Закон всемирного тяготения в физике - формулы и определение с примерами

Содержание:

Закон всемирного тяготения:

В таблице представлены орбитальные скорости планет и карликовых планет Солнечной системы. Исследуя эту информацию, с легкостью можно определить, что небесные тела этой системы, близко расположенные к Солнцу, имеют более высокую орбитальную скорость.

Орбитальная скорость Луны вокруг Земли, по сравнению со скоростями из повседневной жизни, так же очень большая: -3682,8 км/час. Однако эта скорость во много раз меньше скорости Земли вокруг Солнца.

Планеты и карликовые планеты	Орбитальная скорость
	км/с	км/с
Меркурий	47,87	172 332
Венера	35,02	126 072
Земля	29,78	107 208
Марс	24,13	86 868
Церера	17,88	64 368
Юпитер	13,07	47 052
Сатурн	9,69	34 884
Уран	6,81	24 516
Нептун	5,43	19 548
Плутон	4,67	16 812
Хаумеа	4,48	16 128
Макемаке	4,41	15 876
Эрида	3,44	12 384

Вы знаете, что все тела во Вселенной, имеющие массу - звезды, галактики, Солнце и планеты, тела Земной системы, молекулы, атомы и другие, взаимно притягиваются друг к другу с силой, называемой силой тяготения (или гравитационной силой). Исследовав, от каких величин и как зависит эта сила, Исаак Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения

Между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:

Где

Гравитационная постоянная

Единица гравитационной постоянной в СИ:   

Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения друг к другу двух материальных точек массами по 1 кг каждый, если расстояние между ними равно 1 м.

Численное значение гравитационной постоянной опытным путем определил английский ученый Генри Кавендиш (1731—1810) в 1798 году. Это значение одинаково для всех тел во Вселенной вне зависимости от их размеров и масс:

Как видно, численное значение гравитационной постоянной очень мало. Поэтому между телами с относительно малыми массами сила притяжения не чувствуется. Эта сила принимает ощутимые значения при взаимодействии тел с очень большой массой, например, между звездой и планетой, планетой и спутником и т.д.

Формула закона всемирного тяготения

Сила притяжения между двумя произвольными телами, не являющимися материальными точками при данных условиях, также определяется формулой закона всемирного тяготения. В этом случае эти тела рассматриваются как совокупность материальных точек, вычисляются силы притяжения между всеми материальными точками этих тел, результаты вычислений суммируются и определяются сила притяжения между этими телами. Такие вычисление представляет собой сложную математическую операцию. Однако формула Всемирного тяготения легко применяется для тел шарообразной формы. За расстояние между телами при этом принимается расстояние между их центрами (а). Поэтому для вычисления силы притяжения между произвольным телом и Землей можно применить формулу закона всемирного тяготения. В этом случае расстояние между ними берется до центра Земли:  Силы взаимодействия между Землей и телом,  и  направлены вдоль линии, соединяющей эти тела.

Согласно III закону Ньютона  их модули равны:

Где  — радиус земного шара, - масса Земли, — расстояние от поверхности Земли до центра тела, вдоль радиуса. Для тел, находящихся на поверхности Земли закон всемирного тяготения записывается в виде:

Измерение гравитационной постоянной

С этой целью Г. Кавендиш использовал крутильные весы. Схема весов показана на рисунке: на концах стержня длиной 2 м он установил два свинцовых шарика массой по  г каждый и диаметром приблизительно 5 см. Стержень подвешен на упругой нити. У каждого шарика разместили большие свинцовые шары массами по  В результате притяжения между большими и малыми шарами нить закручивается на очень небольшой угол. Угол поворота определяется перемещением по шкале светового "зайчика", отраженного от плоского зеркала, закрепленного на нити, (b).

Зная угол поворота, можно определить силу упругости  возникающую в результате закручивания нити. Сила упругости уравновешивает силу притяжения между шарами, т.е. эти силы равны по модулю:

Таким образом, ученый, подставив известные величины в формулу закона всемирного тяготения, получил для гравитационной постоянной значение, очень близкое к его современному значению:

Что такое закон всемирного тяготения

Все тела во Вселенной, как небесные, так и находящиеся на Земле, взаимно притягиваются. Даже если мы не замечаем притягивания между обычными предметами, которые окружают нас в повседневной жизни (например, между книгами, тетрадями, мебелью и т. п.), то это потому, что оно в таких случаях очень слабое.

Взаимодействие, свойственное всем телам во Вселенной и проявляющееся взаимным притягиванием друг к другу, называют гравитационным, а само явление всемирного тяготения — гравитацией (лат. gravitas — «тяжесть»).

Гравитационное взаимодействие осуществляется с помощью особенного вида материи, который называют гравитационным полем. Такое поле существует вокруг любого тела - планеты, камня, человека или листа бумаги. При этом тело, создающее гравитационное поле, действует им на любое другое тело так, что у того появляется ускорение, всегда направленное к источнику поля. Появление такого ускорения и значит, что между телами возникает притяжение.

Гравитационное поле не следует путать с электромагнитными полями, существующими вокруг наэлектризованных тел, проводников с током и магнитов.

Интересной особенностью гравитационного поля, которую не имеют электромагнитные поля, является его всепроникающая способность. Если от электрических и магнитных полей можно защититься с помощью специальных металлических экранов, то от гравитационного поля защититься ничем нельзя: оно проникает сквозь любые материалы.

Выражение для силы притяжения Исаак Ныотон получил еще в 1666 г., когда ему было 24 года. Сначала ученый установил, как зависит от расстояния ускорение свободного падения. Он заметил, что вблизи поверхности Земли, то есть на расстоянии 6400 км от ее центра, это ускорение равно 9,8 а на расстоянии в 60 раз большем, возле Луны, это ускорение оказывается в 3600 раз меньше, чем на Земле. Но 36 00 = Следовательно, ускорение свободного падения уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Но ускорение, по второму закону Ньютона, пропорционально силе. Следовательно, причиной такого уменьшения ускорения является аналогичная зависимость силы притяжения от расстояния.

Окончательную формулу силы притяжения можно получить, если учесть, что эта сила должна быть пропорциональна массам тел

где G - гравитационная постоянная.

Так, Ньютон нашел выражение для силы гравитационного взаимодействия Земли с телами, которые притягивались ею. Но интуиция подсказывала ему, что по данной формуле можно рассчитывать и силу притяжения, действующую между любыми другими телами Вселенной, если только их размеры малы по сравнению с расстоянием г между ними. Поэтому он начал рассматривать полученное выражение как закон всемирного тяготения, который выполняется и для небесных тел, и для тел на Земле.

Сила гравитационного притяжения любых двух частиц прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Закон всемирного тяготения сформулирован для частиц, размеры которых значительно меньше расстояния г между ними. Однако одна особенность закона дает возможность использовать его и в некоторых иных случаях. Такой особенностью является обратно пропорциональная зависимость силы притяжения именно от квадрата расстояния между частицами, а не от третьей или четвертой степени расстояния. Расчеты показывают, что благодаря этой особенности формулу  можно применять еще и для расчета силы притяжения шарообразных тел со сферически симметричным распределением вещества, находящихся на любом расстоянии друг от друга. Под г в этом случае следует понимать не расстояние между ними, а расстояние между их центрами (рис. 281).

Формула выполняется и для случая, когда сферическое тело произвольных размеров взаимодействует с некоторой материальной точкой. Это и дает возможность применять формулу закона всемирного тяготения для расчета силы, с которой земной шар притягивает к себе окружающие тела.

Когда Ньютон открыл закон всемирного тяготения, он не знал ни одного числового значения масс небесных тел, в том числе и Земли. Неизвестно ему было и значение постоянной.

Вместе с тем, гравитационная постоянная G имеет для всех тел Вселенной одно и то же значение и является одной из фундаментальных физических констант. Каким же образом можно определить ее значение? Из закона всемирного тяготения следует, что . Чтобы вычислить G, следует измерить силу притяжения F между телами известных масс и расстояние r между ними.

Первые измерения гравитационной постоянной были осуществлены в середине XVIII в. Оценить, правда очень грубо, значение G в то время удалось в результате рассмотрения притягивания маятника к горе, масса которой была определена с помощью геологических методов.

Точные измерения гравитационной постоянной впервые осуществил в 1798 г. Генри Кавендиш - английский физик, член Лондонского королевского общества. С помощью так называемых крутильных весов (рис. 282) ученый по углу закручивания нити А сумел измерить ничтожно малую силу притяжения между маленькими и большими металлическими шарами. Для этого ему пришлось использовать очень чувствительные приборы, потому что даже слабые воздушные потоки могли исказить измерение. Во избежание посторонних влияний, Кавендиш разместил свои приборы в ящике, который оставил в комнате, а сам проводил наблюдение за приборами с помощью телескопа из другого помещения.

Опыты показали, что

Физическое содержание гравитационной постоянной заключается в том, что она определяется силой, с которой притягиваются два тела массами 1 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга.

Если на тело действует только одна сила, направленная вниз (а все другие уравновешены), то оно осуществляет свободное падение. Ускорение свободного падения можно определить, применив второй закон Ньютона:

Отсюда следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы m тела, а следовательно, оно одинаково для всех тел. Такое удивительное свойство силы всемирного притяжения, а значит, и силы притяжения. Ее опытным путем вычислил еще Галилей. Удивительно, потому что по второму закону Ньютона ускорение тела должно быть обратно пропорционально массе. Но сама сила притяжения пропорциональна массе тела, на которое она действует. Именно поэтому ускорение свободного падения одинаково для всех тел.

Теперь для силы притяжения можно записать выражение:

По существу говоря, формула , как и второй закон Ньютона, справедлива, когда свободное падение рассматривается относительно инерциальной системы отсчета.

Приведенные значения показывают, что ускорение свободного падения в разных районах земного шара отличается очень мало от значения, вычисленного по формуле

Поэтому при грубых подсчетах пренебрегают неинерциальностые системы отсчета, связанной с поверхностью Земли, и отличием формы Земли от сферической. Ускорение свободного падения считают всюду одинаковым и вычисляют по формуле

В некоторых районах земного шара ускорение свободного падения отличается от приведенного выше значения еще по одной причине. Такие отклонения наблюдаются там, где в недрах Земли залегают породы, плотность которых больше или меньше средней плотности Земли. Там, где есть залежи пород, имеющих большую плотность, значение g больше. Это дает возможность геологам по измерениям значения g находить месторождения полезных ископаемых.

Следовательно, сила притяжения, а значит, и ускорение свободного падения изменяются с отдалением от поверхности Земли. Если тело находится на высоте h над поверхностью Земли, то выражение для модуля ускорения свободного падения g следует записывать следующим образом:

Так, на высоте 300 км ускорение свободного падения уменьшается на 1 . Из формулы видно, что для высот в несколько десятков или сотен метров над Землей, и даже многих километров, сила притяжения может считаться постоянной, независимо от положения тела. Поэтому свободное падение близ Земли можно считать равноускоренным движением.

Движение тела под действием силы притяжения: тело движется по вертикали. Если предоставить телу начальную скорость д0, направленную вверх, то это не изменит ни направления, ни значения ускорения тела, потому что толчок вверх не может изменить силу притяжения. В обоих случаях траекторией тела является вертикальная прямая.

Решая задачи на такое движение, за тело отсчета удобно выбирать Землю с началом отсчета на ее поверхности или в любой точке выше или ниже от поверхности, а координатную ось направлять по вертикали вверх или вниз. Высоту тела над определенной поверхностью принято обозначать буквой h (рис. 283).

Тогда координата y тела - это просто его высота h над точкой начала отсчета. Проекция вектора перемещения тела соответствует изменению высоты и равна h - , где - начальная высота.

Формулы для вычисления координат (высот) и скоростей ничем не отличаются от формул для прямолинейного равноускоренного движения.

Координата тела (высота):

Скорость тела в любой момент времени:

Скорость тела в любой точке траектории:

Проекция положительна, если ось Оу направлена вниз, и отрицательна, если ось Оу направлена вверх. Проекции положительны, если векторы скоростей направлены вдоль оси Оу, и отрицательны, если векторы скоростей направлены противоположно оси Оу.

• Заказать решение задач по физике

Движение тела под действием силы притяжения: начальная скорость тела направлена под углом к горизонту. Часто приходится рассматривать движения тел, начальная скорость которых не параллельна силе притяжения, а направлена под определенным углом к ней (или к горизонту). Когда, например, спортсмен толкает ядро, бросает диск или копье, он придает этим предметам именно такую скорость. При артиллерийской стрельбе стволы пушек имеют определенный угол поднятия, так что снаряд в стволе также получает начальную скорость, направленную под углом к горизонту.

Будем считать, что силой сопротивления воздуха можно пренебречь. Как в этом случае движется тело?

На рисунке 284 показан стробоскопический снимок шарика, брошенного под углом 60° к горизонту. Соединив последовательно положения шарика плавной кривой, получим траекторию движения шарика - параболу.

Если пренебречь влиянием воздуха на движение тела, то на тело, брошенное под углом к горизонту, как и на свободно падающее тело, или на тело, которое получило начальную скорость, направленную вертикально, действует только сила притяжения. Как бы ни двигалось тело, сила притяжения может сообщить ему только ускорение , направленное вниз. Этим определяются и траектория движения тела и характер его движения.

Предположим, что из некоторой точки О брошено тело с начальной скоростью , направленной под углом а к горизонту. Возьмем за начало отсчета координат точку, с которой брошено тело, а за начало отсчета времени - момент бросания. Ось Ох направим горизонтально, а ось Оу - вертикально вверх (рис. 285). Из рисунка видим, что проекции вектора на оси Ох и Оу соответственно равны:

Поскольку на тело действует сила притяжения, то при движении тела будет меняться только проекция , а проекция не будет меняться. Поэтому координата х тела с течением времени меняется так же, как при прямолинейном равномерном движении:

А координата у меняется так же, как при прямолинейном равноускоренном движении:

Чтобы найти траекторию движения тела, надо подставить в уравнение значения времени t, какие последовательно увеличиваются, и вычислить координаты х и у для каждого значения t, если известны значения модуля начальной скорости и угла а. По найденным значениям х и у наносим точки, которые изображают последовательные положения тела. Соединяя их плавной кривой, получим траекторию движения тела. Она будет подобна изображенной на рисунке 285.

Что будет если тело брошено горизонтально

Тело можно бросить и так, что его начальная скорость будет направлена горизонтально (а = 0). Например, так направлена начальная скорость тела, оторвавшегося от самолета, который летит горизонтально. Легко выяснить, по какой траектории будет двигаться такое тело. Для этого обратимся опять к рисунку 285, на котором изображена траектория движения тела, брошенного под углом а к горизонту. В наивысшей точке параболы скорость тела как раз и направлена горизонтально. А за этой точкой тело движется по правой ветви параболы. Очевидно, что и любое тело, брошенное горизонтально, также будет двигаться по ветви параболы (рис. 286).

Траекторию движения тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту, можно показать на опыте. Сосуд, заполненный водой, размещают на определенной высоте над столом и соединяют его резиновой трубкой с наконечником, который имеет кран (рис. 287). Выпущенные струи воды непосредственно показывают траектории частиц воды. Таким образом можно наблюдать траекторию для разных значений угла а и скорости

Мы рассмотрели несколько примеров движения тел под действием силы притяжения. Во всех случаях тело движется с ускорением свободного падения, которое не зависит от того, имело ли тело еще и скорость в горизонтальном направлении или нет. Например, пуля, выпущенная стрелком из винтовки в горизонтальном направлении, упадет на землю одновременно с пулей, которую случайно уронил стрелок в момент выстрела. Но вторая пуля упадет у ног стрелка, а пуля, вылетевшая из ствола винтовки, - на определенном расстоянии.

История:

Попытки объяснить наблюдаемую картину мира, и прежде всего строение Солнечной системы, делали многие ученые. Что связывает планеты и Солнце в единую систему? Каким законам подчиняется их движение?

Во II в. н. э. древнегреческий ученый Клавдий Птолемей разработал геоцентрическую систему мира, согласно которой все наблюдаемые перемещения небесных светил объяснялись их движением вокруг неподвижной Земли.

В XVI в. польский астроном Миколай Коперник предложил гелиоцентрическую систему мира: в центре находится Солнце, а вокруг него движутся планеты и их спутники. Что же удерживает планеты, в частности Землю, когда они движутся вокруг Солнца?

Если придерживаться утверждений Аристотеля и связывать силу притяжения тел со скоростью их движения, а не с ускорением, то причиной движения планет является именно направление скорости.

Ньютон связал силу с ускорением. Именно силу притяжения Солнца естественно считать причиной вращения вокруг него Земли и планет.

Но не только планеты притягиваются к Солнцу. Солнце также притягивается планетами. Да и сами планеты взаимодействуют между собой. Одним из первых, кто это понял, был английский ученый Роберт Гук. В 1674 г. он писал: «Все небесные тела имеют притяжение, или силу тяготения к своему центру, вследствие чего они не только притягивают собственные части и препятствуют им разлетаться, как наблюдаем на Земле, но притягивают также все другие небесные тела, находящиеся в сфере их действия. Поэтому не только Солнце и Луна имеют влияние на движение Земли, но и Меркурий, и Венера, и Марс, и Юпитер, и Сатурн также своим притяжением имеют значительное влияние на ее движение. Подобным образом и Земля притяжением влияет на движение каждого из этих тел».

В своем труде «Математические начала натуральной философии» Ньютон сформулировал три фундаментальных закона (известны как законы Ньютона). В соответствии с данными законами, все тела Вселенной, как небесные, так и те, которые находятся на Земле, склонны к взаимному тяготению, причем силы, с которыми притягиваются все эти тела, имеют одинаковую природу и подчиняются одному и тому же закону.

Согласно легенде, мысль о всемирном тяготении озарила Ньютона в тот момент, когда он, отдыхая в своем саду, увидел яблоко, которое падает. Рассказывают даже, что знаменитой яблоне, плод которой сумел так «вовремя» упасть к ногам Ньютона, не дали исчезнуть бесследно и кусочки этого дерева якобы хранятся в Англии и в настоящее время.

Открытие закона всемирного тяготения дало возможность Ньютону создать теорию движения небесных тел, основанную на строгих математических доказательствах. Ничего подобного в науке до того времени не было.

Эта теория, бесспорно, поразила современников Ньютона, но у них возник вопрос: почему все тела притягиваются друг к другу? Ответа на него выдающийся физик не дал. «Причину же свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не выдумываю, - писал он в своих "Математических началах”. - Достаточно того, что притяжение в действительности существует, и действует согласно изложенному закону, и является полностью достаточным для объяснения всех движений небесных тел и моря».

Говоря о море, Ньютон имел в виду явление приливов, обусловленных притягиванием воды Луной и Солнцем. За две тысячи лет до Ньютона над причинами этого явления рассуждал Аристотель, который, однако, объяснить его не смог. Для философа это оказалось трагедией. «Наблюдая длительное время это явление со скалы Негро-понта, он, охваченный отчаянием, бросился в море и нашел там добровольную смерть», - утверждал Г. Галилей.