извлечения квадратного корня из неотрицательного числа. Каждое расширение множеств чисел проводится таким образом, чтобы в новом множестве выполнялись все законы действий, которые выполнялись и в предыдущем множестве. 
Однако на множестве действительных чисел нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа, то есть нельзя решить даже такие простейшие, на первый взгляд, уравнения, . Таким образом желательно расширить множество действительных чисел, присоединив к нему новые числа, такие, чтобы  на новом множестве   так называемых комплексных чисел всегда можно было извлечь корень квадратный (или корень  -й степени) не только из положительного, но и из отрицательного числа.
Для того чтобы извлечь квадратный корень из отрицательного числа, достаточно уметь извлекать квадратный корень из -1. Тогда, например, если выполняются известные правила действий, то 
Число нового вида принято обозначать буквой  , его называют мнимой единицей (— первая буква латинского слова  — воображаемый). По определению квадратного корня, квадрат числа  равен -1, то есть  При помощи нового числа можно записать, например, . Тогда выражение можно записать как 
Мы получили выражение вида  где  и  — действительные числа. Выражения такого вида называют комплексными числами. Следовательно, 
комплексными числами называют выражения вида  где и  — действительные числа , если их равенство и действия над ними определяются правилами, приведенными в п. 2, а  — некоторое (мнимое) число, квадрат которого равен -1:  

В комплексном числе  число  — действительная часть, а выражение 
 — мнимая часть ( — коэффициент при мнимой части).

Понятие равенства комплексных чисел. Операции над комплексными числами

Два комплексных числа называются равными, если равные их действительные части и коэффициенты при мнимых частях,
то есть тогда и только тогда, когда  и 
Например, равенство  при действительных  и  возможно только при  и 
Каждое комплексное число вида  отождествляют с действительным числом  и записывают: Таким образом, действительные числа являются частью множества комплексных чисел. Например, 
Каждое комплексное число вида  отождествляют с выражением и записывают: (комплексное число  называют чисто мнимым числом),  в частности, комплексное число  отождествляют с числом  и записывают: 
Действия сложения, вычитания, умножения над комплексными числами выполняют по тем же законам, что и над обычными. Это позволяет использовать такое правило:

• для практического выполнения действий над комплексными числами достаточно выполнять эти операции так, как-будто выражение — не комплексное число, а двучлен. (При этом необходимо учитывать, что — не переменная, а некоторое число, такое, что  поэтому в результате умножения необходимо везде заменить  на )

Но для того чтобы иметь право пользоваться этим правилом, необходимо соответствующим образом дать определения действий над комплексными числами.

Сложение комплексных чисел

Пусть Тогда  Запись выполнения соответствующей операции в общем виде и будет определением суммы двух комплексных чисел.
Если   то суммой этих комплексных чисел называют комплексное число 
Как и для действительных чисел, 

Вычитание комплексных чисел

Пусть Тогда  Если обозначить разность рассматриваемых чисел через  то
 Поэтому для определения действия вычитания, достаточно знать определение суммы и равенства комплексных чисел.

• Разностью двух комплексных чисел и  называют такое комплексное число  которое в сумме с  дает 

Если  то  Согласно определениям равенства комплексных чисел  Тогда    Следовательно, 

Умножение комплексных чисел

Пусть Тогда  Заменим  на (-1), получим Запись выполнения соответствующей операции в общем виде и будет определением произведения двух комплексных чисел.

• Если то произведением этих комплексных чисел называют комплексное число 

Как и для действительных чисел, возведение комплексного числа в натуральную степень сводится к последовательному умножению числа на самого себя. В частности,   Таким образом,  мы показали, что из определения умножения комплексных чисел следует, что  Поэтому при умножении комплексных  чисел и при возведении их в степень мы действительно имеем право менять  на -1. Например, 

По определению, примем, что  (а также,  что при ). Учитывая, что получим:  Например, 
При возведении комплексного числа  в квадрат или в куб можно использовать соответствующие формулы сокращенного умножения (меняя  на -1). Например, 
Введем также понятия сопряженных  комплексных чисел, которые нам будут нужны для практического выполнения деления комплексных чисел.
Числа и  — сопряженные комплексные числа.
Например, числа  и  — сопряженные. Найдем сумму и произведение этих чисел:
— действительное число,
— действительное число.
Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел — действительное число.
Если где  то
  — действительное число 

Деление комплексных чисел

Пусть необходимо разделить  на  Запишем деление при помощи черты дроби, и, используя основное свойство дроби, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное со знаменателем  чтобы получить в знаменателе действительное число):

Но в примере 3 мы получили, что Следовательно, и на множестве комплексных чисел операцию деления можно проверять при помощи операции умножения.
В общем виде деление комплексных чисел выполняют так:
                                (1)
Строгое получение формул (1) опирается на определение частного комплексных чисел, которое аналогично определению их разности.

• Частным двух комплексных чисел  и называют такое комплексное число  которое при умножении на  дает 

Из этого определения получаем, что то есть  Тогда по определению равенства комплексных чисел 
Умножим первое уравнение системы на ,  а второе  — на   и сложим полученные уравнения. Получим,  Поскольку то следовательно,  Аналогично, если первое уравнение умножить на , а второе — на  и вычесть из  второго первое, получим  следовательно,  
Тогда,  что совпадает с результатом, полученным по формуле (1)

Таким образом мы пояснили корректность использования приведенного практического правила для выполнения действий над комплексными числами. Из приведенных определений операций над комплексными числами выплывает справедливость для комплексных чисел тех основных свойств операций сложения и умножения, которые выполняются над действительными числами.

Операции сложения и умножения комплексных чисел, объединенные распределительным законом 

Для множества действительных чисел основные свойства 1-5 (их еще называют аксиомами поля действительных чисел) определяют все остальные свойства действительных чисел (кроме свойств упорядочивания и непрерывности, которые определяются в поле действительных чисел другими аксиомами). Поскольку основные свойства 1-5 выполняются и для комплексных чисел, то все тождества, которые вы знаете из курса алгебры, остаются справедливыми и на множестве комплексных чисел. Например, 

Геометрическое изображение комплексных чисел

Каждое комплексное число  можно изобразить точкой М на координатной плоскости с координатами  (рис. 1.1). И наоборот, каждую точку  координатной плоскости можно считать изображением комплексного числа  В таком случае говорят, что геометрическое изображение комплексных чисел в виде точек координатной плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости (эту плоскость называют комплексной плоскостью).

Действительные числа изображают точками с координатами  которые расположены на оси абсцисс. Поэтому эту ось комплексной плоскости называют действительной осью. Мнимые числа  изображают точками с координатами  которые расположены на оси ординат. Поэтому эту ось плоскости называют мнимой осью.

Комплексное число на координатной плоскости можно изобразить также в виде так называемого радиус-вектора (вектора  с началом в начале  координат и концом в точке  то есть в виде радиус-вектора с координатами  (рис. 1.2). Такое изображение также устанавливает взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и соответствующими радиус-векторами. При помощи последнего изображения можно проиллюстрировать, что нахождение суммы и разности комплексных чисел — это просто нахождение суммы и разности соответствующих векторов (рис. 1.3), поскольку при сложении векторов соответствующие координаты складываются,  а при вычитании — отнимаются.

Замечание. Геометрическое изображение действительных чисел на числовой прямой позволяет легко сравнивать действительные числа: из двух чисел на числовой прямой больше то, которое изображено правее (и меньше то, которое изображено левее). Но для комплексных чисел, которые изображают точками на координатной плоскости, мы не можем сказать, какое число больше, а какое меньше (поскольку рассматривается не одна, а две координаты). Поэтому для комплексных чисел не вводят понятие "больше" или "меньше", то есть нельзя, например, сказать, какое из комплексных чисел больше:  или  Введение комплексных чисел позволяет решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом (которые на множестве действительных чисел не имеют корня). На множестве комплексных чисел знак  уже не является только знаком арифметического корня. Поэтому, например,  (поскольку    (Как будет показано дальше, корень квадратный из комплексного числа имеет только два значения, поэтому других значений такой квадратный корень не имеет). Учитывая это, найдем корни квадратного уравнения при помощи известных формул.

Пример №563

Решите уравнения 

1)  тогда  Следовательно, 

2) тогда  Следовательно,

Тригонометрическая форма комплексного числа

Понятие тригонометрической формы комплексного числа
Определение:
Комплексное число  изображают точкой  Положение этой точки можно однозначно зафиксировать, задав длину отрезка и величину угла  который образовывает луч  с положительным направлением оси  Тогда, 
Отсюда,  поэтому  Тогда — тригонометрическая форма комплексного числа.

     — модуль (абсолютная величина) комплексного числа 

 — аргумент комплексного числа  (обозначается 

Примеры.

1. Изобразим комплексное число  на комплексной плоскости. Из рисунка видно, что  то есть в тригонометрической форме 

2.  где  Тогда, 

то есть в тригонометрической форме:

Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме:

                 

Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их  модули, а аргументы или равны, или отличаются на  где 

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

Умножение.

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются,  а аргументы складываются.

Деление.

При делении комплексных чисел их модули делятся,  а аргументы вычитаются (модуль делимого делится на модуль делителя и из аргумента делимого вычитается аргумент делителя).

Возведение в степень.


При возведении комплексного числа в натуральную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени. (Формулу можно использовать и для целых отрицательных  )
Пример.

Извлечение корня -й степени.

(всего получаем разных значений, при 
При извлечении корня -й степени из комплексного числа из модуля извлекают арифметический корень -й степени, а к аргументу прибавляют  и результат делят на показатель степени.

На множестве комплексных чисел знаки не являются знаками только арифметического корня, как это было на множестве действительных чисел. Поэтому знаком  обозначают все значения корня для любого (четного или нечетного).

Примеры:

1. 
2. (только на множестве комплексных чисел!).
3. =  (в последнем равенстве — арифметический корень). Имеем три разных значения 
1) при 
2) при   
3) при    
то есть  имеет три значения: 

Понятие тригонометрической формы комплексного числа

Как уже отмечалось, каждое комплексное число  можно изобразить на координатной (комплексной) плоскости в виде точки  или вектора  (с координатами  Но положение  (вектора ) на координатной плоскости можно однозначно зафиксировать, задав длину отрезка  и величину угла  который образует луч  с положительным направлением оси  (рис. 2.1). Учитывая формулу расстояния между двумя точками и определения косинуса и синуса на координатной плоскости, получим:

                                                     
Тогда  и заданное комплексное число  можно записать так:  Полученную запись комплексного числа  называют тригонометрической формой этого числа, а его запись в виде  — алгебраической формой комплексного числа. Следовательно, тригонометрической формой комплексного числа  называют запись этого числа в виде:

Неотрицательное число  называют модулем (или абсолютной величиной) комплексного числа  и обозначают  Следовательно, 
Как и для действительных чисел на координатной (комплексной) плоскости, модуль комплексного числа — это расстояние от точки, которая изображает заданное число, к точке 0 (началу координат). Как и для действительных чисел, только при  модуль  равен нулю, а если  то  Для действительного числа  называют аргументом комплексного числа и обозначают 

Как уже отмечалось, при геометрическом изображении комплексного числа  в виде точки  (или в форме радиус-вектора ) аргумент  — это числовое значение величины угла, который образует луч  с положительным направлением оси  (рис. 2.1). Понятно, что этот угол можно обозначить только с точностью до  где  Поэтому аргумент комплексного числа  имеет бесконечное множество значений, которые отличаются друг от друга на число, кратное  Отметим, что для комплексного числа аргумент нельзя определить, поскольку  (в этом случае радиус-вектор  превращается в точку — ноль-вектор, и мы не можем указать его направление).

Пример №564

Запишите в тригонометрической форме число Если  то Найдем модуль этого комплексного числа:  Аргумент  определим с соотношений:    Поскольку косинус 

 положительный, а синус — отрицательный, то соответствующий угол  расположен в  четверти, и как одно из значений аргументов можно взять  (или любое другое число, отличающееся от него на  где  например, ). Тогда заданное комплексное число в тригонометрической форме запишем так: 

В простейших случаях тригонометрическую форму комплексного числа можно записать, опираясь на изображение этого числа на координатной плоскости.

Например, для числа  которое изображают при помощи  (рис. 2.2), модуль  и аргумент  (угол между лучом и положительным направлением оси  равен 0). Тогда в тригонометрической форме число 1 можно записать так: 

Аналогично, для числа  которое изображается точкой  (рис. 2.2), модуль  и аргумент  (угол между лучом и положительным направлением оси  равен ). Тогда в тригонометрической форме число      можно записать так: 
Поскольку для действительных чисел геометрический смысл выражения  — это расстояние между соответствующими точками на числовой прямой, то  (рис. 2.3).

Аналогично,  для комплексных чисел геометрический смысл выражения  — это расстояние между соответствующими точками на координатной (комплексной) плоскости.

Действительно, комплексное число   изображают вектором  или точкой , а комплексное число  — вектором  или точкой  (рис. 2.4). Тогда комплексное число  изображают разностью векторов, то есть вектором  Число   равно длине этого вектора, то есть расстоянию между точками  и .

Например, пусть необходимо изобразить множество точек  комплексной плоскости,  для которых выполняется равенство:
               (1)
или неравенство
              (2)
Для этого достаточно записать заданные условия так:  и использовать геометрический смысл модуля разности. Тогда множество точек, которое задает равенство (1), — это окружность  радиусом 4 с центром в точке  (рис. 2.5, а), а множество точек, которое задает неравенство (2), — это окружность радиусом 4 с центром в точке  

В случае, когда два комплексные числа равны, то их изображают одной и той же точкой  на координатной плоскости. Но тогда их модули (расстояние до начала координат) равны, а аргументы (углы, образованные лучом  с положительным направлением оси ) или равны, или отличаются на целое число полных оборотов, то есть на  где  И наоборот, если модули двух комплексных чисел равны, а аргументы или равны, или отличаются на  то эти числа изображаются на координатной плоскости одной и той же точкой, следовательно, эти числа равны. Таким образом,

• два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы или равны, или отличаются на   где 

Иначе говоря, если  ). Равенство  выполняется тогда и только тогда, когда  и  (или или  на  то есть 

Умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Пусть задано два комплексных числа в тригонометрической форме:

Тогда, 
Учитывая, что  получаем
                     (3)
Следовательно, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Возведение в натуральную степень комплексного числа  сводится к умножению одинаковых множителей. Поэтому, используя несколько раз формулу (3), получим:

Таким образом,
                    (4)
то есть, при возведении комплексного числа в натуральную степень модули возводятся в эту степень, а аргументы умножаются на показать степени.

Например, для нахождения учтем, что в тригонометрической форме . Тогда, используя формулу (4), получаем:

Поскольку деление — действие, обратное умножению, то при делении числа  на число  (при ) модули необходимо разделить, а аргументы — вычесть:
             (5)
то есть при делении комплексных чисел их модули делят, а аргументы вычитают.

По формуле (3) произведение числа  на число  равно

Это и означает, что число  является частным от деления числа  на 

Замечание. Если  то по определению (при ). Поскольку  то, учитывая равенства (4) и (5) для  получаем:

Это равенство означает, что формулой (4) можно пользоваться не только для натуральных, но и для целых значений, что при  (напомним, , при ).

Извлечение корня из комплексного числа

Как и для действительных чисел, корнем -й степени из комплексного числа  (где  — натуральное число) называют такое комплексное число  что 

Корень  -й степени из  обозначают  Следовательно, если  то  Покажем, что из любого комплексного числа  можно извлечь корень -й степени, причем, если  то  принимает  разных значений. Для пояснения используем тригонометрическую форму рассмотренных комплексных чисел.

Пусть     Число  будем искать в виде 
Если  Учитывая, что  получим

Но два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы или равны, или отличаются  на  где  Следовательно,

Поскольку,  и  должно быть не отрицательным, то из равенства (6) получаем:  (арифметическое значение),
а из равенства (7), 
          (8)
Таким образом, 
         (9)
Учитывая, что функции   и  — периодические с наименьшим периодом  делаем вывод, что значения  которое дает формула (9),  могут повторяться только тогда, когда значения (см. формулу 8) будут отличаться на число, кратное  Выясним, при каких значения  и  это может быть. Очевидно, что разность  должна быть кратной  а для этого разность должна делиться на  Отсюда выплывает, что при  формула (9) дает разные значения  При  получаем то же самое значение корня, что и при и т. д. Следовательно, по формуле (9) мы всегда получим точно    разных значений   (при  то есть
                 (10)
(Всего получим  разных значений при  Следовательно,
при извлечении корня -й степени из комплексного числа, из модуля извлекают арифметический корень -й степени, а к аргументу прибавляют  (где ) и результат делят на показатель корня.

Пример №565

Найдите все значения 
Запишем подкоренное число в тригонометрической форме
 Тогда, по формуле (10):

Всего получаем 4 разных значения:

Следовательно, имеет четыре разных значения: 

Замечание. Если записать формулу (10) так:

то учитывая геометрический смысл модуля, получим, что все точки, которые изображают числа  лежат на окружности с радиусом  и центром в начале координат. Аргументы соседних точек отличаются на  и поэтому указанные точки делят окружность на  равных частей, то есть являются вершинами правильного -угольника, вписанного в эту окружность. Например, точки, которые изображают все значения , то есть: Вершины  правильного четырехугольника, вписанного в окружность радиусом 1, с центром в начале координат (рис. 2.6).
                                            

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Линейная алгебра
3. Векторная алгебра
4. Геометрия
5. Аналитическая геометрия
6. Высшая математика
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика

Учебник онлайн:

1. Рациональная дробь
2. Функция в математике
3. Наибольшее и наименьшее значения функции
4. Раскрытие неопределенностей
5. Дробно-рациональные уравнения
6. Дробно-рациональные неравенства
7. Прогрессии в математике - арифметическая, геометрическая
8. Единичная окружность - в тригонометрии
9. Определение синуса и косинуса произвольного угла
10. Определение тангенса и котангенса произвольного угла
11. Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
12. Функция y=sin x и её свойства и график
13. Функция y=cos x и её свойства и график
14. Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики
15. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
16. Тригонометрические уравнения
17. Тригонометрические неравенства
18. Формулы приведения
19. Синус, косинус, тангенс суммы и разности
20. Формулы двойного аргумента
21. Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
22. Корень n-й степени из числа и его свойства
23. Свойства и график функции y=ⁿ√x (n>1, n∈N)
24. Иррациональные уравнения
25. Иррациональные неравенства
26. Производная в математике
27. Как найти производную функции
28. Асимптоты графика функции
29. Касательная к графику функции и производная
30. Предел и непрерывность функции
31. Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
32. Предел функции на бесконечности
33. Применение производной к исследованию функции
34. Приложения производной
35. Производные высших порядков
36. Дифференциал функции
37. Дифференцируемые функции
38. Техника дифференцирования
39. Дифференциальная геометрия
40. Логарифмическая функция, её свойства и график
41. Логарифмические выражения
42. Показательная функция, её график и свойства
43. Производные показательной и логарифмической функций
44. Показательно-степенные уравнения и неравенства
45. Показательные уравнения и неравенства
46. Логарифмические уравнения и неравенства
47. Степенная функция - определение и вычисление
48. Степень с целым показателем
49. Корень n-й степени
50. Тождества с корнями, содержащие одну переменную
51. Действия с корнями нечетной степени
52. Действия с корнями четной степени
53. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
54. Периодические дроби
55. Степень с рациональным показателем
56. Степень с действительным показателем
57. Логарифм - формулы, свойства и примеры
58. Корень из числа - нахождение и вычисление
59. Теория множеств - виды, операции и примеры
60. Числовые множества
61. Вектор - определение и основные понятия
62. Прямая - понятие, виды и её свойства
63. Плоскость - определение, виды и правила
64. Кривые второго порядка
65. Евклидово пространство
66. Матрица - виды, операции и действия с примерами
67. Линейный оператор - свойства и определение
68. Многочлен - виды, определение с примерами
69. Квадратичные формы - определение и понятие
70. Системы линейных уравнений с примерами
71. Линейное программирование
72. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
73. Исследование функции
74. Пространство R"
75. Неопределённый интеграл
76. Методы интегрирования неопределенного интеграла
77. Определённый интеграл
78. Кратный интеграл
79. Ряды в математике
80. Дифференциальные уравнения с примерами
81. Обратная матрица - определение и нахождение
82. Ранг матрицы - определение и вычисление
83. Определители второго и третьего порядков и их свойства
84. Метод Гаусса - определение и вычисление
85. Прямая линия на плоскости и в пространстве
86. Плоскость в трехмерном пространстве
87. Функция одной переменной
88. Производная функции одной переменной
89. Приложения производной функции одной переменной
90. Исследование поведения функций
91. Предел и непрерывность функции двух переменны
92. Дифференцируемость функции нескольких переменных
93. Несобственные интегралы
94. Дифференциальные уравнения первого порядка
95. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
96. Системы дифференциальных уравнений
97. Числовые ряды
98. Знакопеременные ряды
99. Степенные ряды
100. Элементы матричного анализа
101. Уравнение линии
102. Функции нескольких переменных
103. Комплексные числ
104. Координаты на прямой
105. Координаты на плоскости
106. Линейная функция
107. Квадратичная функция
108. Тригонометрические функции
109. Производные тригонометрических функции
110. Производная сложной функции
111. Пределы в математике
112. Функции многих переменных
113. Уравнения прямых и кривых на плоскости
114. Плоскость и прямая в пространстве
115. Определитель матрицы
116. Критерий совместности Кронекера-Капелли
117. Формулы Крамера
118. Матричный метод
119. Экстремум функции
120. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
121. Скалярное произведение и его свойства
122. Векторное и смешанное произведения векторов
123. Преобразования декартовой системы координат
124. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
125. Замечательные пределы
126. Непрерывность функций и точки разрыва
127. Точки разрыва и их классификация
128. Дифференциальное исчисление
129. Исследование функций с помощью производных
130. Формула Тейлора и ее применение
131. Интегрирование рациональных дробей
132. Интегрирование тригонометрических функций
133. Интегрирование тригонометрических выражений
134. Интегрирование иррациональных функций
135. Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
136. Линии второго порядка
137. Полярные координаты
138. Непрерывность функции
139. Уравнения поверхности и линии в пространстве
140. Общее уравнение плоскости
141. Угол между плоскостями
142. Понятие о производной вектор-функции
143. Криволинейные интегралы
144. Двойные и тройные интегралы
145. Делимость чисел в математике
146. Обыкновенные дроби
147. Отношения и пропорции
148. Рациональные числа и действия над ними
149. Делимость натуральных чисел
150. Выражения и уравнения
151. Линейное уравнение с одной переменной
152. Целые выражения
153. Одночлены
154. Многочлены
155. Формулы сокращенного умножения
156. Разложение многочленов на множители
157. Системы линейных уравнений с двумя переменными
158. Рациональные выражения
159. Квадратные корни
160. Квадратные уравнения
161. Неравенства
162. Числовые последовательности
163. Предел числовой последовательности
164. Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
165. Функции, их свойства и графики
166. Параллельность в пространстве
167. Перпендикулярность в пространстве
168. Векторы и координаты в пространстве
169. Множества
170. Рациональные уравнения
171. Рациональные неравенства и их системы
172. Геометрические задачи и методы их решения
173. Прямые и плоскости в пространстве
174. Интеграл и его применение
175. Первообразная и интегра
176. Уравнения и неравенства
177. Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
178. Уравнение
179. Метод математической индукции
180. Система координат в пространстве
181. Иррациональные числа
182. Действительные числа
183. Решение уравнений высших степеней
184. Системы неравенств
185. Квадратные неравенства
186. Точка, прямая и плоскость в пространстве
187. Тригонометрические функции произвольного угла
188. Теоремы синусов и косинусов
189. Система показательных уравнений
190. Непрерывные функции и их свойства
191. Правило Лопиталя
192. Вычисления в Mathematica с примерами